動態(tài)圓在分析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的應(yīng)用

1、 “動態(tài)圓”在分析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的應(yīng)用帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動問題，既是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。中學(xué)階段，只考慮帶電粒子以速度垂直于磁場方向進(jìn)入有界勻強(qiáng)磁場，在只受洛侖茲力作用時(shí)，粒子做勻速圓周運(yùn)動這一特點(diǎn)，而極值問題又涉及到粒子初速度的大小、方向，以及磁場形狀、邊界等條件的約束。用動態(tài)圓能夠直接突破這一問題的難點(diǎn)，達(dá)到舉一反三、事半功倍的效果。教學(xué)方法實(shí)施如下：建立動態(tài)圓的物理圖景找出動態(tài)圓的圓心軌跡由漸變到突變（注意約束條件）臨界狀態(tài)（運(yùn)用幾何知識）尋找極值知識反饋下面就通過動態(tài)圓來分析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的應(yīng)用：一、動態(tài)圓的圓心軌跡是一條直線或一段線段。帶電粒

2、子以相同方向不同大小的速度射入同一勻強(qiáng)磁場，根據(jù)，得，可知?jiǎng)討B(tài)圓的半徑不同。若是由同一點(diǎn)射入磁場，其圓心必在過入射點(diǎn)且與初速度方向垂直的射線上；若不是由同一點(diǎn)射入磁場，則必須滿足一定的條件其圓心軌跡才是一條直線。帶電粒子以大小和方向不同的速度射入同一勻強(qiáng)磁場，若是由同一點(diǎn)射入磁場，則必須滿足一定的條件其圓心軌跡才是一條直線。例1 A、B為水平放置的足夠長的平行板，板間距離為，A板中央有一電子源P，在紙面內(nèi)能向各個(gè)方向發(fā)射速度在范圍內(nèi)的電子，為P點(diǎn)正上方B板上的一點(diǎn)，若垂直紙面加一勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度，已知電子的質(zhì)量，電子電量，不計(jì)電子的重力和電子間相互作用力，且電子打到板上均被吸收，并轉(zhuǎn)移到大

3、地求：（1）沿P方向射出的電子擊中A、B兩板上的范圍（2）若從點(diǎn)發(fā)出的粒子能恰好擊中點(diǎn)，則電子的發(fā)射方向（用圖1中角表示）與電子速度的大小之間應(yīng)滿足的關(guān)系及各自相應(yīng)的取值范圍。解析：（1）如圖2所示，沿PQ方向射出的電子軌跡半徑由可得，不同速率的電子，以相同方向射入磁場后，做半徑不同的圓周運(yùn)動。由左手定則決定的這些動態(tài)圓的圓心都在與PQ速度方向垂直的射線PH上，最大軌道半徑，圓心在A板上H處，恰好擊中B板上M處隨著電子速度的減少，電子軌跡半徑也逐漸減小，動態(tài)圓由1向2漸變過程中，存在一個(gè)臨界圓，擊中B板的電子與Q點(diǎn)最遠(yuǎn)處圓相切于N點(diǎn)，此時(shí)電子的軌跡半徑同幾何知識得為，并恰能落在A板上H處，所以

4、電子能擊中B板MN區(qū)域；動態(tài)圓由2漸變過程中，最后軌道半徑減小至零，所以電子能擊中A板PH區(qū)域。在MFH中，有，電子能擊中B板Q點(diǎn)右側(cè)與Q點(diǎn)相距的范圍電子能擊中A板P點(diǎn)右側(cè)與P點(diǎn)相距的范圍。（2）如圖3所示，要使P點(diǎn)發(fā)出的電子能擊中Q點(diǎn)，則有，因?yàn)镻Q是這些動態(tài)圓的弦，所以這些動態(tài)圓的圓心必在PQ弦的中垂線上，動態(tài)圓由1到3漸變過程中,動態(tài)圓的半徑隨著增大，電子發(fā)射的速度也隨著增大，角隨著減小，由幾何知識得，在中，由解得，取最大速度時(shí)，有，；取最小速度時(shí)，有，。所以電子速度與之間應(yīng)滿足，且，例2（2007年廣東卷）圖4是某裝置的垂直截面圖，虛線是垂直截面與磁場區(qū)邊界的交線，勻強(qiáng)磁場分布在的右側(cè)

5、區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.4T，方向垂直紙面向外，與垂直截面上的水平線夾角為45°。在左側(cè)，固定的薄板和等大的擋板均水平放置，它們與垂直截面交線分別為、，相距。在薄板上P處開一小孔，P與線上點(diǎn)D的水平距離為L。在小孔處裝一個(gè)電子快門。起初快門開啟，一旦有帶正電微粒通過小孔，快門立即關(guān)閉，此后每隔開啟一次此并瞬間關(guān)閉。從之間的某一位置水平發(fā)射一速度為的帶正電微粒，它經(jīng)過磁場區(qū)域后入射到P處小孔。通過小孔的微粒與檔板發(fā)生碰撞而反彈，反彈速度大小是碰前的0.5倍。（1）經(jīng)過一次反彈直接從小孔射出的微粒，其初速度應(yīng)為多少？（2）求上述微粒從最初水平射入磁場到第二次離開磁場的時(shí)間。（忽略微粒所受

6、重力影響，碰撞過程無電荷轉(zhuǎn)移。已知微粒的荷質(zhì)比。只考慮紙面上帶電微粒的運(yùn)動）解析：（1）圖5所示，設(shè)帶正電微粒在、之間任意點(diǎn)Q以水平速度進(jìn)入磁場，即從D點(diǎn)到N點(diǎn)水平射入，經(jīng)過磁場區(qū)域后入射到P處小孔，要滿足這一條件，這些動態(tài)圓的圓心都在到的線段上，動態(tài)圓由3向4漸變過程中，隨半徑增大，微粒的速度也隨著增大。設(shè)微粒受到的洛侖茲力為，在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為，有： ， ，由式解得： 欲使微粒能進(jìn)入小孔，由幾何知識得半徑的取值范圍為：代入數(shù)據(jù)得： 欲使進(jìn)入小孔的微粒與擋板一次相碰返回后能通過小孔，還必須滿足條件： 其中1，2，3，由式代入數(shù)據(jù)可知，只有滿足條件，即有：（2）設(shè)微粒在磁場中做圓周運(yùn)動

7、的周期為，從水平進(jìn)入磁場到第二次離開磁場的總時(shí)間為，設(shè)、分別為帶電微粒第一次、第二次在磁場中運(yùn)動的時(shí)間，第一次離開磁場運(yùn)動到擋板的時(shí)間為，碰撞后再返回磁場的時(shí)間為，運(yùn)動軌跡如答圖5所示，則有：； ； ；由式代入數(shù)據(jù)解得 二、帶電粒子從同一點(diǎn)以相同速率沿各個(gè)不同方向入射同一勻強(qiáng)磁場，由，得，動態(tài)圓的半徑相同，這些動態(tài)圓的圓心軌跡都在以入射點(diǎn)為圓心，半徑為的圓周或一段圓弧上。例3（2004年廣東卷）如圖6所示,點(diǎn)S為一電子源，它可以在紙面內(nèi)的的范圍內(nèi)發(fā)射速率相同、質(zhì)量為、電量為的電子。MN是一塊足夠大的擋板，與點(diǎn)S的距離。擋板下面即電子源一側(cè)充滿著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。問：（1

8、）若使電子源發(fā)射的電子有可能到達(dá)擋板，則發(fā)射的電子速率至少多大？發(fā)射方向如何？（2）若發(fā)射電子的速率為（1）中所求速率的2倍，則擋板被電子擊中的區(qū)域范圍有多大？發(fā)射方向的范圍如何？解析：（1）由，得因此，欲使電子能到達(dá)擋板，且速率最小的條件是，其電子最小速率為。由左手定則，電子應(yīng)平行于MN板水平向左發(fā)射。（2）當(dāng)時(shí)，電子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑在由左手定則所確定的所有動態(tài)圓中，其圓心都應(yīng)以S為圓心、半徑為L的圓周上，如圖7所示，在這個(gè)圓周上，只有以上半圓周上各點(diǎn)為圓心的動態(tài)圓上的電子才能擊中擋板。因此，電子發(fā)射方向只能在沿SO和SA發(fā)射方向左側(cè)的范圍內(nèi)，如圖7所示中的箭頭所示的角度范圍內(nèi)。在如圖7所示中，由SA方向順時(shí)針到SP方向發(fā)射的電子，其圓心相應(yīng)在弧上，打在板上點(diǎn)點(diǎn)上，與最遠(yuǎn)點(diǎn)對應(yīng)的圓心為點(diǎn)D，發(fā)射方向?yàn)镾C，由幾何知識得，由SP方向順時(shí)針至SO方向發(fā)射的電子，其圓心相應(yīng)在弧上，打在板上的點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)上，與最遠(yuǎn)點(diǎn)對應(yīng)的圓心為點(diǎn)Q，發(fā)射方向?yàn)镾O，由