2014年高考數(shù)學(xué)概率試題匯編

1、2014年高考數(shù)學(xué)概率試題匯編數(shù)學(xué)K單元概率K1隨事件的概率20.、2014?湖北卷計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率.(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：年入流量X40<X<80

2、80<X<120X>120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？20.解：(1)依題意，p1=P(40<X<80)=1050=0.2,p2=P(80<X<120)=3550=0.7,p3=P(X>120)=550=0.1.由二項(xiàng)分布得，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為p=C04(1p3)4+C14(1p3)3p3=0.94+4X0.93X0.1=0.9477.(2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元)

3、.安裝1臺發(fā)電機(jī)的情形.由于水庫年入流量總大于40,故一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對應(yīng)的年利潤Y=5000,E(Y)=5000X1=5000.安裝2臺發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40<X<80時，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1=0.2;當(dāng)XA80時，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y=5000X2=10000,因此P(Y=10000)=P(X>80)=p2+p3=0.8.由此得Y的分布列如下：Y420010000P0.20.8所以，E(Y)=4200X0.2+10000X0.8=8840.安裝3臺發(fā)電機(jī)的情形.

4、依題意，當(dāng)40<X<80時，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y=5000-1600=3400,因止匕P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2;當(dāng)80<X<120時，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時Y=5000X2800=9200,因止匕P(Y=9200)=P(80<X<120)=p2=0.7;當(dāng)X>120時，三臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，止匕時Y=5000X3=15000,因止匕P(Y=15000)=P(X>120)=p3=0.1.由此得Y的分布列如下：Y3400920015000P0.20.70.1所以，E(Y)=3400X0.2+9200X0.7+150

5、00X0.1=8620.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺.17.,2014?四川卷一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為12,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立.(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列.(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？(3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了.請運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相

6、關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因.17.解：(1)X可能的取值為10,20,100,200.根據(jù)題意，有P(X=10)=C13X121X1122=38,P(X=20)=C23X122X1-121=38,P(X=100)=C33X123X1-120=18,P(X=-200)=C03X120X1123=18.所以X的分布列為：X1020100-200P38381818設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i=1,2,3),則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=18.所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為1P(A1A2A3)=1-183=1-1512=511512.因此，玩三盤游

7、戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是511512.(3)由(1)知，X的數(shù)學(xué)期望為EX=10X38+20X38+100X18-200X18=54.這表明，獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù).因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大.K2古典概型11.、2014?廣東卷從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個不同的數(shù)，則這七個數(shù)的中位數(shù)是6的概率為.11.1618.、2014?福建卷為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3

8、個均為10元，求：(i)顧客所獲的獎勵額為60元的概率；(ii)顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望.(2)商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計(jì)，并說明理由.18.解：(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X.(i)依題意，得P(X=60)=C11C13C2412.即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為12,(ii)依題意，得X的所有可能取值為20,60.P(X=60)=12,P(X=20)=C23C

9、24=12,即X的分布列為X2060P0.50.5所以顧客所獲的獎勵額的期望為E(X)=20X0.5+60X0.5=40(元).(2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為60元.所以，先尋找期望為60元的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20

10、)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2.以下是對兩個方案的分析：對于方案1,即方案(10,10,50,50),設(shè)顧客所獲的獎勵額為X1,則X1的分布列為X12060100P162316X1的期望為E(X1)=20X16+60X23+100X16=60,X1的方差為D(X1)=(2060)2X16+(6060)2X23+(10060)2X16=16003.對于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2,則X2的分布列為X2406080P162316X2的期望為E(X2)=40X16+60X23+80X16=60,X2的方差為D(X2)=(4060

11、)2X16+(6060)2X23+(8060)2X16=4003.由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.5.2014?新課標(biāo)全國卷I4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為()A.18B.38C.58D.785.D6.2014?陜西卷從正方形四個頂點(diǎn)及其中心這5個點(diǎn)中，任取2個點(diǎn)，則這2個點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長的概率為()A.15B.25C.35D.456.C16.、2014?天津卷某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、

12、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同).(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.16.解：(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A,則P(A)=C13?C27-C03?C37C3104960,所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為4960.(2)隨機(jī)變量X的所有可能值為0,1,2,3.P(X=k)=Ck4?C3-k6c310(k=0,1,2,3),所以隨機(jī)變量X的分布列是X0123P1612310130隨機(jī)變量X的

13、數(shù)學(xué)期望E(X)=0X16+1X12+2X310+3X130=65.9.、2014?浙江卷已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍(lán)球(mn3,n>3),從乙盒中隨機(jī)抽取i(i=1,2)個球放入甲盒中.(a)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為Ei(i=1,2);(b)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i=1,2).貝U()A.p1>p2,E(21)<E(E2)B.p1<p2,E(£1)>E(£2)Cp1邛2,E(£1)>E(£2)D.p1<p2,E(E1)<E(£

14、2)9.A18.,2014?重慶卷一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片.(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；(2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.(注：若三個數(shù)a,b,c滿足awbwc,則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù))18.解：(1)由古典概型中的概率計(jì)算公式知所求概率為P=C34+C33C39=584.(2)X的所有可能值為1,2,3,且P(X=1)=C24C1計(jì)C34C39=1742,P(X=2)=C13C14C12C23C1計(jì)C33C39=4384,P(X=3)=C22C

15、17C39112,故X的分布列為X123而E(X)=1X1742+2X4384+3X112=4728.K3幾何概型14.、2014?福建卷如圖14,在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為.圖1414.2e27.2014?湖北卷由不等式組x<0,y>0,y-x-2<0確定的平面區(qū)域記為Q1,不等式組x+yW1,x+yn2確定的平面區(qū)域記為Q2,在Q1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在Q2內(nèi)的概率為()A.18B.14C.34D.787.D14.2014?遼寧卷正方形的四個頂點(diǎn)A(1,1),B(1,1),C(1,1),

16、D(1,1)分別在拋物線y=x2和y=x2上，如圖13所示.若將一個質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形ABCM,則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是.圖1314.23K4互斥事件有一個發(fā)生的概率17.、2014?湖南卷某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為23和35.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立.(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率.(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤100萬元.求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望.17.解：記£=甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功,F=乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功,由題設(shè)知P(E)

17、=23,P(E)=13,P(F)=35,P(F)=25,且事件E與F,E與F,E與F,E與F都相互獨(dú)立.(1)記H=至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功,則H=EF,于是P(H)=P(E)P(F)=13X25=215,故所求的概率為P(H)=1P(H)=1215=1315.(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤為X(萬元)，則X的可能取值為0,100,120,220.因?yàn)镻(X=0)=P(EF)=13X25=215,P(X=100)=P(EF)=13X35=15,P(X=120)=P(EF)=23X25=415,P(X=220)=P(EF)=23X35=25,故所求的分布列為X0100120220P2151541525數(shù)學(xué)

18、期望為E(X)=0X215+100X15+120X415+220X25=300+480+132015=210015=140.16.、2014?天津卷某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同).(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.16.解：(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A,則P(A)=C13?C24C03?C37

19、C3104960,所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為4960.(2)隨機(jī)變量X的所有可能值為0,1,2,3.P(X=k)=Ck4?C3-k6c310(k=0,1,2,3),所以隨機(jī)變量X的分布列是X0123P1612310130隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0X16+1X12+2X310+3X130=65.K5相互對立事件同時發(fā)生的概率17.、2014?安徽卷甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為23,乙獲勝的概率為13,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；(2)記

20、X為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).17.解：用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，則P(Ak)=23,P(Bk)=13,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)十P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=232+13X232+23X13X232=5681.X的可能取值為2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=59,P(X=3)=P(B1

21、A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=29,P(X=4)=P(A1B2A3A4升P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)十P(B1)P(A2)P(B3)?P(B4)=1081,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=881.故X的分布列為X2345P59291081881EX=2X59+3X29+4X1081+5X881=22481.16.、2014?北京卷李明在10場籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計(jì)如下(假設(shè)各場比賽相互獨(dú)立)：場次投籃次數(shù)命中次數(shù)場次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場12212客場1188主場2

22、1512客場21312主場3128客場3217主場4238客場41815主場52420客場52512(1)從上述比賽中隨機(jī)選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率；(2)從上述比賽中隨機(jī)選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率*場超過0.6,一場不超過0.6的概率；(3)記x為表中10個命中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機(jī)選擇一場，記X為李明在這場比賽中的命中次數(shù)，比較EX與x的大小.(只需寫出結(jié)論)16.解：(1)根據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場比賽中，李明投籃命中率超過0.6的有5場，分別是主場2,主場3,主場5,客場2,客場4.所以在隨機(jī)選擇的一場比賽中，李明的投籃命中率超過0.

23、6的概率是0.5.(2)設(shè)事件A為“在隨機(jī)選擇的一場主場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6”，事件B為“在隨機(jī)選擇的一場客場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6"，事件C為“在隨機(jī)選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6,一場不超過0.6".則C=ABUAB,A,B相互獨(dú)立.根據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，P(A)=35,P(B)=25.故P(C)=P(AB)+P(AB)=35X35+25X25=1325.所以，在隨機(jī)選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6,一場不超過0.6的概率為1325.(3)EX=x.17.、2014?廣東卷隨機(jī)觀測生產(chǎn)某種零件的

24、某工廠25名工人的日加工零件數(shù)(單位：件)，獲得數(shù)據(jù)如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率25,3030.12(30,3550.20(35,4080.32(40,45n1f1(45,50n2f2(1)確定樣本頻率分布表中n1,n2,f1和f2的值；(2)根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖；(3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35的概率.20.、2014?湖北卷計(jì)劃在某水

25、庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率.(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：年入流量X40<X<8080<X<120X>120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺

26、年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？20.解：(1)依題意，p1=P(40<X<80)=1050=0.2,p2=P(80<X<120)=3550=0.7,p3=P(X>120)=550=0.1.由二項(xiàng)分布得，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為p=C04(1p3)4+C14(1p3)3p3=0.94+4X0.93X0.1=0.9477.(2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元).安裝1臺發(fā)電機(jī)的情形.由于水庫年入流量總大于40,故一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對應(yīng)的年利潤Y

27、=5000,E(Y)=5000X1=5000.安裝2臺發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40<X<80時，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1=0.2;當(dāng)XA80時，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y=5000X2=10000,因此P(Y=10000)=P(X>80)=p2+p3=0.8.由此得Y的分布列如下：Y420010000P0.20.8所以，E(Y)=4200X0.2+10000X0.8=8840.安裝3臺發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40<X<80時，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y=5000-1600=3400,

28、因止匕P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2;當(dāng)80<X<120時，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時Y=5000X2800=9200,因止匕P(Y=9200)=P(80<X<120)=p2=0.7;當(dāng)X>120時，三臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，止匕時Y=5000X3=15000,因止匕P(Y=15000)=P(X>120)=p3=0.1.由此得Y的分布列如下：Y3400920015000P0.20.70.1所以，E(Y)=3400X0.2+9200X0.7+15000X0.1=8620.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺.21.、20

29、14?江西卷隨機(jī)將1,2,，2n(n6N*,n>2)這2n個連續(xù)正整數(shù)分成A,B兩組，每組n個數(shù).A組最小數(shù)為a1,最大數(shù)為a2;B組最小數(shù)為b1,最大數(shù)為b2.記工=a2-a1,刀=b2-b1.(1)當(dāng)n=3時，求工的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)令C表示事件“E與刀的取值恰好相等”，求事件C發(fā)生的概率P(C);(3)對(2)中的事件C,C表示C的對立事件，判斷P(C)和P(C)的大小關(guān)系，并說明理由.21.解：(1)當(dāng)n=3時，W的所有可能取值為2,3,4,5.將6個正整數(shù)平均分成A,B兩組，不同的分組方法共有C36=20(種)，所以工的分布列為：S2345P1531031015EE=2X

30、15+3X310+4X310+5X15=72.(2)三和刀恰好相等的所有可能取值為n1,n,n+1,，2n2.又E和刀恰好相等且等于n-1時，不同的分組方法有2種；工和不恰好相等且等于n時，不同的分組方法有2種；E和不恰好相等且等于n+k(k=1,2,，n-2)(nA3)時，不同的分組方法有2Ck2k種.所以當(dāng)n=2時，P(C)=46=23,當(dāng)n>3時,P(C)=22+2n2k=1Ck2kCn2n.(3)由(2)得，當(dāng)n=2時,P(C)=13,因此P(C)>P(C).而當(dāng)n>3時，P(C)<P(C).理由如下：P(C)<P(C)等價于4(2+En-2k=1Ck2k

31、)<Cn2n,用數(shù)學(xué)歸納法來證明：(i)當(dāng)n=3時，式左邊=4(2+C12)=4(2+2)=16,式右邊=C36=20,所以式成立.(ii)假設(shè)n=m(m>3)時式成立，即42+Em-2k=1Ck2k<Cm2m成立，那么，當(dāng)n=m+1時，左邊=42+!2m+1-2k=1Ck2k=42+Em-2k=1Ck2k+4Cm-12(m-1)<Cm2nh4Cm-12(m-1)=(2m!mnU+4?(2m-2)!(m-1)!(m-1)!=(m+1)2(2m(2m-2)!(4m-1)(m+1)!(m+1)!<(m+1)2(2nrj)(2m-2)!(4nrj)(m+1)!(m+1)

32、!=Cm12(m1)?2(m+1)m(2m1)(2m-1)<CmH12(m+1)=右邊，即當(dāng)n=m+1時，式也成立.綜合(i)(ii)得，對于n>3的所有正整數(shù)，都有P(C)<P(C)成立.18.、2014?遼寧卷一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖14所示.圖14將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).18.解：(

33、1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個且另1天銷售量低于50個”.因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)X50=0.6,P(A2)=0.003X50=0.15,P(B)=0.6x0.6x0.15x2=0.108.(2)X可能取的值為0,1,2,3,相應(yīng)的概率分別為P(X=0)=C03?(10.6)3=0.064,P(X=1)=C13?0.6(10.6)2=0.288,P(X=2)=C23?0.62(10.6)=0.432,P(X=3)=C33?0.63=0.216.X的分布列

34、為X0123P0.0640.2880.4320.216因?yàn)閄B(3,0.6),所以期望E(X)=3X0.6=1.8,方差D(X)=3X0.6X(10.6)=0.72.20.、2014?全國卷設(shè)每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立.(1)求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率；(2)X表示同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望.20.解：記A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備，i=0,1,2.B表示事件：甲需使用設(shè)備.C表示事件：丁需使用設(shè)備.D表示事件：同一工作日至少3人需使用設(shè)備.(1)因?yàn)镻(B)=

35、0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=Ci2X0.52,i=0,1,2,所以P(D)=P(A1?B?OA2?BA2?B?C尸P(A1?B?C)+P(A2?B)+P(A2?B?C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.(2)X的可能取值為0,1,2,3,4,其分布列為P(X=0)=P(B?A0?C)=P(B)P(A0)P(C)=(10.6)X0.52X(10.4)=0.06,P(X=1)=P(B?A0?OB?A0?GB?A1?C尸P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A1)P(C)=0.6x0.52x(10.4)+(

36、10.6)x0.52x0.4+(10.6)X2X0.52X(10.4)=0.25,P(X=4)=P(A2?B?C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52X0.6X0.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)P(X=1)P(X=3)P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,所以EX=0XP(X=0)+1XP(X=1)+2XP(X=2)+3XP(X=3)+4XP(X=4)=0.25+2X0.38+3X0.25+4X0.06=2.17.,2014?四川卷一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音

37、樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為12,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立.(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列.(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？(3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了.請運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因.17.解：(1)X可能的取值為10,20,100,-200.根據(jù)題意，有P(X=10)=C13X121X1122=38,P(X=20)=C23X122

38、X1121=38,P(X=100)=C33X123X1-120=18,P(X=200)=C03X120X1123=18.所以X的分布列為：X1020100-200P38381818設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i=1,2,3),則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=18.所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為1P(A1A2A3)=1183=11512=511512.因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是511512.(3)由(1)知，X的數(shù)學(xué)期望為EX=10X38+20X38+100X18-200X18=54.這表明，獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù).因此，多次游戲

39、之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大.K6離散型隨機(jī)變量及其分布列17.、2014?安徽卷甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為23,乙獲勝的概率為13,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).17.解：用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，則P(Ak)=23,P(Bk)=13,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A

40、3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)十P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=232+13X232+23X13X232=5681.X的可能取值為2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=59,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=29,P(X=4)=P(A1B2A3A4升P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)十P(B1)P(A2)P(B3)?P(B4)=1081,P(X=5)=1-P(X=2)-P(

41、X=3)P(X=4)=881.故X的分布列為X2345P59291081881EX=2X59+3X29+4X1081+5X881=22481.16.、2014?北京卷李明在10場籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計(jì)如下(假設(shè)各場比賽相互獨(dú)立)：場次投籃次數(shù)命中次數(shù)場次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場12212客場1188主場21512客場21312主場3128客場3217主場4238客場41815主場52420客場52512(1)從上述比賽中隨機(jī)選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率；(2)從上述比賽中隨機(jī)選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率*場超過0.6,一場不超過0.6的概率；(3)記x為表

42、中10個命中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機(jī)選擇一場，記X為李明在這場比賽中的命中次數(shù)，比較EX與x的大小.(只需寫出結(jié)論)16.解：(1)根據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場比賽中，李明投籃命中率超過0.6的有5場，分別是主場2,主場3,主場5,客場2,客場4.所以在隨機(jī)選擇的一場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6的概率是0.5.(2)設(shè)事件A為“在隨機(jī)選擇的一場主場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6”，事件B為“在隨機(jī)選擇的一場客場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6"，事件C為“在隨機(jī)選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6,一場不超過0.6".則C=ABUAB,

43、A,B相互獨(dú)立.根據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，P(A)=35,P(B)=25.故P(C)=P(AB)+P(AB)=35X35+25X25=1325.所以，在隨機(jī)選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6,一場不超過0.6的概率為1325.(3)EX=x.18.、2014?國建卷為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元，求：顧客所獲的獎勵額為60元的概率；(ii)顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)

44、期望.(2)商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計(jì)，并說明理由.18.解：(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X.(i)依題意，得P(X=60)=C11C13C2412.即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為12,(ii)依題意，得X的所有可能取值為20,60.P(X=60)=12,P(X=20)=C23C24=12,即X的分布列為X2060P0.50.5所以顧客所獲的獎勵額的期望為E(X)=20X

45、0.5+60X0.5=40(元).(2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為60元.所以，先尋找期望為60元的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2.以下是對兩個方案的分析：對于

46、方案1,即方案(10,10,50,50),設(shè)顧客所獲的獎勵額為X1,則X1的分布列為X12060100P162316X1的期望為E(X1)=20X16+60X23+100X16=60,X1的方差為D(X1)=(2060)2X16+(6060)2X23+(10060)2X16=16003.對于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2,則X2的分布列為X2406080P162316X2的期望為E(X2)=40X16+60X23+80X16=60,X2的方差為D(X2)=(4060)2X16+(6060)2X23+(8060)2X16=4003.由于兩種方案的獎勵額的期望都

47、符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.20.、2014?湖北卷計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率.(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：年入流量X40<X<

48、8080<X<120X>120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？20.解：(1)依題意，p1=P(40<X<80)=1050=0.2,p2=P(80<X<120)=3550=0.7,p3=P(X>120)=550=0.1.由二項(xiàng)分布得，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為p=C04(1p3)4+C14(1p3)3p3=0.94+4X0.93X0.1=0.9477.(2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬

49、元).安裝1臺發(fā)電機(jī)的情形.由于水庫年入流量總大于40,故一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對應(yīng)的年利潤Y=5000,E(Y)=5000X1=5000.安裝2臺發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40<X<80時，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1=0.2;當(dāng)XA80時，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y=5000X2=10000,因此P(Y=10000)=P(X>80)=p2+p3=0.8.由此得Y的分布列如下：Y420010000P0.20.8所以，E(Y)=4200X0.2+10000X0.8=8840.安裝3臺發(fā)電機(jī)的情

50、形.依題意，當(dāng)40<X<80時，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y=5000-1600=3400,因止匕P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2;當(dāng)80<X<120時，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y=5000X2800=9200,因止匕P(Y=9200)=P(80<X<120)=p2=0.7;當(dāng)X>120時，三臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，止匕時Y=5000X3=15000,因止匕P(Y=15000)=P(X>120)=p3=0.1.由此得Y的分布列如下：Y3400920015000P0.20.70.1所以，E(Y)=3400X0.2+9200X0.7+1

51、5000X0.1=8620.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺.17.、2014?湖南卷某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為23和35.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立.(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率.(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤100萬元.求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望.17.解：記E=甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功,F=乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功,由題設(shè)知P(E)=23,P(E)=13,P(F)=35,P(F)=25,且事件E與F,E與F,E與F,E與F都相

52、互獨(dú)立.(1)記H至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功,則kEF,于是P(H)=P(E)P(F)=13X25=215,故所求的概率為P(H)=1P(H)=1-215=1315.(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤為X(萬元)，則X的可能取值為0,100,120,220.因?yàn)镻(X=0)=P(EF)=13X25=215,P(X=100)=P(EF)=13X35=15,P(X=120)=P(EF)=23X25=415,P(X=220)=P(EF)=23X35=25,故所求的分布列為X0100120220P2151541525數(shù)學(xué)期望為E(X)=0X215+100X15+120X415+220X25=300+480+13201

53、5=210015=140.12.2014?江西卷10件產(chǎn)品中有7件正品、3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是.12.1221.、2014?江西卷隨機(jī)將1,2,，2n(n6N*,nA2)這2n個連續(xù)正整數(shù)分成A,B兩組，每組n個數(shù).A組最小數(shù)為a1,最大數(shù)為a2;B組最小數(shù)為b1,最大數(shù)為b2.記E=a2a1,i=b2b1.(1)當(dāng)n=3時，求七的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)令C表示事件“E與刀的取值恰好相等"，求事件C發(fā)生的概率P(C);對(2)中的事件C,C表示C的對立事件，判斷P(C)和P(C-)的大小關(guān)系，并說明理由.21.解：(1)當(dāng)n=3時，£的所有可能

54、取值為2,3,4,5.將6個正整數(shù)平均分成A,B兩組，不同的分組方法共有C3異20(種)，所以工的分布列為：S2345P1531031015ES=2X15+3X310+4X310+5X15=72.(2)三和刀恰好相等的所有可能取值為n1,n,n+1,，2n-2.又E和刀恰好相等且等于n-1時，不同的分組方法有2種；工和不恰好相等且等于n時，不同的分組方法有2種；E和不恰好相等且等于n+k(k=1,2,，n-2)(nA3)時，不同的分組方法有2Ck2k種.所以當(dāng)n=2時，P(C)=46=23,當(dāng)n>3時,P(C)=22+2n2k=1Ck2kCn2n.(3)由(2)得，當(dāng)n=2時,P(C)=

55、13,因此P(C)>P(C).而當(dāng)n>3時，P(C)<P(C).理由如下：P(C)<P(C)等價于4(2+En-2k=1Ck2k)<Cn2n,用數(shù)學(xué)歸納法來證明：(i)當(dāng)n=3時，式左邊=4(2+C12)=4(2+2)=16,式右邊=C36=20,所以式成立.(ii)假設(shè)n=m(m>3)時式成立，即42+Em-2k=1Ck2k<Cm2m成立，那么，當(dāng)n=m+1時，左邊=42+!2m+1-2k=1Ck2k=42+Em-2k=1Ck2k+4Cm-12(m-1)<Cm2nh4Cm-12(m-1)=(2m!mnU+4?(2m-2)!(m-1)!(m-1)

56、!=(m+1)2(2m(2m-2)!(4m-1)(m+1)!(m+1)!<(m+1)2(2nrj)(2m-2)!(4nrj)(m+1)!(m+1)!=Cm12(m1)?2(m+1)m(2m1)(2m-1)<CmH12(m+1)=右邊，即當(dāng)n=m+1時，式也成立.綜合(i)(ii)得，對于n>3的所有正整數(shù)，都有P(C)<P(C)成立.18.、2014?遼寧卷一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖14所示.圖14將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且

57、另1天的日銷售量低于50個的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).18.解：(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個且另1天銷售量低于50個”.因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)X50=0.6,P(A2)=0.003X50=0.15,P(B)=0.6x0.6x0.15x2=0.108.(2)X可能取的值為0,1,2,3,相應(yīng)的概率分別為P(X=0)=C03?(10.6)3=0.064,P(X=1)=

58、C13?0.6(10.6)2=0.288,P(X=2)=C23?0.62(10.6)=0.432,P(X=3)=C33?0.63=0.216.X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因?yàn)閄B(3,0.6),所以期望E(X)=3X0.6=1.8,方差D(X)=3X0.6X(10.6)=0.72.18.,2014?山東卷乒乓球臺面被網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分，如圖14所示，甲上有兩個不相交的區(qū)域A,B,乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C,D.某次測試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在C上記3分，在D上記1分，其他情況記0分.對落點(diǎn)在A上的來球，隊(duì)員小明回球的

59、落點(diǎn)在C上的概率為12,在D上的概率為13;對落點(diǎn)在B上的來球，小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為15,在D上的概率為35.假設(shè)共有兩次來球且落在A,B上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：(1)小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；(2)兩次回球結(jié)束后，小明得分之和S的分布列與數(shù)學(xué)期望.圖1418.解：(1)記Ai為事件“小明對落點(diǎn)在A上的來球回球的得分為i分”(i=0,1,3),則P(A3)=12,P(A1)=13,P(A0)=1-12-13=16;記Bi為事件“小明對落點(diǎn)在B上的來球回球的得分為i分”(i=0,1,3),則P(B3)=15,P(B1)=35,P(B0)=1-15-35=15.記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”.由題意，D=A3B計(jì)A1B計(jì)A0B1+A0B3由事件的獨(dú)立性和互斥性，P(D)=P(A3B0+A1B計(jì)A0B1+A0B3)=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)?P(B1)+P(A0)P(B3)=12X15+13X15+16X35+16X15=310,所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率為310.由題意，隨機(jī)變量E可能的取值為0,1,2,3,4