2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學試卷及答案

1、2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學注意事項：1 .本試卷分為兩部分，第一部分為選擇題，第二部分為非選擇題.2 .考生領到試卷后，須按規(guī)定在試卷上填寫姓名、準考證號，并在答題卡上填涂對應的試卷類型信息.3 .所有解答必須填寫在答題卡上指定區(qū)域內(nèi).考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回第一部分(共50分)一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求【本大題共10小題，每小題5分，共50分】1 .設全集為R函數(shù)f(x)=01-x2的定義域為M,則CrM為(A)-1,1(B)(T，1)(C)(-；-1一1，:)(D)(-：，-1)_.(1,二)【答案】D【解析】f(x)的定義域

2、為M=-1,1,故CrM=(-oo,1)=(1,收)，選D輸入xIfx<50Theny=0.5*xElsey=25+0.6*(x-50)EndIf輸出y2 .根據(jù)下列算法語句，當輸入x為60時，輸出y的值為(A) 25(B) 30(C) 31(D) 61【答案】C【解析】故選擇C3 .設a,b為向量，則|'ab|=|a|b|”是a/b”的(B)必要不充分條件(D)既不充分也不必要條件(A)充分不必要條件(C)充分必要條件【答案】A【解析】明辦為向量,V|5廠是力偷一：的充分比必要條件c4 .某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法，抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1,2,840

3、隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間481,720的人數(shù)為(A)11(B)12(C)13(D)14【答案】B【解析】由題設可知區(qū)間481,720長度為240,落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為12人.5 .如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A,C兩點處各有一個通信基站，假設其信號覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常）.若在該矩形區(qū)（B）2-1冗(D)域內(nèi)隨機地選一地點，則該地點無信號的概率是/A冗（A）1，4冗（C）22【答案】A【解析】由題設可知矩形ABCD面積為2,曲邊形DEBF的面積為2E故所求概率為26 .設z1,Z2是復數(shù)，則下列命題中的假命題是(A)若|

4、4-Z2|=0,則z1=Z2(B)若z1=Z2,則z1=Z222(C)右|ziz2|,則z1z1=Z2Z2(D)右|z11gz2|,則z1=Z2【答案】D【解析】設4=a+bi,z2=c+di,若|4z21=0,則|4z21=(ac)十(bd)i,a=c,b=d,所以4=z2,故A項正確；若乙=z2，則a=c,b=-d,所以4=z2,故2.22-2一一.B項正確；右|z1|=|z2|,則a+b=c+d,所以4Z=Z2Z2、故C項正確；z;=(2-)+2?=(3-%)+2必山.在/+'、的條件下，不能保ill-5-=故DW錯送.7 .設ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若b

5、cosC+ccosB=asinA,則ABC的形狀為（A）銳角三角形（B）直角三角形（C）鈍角三角形（D）不確定【答案】B【解析】因為bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,所以sinA=sin2A,所以sinA=1,所以4ABC是直角三角形.1x一8.設函數(shù)f(x)x.-X,(A)20【答案】A(B)20(C)-15(D)15【解析】ff(x)=(向,所以T4=C；(二)3(6)3=-20x9.在如圖所示的銳角三角形空地中則其邊長x(單位m)的取值范圍是,欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰

6、影部分),(A)15,20(C)10,30【答案】C(B)12,25(D)20,30【解析】如圖ADEsABC,設矩形的另一邊長為S.ADE40一、S,ABC.40,所以y=40-x,又xy>300,所以x(40-x)>300即x240x+300<0,解得10WxW3010.設x表示不大于x的最大整數(shù)，則對任意實數(shù)x,y,有(A) -x=x(C)x+yal+y【答案】D(B) 2x=2x(D)x-y<x-yx：0,則當x>0時，ff(x)表達式的展開式中常數(shù)項為x:0.5【解析】取x=25，則-x=-2.5=-3,-x=-2.5=-2,所以A項錯誤；2x=5=2父

7、=22.5=4,所以B項錯誤；再取y=28,則x+y=5.3=5,x+y=2.5+2.8=2+2=4,所以C項錯誤.5小題，每小題5分,二、填空題：把答案填寫在答題卡相應題號后的橫線上【本大題共共25分】11.雙曲線22-y-=1的離心率為5,則m等于,16m4屬于容易題，解題的關鍵在a2=16,b2=m得c2=16+m,則e=9=am=9【考點與方法】本題主要考察了雙曲線的標準方程以及離心率,于利用雙曲線標準方程c2=a2+b2和離心率的求解公式e=ca12 .某幾何體的三視圖如圖所示,則其體積為【解析】由三視圖還原為實物圖得半個圓錐，其體積為V=lx-l(n12x2)=-.233【考點與方

8、法】本題主要考查了三視圖還原為實物圖的能力和圓錐的體積公式，屬于容易題.13 .若點(x,y)位于曲線yqx1|與y=2所圍成的封閉區(qū)域,則2xy的最小值為.【答案】4【解析】作出曲線y=x-1與y=2所表示的區(qū)域，令2x-y=z,即y=2x-z,作直線y=2x,在封閉區(qū)域內(nèi)平行移動直線y=2x,當經(jīng)過點11,2時，z取到最小值，此時最小值為4.【考點與方法】本題主要考察了線性規(guī)劃的最值問題，考查畫圖和轉(zhuǎn)化能力，屬于中等題，解題的關鍵在于畫出曲線圍成的封閉區(qū)域，并把求2xy的最小值轉(zhuǎn)化為求y=2xz所表示的直線截距的最大值，通過平移直線y=2x即可求解.14.觀察下列等式：12=112-22-

9、312-2232=6/222,21-23-4=-10照此規(guī)律，第n個等式可為【答案】1222+3242+【1】n+1n2=-1n+1-n(n+1)【nCN”】2【解析】觀察上式等號左邊的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，左邊的項數(shù)一次加1,故第n個等式左邊有n項,每項所含的底數(shù)的絕對值也增加1,一次為1,2,3n,指數(shù)都是2,符號成正負交替出現(xiàn)可以用【一1】n+1表示，等式的右邊數(shù)的絕對值是左邊項的底數(shù)的和，故等式的右邊可以表示為11n.n(n*1),所以第n個式子可為2n+1n(n+1)nCN2【考點與方法】本題考查觀察和歸納的推理能力，1222+3242+11】n+1n2=【1】屬于中等題.解題的關鍵在于：1.通

10、過四個已知等式的比較發(fā)現(xiàn)隱藏在等式中的規(guī)律；2.符號成正負交替出現(xiàn)可以用【一1】n+1表示;3.表達完整性，不要遺漏了nCN15.(考生請注意：請在下列三題中任選一題作答果多做，則按所做的第一題計分)A.(不等式選做題)已知a,b,m,n均為正數(shù),且a+b=1,mn=2,則(am+bn)(bm+an)的最小值為.【解析】由科爾不等式可得am+bnbm+an【OmnannbmxTn12mna+b2=2B.(幾何證明選做題)如圖，弦AB與CD相交于LO內(nèi)一點E,過E作BC的平行線與AD的延長線相交于點P.已知PD=2DA=2,則PE=PEPDPA-PE而PD=2DA=2.1.PA=3【解析】已知/

11、BCE=ZPED=ZBAP&PD田氏PEAP=PA-PD=6故PE=V6C.(坐標系與參數(shù)方程選做題)如圖，以過原點的直線的傾斜角曰為參數(shù)，則圓22x+y-x=0的參數(shù)方程為.111【答案】x=+cos26y=sin2,0244一1=1.11,一一一一【解析】x2+y2-x=0,x-2+y2=，以【，0】為圓心，為半徑，且過原點的圓，24241 11匕的標準參數(shù)方程為x=+cosay=sina,0wav2n,由已知，以過原點的直線2 44傾斜角9為參數(shù)，則0wHvn,所以0W28v2n,所以所求圓的參數(shù)方程為1 11x=+cos20y=sin2日，0w6vn6小題，共75分】2 44三

12、、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程及演算步驟【本大題共16 .(本小題滿分12分)1已知向重a=(cosx,-),b="3sinx,cos2x),x二R,設函數(shù)f(x)=ab.2(I)求f(x)的最小正周期.(n)求f(x)在0,-|上的最大值和最小值.f(x)=a.b=',31csinxcosx-cos2x2【解析】：=sin2x-cos2x22ji=sin(2x-)6If(x)的最小正周期為T=21=二2_二1Sin(2x-6)-2，1ABCD【II】xw0,.2x-e,5-,2666故當2x=即*=時，f(x)整數(shù)=16231當2x=即x=0時，f(x)整數(shù)=662

13、【命題意圖】本題考查三角恒等式，三角函數(shù)的性質(zhì)等基礎知識，簡單題17 .(本小題滿分12分)設an是公比為q的等比數(shù)列.(I)推導an的前n項和公式；(II)設qw1,證明數(shù)列4十1不是等比數(shù)列.【解析】：【I】設等比數(shù)列an的公比為q,其前n項和S=a+aq+.a1qn-1將【1】式兩邊分別乘以q得qSn=a1q+aq+aqn當qW0時Sn=£5或Sn=a£a3)1-q1-q當q=1時，a1=a2=.an所以&=na【II】qw1假設數(shù)列an+1為等比數(shù)列，那么(a2+1)2=(a1+1)L(a+1)即(a1q+1)2=(a1+1)L_(a1q2+1)=a1=0或

14、q=1,均與題設矛盾，故數(shù)列an+1吧可能為等比數(shù)列J.18 .(本小題滿分12分)如圖，四棱柱ABOA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，AC平面AB=AAi=對2.CiDi(I)證明:AiC，平面BBiDiD;(II)求平面OCR與平面BBiDiD的夾角日的大小.【解析】：如圖建立空間直角坐標系由AB=AAi=72可知O0,0,0,A1,0,0】,B0,1,0,Bi1-1,1,1】，C1-1,0,0】Ai0,0,1】D1【-1,-1,1】【I】Ac=-1,0,-1DB0,2,0BB11-1,0,1】即IIRR；,一打ACLDB0,1AC皆B0即-所以Ac,平面BBiDiD【

15、II】容易求得平面OCBi的一個法向量n=(0,1,1),平面BB1D1D的一個法向量為吊=(1,0,1)所求夾角余弦值為COS=mT=所求夾角的大小為60°|吊口n|219 .(本小題滿分12分)在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名選手，其中觀眾甲是1號歌手白歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機選3名歌手.(I)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；(n)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布

16、列和數(shù)學期望.【解析】IC1C12由于觀眾甲必選1,不選2,則觀眾甲選中3號歌手的I率為1/=_C；3觀眾乙未選中C33號歌手的概率為-4C；2，_=£，甲乙選票彼此獨立，故觀眾甲選中3號歌手且觀5眾乙未選中3號歌手的概率為X=3515LnX的所有可能取值為0,1,2,23.由I知，觀眾甲選中3號歌手的概率為-,觀眾乙選中3號歌手的概率為貝UP(X=0)=P(XP(X=2)=232x33【1-3】5C13C21253.-53二,則觀眾丙選中3號歌手的概率也為52=4一753.231=55P(X”2(3)2355183.1567525C2+1-1X(-)3552_33"752

17、0751125415則X的分布列如下:二0父152520.(本小題滿分已知動圓過定點13分)A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.(I)求動圓圓心的軌跡C的方程；(n)已知點B(1,0),設不垂直于x軸的直線l與軌跡/PBQ的角平分線，證明直線l過定點.C交于不同的兩點P,Q,若x軸是【解析】【I】設動圓圓心C的坐標為【x,y，則x2+10y】2222=4+x,整理得y=8x.所以,所求動圓圓心的軌跡C的方程為y2=8xn得k2x22kbxb2=8x=2.證明：設直線l的方程為y=kx+b,聯(lián)立y£xb-(8-2kb)x+b2=0【其中0】，設P(xi,kxi+b),Q(x2

18、,kx2+b),若x軸是PBQkQBkPB一kxibkx2bx11x21(kxib)(x21)(kx21)(xi1)(xi1)(x21)=0,即k=b,故直線l的方程為kxx2(kb)(x1x2)2bS(kb)(x11)(x21)k2(x11)(x21)y=k(x-1),直線過定點【1,0】21.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=ex,x.R.(I)若直線y=kx+1與f(x)的反函數(shù)的圖像相切，求實數(shù)k的值；(n)設x>0,討論曲線y=f(x)與曲線y=mx2(m)0)公共點的個數(shù)(出)設a<b,比較f(a)+f(b)與f(b)-f(a)的大小,并說明理由.2b-a【解析】函數(shù)f(x)=ex,xR=f(x)=ex11一【I】函數(shù)一=k=kxo=1,設切點坐標為(xo,k%+1)則一=k=kxc=1,xoxoIn%=2=xo=e2=k=；.ex、e設g(x)>(x有0)x2eg(x)min=g(2),42，-一e.所以【1】m下一時,4兩曲線有2個交點;2_e，一【2】m=一時，兩曲線4f(a)f(b)f(b)-f(a)eaebea-eba1e»1-eb”一=一=e(一)2b-a2b-a2b-ax2一x2e,f(x)=mx即e=