雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程精品教案

1、雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程【教學(xué)目標(biāo)】1 .使學(xué)生掌握雙曲線的定義，熟記雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能初步應(yīng)用;2 .使學(xué)生初步會按特定條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；3 .培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力。【教學(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及待定系數(shù)法解二元二次方程組?！臼谡n類型】新授課【課時(shí)安排】1課時(shí)【教學(xué)過程】-、復(fù)習(xí)引入：名稱橢圓雙曲線V- 1 y圖象O - _ .-x0X1定義平間內(nèi)到兩定點(diǎn) F1，F(xiàn)2的距 離的和為常數(shù)（大于 FlF2 ）的動 點(diǎn)的軌跡叫橢圓。即 MFi + MF2 =2a當(dāng)2a >2c時(shí)，軌跡是橢圓，當(dāng)2a=2C時(shí)，軌跡是一條線 段 F1F2當(dāng)2a

2、 < 2c時(shí)，軌跡/、存在平面內(nèi)到兩定點(diǎn) F1，F(xiàn)2的也喃 的差的絕對值為常數(shù)（小于FlF2 ） 的動點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。即 IMF1I-IMF2I =2a當(dāng)2a <2C時(shí)，軌跡是雙曲線當(dāng)2a=2C時(shí)，軌跡是兩條射線當(dāng)2a > 2c時(shí)，軌跡/、存在標(biāo)準(zhǔn) 方程22L+L-12. 2 一 焦點(diǎn)在X軸上時(shí)：a b22y x / 一一、一F +F = 19解關(guān)于a2 b2的二元一次方程組，得焦點(diǎn)在y軸上時(shí)：a b注：是根據(jù)分母的大小來判斷 焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上22x _ y _1焦點(diǎn)在x軸上時(shí)：孑了22工一上=1 2.21焦點(diǎn)在y軸上時(shí)：a b注：是根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)來判斷焦 點(diǎn)所在的位置常數(shù)

3、 a，b，c的關(guān) 系22 . . 2a =c +b （符合勾股定理 的結(jié)構(gòu)）a >b >0a最大，c=b，c<b，CAb22 . . 2c =a +b （符合勾股定理的 結(jié)構(gòu)）c > a > 0c最大，可以 a = b，a<b，aAb9P2（ ,5）u,4,在此雙曲、講解范例【例11已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，中心在原點(diǎn)，且點(diǎn)P（3，Y， 線上，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：由于已知焦點(diǎn)在y軸上，中心在原點(diǎn)，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可用設(shè)出來，進(jìn)行求解 本題是用待定系數(shù)法來解的，得到的關(guān)于待定系數(shù)a，b的一個(gè)分式方程組，并且分母的次22數(shù)是2,解這種方程組時(shí)利用換元法可

4、將它化為二元二次方程組；也可將a，b的倒數(shù)作為未知數(shù)，直接看作二元一次方程組解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，中心在原點(diǎn)，所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為22、=1（a>0,b>0）a2 【變式例題1】點(diǎn)A位于雙曲線x7-2=1（a>01b>0）上，弓是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，求必訐2b2則有衣）232=1b2321 二1 b22512 a1-9 1 =1b281 1 d2=116 b211a21611b292所以，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 L169的重心G的軌跡方程分析：要求重心的軌跡方程，必須知道三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用相關(guān)點(diǎn)法進(jìn)行求解, 注意限制條件解：設(shè).肝2的重心G的坐標(biāo)為（

5、x，y）,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3x，3y）22因?yàn)辄c(diǎn)A位于雙曲線 與當(dāng)=1（a >0,b >0）上，從而有a又|AB|=800, 2c=800, c=400, b =c -a =44400。|PA| |PB|=680> 0,x>0所求雙曲線的方程為 b2_2-2(3x)(3y)b22 2= 1(y#0),即乙-y=1(y#0)(：)2023 322所以,點(diǎn)評:AF1F2的重心G的軌跡方程為 工 =1(y#0)(j)2 (b)233求軌跡方程，常用的方法是直接求法和間接求法兩種例1是直接利用待定系數(shù)法求軌跡方程 本題則是用間接法（也叫代入法）來解題，補(bǔ)充本例是為了進(jìn)一步提高學(xué)

6、生分析問 題和解決問題的能力 另外本題所求軌跡中包含一個(gè)隱含條件，它表現(xiàn)為軌跡上點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿 足一個(gè)不等關(guān)系，而這一點(diǎn)正是學(xué)生容易忽略，造成錯(cuò)誤的地方，所以講解本題有利于培養(yǎng)學(xué) 生數(shù)學(xué)思維的縝密性，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的學(xué)習(xí)品質(zhì)【變式例題 2】已知&ABC的底邊BC長為12,且底邊固定，頂點(diǎn) A是動點(diǎn)，使1 . Asin B -sin C = -sin A2 ,求點(diǎn)A的軌跡分析：首先建立坐標(biāo)系，由于點(diǎn) A的運(yùn)動規(guī)律不易用坐標(biāo)表示，注意條件的運(yùn)用，可利用 正弦定理將其化為邊的關(guān)系，注意有關(guān)限制條件解：以底邊BC為x軸，底邊BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立x0y坐標(biāo)系，這時(shí)1 .一 一B（-6,0）, C（6

7、,0）,由 sin BsinC =sin A 得he 1|AC|-|AB|二6b c = a =6 ,即1 112所以，點(diǎn) A的軌跡是以B（6，0），C（6，0）為焦點(diǎn)，2 a=6的雙曲線的左支其方程為:2y = 1(x ：二-3)27點(diǎn)評：求軌跡方程的過程中，有一個(gè)重要的步驟就是找出 （或聯(lián)想到）軌跡上的動點(diǎn)所滿足的幾何條件，列方程就是根據(jù)這些條件確定的，由于軌跡問題比較普遍，題型多樣，有些軌跡上的動點(diǎn)滿足的幾何條件可能比較隱蔽和復(fù)雜解決它需要突出形數(shù)結(jié)合的思考方法，運(yùn)用邏輯推理，結(jié)合平面幾何的基本知識，分析、歸納，這里安排本例就是針對以上情況來進(jìn)行訓(xùn)練的【例2】一炮彈在某處爆炸，在 A處聽

8、到爆炸聲的時(shí)間比在 B處晚2s。(1)爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上？(2)已知A. B兩地相距800ml并且此時(shí)聲速為340 m/s,求曲線的方程。分析：解應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型 根據(jù)本題設(shè)和結(jié)論，注意到在 A處聽到爆炸聲的時(shí)間比B處晚2s,這里聲速取同一個(gè)值解：(1)由聲速及A. B兩處聽到爆炸聲的時(shí)間差，可知 A. B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差， 因此爆炸點(diǎn)應(yīng)位于以A. B為焦點(diǎn)的雙曲線上因?yàn)楸c(diǎn)離A處比離B處更遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近 B處的一支上。(2)如圖，建立直角坐標(biāo)系xoy ,使A. B兩點(diǎn)在x軸上，并且點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合。y115600 44400(x>0)一 p A

9、F Bx設(shè)爆炸點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(x，y),則 |PA| |PB|=340 X 2=680,即 2 a = 680, a = 340。 2【例2】說明，利用兩個(gè)不同的觀測點(diǎn)測得同一炮彈爆炸聲的時(shí)間差，可以確定爆炸點(diǎn)所在的雙曲線的方程，但不能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置。如果再增設(shè)一個(gè)觀測點(diǎn)C,利用B. C(或A. C)兩處測得的爆炸聲的時(shí)間差，可以求出另一個(gè)雙曲線的方程，解這兩個(gè)方程組成的方程 組，就能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置。這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用想一想，如果A. B兩處同時(shí)聽到爆炸聲，那么爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上。(爆炸點(diǎn)應(yīng)在線段AB的中垂線上)點(diǎn)評：本例是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用雙曲線知識解決實(shí)際問題的一道典型

10、題目，安排在此非常有利于強(qiáng)化學(xué)生“應(yīng)用數(shù)學(xué)”的意識，后面對“想一想”的教學(xué)處理，有利于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動 性和積極性，培養(yǎng)他們的發(fā)散思維能力【例3】求與圓(x3)2 +y2 =1及(x+3)2 +y2224.橢圓 二十4=1和雙曲線±-L=1有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)n的值是 () = 9都外切的動圓圓心的軌跡方程。解：設(shè)動圓的半徑為r,則由動圓與定圓都外切得MFi =3 + r, MF2I =1 +r ,又因?yàn)?|MFi| MF2I =(3 + r) (1 + r) = 2 ,由雙曲線的定義可知，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的一支。22所求動圓圓心的軌跡是雙曲線的一支，其方程為：X y =1 (x

11、1) o1 8三、課堂練習(xí)2 21.判斷方程 二 =1所表示的曲線。9-k k-39 -k 0解：當(dāng) k-3<0時(shí)，即當(dāng)k<3時(shí)，是橢圓； k #k -3當(dāng)(9k)(k3) >0時(shí)，即當(dāng)3<k<9時(shí)，是雙曲線；2.求焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(-6, 0)、(6, 0),并且經(jīng)過點(diǎn)A (-5, 2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。答案.x_ _ y_ =1c = 6,2a = 5V5 - 而 4 4V5 = b2 =36 - 20 = 16n" 20 16 一 ，3.求經(jīng)過點(diǎn)P(-3 4,27)ft Q(-6<2,-7)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程答案:25 75二1的距離為（）A. 1 B .當(dāng) C .2 D .遷答案：B RgFiPF2的面積為b22x +y =a的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切B .外切 C .外切或內(nèi)切D .無公共點(diǎn)或相交答案：C四、小結(jié)本課著重講解了待定系數(shù)法，代入法及利用定義求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)習(xí)了雙曲線的一 個(gè)重要應(yīng)用。,從而有12c.|y|=b2 =|y|=5 25227. P為雙曲線4=1（a >0,b >0）上一點(diǎn)，若F是一個(gè)焦點(diǎn)，以PF為直徑的圓與