最新復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性完全解析與練習

1、課題：函數(shù)的單調(diào)性(二)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性北京二十二中劉青教學目標1 .掌握有關(guān)復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的四個引理.2 .會求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3 .必須明確復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.教學重點與難點1 .教學重點是教會學生應(yīng)用本節(jié)的引理求出所給的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2.教學難點是務(wù)必使學生明確復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集教學過程設(shè)計師：這節(jié)課我們將講復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，下面我們先復(fù)習一下復(fù)合函數(shù)的定義生：設(shè)y=f(u)的定義域為A, u=g(x)的值域為B,若窸B,則y關(guān)于x函數(shù)的y=f g(x)叫做函數(shù)f與g的復(fù)合 函數(shù)，u叫中間量.師：很好.下面我們再復(fù)習一下所學過的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(教師把所

2、學過的函數(shù)均寫在黑板上，中間留出寫答案的地方，當學生回答得正確時，由教師將正確答案寫在對應(yīng) 題的下邊.)(教師板書，可適當略寫.)例求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.1 .一次函數(shù) y=kx+b(k w 0).解 當k>0時，(一°°, +8)是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；當 kV0時，(一8, +OO)是這個函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間. k2 .反比例函數(shù)y= x (k w 0).解 當k>0時，(一8, 0)和(0, +OO)都是這個函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，當kV0時，(一8, 0)和(0, +OO )都是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.3 .二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a 豐 0).bb解 當a

3、> 0時(一8, 2a )是這個函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，(一2a, +8)是它的單調(diào)增區(qū)間；當a<0時(巴bb2a )是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，(一2a , +8)是它的單調(diào)減區(qū)間；4 .指數(shù)函數(shù) y=ax(a >0, awl).解 當a>1時，(00, +8)是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，當 0vav1時，(一00, +oo)是這個函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.5 .對數(shù)函數(shù) y=log ax(a >0, awl).解 當a>1時，(0 , +8)是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，當 0vav1時，(0 , +8)是它的單調(diào)減區(qū)間.師：我們還學過哥函數(shù)y=xn(n為有理數(shù))，由于n的不同取值

4、情況，可使其定義域分幾種情況，比較復(fù)雜，我們不妨遇到具體情況時，再具體分析.師：我們看看這個函數(shù)y=2x2+2x+1,它顯然是復(fù)合函數(shù)，它的單調(diào)性如何 ？生：它在(00, +8)上是增函數(shù).師：我猜你是這樣想的，底等于 2的指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，而此函數(shù)的定義域為(8, +8),所以你就得到了以上的答案.這種做法顯然忽略了二次函數(shù) u=x2+2x+1的存在，沒有考慮這個二次函數(shù)的單調(diào)性 .咱們不難猜想復(fù)合函數(shù)的單 調(diào)性應(yīng)由兩個函數(shù)共同決定，但一時猜不準結(jié)論.下面我們引出并證明一些有關(guān)的預(yù)備定理.(板書)引理1已知函數(shù)y=f g(x).若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，其值域為(c , d)

5、,又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)y=f g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).(本引理中的開區(qū)間也可以是閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間.)證明 在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個數(shù) xi,x2,使avxvx2Vb.因為 u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，所以 g(x 1) <g(x 2),記 u1=g(x1),u2=g(x 2)即 ui< U2,且 ui,u 2c (c,d).因為函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，所以 f(u 1) <f(u 2),即f g(x。 < f f(x 2),故函數(shù)y=f g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).師：有

6、了這個引理，我們能不能解決所有復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題呢？生：不能.因為并非所有的簡單函數(shù)都是某區(qū)間上的增函數(shù)師：你回答得很好.因此，還需增加一些引理，使得求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間更容易些(教師可以根據(jù)學生情況和時間決定引理2是否在引理1的基礎(chǔ)上做些改動即可.建議引理2的證明也是改動引理 1的部分證明過程就行了 .)引理2 已知函數(shù)y=f g(x).若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，其值域為(c , d),又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d) 上是減函數(shù)，那么，復(fù)合函數(shù)y=f g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).證明 在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個數(shù)xi,x2,使a<xi< x2<

7、 b.因為函數(shù) u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，所以g(x 1)>g(x2),記 u1=g(x i),u2=g(x 2)即 ui>u2,且 ui,u 2c (c,d).因為函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，所以f(u i) vf(u 2),即f g(xi) < f f(x 2),故函數(shù)y=f g(x)在 區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).師：我們明白了上邊的引理及其證明以后，剩下的引理我們自己也能寫出了.為了記憶方便，咱們把它們總結(jié)成一個圖表.(板書)若,:y=f(u),增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)師：禰淮圖怎樣記這些引理

8、 ？有規(guī)律嗎？(由學生自己總結(jié)出規(guī)律：當兩個函數(shù)的單調(diào)性相同時，其復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；當兩個函數(shù)的單調(diào)性不同時，其復(fù) 合函數(shù)為減函數(shù).)師：由于中學的教學要求，我們這里只研究 y=f(u)為u的單調(diào)函數(shù)這一類的復(fù)合函數(shù) .做例題前，全班先討論一道題目.(板書).例1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：y=log4(x 2 4x+3)師：咱們第一次接觸到求解這種類型問題，由于對它的解題步驟、書寫格式都不太清楚，我們先把它寫在草稿紙上，待討論出正確的結(jié)論后再往筆記本上寫師：下面誰說一下自己的答案？生：這是由y=log 4u與u=x2 4x+3構(gòu)成的一個復(fù)合函數(shù)，其中對數(shù)函數(shù) y=log 4u在定義域(0, +8)

9、上是增函數(shù)， 而二次函數(shù)u=x2 - 4x+3,當xC(8, 2)時，它是減函數(shù)，當 xC(2, +8)時，它是增函數(shù)，.因此，根據(jù)今天所學的 引理知，(一8, 2)為復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間； (2, +8)為復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.師：大家是否都同意他的結(jié)論 ？還有沒有不同的結(jié)論 ？我可以告訴大家，他的結(jié)論不正確.大家再討論一下，正確的結(jié)論應(yīng)該是什么？生：生：我發(fā)現(xiàn)，當x=1時，原復(fù)合函數(shù)中的對數(shù)函數(shù)的真數(shù)等于零，于是這個函數(shù)沒意義.因此，單調(diào)區(qū)間中不應(yīng)含原函數(shù)沒有意義的x的值.師：你說得很好，怎樣才能做到這點呢？生：先求復(fù)合函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間師：非常好.我們研究函數(shù)的任何性質(zhì)

10、，都應(yīng)該首先保證這個函數(shù)有意義，否則，函數(shù)都不存在了，性質(zhì)就更無從 談起了.剛才的第一個結(jié)論之所以錯了，就是因為沒考慮對數(shù)函數(shù)的定義域.注意，對數(shù)函數(shù)只有在有意義的情況下，才能討論單調(diào)性.所以，當我們求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，第一步應(yīng)該怎么做？生：求定義域.師：好的.下面我們把這道題作為例1寫在筆記本上，我在黑板上寫 .(板書)解 設(shè) y=log 4u,u=x2 4x+3.由u r >0,u=x 2 4x+3,解得原復(fù)合函數(shù)的定義域為x v 1或x > 3.師：這步咱們大家都很熟悉了，是求復(fù)合函數(shù)的定義域.下面該求它的單調(diào)區(qū)間了，怎樣求解，才能保證單調(diào)區(qū)間落在定義域內(nèi)呢？生：利用圖象

11、.師：這種方法完全可以.只是再說清楚一點，利用哪個函數(shù)的圖象？可咱們并沒學過畫復(fù)合函數(shù)的圖象?。窟@個問題你想如彳S解決？師：我來幫你一下.所有的同學都想想，求定義域也好，求單調(diào)區(qū)間也好，是求x的取值范圍還是求復(fù)合函數(shù)的函數(shù)值的取值范圍？或是求中間量u的取值范圍？生：求x的取值范圍.師：所以我們只需畫 x的范圍就行了，并不要畫復(fù)合函數(shù)的圖象.一0123工圖1（板書）師：當xC（8, 1）時，u=x2 4x+3為減函數(shù)，而y=log4U為增函數(shù)，所以（一00, 1）是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；當xC（3, ±8）時，u=x24x+3為增函數(shù)y=log 4u為增函數(shù)，所以，（3, +°

12、;°）是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.師：除了這種辦法，我們還可以利用代數(shù)方法求解單調(diào)區(qū)間.下面先求復(fù)合函數(shù)單調(diào)減區(qū)間.（板書）u=x2-4x+3=（x 2）21,*>3或*<1,（復(fù)合函數(shù)定義域）x< 2 （u 減）解得x<1.所以xC （8, 1）時，函數(shù)u單調(diào)遞減.由于y=log 4U在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以由引理知：u=（x 2）2 1的單調(diào)性與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性一致，所以（一8,1）是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.下面我們求一下復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.（板書）u=x2 4x+3=（x 2）2 1,*>3或*<1,（復(fù)合函數(shù)定義域）x > 2 （u 增）

13、解得x > 3.所以（3 , +8）是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.師：下面咱們再看例 2.（板書）例2求下列復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：y=log- （2x x2）3師：先在筆記本上準備一下，幾分鐘后咱們再一起看黑板，我再邊講邊寫.（板書）解 設(shè) y=log 1 u,u=2x x2.由3Li u=2x x解得原復(fù)合函數(shù)的定義成為0vxv 2.由于y=log 1 u在定義域（0 ,+°°）內(nèi)是減函數(shù)，所以，原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)u=2x x2的單調(diào)性正好相反.3易知u=2x-x2=-（x -1）2+1在x<1時單調(diào)增.由0vx<2 （復(fù)合函數(shù)定義域）xw 1, （u

14、 增）解得0vxW1,所以（0, 1是原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.又u= （x 1） 2+1在x> 1時單調(diào)減，由x< 2,（復(fù)合函數(shù)定義域）x> 1, （u 減）解得0Wxv2,所以h 1=是原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.師：以上解法中，讓定義域與單調(diào)區(qū)間取公共部分，從而保證了單調(diào)區(qū)間落在定義域內(nèi)師：下面我們再看一道題目，還是自己先準備一下，就按照黑板上第一題的格式寫（板書）例3 求y=''7 -6x -x2的單調(diào)區(qū)間.（幾分鐘后，教師找一個做得對的或基本做對的學生，由他口述他的全部解題過程，教師在黑板上寫，整個都寫完后，教師邊講邊肯定或修改學生的做法，以使所有同學再

15、熟悉一遍解題思路以及格式要求 解設(shè) 丫=7。,u=7 6xx2,由.）uu=7>0,26x x解得原復(fù)合函數(shù)的定義域為7< x W 1.因為y= Vu在定義域0+8內(nèi)是增函數(shù)，所以由引理知，原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù) 性相同.易知u=-x 2-6x+7=-（x+3） 2+16在xW-3時單調(diào)增加。由-7< x< 1,（復(fù)合函數(shù)定義域）x W -3, （ u 增）解得-7WxW-3.所以£7, 3展復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.易知 u=-x2-6x+7=-（x+3） 2+16在 x>3 時單調(diào)減，由u= x2 6x+7 的單調(diào)7<x< 1（復(fù)合函數(shù)

16、定義域）> 一 3, （u 減）解得一3wxwi,所以3, 1是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.師：下面咱們看最后一道例題，這道題由大家獨立地做在筆記本上，我叫一個同學到黑板上來做（板書）/ 1、x2 .2xd一 ,、（二）例4 求y= 2|（學生板書）（；）'解 設(shè)y= 2 .由 u u=x解得原復(fù)合函數(shù)的定義域為的單調(diào)區(qū)間.R, 2-2x- 1, xC R.（1）U因為y= 2 在定義域R內(nèi)為減函數(shù)，所以由引理知，二次函數(shù) u=x2-2x-1的單調(diào)性與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性相反 易知,u=x 2 2x 1=（x 1）22在x< 1時單調(diào)減，由6 R,（復(fù)合函數(shù)定義域）< 1, （

17、u減）解得XW1.所以（8, 1是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.同理1,+ 8）是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間師：黑板上這道題做得很好.請大家都與黑板上的整個解題過程對一下.師：下面我小結(jié)一下這節(jié)課.本節(jié)課講的是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.大家注意：單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集，當我們求單調(diào)區(qū)間時，必須先求出原復(fù)合函數(shù)的定義域.另外，咱們剛剛學習復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，做這類題目時，一定要按要求做，不要跳步.（作業(yè)均為補充題）作業(yè)求下列復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.1 .y=log 3（x22x）;（答：（00, 0）是單調(diào)減區(qū)間，（2 , +8）是單調(diào)增區(qū)間.）12 .y=log 2 （x2 - 3x+2）;（答：（巴 1）是單調(diào)增區(qū)

18、間，（2 , +8）是單調(diào)減區(qū)間.）553.y二4.y=-x210.7x；（+ 5X6,（答：2, 2是單調(diào)增區(qū)間,2 , 3是單調(diào)減區(qū)間.）答：（一8, 0）, （0, +OO ）均為單調(diào)增區(qū)間.注意，單調(diào)區(qū)間之間不可以取并集.）5.y=3-x26.y=1（3）；（x 3答（一8,（答（80）為單調(diào)增區(qū)間，（0, +8 ）為單調(diào)減區(qū)間）+ OO）為單調(diào)減區(qū)間.）7.y=8.y=log x3 2 ;（答：（0,log 1（4x -x2）兀 ；+ OO）為單調(diào)減區(qū)間.）（答：（0 , 2）為單調(diào)減區(qū)間，（2, 4）為單調(diào)增區(qū)間.）429 .y= vx -6x ；（答：（0 , 3）為單調(diào)減區(qū)間，（3, 6）為單調(diào)增區(qū)間.） _ 2x x210 .y= 7;（答（8, 1）為單倜增區(qū)間，（1, +00）為單倜減區(qū)間.）課堂教學設(shè)計說明11 復(fù)習提問簡單函數(shù)的單調(diào)性 .12 復(fù)習提問復(fù)合函數(shù)的定義.13 引出并證明一個引理，用表格的形式給出所有的引理14 對于例1,教師要帶著學生分析，著重突出單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集.例2中的第一題，還是以教師講解為主.例2中的第二題，過渡到以學生講述自己解法為主.例2中的第三題，以學生獨立完成為主.15 小結(jié)，作業(yè).我為什么要采取這幾個環(huán)節(jié)呢 ？因為從以往的經(jīng)驗看，當要求學生求