正弦定理余弦定理

1、第七節(jié) 正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例時(shí)間：45分鐘分值：75分一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）1.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km, 燈塔A在觀察站C的北偏東20°,燈塔B在觀察站C的南偏東40°, 則燈塔A與燈塔B的距離為（）A. a kmB.也a kmC.V2a kmD. 2a km解析利用余弦定理解 ABC.易知/ACB= 120°,在MCB中，由余弦、，12222212定理得 AB2 = AC2 + BC22AC BCcos120 = 2a2-2a2x2卜 3a2,. AB = V3a.答案B2.張曉華同學(xué)騎電

2、動(dòng)自行車以 24 km/h的速度沿著正北方向的公路 行駛，在點(diǎn)A處望見電視塔S在電動(dòng)車的北偏東30°方向上，15 min 后到點(diǎn)B處望見電視塔在電動(dòng)車的北偏東 75。方向上，則電動(dòng)車在點(diǎn) B時(shí)與電視塔S的距離是（）A. 2也 kmB. 3/ kmABBS=6, ZABS= 180 75 = 105 ,所以叢SB= 45 .由正弦定理知 sin30ABAB 二sin45 , 所以 BS= sin45 sin30 =3在答案B3.輪船A和輪船B在中午12時(shí)離開海港C,兩艘輪船航行方向的夾 角為120°,輪船A的航行速度是25海里/小時(shí)，輪船B的航行速度是B. 35V2海里D.

3、70海里15海里/小時(shí)，下午2時(shí)兩船之間的距離是（）A. 35海里C. 35#海里解析設(shè)輪船A、B航行到下午2時(shí)時(shí)所在的位置分別是E, F,則依題意有 CE=25X 2=50, CF=15X 2= 30,且ZECF = 120 ,EF=a/cE2+CF22CECFcos120=J502+ 302-2X 50x 30cos120 = 70.答案D4 . （2014濟(jì)南調(diào)研）為測(cè)量某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20 m13的樓的樓頂處測(cè)得塔頂A的仰角為30°,測(cè)得塔基B的俯角為45°,那么塔AB的高度是（C. 20(1+ 3) m32 m解析 如圖所示，由已知可知，四邊形

4、CBMD為正方形，CB=20 m,所以BM = 20 m,又在RtAAMD中,DM =20 m, ZADM = 30 ,20 -. AM = DMtan30 =y>/3(m). AB = AM + MB =20鏡 + 20=20 1 +答案A5 . (2013 天津卷)在 ABC 中，/ABC = ：, AB=/2, BC= 3,則 sin1B. 5/BAC=()A.前C.3 1010解析 由余弦定理 AC2 = AB2 + BC2 2AB BCcosZABC= (72)2+ 32 2一、一2X，2x3x旨=5,所以 AC =加，再由正弦定理：sinZBAC =sinzABCACBC =

5、323/10、后=10 .答案C6 . （2014 滁州調(diào)研）線段 AB 外有一點(diǎn) C, /ABC= 60°,AB=200 km, 汽車以80 km/h的速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以50 km/h的速度由B向C行駛，則運(yùn)動(dòng)開始多少h后，兩車的距離最?。ǎ?9B. 1C.43A.43D. 2解析 如圖所示，設(shè)t h后，汽車由A行駛到D,摩托車由B行駛到E,則 AD = 80t, BE=50t.因?yàn)?AB=200,所以 BD = 200 80t,問題就是求DE最小時(shí)t的值.由余弦定理，得DE2 = BD2 + BE2 2BD BEcos60= (20080t)2+2 500t2(200

6、 80t) 50t=12 900t2 42 000t+ 40 000.當(dāng)t = 70時(shí)二i t 43口，DE最小.答案C 二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7 .已知A, B兩地的距離為10 km, B, C兩地的距離為20 km,現(xiàn)測(cè)得/ABC= 120°,則A、C兩地的距離為 km.解析如右圖所示,AC2 =100 + 400- 2X 10X20Xcos120 = 700,. AC=10V7(km).答案1078 .如下圖，一艘船上午9: 30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30 處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午 10: 00到達(dá)B處，此時(shí) 又測(cè)得燈塔S在它的北

7、偏東75。處，且與它相距8«2n mile.此船的航 速是 n mile/h.解析設(shè)航速為v n mile/h，1在gBS 中，AB=2v, BS= 8亞，/BSA= 45 ,_1由正弦定理得：黯.焉另. v = 32(n mile/h).答案329 .如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔 AB的高，先在河岸上選一點(diǎn) C,使C在 塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn) A的仰角為60。，再由點(diǎn)C沿北偏東 15°方向走10米到位置D,測(cè)得/ BDC = 45°,則塔AB的高是 米.解析 在ABCD 中，CD = 10, zBDC = 45 , zBCD=15 +90 =105 ,zDBC =

8、30 ,BC CDsin45 sin30 ,BC=CDsin45sin30=10也（米）.AB在 RtABC 中，tan60 =BC, AB=BCtan60 =10乖（米）.答案10 6三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）10. （2014臺(tái)州模擬）某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式， 旗桿正好處 于坡度15。的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排 測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為 60。和30。，第一排和最后一排的距離為 10#米（如圖所示），旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上.若國(guó)歌長(zhǎng)度 約為50秒，升旗手應(yīng)以多大的速度勻速升旗？解 在四CD 中，ZBDC = 45°

9、, 4BD = 30°, CD = 1046,由正弦定理,得BC =CDsin45sin30=20 3.，-3在 RtMBC 中，AB=BCsin60 =20V3xj"=30（米），所以升旗速度 v華=30=0.6（米/秒）.11.如圖，A、B是海面上位于東西方向相距 5(3 + #)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)， 現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°, B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救 信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20y3海里的C點(diǎn)的救援船 立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多 長(zhǎng)時(shí)間？解 由題意，知 AB=5(3+43)海

10、里，ZDBA=90 -60 =30 , /DAB =90 45 =45 , ADB = 180 (45 + 30 ) = 105 .在GAB中，由正弦定理，得DB AB= ,5(3+，3 )sin45sin105sinzDAB sinzADBAB sin/DAB 于是DB =sinzADB5(3+<3 )sin45sin45 cos60 4 cos45 sin605 3 3+ 1_=1043（海里）.又 /DBC = ZDBA + dBC= 30 + （90 60 ） = 60 , BC = 20V3（海里），在4BC中，由余弦定理，得CD2 = BD2 + BC2 2BD BC cos

11、zDBC1= 300+ 1 200 2X 10V3x2073X2= 900.得CD =30（海里），30.故需要的時(shí)間t=30= 1（小時(shí)）,30即救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí).12.（2013江蘇卷）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn) A處下山至C處有兩 種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車 到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min. 在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后，再?gòu)?B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為 130 m/min,山路AC 長(zhǎng)為 1 260 m,經(jīng)測(cè)量，cosA=

12、T2, cosC=3.135(1)求索道AB的長(zhǎng)；(2)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速 度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？解(1)在gBC 中，因?yàn)?cosA=胃,cosC = 3, 1354 sinC=£.5一5所以 sinA=T,1312 4 63一x - 13 5 65.從而 sinB= sin枳(A+C) = sin(A+C)5.3 , =sinAcosC + cosAsinC = 13x 5+ABACAC、，由正弦te理 -7; = 一得 AB=一XsinC= sinC sinB'sinB1 260 4-cc- X =6351 040(m).65所以索道AB的長(zhǎng)為1 040 m.(2)假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d,此時(shí)，甲行走了(100+ 50t)m,乙距離A處130t m,所以由余弦定理得d2 = (100+ 50t)2 + (130t)2 2x 130tx (100 + 50t)x 12 = 200(37t2 + 70t 13+ 50),1 040. .35、因0<t<1040>即0<t<8,故當(dāng)t = 35(min)時(shí)，甲、乙兩游客距離 1303 7上十一te BC AC /日AC . A 1 2605由正弦7H理SiHA=Sn