一元二次方程復(fù)習(xí)提綱

1、一元二次方程復(fù)習(xí)提綱,知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理(1)含有個(gè)未知數(shù)。(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是11、概念(3)是方程。I(4)一元二次方程的一般形式是。(1)法，適用于能化為xm)2nn0的一元二次方程。(2)法，即把方程變形為ab=0的形式，2、解法(a,b為兩個(gè)因式),則a=0或法<(4)法，其中求根公式是(5) 法當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。(6)-當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。II當(dāng)時(shí)，方程有沒有的實(shí)數(shù)根?？捎糜诮饽承┣笾殿}(1)元二次方程的應(yīng)用<(2)I(3)、一可用于解決實(shí)際問題的步驟(4)(5)(6)二，知識(shí)點(diǎn)歸類(一)建立一元二次方程模型1, 一元二次方程的定義如果一個(gè)方程通過

2、移項(xiàng)可以使右邊為0,而左邊只含有一個(gè)未知數(shù)的二次多項(xiàng)式，那么這樣的方程叫做一元二次方程。注意：一元二次方程必須同時(shí)滿足以下三點(diǎn)：方程是整式方程。它只含有一個(gè)未知數(shù)。未知數(shù)的最高次數(shù)是2.同時(shí)還要注意在判斷時(shí)，需將方程化成一般形式。例下列關(guān)于X的方程，哪些是一元二次方程？2一23;x6x0;(3)JXx5；(4)x0;(5)2x(x3)2x1x5答案：(2),(4)2, 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式為ax2bxc0(a,b,c是已知數(shù)，a0)。其中a,b,c分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。注意：（1）二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)。（2）

3、要準(zhǔn)確找出一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須把它先化為一般形式。（3）形如ax2bxc0不一定是一元二次方程，當(dāng)且僅當(dāng)a0時(shí)是一元二次方程。例：（2012廣安中考試題第8題，3分）已知關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）A.a>2B.a<2C.a<2且alD.a<-2思路導(dǎo)引：一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由于二次項(xiàng)系數(shù)是字母的代數(shù)式形式，注意兩點(diǎn)，一是二次項(xiàng)系數(shù)不等于0,二是根的判別式大于0解析：=44（a1）>1=84a>0,所以av2,結(jié)果選C。點(diǎn)評(píng)：含有字母二次項(xiàng)系數(shù)的一元

4、二次方程根的判另1J問題，不可忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件，以免得出不和題意的答案3, 一元二次方程的解2使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，如：當(dāng)x2時(shí)，x3x20所以x2是x23x20方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。例.（2012貴州安順）已知1是關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+x+1=0的一個(gè)根，則m的值是（）A.1B.-1C.0D.無法確定考點(diǎn)：一元二次方程的解；一元二次方程的定義。解：根據(jù)題意，將x=1代人到方程中得：（m-1）+1+1=0,解得：m=-1.故選B.4, 建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步驟是：審題、設(shè)未知數(shù)、列方程。注意：（1

5、）審題過程是找出已知量、未知量及等量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)要帶單位；（3）建立一元二次方程模型的關(guān)鍵是依題意找出等量關(guān)系。例：（2012山東省青島市，12,3）如圖，在一塊長為22米、寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪面積為300平方米.若設(shè)道路寬為x米，則根據(jù)題意可列方程為【解析】由題意得（22-x）（17-x）=300.【答案】（22-x）（17-x）=300【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查列方程的能力.把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的種植園地是一個(gè)長方形，根據(jù)長方形的面積公式列方程.（二）因式分解法

6、、直接開平方法1,因式分解法解一元二次方程如果兩個(gè)因式的積等于0,那么這兩個(gè)方程中至少有一個(gè)等于0,即若pq=0時(shí)，則p=0或q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程的右邊化為0;（2）將方程左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積。（3）令每個(gè)因式分別為0,得兩個(gè)一元一次方程。（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解。關(guān)鍵點(diǎn)：（1）要將方程右邊化為0;（2）熟練掌握多項(xiàng)式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。例.（2012銅仁）一元二次方程x22x30的解是.考點(diǎn)：解一元二次方程-因式分解法。解：原方程可化為：（x-3）（x+1）=0,x

7、1=3,x2=1.2, 直接開平方法解一元二次方程若x2aa。，則x叫做a的平方根，表示為x盤,這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。（1） x2aa0的解是xVa-；（2）xm2nn0的解是xJKm；r（3） mxn2cm0,且c0的解是x-om例：（2011山東淄博14,4分）方程x2-2=0的根是.分析：這個(gè)式子先移項(xiàng)，變成x2=2,從而把問題轉(zhuǎn)化為求2的平方根，直接得出答案即可.解：移項(xiàng)得x2=2,x=%/2.故答案為：、2.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項(xiàng)，把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號(hào)的右邊，化成x2=a（a>0）的形式，

8、利用數(shù)的開方直接求解.3, 靈活運(yùn)用因式分解法和直接開平方法解一元二次方程2形如axbk0k0的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接開平方法解。例（2011,臺(tái)灣省，29,5分）若方程式（3x-c）2-60=0的兩根均為正數(shù)，其中c為整數(shù)，則c的最小值為何？（）A、1B、8C、16D、61分析：利用平方根觀念求出x,再根據(jù)一元二次方程的兩根都為正數(shù)，求出c的最小值即可.解：（3x-c）2-60=0（3x-c）2=60C-C吐、而3x-c=±/6C3x=c±J60x=*又兩根均為正數(shù)，且屈5>7.所以整數(shù)c的最小值為8故選B.點(diǎn)評(píng)：本題考查了用直接開方法求一元二次方程

9、的解，要根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒?4,用提公因式法解一元二次方程把方程左邊的多項(xiàng)式(方程右邊為0時(shí))的公因式提出，將多項(xiàng)式寫出因式的乘積形式，然后利用“若pq=0時(shí)，則p=0或q=0”來解一元二次方程的方法，稱為提公因式法。例(2011浙江衢州，11,4分)方程x22x=0的解為.分析：把方程的左邊分解因式得x(x-2)=0,得到x=0或x-2=0,求出方程的解即可.解：x2-2x=0,x(x-2)=0,x=0或x-2=0,x1=0或x2=2.注意：在解方程時(shí)，千萬注意不能把方程兩邊都同時(shí)除以一個(gè)含有未知數(shù)的式子，否則可能丟失原方程的根。5.十字相乘法:對(duì)于二次三項(xiàng)式的分解因式，借用一個(gè)十

10、字叉幫助我們分解因式，這種方法叫做十字相乘法。即：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例1分解因式x26x+8解：x26x+8=(x-2)(x-4)例2分解因式3x210x+3解：3x210x+3=(x-3)(3x-1)例3分解因式5x217x-12解：5x217x12=(5x+3)(x4)例4分解因式2(6x2+x)-11(6x2+x)+5解：2(6x2+x)211(6x2+x)+5=(6x2+x)52(6x2+x)1=(6x2+x-5)(12x2+2x1)=(6x-5)(x+1)(12x2+2x-1)例5.(2011泰安，21,3分)方程2x2+5x3=0的解是.1分析：先把方程

11、兩邊同時(shí)除以2,化為(x+3)(x)=0的形式，再求出x的值即可.2解：原方程可化為：(x+3)(x1)=0,21故x1=3,x2=一.2“一,一1故答案為：x13,x2一2(三)配方法1,配方法解一元二次方程時(shí)，在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，使得含未知數(shù)的項(xiàng)在一個(gè)完全平方式里，這種方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接開平方法了，這樣解一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程x2pxq0,當(dāng)對(duì)方程的左邊配方時(shí)，一定記住在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方后，還要再減去這個(gè)數(shù)。例.(2012湖北荊門)用配方法解關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-3=

12、0,配方后的方程可以是A.(x1)2=4B.(x+1)2=4C.(x1)2=16D.(x+1)2=16方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得到x2-2x+1=3+1,解：把方程x2-2x-3=0的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，得到x2-2x=3,配方得(x-1)2=4.故選A.2, 用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的步驟：(1) 在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)；2(2) 把原萬程變?yōu)閤mn的形式。(3) 若n0,用直接開平方法求出x的值，若n<0,原方程無解。21例：（2011遼寧本溪，4,3分）一兀二次萬程x2X0的根（4A.

13、 X1-,X22B. X12,x22C.X1X2分析：運(yùn)用配方法，將原方程左邊寫出完全平方式即可.1 2解：原萬程左邊配萬，得（X-）20,21X1X22故選D.點(diǎn)評(píng)：此題考查了配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用.選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1,一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù).3,用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不是1的一元二次方程2當(dāng)一兀一次萬程的形式為aXbXc0a0,a1時(shí)，用配萬法解一兀二次萬程的步驟：（1）先把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1：方程的左、右兩邊同時(shí)除以二項(xiàng)的系數(shù)；（2）移項(xiàng)：在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，把原方程化為xm2的形式；（

14、3）若n0,用直接開平方法或因式分解法解變形后的方程。例：用配方法解方程：2x23x21,再移常數(shù)項(xiàng)；兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)231d31一一1一一2222分析：用配方法的關(guān)鍵在于：先把二次項(xiàng)系數(shù)化為一半的平方。解：化二次項(xiàng)系數(shù)為1得：x2-x1,2兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方得：x2-x2配方得：（x開方彳導(dǎo):x移項(xiàng)彳導(dǎo):XX1=2,3、225)一4163 54 43 54 41x2=。2（四）公式法1,一元二次方程的求根公式一元二次方程ax2bxc0a0的求根公式是：x用求根公式法解一元二次方程的步驟是：'2一b.b4ac2a2(1)把方程化為axbxc0a0的形式，確定的值a,

15、b.c（注意符號(hào)）；（2）求出b24ac的值;22b.b4ac（3）右b4ac0,則a,b.把及b4ac的值代人求根公式x，求出xhx2。2a例.（2011湖北武漢，17,6分）解方程：x2+3x+1=0分析：根據(jù)方程的特點(diǎn)可直接利用求根公式法比較簡便.解：a=1,b=3,c=1且b24ac=5>0b.b24ac_3.52a-2（五）選擇適合的方法解一元二次方程直接開平方法用于解左邊的含有未知數(shù)的平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)或也是一個(gè)含未知數(shù)的平方式的方程因式分解要求方程右邊必須是0,左邊能分解因式；公式法是由配方法推導(dǎo)而來的，要比配方法簡單。注意：一元二次方程解法的選擇，應(yīng)遵循先特殊，再一

16、般，即先考慮能否用直接開平方法或因式分解法，不能用這兩種特殊方法時(shí)，再選用公式法，沒有特殊要求，一般不采用配方法，因?yàn)榕浞椒ń忸}比較麻煩。例：選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1) 7(2x3)228；2(2) y2y3990(3) 2x212遙x；(4) (2x1)23(2x1)20分析：根據(jù)方程的不同特點(diǎn)，應(yīng)采用不同的解法。用公式法；（4）宜用因式分解法或換元法。解:(0-/7(2-3)2=282元-3=±212匯=3±2*,(1)宜用直接開方法；(2)宜用配方法；(3)宜<2)v/-2y-359=0/-Zy-3994/-2尸+1=399+1-(y-1)2=40Q47-

17、1=戈0u（3）V2?+1=2后口，2-2底+1=0'曰=2,3=-2.巧，e=1,且口4c2a/3>Oi-1也）丫（次十1產(chǎn)十3（旅十1）十2=0卡，K21+D+1H（2冗+D+2=Q>即Q月十2）（2x+3）二0，2jc+2=0或21+3=0邛_-（-2出）±，-2在2x2_275±2-/4十g_君-出1彳力/222(六)一元二次方程根的判別式一、一221,一兀二次萬程axbxc0a0根的判別式=/4ac運(yùn)用根的判別式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情況：2(1) A=b4ac>0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；2(2) A=b4ac=0方程

18、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(3) A=b24ac<0方程沒有實(shí)數(shù)根；利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：把所有一元二次方程化為一般形式；確定a,b.c的值；計(jì)算b24ac的值；根據(jù)b24ac的符號(hào)判定方程根的情況。例(2012南昌)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則a的值是()A.1B.TC.工D.44分析：根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可知=0,求出a的取值即可.解：:關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,=22+4a=0,解得a=-1.故選B.點(diǎn)評(píng)：本題考查的是根的判別式，即一元二次方程ax2+bx+

19、c=0(aw0)的根與=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)4=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.2,根的判別式的逆用在方程ax2bxc0a0中,（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2b4ac>0（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b24ac=0,2,(3)萬程沒有實(shí)數(shù)根b4ac<0注意：逆用條件。二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為例1.（2012上海）如果關(guān)于x的二次方程x2-6x+c=0（c是常數(shù)）沒有實(shí)根，那么0這一的取值范圍是解：.關(guān)于x的二次方程x2-6x+c=0（c是常數(shù)）沒有實(shí)根,.,

20、一、2一=(-6)-4c<0,即36-4c<0,c>9.故答案為c>9.例2.（2012常德）若二次方程x22xm0有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是A.m-1B.m1C.m41D.m2分析:二次方程x22xm0有實(shí)數(shù)解，則4>0,然后再解不等式。答案:點(diǎn)評(píng):此題是次方程判別式的逆用（即根據(jù)方程根的情況去列不等式解決方程中字母的取值范圍）(七)二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系若x1，X2是、一2二次萬程axbxc0a0的兩個(gè)根,則有x1x2xx2根據(jù)二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求值常用的轉(zhuǎn)化關(guān)系:2x12x2x12x22x1x21(2)一Xix2(3)(x1a)(x2a)Xix2_2

21、ax1x2a；(4)x1X22Xix2=x1x224x1x2x1乂2x1x2例1,（2012武漢）若xi,X2是一元二次方程x2-3x+2=0的兩根，則xi+x2的值是（）A.-2B.2C.3D.1解：由一元二次方程x2-3x+2=0,xi+x2=3,故選C.例2,（2012張家界）已知m和n是方程2x25x3=0的兩根，則二一二m口解：.m和n是方程2x2-5x-3=0的兩根，-m+n=-=-=,m?n=,a22a2故答案為-（八）一元二次方程的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟（1） 審題，（2）設(shè)未知數(shù)，（3）列方程，（4）解方程，（5）檢驗(yàn)，（6）作答。關(guān)鍵點(diǎn)：找出題中的等量

22、關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)二用一元二次方程解與增長率（或降低率）有關(guān)得到問題增長率問題與降低率問題的數(shù)量關(guān)系及表示法：（1）若基數(shù)為a,增長率x為，則一次增長后的值為a1x,兩次增長后的值為a1x2；（2）若基數(shù)為a,降低率x為，則一次降低后的值為a1x,兩次降低后的值為a1x2。例1.（2012成都）一件商品的原價(jià)是100元，經(jīng)過兩次提價(jià)后的價(jià)格為121元，如果每次提價(jià)的百分率都是x,根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（）22A.100（1x）121B.100（1x）121C.100（1x）121D.100（1x）121解：設(shè)平均每次提價(jià)的百分率為x,根據(jù)題意得：100（1x）2121,故選C.例2.（20

23、12黑龍江省綏化市，9,3分）甲、乙、丙三家超市為了促銷一種定價(jià)均為m元的商品，甲超市連續(xù)兩次降價(jià)20%;乙超市一次性降價(jià)40%;丙超市第一次降價(jià)30%,第二次降價(jià)10%,此時(shí)顧客要購買這種商品，最劃算的超市是.【解析】解：在甲家超市貝買需付：m（1-20%）2=0.64m元；在乙家超市貝買需付：m（1-40%）=0.6m元；在丙家超市貝買需付：m（1-30%）（1-10%）=0.63m元.而實(shí)際問題m>0,故0.64m>0.63m>0.6m,所以顧客在乙家超市購買最劃算.【答案】乙.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了日常生活中常見的方案選擇比較問題，解此類題型的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題目

24、意思將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決，再由數(shù)學(xué)結(jié)果判斷出實(shí)際問題的結(jié)果選擇.難度中等.知識(shí)點(diǎn)三用一元二次方程解與市場經(jīng)濟(jì)有關(guān)的問題與市場經(jīng)濟(jì)有關(guān)的問題：如：營銷問題、水電問題、水利問題等。與利潤相關(guān)的常用關(guān)系式有：（1）每件利潤=銷售價(jià)-成本價(jià)；（2）利潤率=（銷售價(jià)一進(jìn)貨價(jià)）+進(jìn)貨價(jià)X100%；（3）銷售額=售價(jià)X銷售量例.（2012山西）山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進(jìn)價(jià)為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請(qǐng)回答：（1）每千克核桃應(yīng)降價(jià)多少元？（2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？解答：（1）解：設(shè)每千克核桃應(yīng)降價(jià)x元.1分根據(jù)題意，得（60-x-40）（100+X20）=2240.4分2化簡，得x2-10x+24=0解，得x1=4,x2=6.6分答：每千克核桃應(yīng)降價(jià)4元或6元.7分（2）解：由（1）可知每千克核桃可