中考數(shù)學(xué)—直角三角形的邊角關(guān)系的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)含詳細(xì)答案

1、中考數(shù)學(xué)一直角三角形的邊角關(guān)系的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)含詳細(xì)答案一、直角三角形的邊角關(guān)系1.如圖，從地面上的點(diǎn)A看一山坡上的電線桿PQ,測(cè)得桿頂端點(diǎn)P的仰角是45。，向前走6m到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得桿頂端點(diǎn)P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別是60°和30°.(1)求/BPQ的度數(shù)；(2)求該電線桿PQ的高度(結(jié)果精確到1m).備用數(shù)據(jù)：?jiǎn)?；,【答案】(1)/BPQ=30；(2)該電線桿PQ的高度約為9m.【解析】試題分析：(1)延長(zhǎng)PQ交直線AB于點(diǎn)E,根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得即可；(2)設(shè)PE=x米，在直角4APE和直角4BPE中，根據(jù)三角函數(shù)利用x表示出AE和BE,根據(jù)AB=AE-BE

2、即可列出方程求得x的值，再在直角4BQE中利用三角函數(shù)求得QE的長(zhǎng)，則PQ的長(zhǎng)度即可求解.試題解析：延長(zhǎng)PQ交直線AB于點(diǎn)E,ABE(1)/BPQ=90-60=30°(2)設(shè)PE=x米.在直角APE中，貝UAE=PE=W/PBE=60°BE西pe植x米,/BPE=30°在直角4BPE中，,.AB=AE-BE=6米，則x-ix=6,解得：x=9+3則BE=（373+3）米.在直角4BEQ中，QE=BE=（373+3）=（3+四）米.33,PQ=PE-QE=9+373-（3+73）=6+2Q=9（米）.答：電線桿PQ的高度約9米.考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題

3、.2.（6分）某海域有A,B兩個(gè)港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船從A港口出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達(dá)位于B港口南偏東75。方向的C處，求該船與B港口之間的距離即CB的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）.【答案】W+1O0【解析】試題分析：作ADXBCTD,于是有/ABD=45,得到AD=BD=°,求出/C=60,根據(jù)正切的定義求出CD的長(zhǎng)，得到答案.試題解析：作ADXBCTD,./EAB=30,AE/BF,./FBA=30,又/FBC=75,/ABD=45；又AB=60,.AD=BD='°,/BAC=ZBAE+ZCAE=75,&#

4、176;/ABC=45,°AD30v2/C=60；在RtACD中，/C=60；AD=t°V2,則tanC=："，.CD='戶=（）、心,.Bc=*°v"+1。"故該船與B港口之間的距離CB的長(zhǎng)為"）2海里.考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題.3.如圖，在平行四邊形ABCD中，施平分的交即于點(diǎn)心外平分£陽(yáng)。，交皿于點(diǎn)FAE與BF交于點(diǎn)P,連接叫PD.(1)求證：四邊形是菱形；(2)若融緲=6=求tan"DP的值.BZC【答案】(1)證明見(jiàn)解析【解析】試題分析：(1)根據(jù)AE平分/BAD>BF

5、平分/ABC及平行四邊形的性質(zhì)可得AF=AB=BE從而可知ABEF為平行四邊形，又鄰邊相等，可知為菱形(2)由菱形的性質(zhì)可知AP的長(zhǎng)及/PAF=60,過(guò)點(diǎn)P作PHI±AD于H,即可得到PH、DH的長(zhǎng)，從而可求tan/ADP試題解析：(1);AE平分/BADBF平分/ABC/BAE=ZEAF/ABF=ZEBF1 .AD/BC/EAF=ZAEBZAFB=ZEBF/BAE=ZAEB/AFB=/ABF.AB=BEAB=AF.AF=AB=BE2 .AD/BC.ABEF為平行四邊形又AB=BE.ABEF為菱形(2)作PH，AD于H由/ABC=60而已(1)可知/PAF=60,PA=2,貝U有PH

6、=/3,AH=1,.DH=AD-AH=5.tan/ADP-考點(diǎn)：1、平行四邊形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函數(shù)4.在正方形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)。，點(diǎn)P在線段BC上（不含點(diǎn)B）,1/BPE=/ACB,PE交BO于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BF,PEE,垂足為F,交AC于點(diǎn)G.2（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖1）.求證：BO84POE;BF（2）通過(guò)觀祭、測(cè)量、猜想：一=,并結(jié)合圖2證明你的猜想；PEBF.（3）把正萬(wàn)形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖3）,若/ACB=4,求工匚的PE值.（用含a的式子表示）DADAD圖1圖2圖3BF1BF1【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）空1（3）空

7、1tanPE2PE2【解析】解：(1)證明：二.四邊形ABCD是正方形，P與C重合，.OB="OP",/BOC=ZBOG=90:.PFXBG,/PFB=90,°./GBO=901BGO,ZEPO=90ZBGO.，/GBO=/EPO.ABOGAPOE(AAS)./C、BF1、(2)-.證明如下：PE2如圖，過(guò)P作PM/AC交BG于M,交BO于N,/PNE=ZBOC=90°,/BPN=ZOCB.3 /OBC=ZOCB=4巴1/NBP=ZNPB.NB=NP./MBN=900/BMN,/NPE=9C0/BMN,/MBN=/NPE.4 .BMNAPEN(ASA).

8、BM=PE.,1，一/,5 /BPE=-/ACB,/BPN=/ACB,./BPF=/MPF.2-.PF±BM,/BFP土MFP=900.又PF=PFABPFAMPF(ASA)BF="MF",即BF=1BM2.BF=-PE,2BFPE(3)如圖，過(guò)P作PM/AC交BG于點(diǎn)M,交BO于點(diǎn)N,/BPN=ZACB=q/PNE=ZBOC=9C0.1由(2)同理可得BF=-BM,/MBN=/EPN.2ZBNM=ZPNE=9(°,.BMN<PEN.BMBN.PEPN在RfBNP中，tan二%，里二tan，即亞二tanPNPEPEBF1,=tanPE2(1)由正方

9、形的性質(zhì)可由AAS證得BOGWPOE.(2)過(guò)P作PM/AC交BG于M,交BO于N,通過(guò)ASA證明BMNPEN得到y(tǒng),一-八-rBF1BM=PE,通過(guò)ASA證明BPFMPF得到BF=MF,即可得出的結(jié)論.PE21(3)過(guò)P作PM/AC交BG于點(diǎn)M,交BO于點(diǎn)N,同(2)證得BF=-BM,2/MBN=/EPN,從而可證得BMNpen,由£N和RtBNP中tan二即BF1,可求得=一tanPE25.如圖，反比例函數(shù)yk._一-k0的圖象與正比例函數(shù)y2x的圖象相交于A(1,a),B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在第四象限，CA/y軸，ABC90(1)求k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求tanC的值.【答案】(1)

10、k2,B1,2；(2)2.【解析】【分析】(1)先根據(jù)點(diǎn)A在直線y=2x上，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A在反比例函數(shù)kyk0的圖象上，利用待定系數(shù)法求得k的值，再根據(jù)點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可x求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)作BH,AC于H,設(shè)AC交X軸于點(diǎn)D,根據(jù)ABC90,BHC90，可得CABH,再由已知可得AODABH,從而得CAOD,求出tanC即可.【詳解】(1)丁點(diǎn)A(1,a)在y2x上，a=2,A(1,2),k一把A(1,2)代入y-得k2,xk._一;反比例函數(shù)y-k0的圖象與正比例函數(shù)y2x的圖象交于A,b兩點(diǎn)，xB兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)。中心對(duì)稱，B1,2；(2)作BHI±AC于H,

11、設(shè)AC交x軸于點(diǎn)D,ABC90,BHC90,CABH,CA/y軸，BH/x軸，AODABH,CAOD,-AD2c.tanCtanAOD-2.OD1H【點(diǎn)睛】本題考查了反比例與一次函數(shù)綜合問(wèn)題，涉及到待定系數(shù)法、中心對(duì)稱、三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握和應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，（2）小題求出/C=/AOD是關(guān)鍵.6.如圖，某公園內(nèi)有一座古塔AB,在塔的北面有一棟建筑物，某日上午水平面的夾角為32,此時(shí)塔在建筑物的墻上留下了高3米的影子CD.與地面的夾角為45。，此時(shí)塔尖A在地面上的影子E與墻角C的距離為一條直線上），求塔AB的高度.（結(jié)果精確到0.01米）參考數(shù)據(jù)：sin32°=0.529

12、9cos32°=0.8480tan32°=0.6249/1.41429時(shí)太陽(yáng)光線與中午12時(shí)太陽(yáng)光線15米（B、E、C在【答案】塔高AB約為32.99米.【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)D作DHLAB,垂足為點(diǎn)H,設(shè)AB=x,則AH=x-3,解直角三角形即可得到結(jié)論.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DHXAB,垂足為點(diǎn)H./ADH=32.=BC,/ABC=/AHD=90；設(shè)AB=x,貝UAH=x-3.AB在RtABE中，由/AEB=45；得tanAEBtan451EBEB=AB=x.HD=BC=BE+EC=x+15.在RtAHD中，由ZAHD=90；得tanadhAHHD即得tan32x3x15解

13、得x15tan3231tan3232.99.1.塔高AB約為32.99米.【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.7.2018年12月10日，鄭州市城鄉(xiāng)規(guī)劃局網(wǎng)站掛出鄭州都市區(qū)主城區(qū)停車(chē)場(chǎng)專項(xiàng)規(guī)劃，將停車(chē)納入城市綜合交通體系，計(jì)劃到2030年，在主城區(qū)新建停車(chē)泊位33.04萬(wàn)個(gè)，2019年初，某小區(qū)擬修建地下停車(chē)庫(kù)，如圖是停車(chē)庫(kù)坡道入口的設(shè)計(jì)圖，其中MN是水平線，MN/AD,AD±DE,CFLAB,垂足分別為D,F,坡道AB的坡度為1:J3,DE=3米，點(diǎn)C在DE上，CD=0.5米，CD是限高標(biāo)志屏的高度（標(biāo)志牌上寫(xiě)有：限高米），

14、如果進(jìn)入該車(chē)庫(kù)車(chē)輛的高度不能超過(guò)線段CF的長(zhǎng)，則該停車(chē)庫(kù)限高多少米？（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)72=1.41J3=1.73限高一米MBN據(jù)題意得出tanB立3得出/1的正切值，再在【詳解】解：由題意得,tanB【答案】該停車(chē)庫(kù)限高約為2.2米.【解析】,即可得出tanA,在RtADE中，根據(jù)勾股定理可求得DE,即可RtCEF中，設(shè)EF=x,即可求出x,從而得出CF=J3x的長(zhǎng).MN/AD,/A=/B,"tanA=,3.DEXAD,DE 在RtADE中，tanA=AD .DE=3,又.DC=0.5,.CE=2.5,.CUAB, /FCE/CEF=90； .DEXAD,/A+/CEF

15、=90；/A=/FCE.tanZFCE=.3在RtCEF中，設(shè)EF=x,CF=邪x(x>0),CE=2.5,5一一一代入得(5)2=x2+3x2,2解得x=1.25,.CF=、,3x=2.2，該停車(chē)庫(kù)限高約為2.2米.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，坡面坡角問(wèn)題和勾股定理，解題的關(guān)鍵是坡度等于坡角的正切值.8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線DE交x軸于點(diǎn)E(30,0),交y軸于點(diǎn)D(0,、140),直線AB:y=-x+5交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,交直線DE于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)E作3EF±x軸交直線AB于點(diǎn)F,以EF為一邊向右作正方形EFGH(1)求邊EF的長(zhǎng)；(2)將正方形EF

16、GH沿射線FB的方向以每秒J10個(gè)單位的速度勻速平移，得到正方形E1F1G1H1,在平移過(guò)程中邊FiGi始終與y軸垂直，設(shè)平移的時(shí)間為t秒(t>0).當(dāng)點(diǎn)Fi移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求t的值；當(dāng)Gi,H1兩點(diǎn)中有一點(diǎn)移動(dòng)到直線DE上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)正方形日F1G1H1與4APE重疊部分的面積.【答案】(1)EF=15;(2)10;120;【解析】【分析】(1)根據(jù)已知點(diǎn)E(30,0),點(diǎn)D(0,40),求出直線DE的直線解析式y(tǒng)=-x+40,可3求出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出F點(diǎn)坐標(biāo)即可；易求B(0,5),當(dāng)點(diǎn)R移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，t=10J10W10=10；RDMH'中，-MH-EM3'F點(diǎn)

17、移動(dòng)到F'的距離是而t,F垂直x軸方向移動(dòng)的距離是t,當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到直線DE上時(shí)，在RtF'NF中，-NF=-,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在NF3t=4,s=1x(12+45)x11”23;當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到直線DE上時(shí)，在RtF'PK中，-PK-=-248FK3PKt34一一_一PK=t-3,F'K=3t-9,在RtPKG中，=,t=7,S=15X(15-7)=120.KG153t93【詳解】(1)設(shè)直線DE的直線解析式y(tǒng)=kx+b,將點(diǎn)E(30,0),點(diǎn)D(0,40),30kb0b4043，401 .y=-x+40,3直線AB與直線DE

18、的交點(diǎn)P(21,12),由題意知F(30,15),EF=15；(2)易求B(0,5),2 .BF=10，1Q,，當(dāng)點(diǎn)F1移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，t=10J10J10=10;當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到直線DE上時(shí),F點(diǎn)移動(dòng)到F'的距離是T10t,人NF1在RtF'NF中，=-,NF3.FN=t,F'N=3t,.MH'=FN=t,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在RtDMH'中，MH4,EM3t4-,153t3.t=4,.EM=3,MH'=4,145.S(12)11241023當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到直線DE上時(shí),F點(diǎn)移動(dòng)到F'的距離是Vwt,.PF=3

19、.10,.PF'=710t-3710,在RtF'PK中,PK.PK=t-3,F'K=3t9,在RtAPKG中,PKKGt34=153t931 .t=7,2 .S=15x(15-7)=120.【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)；掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用三角形的正切值求邊的關(guān)系，利用勾股定理在直角三角形中建立邊之間的聯(lián)系，準(zhǔn)確確定陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵.9.如圖，在？ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O,AC±BC于點(diǎn)C,將ABC沿AC翻折得到AEC,連接DE.(1)求證：四邊形ACED是矩形；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(2)若AC=4,B

20、C=3,求sin/ABD的值.6.1365【解析】【分析】(1)根據(jù)？ABCD中，AC±BC,而AB84AEC不難證明；(2)依據(jù)已知條件，在4ABD或4AOC作垂線AF或OF,求出相應(yīng)邊的長(zhǎng)度，即可求出ZABD的正弦值.【詳解】(1)證明：WAABC沿AC翻折得到aAEC,BC=CE,AC±CE, 四邊形ABCD是平行四邊形， .AD/BC,AD=BC,.AD=CE,AD/CE,.四邊形ACED是平行四邊形， .ACXCE, 四邊形ACED是矩形.(2)解：方法一、如圖1所示，過(guò)點(diǎn)A作AF±BD于點(diǎn)F,.BE=2BC=2Xk6,DE=AC=4,.二在RtBDE中

21、，._.一11一BDVbE2DE6422而SzXBDE=-xDE?AD-AF?BD,2243613AF=：,2.1313.RtABC中，AB=舊42=5,RtAABF中，AF66、,13sin/ABF=sin/ABD=AB1365.T方法二、如圖2所示，過(guò)點(diǎn)。作OF,AB于點(diǎn)F,同理可得，OB=1BDJ13,2一11一Saaob=OFABOABC,22.OF=.在RtBOF中,/入OFsin/FBO=OB66.135.1365'【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形翻折變化后所得圖形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和解直角三角形求線段的長(zhǎng)度，關(guān)鍵是正確添加輔助線和三角形面積的計(jì)算公式求出

22、sin/ABD.10.關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：sin(a+E=sinacos3+cosasin3cos(a+)3=cosacos-時(shí)nasin3Una+lan/ftan(a+8=荷麗利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來(lái)求值，如：lan450+tan6001+避d+8)(1+,/“”、1-tan45°，tan6JTi_i,門(mén)_.Hvi+tan105=tan(45+60)=1JVVA=+V/=-(2+口).根據(jù)上面的知識(shí)，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問(wèn)題：如圖，直升飛機(jī)在一建筑物CD上方A點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂端D點(diǎn)的俯角a=60；底端C點(diǎn)的俯角3=75；此

23、時(shí)直升飛機(jī)與建筑物CD的水平距離BC為42m,求建筑物CD的高.【答案】建筑物CD的高為84米.【解析】分析：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE，AB于點(diǎn)E,由題意易得/ACB=75,/ABC=90,DE=BC=42m)/ADE=60；這木¥在RtAABC和在RtAADE中，結(jié)合題中所給關(guān)系式分別求出AB和AE的長(zhǎng)，即可由CD=BE=AB-AE得結(jié)果了.詳解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE，AB于點(diǎn)E,由題意可得/ACB=75,ZABC=90,DE=BC=42m)CD=BEZADE=60°,在RtAABC和RtAADEI卡tan45DH-tan30042x=42x=+B41-tan450Uin3O0、

24、3'AB=BC?tan75°=42tan75。二,AE,xtanWiZm,.CD=AB-AE=423+R2/=叫(米).A答：建筑物CD的高為84米.睛：讀懂題意，把已知量和未知量轉(zhuǎn)化到RHABC和RtAADE中，這樣利用直角三角形中邊角間的關(guān)系結(jié)合題目中所給的兩角和的三角形函數(shù)公式”即可使問(wèn)題得到解決.11.已知：如圖，直線y=-x+12分別交X軸、y軸于A、B點(diǎn)，將4AOB折疊，使A點(diǎn)恰好落在OB的中點(diǎn)C處，折痕為DE.(1)求AE的長(zhǎng)及sin/BEC的值;(2)求4CDE的面積.375【答案】(1)5近，sin/BEC；(2)54【解析】【分析】(1)如圖，作CF，BE

25、于F點(diǎn)，由函數(shù)解析式可得點(diǎn)B,點(diǎn)A坐標(biāo)，繼而可得ZA=ZB=45；再根據(jù)中點(diǎn)的定義以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得OC=BC=6CF=BF=3、,5,設(shè)AE=CE=X貝UEF=AB-BF-AE=12/2-3j2-x=9j2-x,在RtCEF中，利用勾股定理求出x的值即可求得答案；(2)如圖，過(guò)點(diǎn)E作EMLOA于點(diǎn)M,根據(jù)三角形面積公式則可得2SaCDE=Skaed=ADXAE設(shè)AD=y,則CD=y,OD=12-y,在RtOCD中，利用勾股定理求出y,繼而可求得答案.【詳解】(1)如圖，作CF±BE于F點(diǎn),由函數(shù)解析式可得點(diǎn)B(0,12),點(diǎn)A(12,0),/A=/B=45。,又點(diǎn)C是OB中點(diǎn)，.oc=bc=Gcf=bf=3/2，設(shè)AE=CE=X則EF=AB-BF-AE=122-32-x=9.2-x,在RtCEF中，CEcP+e巴即x2=(90-X)2+(3行)2,解得：x=5J2，一CF3_故可得sin/BEC=一，AE=572；CE5(2)如圖，過(guò)點(diǎn)E作EMOA于點(diǎn)M,DM/0運(yùn)ADXAE42.275一ADXAE=-故S»Acde=Saed=貝US/cde=Saed=-AD?EM