全國(guó)第七屆學(xué)用杯九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題A卷

1、全國(guó)第七屆“學(xué)用杯”九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題A卷第七屆“學(xué)用杯”全國(guó)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽九年級(jí)初賽試題（A）卷（本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）溫馨提示：親愛(ài)的同學(xué)們，這份試卷將記錄你的自信、沉著與智慧.愿你能夠放松心情，認(rèn)真審題，縝密思考，細(xì)心演算，交一份滿意的答卷.一、選擇題（每小題6分，共30分）1.校園內(nèi)一個(gè)半徑為10米的圓形草坪，如圖1,一部分學(xué)生為走“捷徑”，走出了一條小路AR通過(guò)計(jì)算可知，這些學(xué)生踩壞了花草，其實(shí)僅僅少走了（假設(shè)2步為1米，結(jié)果保留整數(shù)）（）A.4步B.5步C.6步D.7步2.小紅的媽媽做了一個(gè)矩形枕套（長(zhǎng)、寬不等），又在枕套四周鑲上了相同寬度的花邊，如圖2所示，

2、關(guān)于兩個(gè)矩形，下列說(shuō)法正確的是（）A.兩個(gè)矩形相似B.兩個(gè)矩形不一定相似C.兩個(gè)矩形一定不相似D.無(wú)法判斷兩個(gè)矩形是否相似3.如圖3,方臺(tái)村為了抽取水庫(kù)的水來(lái)澆灌山上的果木樹(shù)，準(zhǔn)備在山坡上建一個(gè)抽水泵站.已知山坡上有A、P、Q三處可供選擇，且測(cè)得A到水庫(kù)C的距離為50mlP到C的距離為40mQ到C的距離為35m山坡的坡角/ACB=15.由于大氣壓的影響，止匕種水泵的實(shí)際吸水揚(yáng)程AB不能超過(guò)10m,否則無(wú)法抽取水庫(kù)的水，則水泵站應(yīng)建在（sin15=0.2588,cos15=0.9659,tan15=0.2679）（）A.A處B.P處C.Q處D.A、P、Q均可4.宏光學(xué)校有一面積為100米2的正方

3、形展廳，計(jì)劃鋪滿統(tǒng)一大小的正方形地板磚，現(xiàn)市場(chǎng)上有大、小兩種規(guī)格產(chǎn)品：大地板磚對(duì)角線長(zhǎng)為50cm,每塊0.8元；小地板石專(zhuān)對(duì)角線長(zhǎng)為40cm,每塊0.6元，甲公司的優(yōu)惠辦法是：凡購(gòu)買(mǎi)大地板磚700塊以上者給予9折優(yōu)惠，凡購(gòu)買(mǎi)小地板磚1000塊以上者給予7折優(yōu)惠；乙公司的優(yōu)惠辦法是：凡購(gòu)買(mǎi)700元以上者，不管購(gòu)買(mǎi)大塊還是小塊均按8折優(yōu)惠.在質(zhì)量、服務(wù)條件相同的情況下，為使學(xué)校支付的費(fèi)用最少，請(qǐng)你為該校選擇最佳購(gòu)買(mǎi)方案（）A.到甲公司購(gòu)買(mǎi)大塊地板磚B.到乙公司購(gòu)買(mǎi)大塊地板磚C.到甲公司購(gòu)買(mǎi)小塊地板石專(zhuān)D.到乙公司購(gòu)買(mǎi)小塊地板石專(zhuān)5.如圖4,在某條公路上，從里程數(shù)8m開(kāi)始到4000m止，每隔8m將樹(shù)

4、與燈按圖中的規(guī)則設(shè)立：在里程數(shù)8m處種一棵樹(shù)，在16m處立一盞燈，在24m處種一棵樹(shù)（相鄰的樹(shù)與樹(shù)、樹(shù)與燈之間的距離都是8米），且每?jī)杀K燈之間的距離相等.依此規(guī)則，下列里程數(shù)800m824m間樹(shù)與燈的排列順序中正確的是（）二、填空題（每小題6分，共30分）6.王強(qiáng)畢業(yè)于農(nóng)業(yè)技術(shù)職業(yè)學(xué)校，畢業(yè)后采用大棚栽培技術(shù)種植了一畝地的良種西瓜，第一年這畝地產(chǎn)西瓜625個(gè)，為了估計(jì)這畝地的收成，王強(qiáng)在西瓜大批上市前隨機(jī)摘下10個(gè)成熟的西瓜，稱(chēng)重如下：西瓜質(zhì)量（單位：千克）5.55.45.04.94.64.3西瓜個(gè)數(shù)（單位：個(gè)）123211根據(jù)以上信息可以估計(jì)這畝地的西瓜質(zhì)量約是千克.7.你是否用電腦進(jìn)行過(guò)圖

5、案設(shè)計(jì)？圖5（1）是小明在電腦上設(shè)計(jì)的小房子，然后他又進(jìn)行變化，得到圖5（2）;小亮也在電腦上設(shè)計(jì)了一個(gè)圖案，如圖5（3）,如果小亮也按小明變化圖形時(shí)的規(guī)律對(duì)圖5（3）進(jìn)行變化，得到的圖案是（畫(huà)出簡(jiǎn)圖）.8.某希望小學(xué)剛剛建起，田徑場(chǎng)還沒(méi)建好，秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，臨時(shí)設(shè)置簡(jiǎn)易跑道如圖6所示，兩端由兩個(gè)半圓組成，一周約250米，在一次400米跑比賽中，第一道從起點(diǎn)A要跑一圈半到終點(diǎn)C.第二道終點(diǎn)不變，且中途不準(zhǔn)搶道（每道寬1米）.為公平起見(jiàn)，第二跑道起點(diǎn)B應(yīng)比第一跑道向前移動(dòng).9.自行車(chē)輪胎安裝在前輪上行駛6000千米后報(bào)廢，若安裝在后輪上只能行駛4000千米.為了行駛盡可能遠(yuǎn)的路程，如果采用當(dāng)自行車(chē)

6、行駛一定路程后將前、后輪胎調(diào)換使用的方法，那么安裝在自行車(chē)上的一對(duì)新輪胎最多可行駛千米.10.已知，如圖7,余坡PQ坡度為，坡腳Q旁的點(diǎn)N處有一棵大樹(shù)MN近中午的某個(gè)時(shí)刻，太陽(yáng)光線正好與斜坡PQ垂直，光線將樹(shù)頂M的影子照射在斜坡PQ上的點(diǎn)A處.如果AQ=4米，NQ=侏，則大樹(shù)MN的高度為.三、解答題（本大題共60分）11.（本題10分）判斷決策：三個(gè)無(wú)線電廠家在廣告中都聲稱(chēng)，它們的半導(dǎo)體收音機(jī)產(chǎn)品在正常情況下，產(chǎn)品的平均壽命是8年，商品檢驗(yàn)部門(mén)為了檢查他們宣傳的真實(shí)性，對(duì)三個(gè)廠家出售的半導(dǎo)體收音機(jī)壽命進(jìn)行了抽樣統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下（單位：年）：甲廠：3、4、5、5、5、7、9、10、12、13、15

7、;乙廠：3、3、4、5、5、6、8、8、8、10、11;丙廠：3、3、4、4、4、8、9、10、11、12、13;請(qǐng)你利用所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)，對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行分析并回答以下問(wèn)題：（1）這三個(gè)廠家的廣告，分別利用了哪一種反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的特征數(shù)？（2）如果你是顧客，應(yīng)選購(gòu)哪個(gè)廠家的產(chǎn)品？為什么?12 .（本題15分）方案設(shè)計(jì)：東風(fēng)汽車(chē)租賃公司共有30輛出租汽車(chē)，其中甲型汽車(chē)20輛，乙型汽車(chē)10輛.現(xiàn)將這30輛汽車(chē)租賃給AB兩地的旅游公司，其中20輛派往A地，10輛派往B地，兩地旅游公司與汽車(chē)租賃公司商定每天價(jià)格如下表：每輛甲型車(chē)租金（元/天）每輛乙型車(chē)租金（元/天）A地1000800B地900600（1

8、）設(shè)派往A地的乙型汽車(chē)x輛，租賃公司這30輛汽車(chē)一天共獲得的租金為y（元），求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（2）若要使租賃公司這30輛汽車(chē)一天所獲得的租金總額不低于26800元，請(qǐng)你說(shuō)明有多少種分派方案，并將各種方案設(shè)計(jì)出來(lái)；（3）如果要使這30輛汽車(chē)每天獲得的租金最多，請(qǐng)你為租賃公司提出合理的分派方案.13 .（本題15分）實(shí)踐應(yīng)用：下承式混凝土連續(xù)拱圈梁組合橋，其橋面上有三對(duì)拋物線形拱圈.圖8（1）是其中一個(gè)拱圈的實(shí)物照片，據(jù)有關(guān)資料記載此拱圈高AB為10.0m（含拱圈厚度和拉桿長(zhǎng)度），橫向分跨CD為40.0m.（1）試在示意圖（圖8（2）中建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出

9、拱圈外沿拋物線的解析式；（2）在橋面M（BC的中點(diǎn)）處裝有一盞路燈（P點(diǎn)），為了保障安全，規(guī)定路燈距拱圈的距離PN得少于1.1m,試求路燈支柱PM勺最低高度.（結(jié)果精確到0.1m）14 .（本題20分）歸納猜想：同學(xué)們，讓我們一起進(jìn)行一次研究性學(xué)習(xí)：（1）如圖9,已知正三角形ABC勺中心為Q半彳至為R,將其沿直線l向右翻滾，當(dāng)正三角形翻滾一周時(shí)，其中心O經(jīng)過(guò)的路程是多少？（2）如圖10,將半徑為R的正方形沿直線l向右翻滾，當(dāng)正方形翻滾一周時(shí)，其中心O經(jīng)過(guò)的路程是多少？（3）猜想：把正多邊形翻滾一周，其中心O所經(jīng)過(guò)的路程是多少（R為正多邊形的半徑，可參看圖11）?請(qǐng)說(shuō)明理由.（4）進(jìn)一步猜想：任

10、何多邊形都有一個(gè)外接圓，若將任意圓內(nèi)接多邊形翻滾一周時(shí)，其外心所經(jīng)過(guò)的路程是否是一個(gè)定值（R為多邊形外接圓的半徑）？為什么？請(qǐng)以任意三角形為傷J說(shuō)明（如圖12）.通過(guò)以上猜想你可得到什么樣的結(jié)論？請(qǐng)寫(xiě)出來(lái).四、開(kāi)放題（本題30分）15.楊子晚報(bào)報(bào)道你家用“峰谷電”合不合算？：“峰谷電”的含義是這樣的，每天8：00到22：00用電每千瓦時(shí)是0.56元（峰電）；22:00至次日8:00每千瓦時(shí)是0.28元（谷電）.注：平時(shí)居民用電每千瓦時(shí)是0.52元.（1）根據(jù)你家的平時(shí)用電情況，算一算，你家用這樣的“峰谷電”合算嗎？（2）請(qǐng)根據(jù)“峰谷電”的使用，編擬一道數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，并給出解題過(guò)程，注明用的

11、什么數(shù)學(xué)知識(shí).第七屆“學(xué)用杯”全國(guó)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽九年級(jí)初賽試題（A）卷參考答案一、選擇題（每小題5分，共30分）1.B2.C3.C4.C5.D二、填空題（每小題5分，共30分）6.31257.8.2兀米9.480010.8米三、解答題（每小題15分，共60分）11.解：（1）因?yàn)榧讖S的收音機(jī)壽命的平均數(shù)是8年,眾數(shù)是5年，中位數(shù)是7年；乙廠的收音機(jī)壽命的平均數(shù)約是6.45年，眾數(shù)是8年，中位數(shù)是6年；丙廠的收音機(jī)壽命的平均數(shù)約是7.36年，眾數(shù)是4年，中位數(shù)是8年.6分所以，甲廠選用平均數(shù)，乙廠選用眾數(shù)，丙廠選用中位數(shù)；8分（2）因?yàn)榧讖S收音機(jī)的平均壽命比乙廠、丙廠的都高，因此，顧客應(yīng)選購(gòu)甲

12、廠的產(chǎn)品.10分12.解：（1）;6分（2）依題意，得，又因?yàn)椋?二.因?yàn)閤是整數(shù)，8,9,10,方案有3種.9分方案1:A地派甲型車(chē)12輛，乙型車(chē)8輛；B地派甲型車(chē)8輛，乙型車(chē)2輛；方案2:A地派甲型車(chē)11輛，乙型車(chē)9輛；B地派甲型車(chē)9輛，乙型車(chē)1輛；方案3:A地派甲型車(chē)10輛，乙型車(chē)10輛；B地派甲型車(chē)10輛.12分（3）;是一次函數(shù)，且，.y隨x的增大而增大.當(dāng)時(shí)，這30輛車(chē)每天獲得的租金最多.合理的分配方案是A地派甲型車(chē)10輛，乙型車(chē)10輛；B地派甲型車(chē)10輛.15分13.（1）如右圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，因拱圈外沿所在的拋物線過(guò)原點(diǎn)，且以y軸為對(duì)稱(chēng)軸，故

13、可設(shè)拋物線解析式為：，4分由題意拋物線過(guò)點(diǎn)，代入得，故拱圈外沿拋物線的解析式為：.8分（2）設(shè)，則：，,12分（m）,即路燈支柱PM的最低高度為8.6米.（其余解法可類(lèi)似給分）.15分14.解：（1）當(dāng)正三角形ABC向右翻滾一周時(shí)，其中心。經(jīng)過(guò)的路線是三條等弧，所以其中心。經(jīng)過(guò)的路程為：.3分（2）中心O經(jīng)過(guò)的路程為.6分（3）當(dāng)n邊形向右翻滾一周時(shí)，其中心O經(jīng)過(guò)的路線是n條等弧，這些弧的半徑為R,所對(duì)的圓心角為，所以中心O經(jīng)過(guò)的路程為.10分（4）是定值，理由如下：在ABC扎設(shè)，zABC的外接圓。0的半徑為R,把4ABC沿直線l向右翻滾一周時(shí)，其外心。經(jīng)過(guò)的路線是三條弧，當(dāng)AC邊與直線l重合

14、時(shí)，C與重合，A與重合，與重合，連接、，則，所以，所以，同理，另兩條弧長(zhǎng)分別為：，所以外心O所經(jīng)過(guò)的路程為.16分通過(guò)以上猜想可得結(jié)論為：把圓內(nèi)接多邊形翻滾一周時(shí)，多邊形的外心所經(jīng)過(guò)的路程是一個(gè)定值.20分四、開(kāi)放題（本題30分）15.（1）答案不惟一，可選擇自己家每月（或平均每天）的用電情況，計(jì)算說(shuō)明.只要合理即可得分.（本小問(wèn)10分）；（2）答案不惟一，本小問(wèn)共20分，編寫(xiě)題目合理可得10分，再寫(xiě)出解題過(guò)程，并說(shuō)明所用數(shù)學(xué)知識(shí)可得20分，以下題目可參考.題1:（用一元一次方程知識(shí)編擬）某戶居民今年二月份起使用“峰谷電”，三月份經(jīng)記錄這兩個(gè)月使用“谷電”150千瓦時(shí)，已知兩月共付電費(fèi)112元.問(wèn)該居民使用“峰谷電”多少千瓦時(shí)？費(fèi)用比原來(lái)節(jié)約了多少？（“峰谷電”中，“峰電”是8：00到22：00用電，“谷電”是22:00到次日8:00,下同