2016年線代B期末練習(xí)題綜述

1、線性代數(shù)B期末練習(xí)題(2016)(一)單項(xiàng)選擇題1 .若A,B為n階可逆方陣，且AB=BA,則下列等式不成立的是()_口1111(A)BA=AB(B)AB=BA(C)BA=AB(D)AB=BA2 .若由AB=AC必能推出B=C(A,B,C均為n階矩陣)則A必須滿足()(A)AWO(B)A=O(C)|A00(D)|AB003 .設(shè)A,B均為n階矩陣，且滿足等式AB=O,則必有()(A) |A| =0,或 |B| =0(B) A= O ,或 B=O(D) |A +|B| =O0P2= 001，則 A =0 (C)A+B=O4 .設(shè)A為nXn階矩陣，如果r(A)<n,則(A) A的任意一個(gè)行(

2、列)向量都是其余行(列)向量的線性組合(B) A的各行向量中至少有一個(gè)為零向量(C)A的行(列)向量組中必有一個(gè)行(列)向量是其余各行(列)向量的線性組合(D)A的行(列)向量組中必有兩個(gè)行(列)向量對(duì)應(yīng)元素成比例5 .已知向量組ot1,ot2,a3p4線性無(wú)關(guān)則向量組()(A)%F02+a3P3+«4,«4十%線性無(wú)關(guān)(B) %-«2,«2-«3,a3-a4,a4-a1線性無(wú)關(guān)(C) «1+a2p2+a3,a3+a4p4%線性無(wú)關(guān)(D)%+«2«2+a3p3a4p4%線性無(wú)關(guān)6.設(shè)n元齊次線性方程組AX=0的系數(shù)

3、矩陣A的秩為r,則AX=0有非零解的充分必要條件是()(A)r=n(B)r<n(C)r>n(D)r>n7 .n元線性方程組AX=b,r(A,b)<n,那么方程AX=b(A)無(wú)窮多組解(B)有唯一解(C)無(wú)解(D)不確定8 .設(shè)A為3階矩陣，將A的第2列加到第一列，得到矩陣B,再交換B的第二行與第三行10得單位矩陣，記P=11(B) P2P”(C) P2P1DPP2009 .下列命題正確的是()(A)若向量組線性相關(guān)，則其任意一部分向量也線性相關(guān)(B)線性相關(guān)的向量組中必有零向量(C)向量組中部分向量線性無(wú)關(guān)，則整個(gè)向量組必線性無(wú)關(guān)(D)向量組中部分向量線性相關(guān)，則整個(gè)向

4、量組必線性相關(guān)10 .設(shè)向量組%,%，的秩為r,則(A)必定r<s(B)向量組中任意小于r個(gè)向量部分組無(wú)關(guān)(C)向量組中任意r個(gè)向量線性無(wú)關(guān)(D)向量組任意r+1個(gè)向量線性相關(guān)11 .A是mxn矩陣，r(A尸r則A中必()(A)沒(méi)有等于零的r-1階子式至少有一個(gè)r階子式不為零(B)有不等于零的r階子式所有r+1階子式全為零(C)有等于零的r階子式?jīng)]有不等于零的r+1階子式(D)任彳sjr階子式都不等于零任何r+1階子式都等于零12 .能表成向量%=(0,0,0,1),豆2=(0,1,1,1),%=(1,1,1,1)的線性組合的向量是()(A)0,0,1,1(B)2,1,1,0(C)2,3

5、,1,0,-1(D)0,0,0,0,013 .向量組=(1,-1,2,4)02=9,3,1,2),氣=(30,7,14)口4=(1,-1,2,0)的秩為(A)1(B)2(C)3(D)414 .設(shè)A為n階方陣，且|A=0,則(A) A中任一行(列)向量是其余各行(列)向量的線性組合(B) A必有兩行(列)對(duì)應(yīng)元素乘比例(C) A中必存在一行(列)向量是其余各行(列)向量的線性組合(D) A中至少有一行(列)向量為零向量15 .向量組巴，10,，外線性相關(guān)的充要條件是()(A) %,%,，氣中有一零向量(B) «1產(chǎn)2,，1Ms中任意兩個(gè)向量的分量成比例(C) «1,32,，1

6、as中有一向量是其余向量的線性組合(D)%,口2，as中任意一個(gè)向量均是其余向量的線性組合16 .若向量P可由向量組Si02，3s線性表出，則()(A)存在一組不全為零的數(shù)k1,k2，ks,使等式k=k1al+k20t2+ksas成立(B)存在一組全為零的數(shù)ki,k2,，ks,使等式k=ki%+k21a2+ksSs成立(C)向量P,C(1,C(2，1Ms線性相關(guān)(D)對(duì)P的線性表示不唯一17 .對(duì)于n元方程組，正確的命題是()(A)如AX=0只有零解，則AX=b有唯一解(B)AX=0有非零解,則AX=b有無(wú)窮解(C)AX=B有唯一解的充要條件是A00(D)如AX=b有兩個(gè)不同的解，則AX=b有

7、無(wú)窮多解18 .設(shè)矩陣AmM的秩為r(A)=m<n,Im為m階單位矩陣，下述結(jié)論正確的是(A)A的任意m個(gè)列向量必線性無(wú)關(guān)(B)A的任意個(gè)m階子式不等于零(C)A通過(guò)初等變換，必可化為(Im,0)的形式(D)若矩陣B滿足BA=0"UB=0.19 .已知a1,a2,ct3是齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，那么基礎(chǔ)解系還可以是()(A) kv1k2：2k3：3(B) ：1：2,：2-：-3,：-3-：1(C) -1一：2,：2一：3,20.已知P1,3是非齊次線性方程組 AX(D) ,一:上3,"2,=b的兩個(gè)不同的解，口1,口2是導(dǎo)出組AX=0的基本解系，k1,k2為

8、任意常數(shù)，則 AX=b的通解是()(A)k/ ik2(11: 2)(C) k1-1 k2( -1-2)P -P1 22I -2(B)媼 1 k2(：1 -：2)-(D) k/ 1 *2(。)P +P1 22P +P1 2221.向量組5«2,，線性無(wú)關(guān)，且可由向量組日1,日2,，Ps線性表示，則,，)必()r(日1,日2,，瓦)(A)大于等于(B)大于22 .設(shè)n元齊次線性方程組(C)小于AX=0的通解為k (1, 2,(D)小于等于，n) T ,那么矩陣A的秩為(A) r(A)=1(B) r(A)=n-1(C) r(A)=n1 123,設(shè)矩陣A= 1 2,2 31 、2 31與矩陣

9、B =1 2+ 3,J 1A.2B. 1C.0(D)以上都不是1、-1等價(jià)，則人=()2JD.- 124.設(shè)n維向量組(，陽(yáng)，”(I)中每一個(gè)向量都可由向量組兒，邑,，Bs(n)線性表出，且有r>s,則()(A)(n)線性無(wú)關(guān)(B)(n)線性相關(guān)(C)(I)線性無(wú)關(guān)(D)(I)線性相關(guān)25 .設(shè)%,口2,Rn是n個(gè)m維向量，且n>m,則此向量組豆1,豆2,Rn必定()(A)線性相關(guān)(B)線性無(wú)關(guān)(C)含有零向量(D)有兩個(gè)向量相等26 .矩陣A適合條件()時(shí)，它的秩為r(A)A中任何r+1列線性相關(guān)(B)A中任何r列線性相關(guān)(C)A中有r列線性無(wú)關(guān)(D)A中線性無(wú)關(guān)的列向量最多有r

10、個(gè)27 .若mxn階矩陣A中的n個(gè)列線性無(wú)關(guān)則A的秩()(A)大于m(B)大于n(C)等于n(D)等于m28 .若矩陣A中有一個(gè)r階子式DW0,且A中有一個(gè)含D的r+1階子式等于零，則一定有R(A)()(A)>r(B)vr(C)=r(D)=r+129 .要斷言矩陣A的秩為r,只須條件()滿足即可(A) A中有r階子式不等于零(B) A中任何r+1階子式等于零(C) A中不等于零的子式的階數(shù)小于等于r(D) A中不等于零的子式的最高階數(shù)等于r30 .R(A)=n是n元線性方程組AX=b有唯一解()(A)充分必要條件(B)充分條件(C)必要條件(D)無(wú)關(guān)的條件31 .矩陣A=1-1的特征值為

11、0,2,則3A的特征值為()L1)(A)2,2;(B)0,6;(C)0,0;(D)2,6;1 -1.232. A=,則2I2A+A的特征值為()11J(A)2,2;(B)2-2;(C)0,0;(D)4-4;33.2A滿足關(guān)系式A2A+E=O,則A的特征值是(A)二2(B)(D)九二-234.已知2是A二(A)235.已知矩陣A=(A)22(B)4L4(B)-2-2-2的特征值，其中(C)-2bw。的任意常數(shù)，則x=（(D)-4-4（提示：用特征值的和等于跡-1有特征值%=九2=3,九3=12,則x二（(C)-2(D)4的結(jié)論來(lái)做較簡(jiǎn)單，跡的向定義見計(jì)算題與填空題36.設(shè)A為三階矩陣，有特征值為

12、1,-1,2,則下列矩陣中可逆矩陣是（(A)E-A(B)E+A(C)2E-A(D)2E+A16)（二）計(jì)算題與填空題1.A35A+6I=0,則A,(4A2-5I)2,設(shè)A是3父4矩陣，R（A）=2,B=-1-1-12，則R(BA)=-b(2)3.設(shè)A為3階矩陣，且|A|=2,則行列式|A*-3A|=(-"2)4,矩陣A=的秩最大為(4,2)X)5.設(shè)P=(1k5T,%=1-32T=(2-11F,k=(）時(shí)P可被向量組%42線性表出。(-8)6.1人0114、I6425U16117.已知線性方程組1aU2時(shí)方程組無(wú)解，當(dāng)a=時(shí)方程組有無(wú)窮多解。(2,0)8 .如果|A+3E|=0,則矩

13、陣A一定有特征值。(3)9 .設(shè)P=(122T,o(1=(111;，口2=(111戶3=(1-11.則P是否為向量組%，5,%的線性組合?(是)10 .確定a,b為何值時(shí)，使下列非齊次線性方程組有解，并求其所有解x-x22x3+3x4=0x_3x2-5x§2x4=-1X1x2 -ax3 4x4 = 17x210x37x4=b答：當(dāng)a=1,b=4時(shí)，解為-3c2，其中C1 ,C2為任意非零常數(shù)當(dāng)a # 1,b = 4時(shí)，解為2 12 0k其中k為任意常數(shù)方程組不存在唯一解_2J11 .求下列矩陣的特征值與特征向量10 2、(1) 0 10-2 0 1 >43 -1 2'(

14、2) 20-2必-1 -b答案：(1)兒=1,%=1,%=3,對(duì)應(yīng)于九=1的全部特征向量是k1(0,1,0T, k1 K0;對(duì)應(yīng)于九2=-1的全部特征向量是k2(1,0,1/，k2"0;對(duì)應(yīng)于 =3的全部特征向量是k3(-1,0,1 )T,(2),1=0,2=3=1,對(duì)應(yīng)于=0的全部特征向量是k11,k1為非零常數(shù);對(duì)應(yīng)于九2%1的全部特征向量為1、(0、k22十卜3-2,k2,k3是不同時(shí)為零的常數(shù)。12.三階矩陣A的特征值為=1,%=2,%=3,則'A=();A，A*,A+A2,&+A的特征值為().1 1(6； 1, , ； 6,3,2;2 3112,4 ,9

15、； 2,6,12.)2 313.設(shè)矩陣A= 1<01、-2 ,求k及A的三個(gè)特征值1 0、2 1有一個(gè)特征向量為10答案：k=3,A的三個(gè)特征值為1,3,4.14 .已知向量組1=2,1,2,1T,12=-1,1,-5,7T,：3=1,2,-3,8、14=1,-1,a,6T,二5=3,0,4,7T的秩為3,求a及該向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并用該極大無(wú)關(guān)組表示其余向量。答案：a=2,0(1,口2,久4為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，口3=四十口2+0a4，:5二11.0：214，15 .設(shè)向量組為=(1,k,1)a2=(k+1,2,123=(1,1,k,(1) k為何值時(shí)，豆1,豆2線性相關(guān)？線性無(wú)關(guān)？

16、(2) k為何值時(shí)，,口2,0f3線性相關(guān)？線性無(wú)關(guān)？(3)當(dāng)%,二2,。3線性相關(guān)時(shí)，將先表示為小92的線性組合.答案：(1)k=-2時(shí)線性相關(guān)，k#-2時(shí)線性無(wú)關(guān)；(2) k=1,2或2時(shí)線性相關(guān)；k¥1且k#2且k#2時(shí)線性無(wú)關(guān)；一一53(3) 當(dāng)k=-1時(shí)，£3=0f1+002；當(dāng)卜=2時(shí)，a3=U1+o(2.344'321'16.矩陣A=315的跡為。(7)心23定義：對(duì)于n階方陣A=(aj),矩對(duì)角線元素之和稱為方陣A的跡，記為trA,即trA=an+a22+ann，定義2.15如果矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣B,則稱矩陣A與B等價(jià)，記作A一

17、；B17已知:1二(1,4,0,2)T,：2=(2,7,1,3)T,：3=(0,1,-1,a)T=(3,10,b,4)T,問(wèn)(1) a,b取何值時(shí)，口不能由0(1,«2,«3線性表示？123(2) a,b取何值時(shí)，P可由巴P2p3線性表示？并寫出此表示式120:31203解(。1口2中3丹=)471：10r011-201-1；b一J0a一00：1<23a；4,'工000b-)2(1)當(dāng)b=2時(shí)，«%,%,%)¥«%,口2,口3/)=P不能由1M132尸3線性表示(2)當(dāng)b=2時(shí),1203、1203、47110r工0-11-2，則0

18、1-1b700a-10、23a4J、0000J(二1,二2,二3|：)=1,二2,二3線性表示；R(Cf1,C(2,C(3)=R(«1,«2,«3| P), P 可由若a=1,(3，0(2，京3 | P)-1 0 ：0 :200，得=-(2k+1口1+(k+2內(nèi)2+ka3,k為任意常數(shù);若a1 ,(0(1,0(2,久3 | P)r100<001000010-1200，得 P =-cc1 +2a2.(三)證明題：1 .設(shè)A為mn矩陣，B為ns矩陣，且AB=0,證明r(A)+r(B)£n.證設(shè)B=(01,p2,IH,Ps),則AB=(AP1,Ap2,HI,APs),由AB=0得人白=01=1,2,|兒$,所以矩陣B的