初中三角函數(shù)公式及其定理

1、初中三角函數(shù)公式及其定理第十一次授課1、勾股定理：直角三角形兩直角邊 a、b的平方和等于斜邊c的平方。a2 b2 c2sin A cos B cos A sin B由 A B 90 得 B 90 Asin A cos90 A cos A sin90 A2、如以下圖，在 Rt ABC中, Z C為直角，那么/ A的銳角三角函數(shù)為Z A可換成/ B:定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系正 弦.AA的對(duì)邊si nA人斜邊asin A c0 sin A 1Z A為銳角si nA cosB cosA sin Bsin 2 A cos2 A 1余 弦A的鄰邊cosA斜邊.b cosA c0 cos A 1Z A為銳角正

2、切A的對(duì)邊tan A 厶,A的鄰邊a tan A btan A 0Z A為銳角tan A cot B cot A tan B1tan A 倒數(shù)cot Atan A cot A 1余 切A的鄰邊cot A 丄 A的對(duì)邊bcot A acot A 0Z A為銳角3、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。4、任意銳角的正切值等于它的余角的余切值；任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。tan A cot B cot A tan B由 A B 90 * tanA cot90 A得 B 90 f cot A tan90A5、0°、30 °、45&#

3、176;、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值重要三角函數(shù)0 °30°45°60°90°sin012蟲2遲21cos12匹2120tan0旦3143-cot-1306 、正弦、余弦的增減性：當(dāng)0°<< 90°時(shí)，sin 隨 的增大而增大，cos隨 的增大而減小7 、正切、余切的增減性：當(dāng)0° < <90°時(shí)，tan 隨 的增大而增大，cot 隨 的增大而減小1、解直角三角形的定義：邊和角兩個(gè)，其中必有一邊t所有未知的邊和角。依據(jù)：邊的關(guān)系：a2 b2 c2;角的關(guān)系

4、：A+B=90 °；邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義。注意：盡量防止使用中間數(shù)據(jù)和除法2、應(yīng)用舉例：1仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角鉛垂線2坡面的鉛直高度h和水平寬度丨的比叫做 坡度坡比。用字母i表示，即ih。坡度一般l寫成1: m的形式，如i 1:5等。把坡面與水平面的夾角記作叫做坡角，那么i 一 tanl3、從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3, OA、OB、OC、OD的方向角分別是：45 °、135°、225 °。4、指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4,OA

5、、南偏東45°東南方向OB、OC、OD的方向角分別是：北偏東 30°東北方向 南偏西60°西南方向， 北偏西60°西北方向。典型例題例題12022安徽中考長(zhǎng)為4m的梯子搭在墻上與地面成45。角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為60°角如以下圖，那么梯子的頂端沿墻面升高了 m.AC =3 米,練習(xí)12022慶陽(yáng)中考如圖，一架梯子斜靠在墻上，假設(shè)梯子底端到墻的距離COS BAC 3，那么梯子長(zhǎng) AB =米.4例題2 2007湖州中考小明發(fā)現(xiàn)在教學(xué)樓走廊上有一拖把以15°的傾斜角斜靠在欄桿上，嚴(yán)重影響了同學(xué)們的行走平安。他自覺(jué)地將拖把挪動(dòng)位置，使其的傾斜角為7

6、5°如果拖把的總長(zhǎng)為，那么小明拓寬了行路通道 m 結(jié)果保存三個(gè)有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：sin 15 °,6練習(xí)22022 慶陽(yáng)中考如圖1，一扇窗戶翻開后用窗鉤 AB可將其固定.如圖2是如圖1中窗子開到一定位置時(shí)的平面圖，假設(shè)/AOB=45° , / OAB=30° , OA=60cm，求點(diǎn)B到OA邊的距離.31.7，結(jié)果精確到整數(shù)圖(1)圏(2)例題32022郴州中考如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組來(lái)到校園內(nèi)的一盞路燈下測(cè)量路燈的高度，測(cè)角儀AB的高度為米，測(cè)得仰角為30"，點(diǎn)B到電燈桿底端N的距離BN為10米，求路燈的高度MN是多少米？取.2 ,3，結(jié)果保存兩

7、位小數(shù)練習(xí)3 2022眉山中考海船以 5海里/小時(shí)的速度向正東方向行駛，在A處看見燈塔B在海船的北偏東60°方向，2小時(shí)后船行駛到 C處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)燈塔 B在海船的北偏西45方向，求此 時(shí)燈塔B到C處的距離。例題4 2022常德中考如圖，某人在D處測(cè)得山頂處，測(cè)得山坡 AC的坡度為i=1 :，求山的高度不計(jì)測(cè)角儀的高度，31.73，結(jié)果保存整數(shù).練習(xí)42022廣安中考如圖，某幼兒園為了加強(qiáng)平安管理，決定將園內(nèi)的滑滑板的傾角由450降為30o,原滑滑板 AB的長(zhǎng)為5米，點(diǎn)D、B、C在同一水平地面上.1改善后滑滑板會(huì)加長(zhǎng)多少？精確到2假設(shè)滑滑板的正前方能有 3米長(zhǎng)的空地就能保證平安，原滑滑

8、板的前方有6米長(zhǎng)的空地，像這樣改造是否可行？說(shuō)明理由。1.414, 3 1.732, 6 2.449 )A家庭作業(yè)1假設(shè)a為銳角，H 5ina=±那么tana為dtC.l2. fl： RxAAK中.ZC =以下式子不l農(nóng)成#的是<)A. sinA 二 sinB 3 eosA=$inB C. sir=eosB D. ZA*ZB=903. 的兩邊K分別足6. 8.那么弟二邊的K:為()B.2jl C10或20 D無(wú)法剣工I.心 Rt A ABC 中.2C0T 半已劉丄八和&時(shí).求c.應(yīng)選擇的關(guān)系式是()3inAB. c =CO3AC. c = a xanAtanzl5. s

9、in fcoZJ的伉號(hào)jD. LB. 300D, 156. A RtZUBC 中.ZC=90* tan A=3 AC I 10,那么 SAABC b(G肆7. fi銳ft a >30# 時(shí).WJ cos a 的值是()A.大于丄 3.小F丄 C.大干亜 D.小于迺2 2 2 28. 小明沿著坡侑為3Q'的坡面向下左了 2米，那么他下降(>A. I米 B- 米 C, 2忑 D.羊9.如圖.久四邊形 ABCD 屮.ZA=605 ZB=ZD=90> . BC=2. CD=3.那么 AB二()10 C知 RtAABC 中.ZC與0» tanA=- . BC二&

10、; 那么 AC1M iA. 6二.填空題11. il 2sin30* *2cos60 -3tan45 二.12 l sin28? =eos a '期 a =13. LJfelAABC 中.ZC-90 * ABX3 AC=5. tW tanA-5, czufif屮.zc=«r nz電氐的氏為g16. (an.乳爲(wèi)樓前。點(diǎn)芙伺樓應(yīng)的仰曲為30°. NK«in進(jìn)60柴迅CA為45S的高皮人約為k他來(lái)B.L63米C.52半t>M *17. 如圖.小甸將#m總女80用軒肋108側(cè)弟5的cm S.HMMS的島廈0 m. MitjmHWttiE的iiliffia

11、=60" 麗儀“ 毎的島腹為三、解衿垃18. |JT列義件角他西 fl RtAABC V. ZC=90，<J>己卻“l(fā)b=8.<2>己知XlO(3) CLHJe=20. ZA=60* G) (2)已劃=5. ZB=35*19. ilW F劉備層.<1)sin:30 -cos：l5 運(yùn)応n® weh【Ulio(> <tn30"sinrld*20.吐¥11 I名兩次復(fù)察地而上的第一次地而成恬 収.次足31尤X定而戚3<r時(shí)，第次電余劉的杉f比第一次后鄉(xiāng)力米？21.如題AB層江北出濱江將一段上為3 丁米.t為南斥

12、一滅6 為r解快曲岸交迪用虔擬nc StKWr炸測(cè)用襯AC1 C化倔西30方阿V的狙北方問(wèn)./U處itlfi兩岸的M址的橋少？ W fcftMO. 1)22. (Uffl-點(diǎn)人尼一個(gè)T補(bǔ)溝300來(lái)的圓購(gòu)*林公ra'P心竹“林公閃附近TTB.C円個(gè)片"現(xiàn)経 右BC対卜川之的修一條艮為1000象的乜白公殆將理村iiifi.址測(cè)再ZABU佑 ZXCB=3C,同此公埒 地舌金字過(guò)該介林公園？ i酚dilil耳進(jìn)行說(shuō)1flBH答案局部匚點(diǎn)拔：氏為 施為FW 么也可86為i.A U披：siM一用以尸 一csinJ5. A6DT.0 :Att：余毀SKiFiM度的增人rti孩小.<0

13、3 C6M30'所以“s返.S. A9.BC BO.A C：ta-.AC=.點(diǎn)費(fèi)：>iajV=2 x ££ 3 X 1=1 $.14.12530慮哄也產(chǎn)/宀皿? lanA=-喚o,血w護(hù)傘戕5.16.82 t 17.16心卜 2“1 eJtP" = V-*: *8* -45 t2 f BCI. “亠亠斗亜護(hù)丄二且學(xué)二泌. ranB tan60? Ji 3 sin 5 $ii>60® JJ 3/A如-ZB-90 g 如X第一決虬館到的影氏為5心社45=5 (；弟次心創(chuàng)的步K.為5心“30 =邛?和兩次畏永到的彫門“J>；址5>

14、;55 * 21.過(guò)點(diǎn)C作CDAB FdD.米那么小明拓寬了行路通道75:RtAACH10.2022慶陽(yáng)中考如圖ffi LJ. BD=C3=m15。的傾斜角斜靠在欄桿上，嚴(yán)重影響11. 2007湖州中考小明發(fā)現(xiàn)在教學(xué)樓走廊上有一拖把以Aififi 吊腦 Affi ZACD=SOL答案：475°如果拖把的總長(zhǎng)為m .結(jié)果保存三個(gè)有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：sin15CD就是連接兩斥最如溥橋.茂CD衆(zhòng) 天 它肖角二購(gòu)舷BCD中.架梯子斜靠在墻上，假設(shè)梯子底端到墻的距離AC =3米COS BAC 3，那么梯子長(zhǎng)AB4AH = 500>/3 -500> 300羋十半“00C131145&

15、#176; tan 30b，中.BHtan 45 W旦tan 30*了同學(xué)們的行走平安。他自覺(jué)地將拖把挪動(dòng)位置，使其的傾斜角為答案:三、解答題12. 2022慶陽(yáng)中考如圖1，一扇窗戶翻開后用窗鉤AB可將其固定.如圖2是如圖1中窗子開到一定位置時(shí)的平面圖，假設(shè)/AOB=45° / OAB=30°, OA=60cm，求點(diǎn)B到OA邊的距離.C 31.7，結(jié)果精確到整數(shù)【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)B作BC丄OA于點(diǎn)C/ / AOB=45° / CBO=45° BC=OC. 設(shè) BC=OC=x,vZ OAB=30° , AC=BC Xan60 ° 3 x

16、.OC+ CA=OA, x+ 3 x=60,x= 60"1322 cm.即點(diǎn)B到OA邊的距離是22 cm.13. 2022郴州中考如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組來(lái)到校園內(nèi)的一盞路燈下測(cè)量路燈的高度，測(cè)角儀AB的高度為米，測(cè)得仰角為30"，點(diǎn)B到電燈桿底端N的距離BN為10米，求路燈的高度MN是多少米？取 2 ,3 , 結(jié)果保存兩位小數(shù)MP=10tan30° =10 X-襪3因?yàn)锳B _ 1.5米所以 MN=1.5+5.77=米答：路燈的高度為米14. 2022眉山中考海船以5海里/小時(shí)的速度向正東方向行駛，在A處看見燈塔B在海船的北偏東60°方向，2小時(shí)后船行駛到

17、C處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)燈塔 B在海船的北偏西45方向，求此時(shí)燈 塔B到C處的距離。【解析】如圖，過(guò)B點(diǎn)作BD丄AC于D1t1 LA°D/ DAB = 90° 60° = 30° / DCB = 90° 45° = 45設(shè) BD = x,在 Rt ABD 中，AD = x tan30 °= , 3x在 Rt BDC 中，BD = DC = xBC =2x又 AC = 5X2 = 10 , 3x x 10, 得 x 5 .3 1, BC '.2 5、3 15 , 6、2海里答：燈塔b距c處5、6海里15.2022常德中考如圖，某

18、人在1.73,結(jié)果保存整數(shù)D處測(cè)得山頂 C的仰角為30°，向前走200米來(lái)到山腳 A處,測(cè)得山坡AC的坡度為i=1 :,求山的高度不計(jì)測(cè)角儀的高度,1【解析】設(shè)山高BC = X，貝U AB= x ,tan30BCBD2x，得1200-x2(2 3 1)x 400 ,解得x4002 3 1400(2'3 1) 62 米1145o降為16.2022 廣安中考如圖，某幼兒園為了加強(qiáng)平安管理，決定將園內(nèi)的滑滑板的傾角由30o,原滑滑板 AB的長(zhǎng)為5米，點(diǎn)D、B、C在同一水平地面上.1改善后滑滑板會(huì)加長(zhǎng)多少？精確到6米長(zhǎng)的2假設(shè)滑滑板的正前方能有 3米長(zhǎng)的空地就能保證平安，原滑滑板的前方有 空地，像這樣改造是否可行？說(shuō)明理由。(參考數(shù)據(jù)：2 1