極坐標(biāo)與參數(shù)方程題型及解題方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一、復(fù)習(xí)提問1、 極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系有什么區(qū)別？學(xué)校老師課堂如何講解極坐標(biāo)參數(shù)方程的？2、 如何把極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系？答：將極坐標(biāo)的極點(diǎn)O作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，將極坐標(biāo)的極軸作為直角坐標(biāo)系x軸的正半軸。如果點(diǎn)P在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為，在極坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為，則有下列關(guān)系成立：，3、 參數(shù)方程表示什么曲線？4、 圓 的參數(shù)方程是什么？5、 極坐標(biāo)系的定義是什么？答：取一個(gè)定點(diǎn)，稱為極點(diǎn)，作一水平射線，稱為極軸，在上規(guī)定單位長(zhǎng)度，這樣就組成了一個(gè)極坐標(biāo)系設(shè)OP，又. 和的值確定了，則點(diǎn)的位置就確定了。叫做點(diǎn)的極半徑，叫做點(diǎn)的極角，叫做點(diǎn)的極坐標(biāo)（規(guī)定寫在前，寫在后）

2、。顯然，每一對(duì)實(shí)數(shù)決定平面上一個(gè)點(diǎn)的位置.6、參數(shù)方程的意義是什么？二、題型與方法歸納1、 題型與考點(diǎn)（1） （2） (3) 2、解題方法及步驟（1）、參數(shù)方程與普通方程的互化化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式（三角的或代數(shù)的）消去法；化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)，先確定一個(gè)關(guān)系（或，再代入普通方程，求得另一關(guān)系（或）.一般地，常選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率，某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）例1、方程（為參數(shù)）表示的曲線是（ ）A. 雙曲線 B.雙曲線的上支 C.雙曲線的下支 D.圓解析：注意到t與互為倒數(shù)，

3、故將參數(shù)方程的兩個(gè)等式兩邊分別平方，再相減，即可消去含的項(xiàng)，即有，又注意到 ，即，可見與以上參數(shù)方程等價(jià)的普通方程為，顯然它表示焦點(diǎn)在軸上，以原點(diǎn)為中心的雙曲線的上支，選B.練習(xí)1、與普通方程等價(jià)的參數(shù)方程是（ ）（為能數(shù)）解析：所謂與方程等價(jià)，是指若把參數(shù)方程化為普通方程后不但形式一致而且的變化范圍也對(duì)應(yīng)相同，按照這一標(biāo)準(zhǔn)逐一驗(yàn)證即可破解. 對(duì)于化為普通方程為；對(duì)于化為普通方程為；對(duì)于化為普通方程為;對(duì)于化為普通方程為.而已知方程為顯然與之等價(jià)的為.練習(xí)2、設(shè)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是 ，最小值為 .分析：注意到變量的幾何意義，故研究二元函數(shù)的最值時(shí)，可轉(zhuǎn)化為幾何問題.若設(shè)，則方程表示

4、一組直線，（對(duì)于取不同的值，方程表示不同的直線），顯然既滿足，又滿足，故點(diǎn)是方程組的公共解，依題意得直線與橢圓總有公共點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為研究消無(wú)后的一元二次方程的判別式問題.解析：令，對(duì)于既滿足，又滿足，故點(diǎn)是方程組的公共解，依題意得，由，解得：，所以的最大值為，最小值為.（2）、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 利用兩種坐標(biāo)的互化，可以把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，這二者互化的前提條件是（1）極點(diǎn)與原點(diǎn)重合；（2）極軸與軸正方向重合；（3）取相同的單位長(zhǎng)度.設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，它的極坐標(biāo)為，則或；若把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，求極角時(shí)，應(yīng)注意判斷點(diǎn)所在的象限（即角的終邊的位置），以便正確地求出角.例2、極坐標(biāo)

5、方程表示的曲線是（ ） A. 圓B. 橢圓C. 雙曲線的一支D. 拋物線分析：這類問題需要將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程進(jìn)行判斷.解析：由，化為直角坐標(biāo)系方程為，化簡(jiǎn)得.顯然該方程表示拋物線，故選D.練習(xí)1、已知直線的極坐標(biāo)方程為，則極點(diǎn)到該直線的距離是 解析：極點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，對(duì)于方程，可得，化為直角坐標(biāo)方程為，因此點(diǎn)到直線的距離為 練習(xí)2、極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為（ ）A B C D分析：極坐標(biāo)化為直解坐標(biāo)只須結(jié)合轉(zhuǎn)化公式進(jìn)行化解. 解析：，或，因此選C.練習(xí)3、點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，則點(diǎn)的極坐標(biāo)為（ ）A B C D 解析：都是極坐標(biāo)，因此選C.（3）、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程互化例3：已知曲

6、線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為 （1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； （2）曲線，是否相交，若相交請(qǐng)求出公共弦的長(zhǎng)，若不相交，請(qǐng)說明理由解：（1）由得，曲線的普通方程為，即，曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）圓的圓心為，圓的圓心為，兩圓相交，設(shè)相交弦長(zhǎng)為，因?yàn)閮蓤A半徑相等，所以公共弦平分線段， ，公共弦長(zhǎng)為練習(xí)1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程.已知曲線C：（為參數(shù)，)，（）將曲線化為普通方程；（）求出該曲線在以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系下的極坐標(biāo)方程解析：（）（）（4）利用參數(shù)方程求值域例題4、在曲線：上求一點(diǎn)，使它到直線：的距離最小，并求

7、出該點(diǎn)坐標(biāo)和最小距離.解：直線化成普通方程是，設(shè)所求的點(diǎn)為，則C到直線的距離，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最小值1 ，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是.練習(xí)1、在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓（）的圓心為 ，求的取值范.解：由題設(shè)得（為參數(shù)，），于是，所以. 練習(xí)2、已知曲線的極坐標(biāo)方程是，設(shè)直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)） （）將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程； （）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)是，曲線上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值.解：（1）曲線的極坐標(biāo)方程可化為： 又， ，.所以，曲線的直角坐標(biāo)方程為：. （2）將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程得：， 令 得即點(diǎn)的坐標(biāo)為， 又曲線為圓，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，則，.（5）直線參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義

8、例5、已知直線經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角，寫出直線的參數(shù)方程;設(shè)與圓相交與兩點(diǎn)，求點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之積. 解 （1）直線的參數(shù)方程為，即 （2）把直線代入，得，則點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之積為 練習(xí)1、求直線（）被曲線所截的弦長(zhǎng).解：將方程，分別化為普通方程：，圓心，半徑為，圓心到直線的距離，弦長(zhǎng).（6）、參數(shù)方程與極坐標(biāo)的簡(jiǎn)單應(yīng)用參數(shù)方程和極坐標(biāo)的簡(jiǎn)單應(yīng)用主要是：求幾何圖形的面積、曲線的軌跡方程或研究某些函數(shù)的最值問題.例6、已知的三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，判斷的形狀，并計(jì)算其面積. 分析：判斷的形狀，就需要計(jì)算三角形的邊長(zhǎng)或角，在本題中計(jì)算邊長(zhǎng)較為容易，不妨先計(jì)算邊長(zhǎng).解析：如圖，對(duì)于，又，由余弦定理得： ，同理，

9、所以為等腰三角形，又，所以邊上的高，.練習(xí)1、如圖，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，等腰的頂角為（，按順時(shí)針方向排列），求點(diǎn)的軌跡方程.解析：取為極點(diǎn)，正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，則直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)，因點(diǎn)在直線上， 為等腰三角形，且，而，以及， ，把<2>代入<1>，得點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程為：.三、趁熱打鐵1把方程化為以參數(shù)的參數(shù)方程是（ ）A B C D 解析：D ， ，取非零實(shí)數(shù)，而A，B，C中的的范圍有各自的限制.2曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是（ ）A B C D解析：B，當(dāng)時(shí)，而，即，得與軸的交點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，而，即，得與軸的交點(diǎn)為.3直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（ ）A B C D 解析：

10、B ，把直線代入得，弦長(zhǎng)為4若點(diǎn)在以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線上，則等于（ ）A B C D 解析：C 拋物線為，準(zhǔn)線為，為到準(zhǔn)線的距離，即為.5已知曲線上的兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，那么=_。解析：， 顯然線段垂直于拋物線的對(duì)稱軸。即軸，6圓的參數(shù)方程為，則此圓的半徑為_。解析： 由得 故半徑為5.7分別在下列兩種情況下，把參數(shù)方程化為普通方程：（1）為參數(shù)，為常數(shù)；（2）為參數(shù)，為常數(shù)；解：（1）當(dāng)時(shí)，即； 當(dāng)時(shí)， 而，即；（2）當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，得，即得，即.8過點(diǎn)作傾斜角為的直線與曲線交于點(diǎn)，求的值及相應(yīng)的的值.解：設(shè)直線為，代入曲線并整理得，則，所以當(dāng)時(shí)，即，的最小值為，此時(shí).9參數(shù)方程表

11、示什么曲線？解：顯然，則， 即，得，即.四、溫故強(qiáng)化1下列在曲線上的點(diǎn)是（ ）A B C D解析：B 轉(zhuǎn)化為普通方程：，當(dāng)時(shí)，.2將參數(shù)方程化為普通方程為（ ）A B C D解析：C 轉(zhuǎn)化為普通方程：，但是.3. 若，則|AB|=_，_（其中O是極點(diǎn)）解析：在極坐標(biāo)系中畫出點(diǎn)A、B，易得，在中，由余弦定理得：， 所以.4直線被圓截得的弦長(zhǎng)為_解析： 直線為，圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)的一半為，得弦長(zhǎng)為.5. 直線（t為參數(shù)）上任一點(diǎn)P到的距離為_解析：所求距離為2|t|（把直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式）6. 的軌跡方程為_。解析：設(shè)，而， 由重心坐標(biāo)公式，得：（為參數(shù)）， 消參，得點(diǎn)G的軌跡方程為.7. 若方程的曲線是橢圓，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：將方程兩邊同乘以，化為：，即，整理得