三角變換中的構(gòu)造技巧

1、三角變換中的構(gòu)造技巧趙淑芳通過構(gòu)造形象或抽象的數(shù)學(xué)模型將三角變換問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，對(duì)于鍛煉聯(lián)想、創(chuàng)造性思維都有獨(dú)到的作用。茲舉幾例說明。一.構(gòu)造函數(shù)例1.已知a、6為銳角，滿足cossincos_，、一2,求證:sin0,上單調(diào)遞減。2證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)竺竺sincos.，顯然函數(shù)f(x)在xsinx因?yàn)閏ossincossin所以f()2又因?yàn)閒cos2cos22sinsin22所以f()f2于是2故2二.構(gòu)造方程例2.已知sin1cos-,50,求cot的值。解：因?yàn)閟in1cos5所以(sincos)212sincos1_25所以sincos1225故sin,cos是二次方程x2

2、1-x512250的兩個(gè)實(shí)數(shù)根因?yàn)?,.4.所以sin,cos-,cot55三.構(gòu)造數(shù)列例3.同例2。解：因?yàn)閟incos15所以sin,110,cos1成公差為d的等差數(shù)列且sin110d,cos1d10則102d102d1解得d7_10因?yàn)?,所以sin0,d-710故sin45cos35,cot34四.構(gòu)造對(duì)偶式例4.求值：cos20cos40-cos80解：令A(yù)cos20-cos40-cos80構(gòu)造對(duì)偶式Bsin20-sin40-sin80則A-B(cos20-sin20)-(cos40-sin40)-(cos80-sin80)sin40sin80sin1608sin40sin80si

3、n2081B8即A-B1B,故cos20-cos40-cos80-88五.構(gòu)造不等式例5.已知sin3cos31,求sin20062006cos的值。解：因?yàn)閟in,cos1,1所以sin3sin2,cos3cos2即sin33-22cossincos由已知sin3cos31得:sin3sin232,coscos故sin1,cos0或sin0,cos2006于是sincos2006六.構(gòu)造比例式例6.求證:sectansectan1sectan證明：因?yàn)閟ec2tan2sectan所以1sectan由等比定理知:(sectan)1sectan(sectansectan即sec1tan1sect

4、an七.構(gòu)造參數(shù)例7.已矢口2sincos1解：構(gòu)造參數(shù)k使得,sincossincos1ksincos1k)cosk1,與2sinsin1,求coscoscos1聯(lián)立則(1k)sin(1的值。1解得sin2kk33k3k3而sin2cos223kk3解得k0或k2故所求值為0或2。八.構(gòu)造平面圖形例8.求tan204sin20的值。解：如圖1所示，構(gòu)造單位圓，交x軸于點(diǎn)A,角20°、60°的終邊分別交AC于B、C則AB=tan20,OBsec20,AC龍?jiān)贠BC中，OC邊上的高為BH,11則由面積公式得BHOCBC122即BC2sec20sin404sin20故tan20

5、4sin20ABBC.3。圖1九.構(gòu)造向量例9.求cos5cos77cos149cos221cos293的值。解：如圖2所示，作出邊長(zhǎng)為1的正五邊形A1A2A3A4A5，且A1A2與x軸的交角為5°。由于AU?A2A3A3A4A4A5A5A10，它們?cè)趚軸上投影的和為0,且各個(gè)向量與x軸的交角分另U為5°、77°、149°、221°、293°,故有cos5°cos77°cos149°cos221°cos293°0。圖2十.構(gòu)造解析幾何模型例10.已知a、6為銳角,4cos2cos.4sinsin4cos2cossin4sin22證明：設(shè)A竺cos.2sin一,在sin22xy1d上，而知B(cos,sin)在直線xcosysin1(Z上，知d11rsin2cos2在直線上