兩條異面直線所成的角

1、向量法求空間角求空間角的大小，是立體幾何的重點、難點，也是高考中的熱點。運用向量解決這類問題，可以把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量問題，從而求出角的大小。向量法的最大優(yōu)點是思路清晰，過程簡捷，可以不去直接做出角，從而降低了對空間想象能力和邏輯思維能力的要求。下面對用向量求空間角分類例說。一、兩條異面直線所成的角1、求角的方法：設(shè)兩條異面直線為Li、L2所成的角為e。向量a,b分別ii、I?的方向向量。因為兩條異面直線所成的角亦(0,蘭，所以cose>0。又因為向量a,b的夾角，<a,b>b,?！浚琧os<a,2abb>的值的符號不定，所以cos0=cos<a,b=b2、

2、例題例1、(09福建17)如圖，四邊形ABC況邊長為1的正方形，MD_L*面ABCD,NB_L平面ABCD，且MD=NB=,1E為BC的中點求異面直線NE與AM所成角的余弦值解析：如圖以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)D-xyz依題意，得D(0,0,0)A(1,0,0)M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E(,1,0)。2EneljajM,<10,cos<NE,AMx=,|NE|AM|10所以異面直線NE與AM所成角的余弦值為畫10評析：此題中利用向量的坐標(biāo)法求出兩向量的夾角的余弦值為負值，但兩條異面直線所成的角的余弦值卻為正值。二、直線和平面所成

3、的角1、求角的方法:直線與平面所成的角為0,a是直線l的方向向量，b是平面a的一個潔回量,_|ab貝，sin8=cos<a,b>|=ab說明：兩種情況都成立，所以在做題時無需考慮斜線的方向.向量和平面的法向量的方向CE2、例題例2、（09遼寧18）（本小題滿分12分）B如圖，己知兩個正方形ABC呼口DCEE在同一平面內(nèi)M,N分別為AB,DF的中點，若平面ABCa平面DCEFDCDFDA為x,y,求直線MN平面DCE所成角的正弦值;解：設(shè)正方形ABCDDCEF勺邊長為2,以D為坐標(biāo)原點，分別以射線z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.設(shè)直線MN平面DCEF所成角為則M(1,0,2),N(

4、0,1,0),可得MN=(1,1,2),又DA=(0,0,2)為平面DCEF勺法向量，可得cos:：MN,DA=呻©=一技|MN|DA|3MNDA而所以sine=MNDA3所以MN平面DCE所成的角的正弦值為-6.3三、二面角的平面角1、求角的方法：與AN夾角的大小就是二面角平面角的大小(2)中向量AM與BN夾角的大小也是二面角平面角的大小因此在解題中只需在兩個半平面內(nèi)與二面角的棱垂直的兩個向量，求它們的夾角即可。方法二：利用平面向量的法向量來解決在以上四種情況中(1)(4)兩種情況向量的夾角與二面角的平面角互補，(2)(3)兩種情況向量的夾角與二面角的平面角相等。在解題時判斷好法向

5、量的方向，是以上四種中的哪一種，從而確定二面角的大小。不用判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角。(二面角的平面角是銳角還是鈍角，大部分看圖就能直接看出來)2、例題例3:(09山東18)(本小題滿分12分)如圖，在直四棱柱ABCD-AB1C1D1中，底面ABCC等腰梯形，ABZ/CD,AB=4,BC=CD=2,AA=2,E、Ei、F分別是棱ADAA、AB的中點。(1)證明：直線EE1/Z平面FCC；ATBi(2)求二面角B-FC1-C的余弦值。E1(1)證明略(2)解：解法過B點做FC的垂線垂足為P點，過C點做FC1的垂線垂足為Q點。貝PB,qC的值即為二面角B-FCACDiCBiEi所以BF=BC

6、=CBCF為正三角形，因為ABCDDEF平面角的值。因為AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中點,A等腰梯形，所以ZBACWABC=60,取AF的中點M,連接DM則D/AB,所以D/CD,以D岫x軸,DC為y軸,DDi為z軸建立空間直角坐標(biāo)系則F(J3,1,0),BM，3,0),C(0,2,0),Ci(0,2,2)FCi=(-.3,1,2)PBQC=1,PB=史42設(shè)FP=&fc；=(-J3兀，兀，2兀)貝gP(-J3>人+1,2兀)，PB=(J3x.,2-舄，-2丸)FC1PB=-3-+2-4=0同理可得QC=(-乎,1,-1),cos<PB,親>=整竺=

7、5;PBQC7所以二面角B-FC1-C的余弦值為手（不用判斷二面角是銳角還是鈍角，但此種方法需有二面角的棱）z解法二:因為AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中點，所以BF=BC=CBCF為正三角形，因為ABCD等腰梯形，所以ZBACWABC=60,取AF的中點M,連接DM則D/AB,所以D/CD,以D岫x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，X則D(0,0,0),F(扼,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2)所以CF=(、3,-1,0),CC1=(0,0,2)FC1=(-、.3,1,2)設(shè)平面CCF的法向量為nCF=0n=(x,y,z)XInCC=0所以1岳十0取n=（1姬,o）z=0y=0訐*/乂+2乙=0，取幾=（2,0，扼），則n：=21-300、3=2,-nFB=0FB=(0,2,0)，設(shè)平面BFC的法向重為R|=(x,y,z)，則E所以n