空間幾何體的表面積和體積測試題正式版

1、空間幾何體的表面積和體積 測試題正式版空間幾何體的表面積和體積測試一、選擇題（每小題 5分共50分）1. 已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱（其底面是正方形， 于底面）高為4,體積為16,A 16B. 202、已知圓柱與圓錐的底面積相等，則 M: V2= （） A. 1 : 3且側(cè)棱垂直）D.則這個球的表面積是（C. 24高也相等，它們的體積分別為B. 1: 1 C. 2: 1 D. 332V和 V2,:13、一個體積為8cm3的正方體的頂點都在球面上，則球的表面積是2.20 cmAB =2, AA=4,A. 8 cm2 B . 12 cm2 C . 16 cm 2 D4. 、如右圖為一個幾何

2、體的三視圖，其中府視圖為正三角形，則該幾何體的表面積為（）（A）6+（B）24+（C）24+2（D）32的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是（）A. 2. 2 B .12 c . 22 D2 26. 半徑為的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為（A.24_3r3 C8_5 r3 D247. 圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的倍，母線長為，圓臺的側(cè)面積為84 ，則圓臺較小底面的半徑為（）A.B.C.D.8. 兩個球體積之和為 12 n，且這兩個球大圓周長之和為6 n，那么這兩球半徑之差是（）A. 1B. 1 C . 2 D . 329. 如圖，一個封閉的長方體，它的六個表面各標出A B C、D、E F

3、這六個字母，現(xiàn)放成下面三種不同的位置， 所看見的表面上的字母已表明， 則字10. 下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的（）（） （） （） 二、填空題（每小題5分共25分）11. 若長方體的一個頂點上的三條棱的長分別為 角線的一個端點出發(fā)，沿表面運動到另一個端點()3,4,5，從長方體的一條對 ,其最短路程是12. 已知正三棱錐的側(cè)面積為18 cm,高為3cm.則它的體積.13. 圖（1）為長方體積木塊堆成的幾何體的三視圖，此幾何體共由乍二n w番圖（1）塊木塊堆成；圖（2）中的三視圖表示的實物為14. 若圓錐的表面積為平方米，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面的直徑為.

4、15. 正六棱錐的高為4cm,最長的對角線為 cm,則它的側(cè)面積為三、解答題16. （15分）養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉庫的底面直徑為 12 m,高4 m.養(yǎng)路處擬建一個更大的圓 錐形倉庫，以存放更多食鹽.現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比 原來大4 m （高不變）；二是高度增加4 m （底面直徑不變）.（1 ）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；（2）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；（3）哪個方案更經(jīng)濟些？17. （ 10分）已知：一個圓錐的底面半徑為R高為H,在其中有一個高為 x的內(nèi)接圓柱.（1）求圓柱的側(cè)面積；（2） x為何值

5、時，圓柱的側(cè)面積最大.與球有關(guān)的切、接問題1 .若一個正四面體的表面積為 S1，其內(nèi)切球的表面積為S2，則詈=.2. 如圖，直三棱柱ABC-AB1C1的六個頂點都在半徑為1的半球面上，AB = AC, 側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面 ABBA的面積為（）A. 2 B. 1C. 2D.-23. 一個正方體削去一個角所得到的幾何體的三視圖如圖所示（圖中三個四邊形都是邊長為2的正方形），則該幾何體外接球的體積為 .4. 正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為（）81n27 nA. B . 16 nC. 9 n D.-1 .如果一個空間幾何體的

6、正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是半徑等于5的圓，那么這個空間幾何體的表面積等于（）A. 100n B.罟C. 25兀D.誓A.33n B. 4nC. 2nD.43n3. 已知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為3的球面上，當(dāng)正六棱柱的底面邊長為，6時，其高的值為( )A. 3,3 B. 3C. 2,6D. 2,34 .將長、寬分別為4和3的長方形ABCD沿對角線AC折起，得到四面體A-BCD，則四面體A-BCD 的外接球的體積為5. 個圓錐過軸的截面為等邊三角形，它的頂點和底面圓周在球0的球面上，則該圓錐的體積與球0的體積的比值為1 .已知是球的球面上兩點，AOB 90，為該球面上的動點，若O ABC

7、三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為()(A)(B)(C)144(D)2562. 如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm,將一個球放在容器口，再向容器注 水，當(dāng)球面恰好接觸面時測得水深為 6cm，如不計容器的厚度，則球的體積為()(A)500 n 3(B)866 n 3(C)1372 n 3(D)2048 n 3cmcm3cm3cm333333. 已知三棱錐S ABC的所有頂點都在球的球面上，ABC是邊長為的正三角形，為球的直徑，且SC 2,則此棱錐的體積為()(A) (B)3(C)2(D)4. 平面截球的球面所得圓的半徑為1,球心到平面的距離為,2,則此球的體積為 ()

8、(A) 6 n(B) 4.3n(C) 4,6n(D) 6.3n5. 設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為()(A) (B) (C)(D)6. 設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為()(A) (B) (C) 12 a2 (D) 24 a27 .已知三棱錐S ABC的各頂點都在一個半徑為的球面上，球心在上，SO 底面ABC，AC.2r，則球的體積與三棱錐體積之比是()A . B . C. D .8.已知正四棱錐0 ABCD的體積為，底面邊長為，則以為球心，為半徑的球的表面積為。答案：一選擇題：CDBCA,AABDD二

9、.填空題：11.74 12，. 93。吊 13. (1)(2)圓錐2 Sa315.30.3 cm三.解答題:16解：(1)如果按方案一，倉庫的底面直徑變成16m，則倉庫的體積-Sh -33(24256(m3).如果按方案二，倉庫的高變成8 m,則倉庫的體積Ish -3 3()2 8 2882(m3).(2)如果按方案一，倉庫的底面直徑變成16 m,半徑為8 m.棱錐的母線長為I82 42 4 5,則倉庫的表面積S 8 4需325 (m2).如果按方案二，倉庫的高變成8 m，棱錐的母線長為I82 62 1 0，則倉庫的表面積S 6 10 60 (m2) o(3)t V2 U , S2 S ,方案

10、二比方案一更加經(jīng)濟.17.解：(1 )設(shè)內(nèi)接圓柱底面半徑為r.s圓柱側(cè)代入S圓柱側(cè)R2X r(HX)H2x Hx (0 x H)(2)HRHx ?時S圓柱側(cè)最大空間幾何體的表面積與體積公式大全全（表）面積（含側(cè)面積）1、柱體 棱柱 a S側(cè) ch S全 2S底 S側(cè) 圓柱 J 2、錐體 棱錐：s棱錐側(cè)c底 h 圓錐：s圓錐側(cè)|c底 l3、臺體 棱口： s棱臺側(cè) 圓臺：S棱臺側(cè)2（c上底2（C上底c下底）hc下底）I4、 球體 球：S球4 r2 球冠：略 球缺：略二、體積S全 S上 S 側(cè) S下1、柱體 棱柱r V柱 Sh 圓柱J 2、錐體 棱錐1” V柱 3S hh1二 圓錐J 33、臺體1

11、! 棱臺V臺3h（S上JsS下 S下） 圓臺丄 v圓臺3 h （r上Jr上r下r下）34、球體 球：V球球冠：略球缺：略說明：棱錐、棱臺計算側(cè)面積時使用側(cè)面的斜高h計算；而圓錐、圓臺的側(cè)面積計算時使用母線|計算 三、拓展提高1、祖暅原理：（祖暅：祖沖之的兒子）夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，如果它們在任意高度上的平行截 面面積都相等，那么這兩個幾何體的體積相等。最早推導(dǎo)出球體體積的祖沖之父子便是運用這個原理實現(xiàn)的。2、阿基米德原理：（圓柱容球）圓柱容球原理：在一個高和底面直徑都是2r的圓柱形容器內(nèi)裝一個最大的 球體，則該球體的全面積等于圓柱的側(cè)面積，體積等于圓柱體積的-。3分析：圓柱體積：V圓

12、柱S h （ r2）2r 2 r3 圓柱側(cè)面積：S圓柱側(cè)ch （2 r） 2r 4 f因此：球體體積：V球-2 r3 4 r333球體表面積：S球4 r2即底面直徑和高相等的圓柱體積等于與它等底等高的圓錐與同直徑的球體積之和3、臺體體積公式公式：V臺 1h（S上S上St St）證明：如圖過臺體的上下兩底面中心連線的縱切面為梯形ABCD延長兩側(cè)棱相交于一點p。設(shè)臺體上底面積為s上，下底面積為S下 高為h。易知： PDC S PAB，設(shè) PE hi ,則 PF hi hAB PF由相似三角形的性質(zhì)得： 型 些4、L（相似比等于面積比的算術(shù)平方根）下 hi h整理得：hiS上h又因為臺體的體積二大錐

13、體體積一小錐體體積1ii3St（h1 h）3Sh13h1（S下 S上）S h 得：St S上3 S上 h （ S下代入:hi即：V臺S）i3S下 h/ 、 13 S S (St S 訶hi3S下h3 h (S上S上 St St)二V臺 3h（S上S上St球體體積公式推導(dǎo)S下）分析：將半球平行分成相同高度的若干層（n層），越大，每一層越近似于圓柱，n 時，每一層都可以看作是每個圓柱的體積Vi Sh= r：丄| n半球的體積等于這些圓柱的體積之和2ri2(-r)n2(r) n2(-r)nr21r21212(0)n2(1)n2(-)n個圓柱。這些圓柱的高為-，貝心2 2rn r(口r)n2?。冢﹏

14、半球體積為：vV201n 1 ()() nn2 2 2 ,0 1 2(n半球2rn22- (口)n21)r)3為rn-(n 1)n (2 n 1)6 3r12n11(1 -)(2 -)nn 6時，丄0n13 (1 -)(2 r131(n 1)(2n 1)26nr3(1球體積為：V球4 r3球體表面積公式推導(dǎo)5、分析：球體可以切割成若干（近似棱錐，當(dāng)n時，這些棱錐的高為球體半徑，底面積為球面面積的丄，則每一個棱錐的體積vi 1丄s球r，則所有的小棱錐體積之和為球體體積。即有:. 2S球4 r6、 正六面體（正方體）與正四面體（1）體積關(guān)系如圖：正方體切下四個三棱錐后,剩下的部分為正四面體設(shè)正方體

15、棱長為a ,則其體積為：v正方體a3四個角上切下的每一個三棱錐體積為:111213V三棱錐 3S h 3 (2a) a 石a中間剩下的正四面體的體積為：1V正三棱錐3 S h1 1(J2a)2 血601 33a這樣一個正方體可以分成四個三棱錐與中間一個正四面體即:丄4打3 a36a3a a(2)外接球正方體與其體內(nèi)最大的正四面體有相同的外接球。(理由：過不共面的四點確定一個球。)正方體與其體內(nèi)最大的正面體有四個公共頂點。所以它們共球?；仡櫍簝牲c定線三點定面三點定圓四點定球如圖:(a) 正方體的體對角線二球直徑(b) 正四面體的外接球半徑 #高(c) 正四面體的棱長二正方體棱長(d) 正方體體積

16、：正四面體體積=3: 1(e) 正方體外接球半徑與正四面體外接球半徑相等(3)正方體的內(nèi)切球與正四面體的關(guān)系(b) 正方體內(nèi)切球與正四面體的四條棱相切。(c) 與正四面體四條棱相切的球半徑 二正方體棱長的一半(d) 設(shè)正四面體棱長為a，則與其棱都相切的球半徑為有:ri2 .2 Ta7、利用祖暅原理推導(dǎo)球體體積。構(gòu)造一個幾何體，使其截面與半球截面處處相等，根據(jù)祖暅原理可得兩物 體體積相等。證明：作如下構(gòu)造：在底面半徑和高都是的圓柱內(nèi)挖去一個與圓柱等底等高的圓錐。如圖:r球i在半球和挖去圓錐后的組合體的相同截面上作研究，設(shè)圓柱和半球底面半 徑均為R，截面高度均為h，倒圓錐的截面半徑為r錐1，半球截

17、面半徑為則：挖去圓錐后的組合體的截面為:2SiR半球截面面積為:2S2r 球-T倒圓錐的底面半徑與高相等，由相似三角形易得:在半球內(nèi)，由勾股定理易得:2 2 r 球- R h.2222S- R h S2 R h即：S1 S2，也就是說：半球與挖去倒圓錐后有圓柱在相同的高度上有相同的截面。由祖暅原理可得：V1 V2所以半球體積：V半球Sh 即，球體體積：V球2 |-Sh33R-Sh343233R8、正方體與球(1)正方體的內(nèi)切球正方體的棱長3136 a球體的直徑d(3)規(guī)律: 正方體的內(nèi)切球與外接球的球心為同一點； 正方體的內(nèi)切球與外接球的球心在體對角線上; 正四面體的內(nèi)切球與外接球的的半徑之比

18、為：1： =3 正四面體內(nèi)切球與外接球體積之比為：1： 3 正四面體內(nèi)切球與外接球表面積之比為：1： 3 正方體外接球半徑、正方體棱長、內(nèi)切球半徑比為：2:9、正四面體外接球、正四面體外接球、正四面體與球正四面體、內(nèi)切球體積比為：3 3正四面體、內(nèi)切球表面積比為：3(1)正四面體的內(nèi)切球利用體積關(guān)系得:解題關(guān)鍵：利用體積關(guān)系思考:6:內(nèi)切球的球心到各個面的距離相等，球心與各頂點的連線恰好把一個正四面體分成四個三棱錐,每個三棱錐的底面為原正四面體的底面，高為內(nèi)切球的半徑。112. 1 sin 60)32ar 3所以：r ，其中h為正四面體的高。1 2(-a sin 60 ) h由相關(guān)計算得：h2

19、31(2a23).6Ta_6216434 6即: V 球 3 r 3 (石V正四面體V正四機體V 球(2)正四面體的外接球外接球的半徑三高(3 3、= 6 a2 a)=aa).6Ta212 a.J 63 42 3 3 3 2V球：V正四面體a -72a 3 3 :2(3)規(guī)律:正四面體的內(nèi)切球與外接球的球心為同一點; 正四面體的內(nèi)切球與外接球的球心在高線上； 正四面體的內(nèi)切球與外接球的的半徑之和等于高； 正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比等于 1: 3 正四面體內(nèi)切球與外接球體積之比為：1: 27 正四面體內(nèi)切球與外接球表面積之比為：1: 9 正四面體外接球半徑、正四面體棱長、內(nèi)切球半徑比為：

20、3、. 6:12: 正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球體積比為：27、3 :18: 3 正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球表面積比為：9 : 6 2:10、 圓柱與球(1)圓柱容球(阿基米德圓柱容球模型)1 打2sin60 % 爲(wèi)3 2a3 a 12 a圓柱高二底面直徑二球的直徑球體體積=3圓柱體積球面面積二圓柱側(cè)面積球體直徑、圓柱的高、圓柱底面直徑構(gòu)成直 角三角形。設(shè)球體半徑為R，圓柱高為h，底面半徑為r2 2即：R -h24r-四、方法總結(jié)下面舉例說明立體幾何的學(xué)習(xí)方法例：已知正四面體的棱長為a，求它的內(nèi)切球和外接球的半徑思路：先分析球心的位置。因為正四面體是特殊的四面體，顯然內(nèi)切球與 外接球

21、的球心是重合的。且是正四面體的高線交點。再分析球心與一些特 殊的點、線、面的位置、數(shù)量關(guān)系。在內(nèi)切球這種情況下，球心垂直于每一個面，且到每一個面的距離相等；在外接球這種情況下，球心到每個頂點的距離相等。A方法1展平分析：（最重要的方法） 如圖：取立體圖形中的關(guān)鍵平面圖形進行分析!連接DO并延長交平面ABC于點G,連接GOl連接DO1并延長交BC于點E,則A、在平面AED中,由相似知識可得:EOi eg 1OiD GA 2二 go1/ad 且GOiAD GOiDOA即：AO 4AOi.6a4OiO6ai2V外接球3DOV內(nèi)切球3OOi6216方法2:體積分析:（最靈活的方法）如圖：設(shè)正四面體AB

22、CD的內(nèi)切球球心為,連接AO、BO、CO、DO,則正四面體被分成四個完全一樣的三棱錐。設(shè)內(nèi)切球半徑為r，正四面體的棱長為則正面四體的高為：h2 /2 3 2 冬F(xiàn)（3 寧）3 a則：4個完全一樣的三棱錐體積二正四面體體積有:4 1 (1a2sin60)32ar1 (1a2si n60)32a.46r a12V內(nèi)切球6216V外接球(h3r)方法3:方程分析：（最常見的做法） 如圖：顯然AO、DO是外接球半徑，0。1是內(nèi)切球半徑。2OOi2DO2i在Rt DOo1中，由勾股寫得可得以下方程:其中:Oi代入方程解得:DO6亍、OOi、6 a 126a34363V外接球3DO8a436V內(nèi)切球3OO

23、i2i6a方法4:補形分析（最巧妙的思考）把正四面體補成正方體進行分析。如圖:為：a為：.2正方體的外接球直徑為其體對角線正四面體的外接球半徑為:內(nèi)切球半徑為:空a124V外接球34V內(nèi)切球33- 6r 216方法5:坐標分析（最意外的解法）建立如圖所示的空間直角坐標系:則 A (o, o,爭),B (o,爭,C (2a，Ta，o), D (0），設(shè)球心位置為0 （22由 |0A | |0B| |0C| |0D |2R得：OA 0BOC0D即：X(zfa)2x (y（X212a)(y二a) z23=(x ia2解得：X(y63)6z a，即:、612 a ,43/63V內(nèi)切球3 r 216 a

24、主要方法：、 統(tǒng)一思想1、公式的統(tǒng)一對于每個幾何形體的面積與體積公式，我們很想找出一個萬能公式全部適用于所有形體，但是這只是一個理想狀況，實際上不可 能，最多只可能適用于一部分而已。即使是這樣，也只減小我們對 公式的記憶難度，增強學(xué)習(xí)的靈活性。（1）梯形的面積公式：S 1（a b）h，同樣適用于三角形、平行四 邊形、長方形、正方形、扇形的面積計算。只是在使用時作微 調(diào)而已。在分析三角形時，上底變?yōu)?;分析長方形、正方形、 平行四邊形時，上下底變成一樣；在分析扇形時，上底變?yōu)?, 下底變成弧長，高為半徑。（2）臺體的側(cè)面積公式：s側(cè)1（c c）h，同樣適用于圓柱、棱柱、 圓錐、棱錐、球的側(cè)面積計

25、算。只是在使用時作微調(diào)而已。在 分析圓柱、棱柱時，上下底周長變成一樣；在分析棱錐時，上 底周長變?yōu)?;在分析圓錐時，上底周長變?yōu)?0,斜高變成母 線；在分析球體的面積時，上下底都取最大圓的周長，高取直1 2徑，即：S球？（2 r 2 r）2r 4 r（3） 臺體的體積公式：v 3（S上 S上 S下 S下）h，同樣適用于圓3柱、棱柱、圓錐、棱錐、球的體積計算。只是在使用時作微調(diào) 而已。在分析圓柱、棱柱時，上下底面積變成一樣；在分析棱 錐時，上底面積變?yōu)?;在分析圓錐時，上底面積變?yōu)?0;在分析球體的體積時，上底面積取0,下底取最大圓面積的2倍, 咼取直徑，即：s球3(2 r)2r3 r332、字

26、母的統(tǒng)一在進行分析時，一般要把字母統(tǒng)一，這樣便于進行比較！3、關(guān)系的統(tǒng)一一注意相似的關(guān)系：面積比等于相似比的平方，體積比等于相似比的立方。球體、正方體、正多面體相似！二、轉(zhuǎn)換思想1、平面與立體的轉(zhuǎn)換這是立體幾何的一種重要思想，即把立體的問題交給平面來解 決。但是要在特殊的面中進行，有時還要把面與面的關(guān)系交給 線與線來分析。如二面角的大小研究，通常會作垂直于兩面的 交線的直線來分析。異面直線的有關(guān)系也要平移到同一面中研 究。在立體與平面的轉(zhuǎn)換中平移是一種很實用的手段。通過平 移不在同一平面內(nèi)的可轉(zhuǎn)換為同一平面內(nèi)， 不垂直的可轉(zhuǎn)換為 垂直來分析！2、位置的轉(zhuǎn)換3、形體的轉(zhuǎn)換三、特殊思想1、 特殊點

27、(1)中點：特殊的線的中點是解題的鑰匙！特別要關(guān)注！(2)頂點：幾何體的頂點也是重要的點，其連線在分析時很有作用。3）垂足：高與面交點是比較特殊的點，解題時也要注意！2、特殊線3、（1）高線（2）中線（3）角平分線特殊面4、（1）平行的面（ 2）垂直的面（ 3）二面角特殊的面特殊關(guān)系四、（ 1）相似關(guān)系（ 2）比值關(guān)系標準化思想1、三視圖的規(guī)則2、斜二測畫法的規(guī)則3、空間直角坐標規(guī)則空間幾何體的表面積與體積公式大全五、 全（表）面積（含側(cè)面積）5、柱體 棱柱a S側(cè) ch S全 2S底 S側(cè) 圓柱J6、錐體、 1 棱錐：s棱錐側(cè)？ c底h 圓錐：s圓錐側(cè)|c底 l7、臺體 棱臺：s棱臺側(cè) 圓臺

28、：S棱臺側(cè)2（c上底2（C上底c下底）hc下底）I8 球體 球：S球4 r2 球冠：略 球缺：略六、體積S全 S上 S 側(cè) S下StSt 棱柱- 圓柱丿V柱Sh6、錐體棱錐1V柱 3S h圓錐J5、柱體球冠：略7、臺體1 ! 棱臺V臺3h（S上JsS下 S下） 圓臺丄 v圓臺3 h （r上Jr上r下r下）38 球體 球：V球球缺：略說明：棱錐、棱臺計算側(cè)面積時使用側(cè)面的斜高h計算；而圓錐、圓臺的側(cè)面積計算時使用母線|計算 七、拓展提高 11、 祖暅原理：（祖暅：祖沖之的兒子）夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，如果它們在任意高度上的平行截 面面積都相等，那么這兩個幾何體的體積相等。最早推導(dǎo)出球體體

29、積的祖沖之父子便是運用這個原理實現(xiàn)的 12、 阿基米德原理：（圓柱容球）圓柱容球原理：在一個高和底面直徑都是2r的圓柱形容器內(nèi)裝一個最大的 球體，則該球體的全面積等于圓柱的側(cè)面積，體積等于圓柱體積的-。3分析：圓柱體積：V圓柱 S h （ r2）2r 2 r3 圓柱側(cè)面積：S圓柱側(cè)ch （2 r） 2r 4 f因此：球體體積：v球| 2 r3 3 r3球體表面積：S球4 f即底面直徑和高相等的圓柱體積等于與它等底等高的圓錐與同直徑的球體積之和13、臺體體積公式公式：V臺 3h（S上 S上St St）證明：如圖過臺體的上下兩底面中心連線的縱切面為梯形ABCD延長兩側(cè)棱相交于一點p。設(shè)臺體上底面積

30、為S上，下底面積為St高為h。易知： PDC s PAB，設(shè) PE h1，則 PF hi h由相似三角形的性質(zhì)得:CD PEAB PFhi即：寶n（相似比等于面積比的算術(shù)平方根）JS 下 h1 h整理得：h1S上h又因為臺體的體積二大錐體體積一小錐體體積1 1 13St（h1 h）3Sh13h1（S下S上）-S上 hGT 得V 臺3 S 上 h （ S 下 - S 上）i3S下 h代入:hi即：V臺14、二 V臺 3h （S上S上S下 S下）球體體積公式推導(dǎo)/、 i3 S S (St S 訶hi3S下h3 h(S上S上 St St)分析：將半球平行分成相同高度的若干層（n層），越大，每一層越近

31、似于圓柱，n 時，每一層都可以看作是每個圓柱的體積V Sh =匚n半球的體積等于這些圓柱的體積之和2ri2(-r)n2(r) n2(-r)nr21r2i212(0) n2(1) n2(-) n個圓柱。這些圓柱的高為-，貝心2 2rn r(口r)n2n)半球體積為：V半球 Vn 丄點r2n2 2 2QAn An 1 ().()()n nn2 2 2 20 1 2 (n 1)3=nr n-(n 1)n (2 n 1)6 3r12n1 1(1 )(2 -)n n 6時，-0n13 (1 -)(2 r143r球體積為：V球15、球體表面積公式推導(dǎo)分析：球體可以切割成若干（31(n 1)(2n 1)26

32、nr3(1n個）近似棱錐，當(dāng)n時，這些棱錐的高16、 正六面體（正方體）與正四面體為球體半徑，底面積為球面面積的，則每一個棱錐的體積v1 - S球r，nv 3 n |則所有的小棱錐體積之和為球體體積。即有:. 2S球4 r（1）體積關(guān)系 如圖：正方體切下四個三棱錐后,剩下的部分為正四面體設(shè)正方體棱長為a ,則其體積為：v正方體a3四個角上切下的每一個三棱錐體積為:111213V三棱錐 3S h 3 (2a) a 石a中間剩下的正四面體的體積為：1V正三棱錐3 S h1 1(J2a)2 血601 33a這樣一個正方體可以分成四個三棱錐與中間一個正四面體即：廿4如3 a3(2) 外接球正方體與其體

33、內(nèi)最大的正四面體有相同的外接球。(理由：過不共面的四點確定一個球。)正方體與其體內(nèi)最大的正面體有四個公共頂點。所以它們共球。回顧：兩點定線三點定面三點定圓四點定球如圖：(a)正方體的體對角線二球直徑(b)正四面體的外接球半徑=3高4(C)正四面體的棱長二正方體棱長(d) 正方體體積：正四面體體積=3: 1(e) 正方體外接球半徑與正四面體外接球半徑相等(3) 正方體的內(nèi)切球與正四面體的關(guān)系(f) 正方體內(nèi)切球與正四面體的四條棱相切。(g) 與正四面體四條棱相切的球半徑 二正方體棱長的一半(h) 設(shè)正四面體棱長為a，則與其棱都相切的球半徑為i a 2有：r1 2 .2 Ta17、 利用祖暅原理推

34、導(dǎo)球體體積。構(gòu)造一個幾何體，使其截面與半球截面處處相等，根據(jù)祖暅原理可得兩物體體積相等。證明：作如下構(gòu)造：在底面半徑和高都是的圓柱內(nèi)挖去一個與圓柱等底等高的圓錐。如圖：r球i在半球和挖去圓錐后的組合體的相同截面上作研究，設(shè)圓柱和半球底面半 徑均為R，截面高度均為h，倒圓錐的截面半徑為r錐1,半球截面半徑為則：挖去圓錐后的組合體的截面為：Sl R2 r爲(wèi)半球截面面積為：s2球iT倒圓錐的底面半徑與高相等，由相似三角形易得：錐i h在半球內(nèi)，由勾股定理易得：r球i R2 h22 2 2 2二 Si R h S2 R h即：Si S2，也就是說：半球與挖去倒圓錐后有圓柱在相同的高度上有相 同的截面。

35、由祖暅原理可得：V! V2 所以半球體積：V半球Sh 即，球體體積：V球2 2 18、 正方體與球-Sh33R-Sh343233R正方體的棱長3136 a球體的直徑d(6)規(guī)律: 正方體的內(nèi)切球與外接球的球心為同一點； 正方體的內(nèi)切球與外接球的球心在體對角線上; 正四面體的內(nèi)切球與外接球的的半徑之比為：1:、,3 正四面體內(nèi)切球與外接球體積之比為：1： 3 正四面體內(nèi)切球與外接球表面積之比為：1： 3 正方體外接球半徑、正方體棱長、內(nèi)切球半徑比為：:2 : 正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球體積比為：33 :6: 正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球表面積比為：3 :6:(1)正四面體的內(nèi)切球19、

36、正四面體與球解題關(guān)鍵：利用體積關(guān)系思考內(nèi)切球的球心到各個面的距離相等，球心與各頂點的連線恰好把一個正四面體分成四個三棱錐，每個三棱錐的底面為原正四面體的底面，高為內(nèi)由相關(guān)計算得:(2a23).6Ta切球的半徑r利用體積關(guān)系得：/1 1 2 1 1 24 (3 ?a sin6 r) 3 (?asin60) h所以：r h，其中h為正四面體的咼12 a即：V球434 6、633 (石a)亦aV正四面體1 2a2sin60 fa、2 3723V正四機體V 球(2)正四面體的外接球外接球的半徑=3高4(3a).6Ta212 a二V球:V正四面體子a3：i|a3 3 3:2(3)規(guī)律: 正四面體的內(nèi)切球

37、與外接球的球心為同一點; 正四面體的內(nèi)切球與外接球的球心在高線上; 正四面體的內(nèi)切球與外接球的的半徑之和等于高; 正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比等于1： 3 正四面體內(nèi)切球與外接球體積之比為：1： 27 正四面體內(nèi)切球與外接球表面積之比為：1： 93 6 :12 :18: 36 2: 正四面體外接球半徑、正四面體棱長、內(nèi)切球半徑比為： 正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球體積比為：27、3 正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球表面積比為：920、 圓柱與球(1)圓柱容球(阿基米德圓柱容球模型)圓柱高二底面直徑二球的直徑球體體積=3圓柱體積球面面積二圓柱側(cè)面積球體直徑、圓柱的高、圓柱底面直徑構(gòu)成直

38、角三角形。設(shè)球體半徑為R，圓柱高為h ,底面半徑為r2 2即：R -h24r-八、方法總結(jié)下面舉例說明立體幾何的學(xué)習(xí)方法例：已知正四面體的棱長為a，求它的內(nèi)切球和外接球的半徑思路：先分析球心的位置。因為正四面體是特殊的四面體，顯然內(nèi)切球與 外接球的球心是重合的。且是正四面體的高線交點。再分析球心與一些特殊的點、線、面的位置、數(shù)量關(guān)系。在內(nèi)切球這種情況下，球心垂直于每一個面，且到每一個面的距離相等；在外接球這種情況下，球心到每個頂點的距離相等。A方法1展平分析：（最重要的方法） 如圖：取立體圖形中的關(guān)鍵平面圖形進行分析!連接DO并延長交平面ABC于點G,連接Gq1連接D1并延長交BC于點E,則A

39、 G在平面AED中，由相似知識可得:EOi EG 1OiD GA 2- GOiAD 且 GADD1即: AO 4AOiOiO3DO6 a 12V外接球V內(nèi)切球3OOi6216方法2:體積分析:（最靈活的方法）如圖：設(shè)正四面體ABCD勺內(nèi)切球球心為，連接AO BO CO DO則正四面體被分成四個完全一樣的三棱錐。設(shè)內(nèi)切球半徑為r，正四面體的棱長為則正面四體的高為：h2 /2 3 2 冬 f（2 寧）3a則：4個完全一樣的三棱錐體積二正四面體體積有：4 - (1a2sin60)32ari (ia2si n60)32ar ai2V內(nèi)切球V外接球(h3r)方法3:方程分析：（最常見的做法）如圖：顯然A

40、O DO是外接球半徑，OQi是內(nèi)切球半徑。在Rt DCO1中，由勾股寫得可得以下方程:2DO2OOi2DO2i其中：DOiDO Di AOiABC二Oi代入方程解得:DO6亍、OOi、6 a i24V外接球33DO4V內(nèi)切球33OOi 632i6 a方法4:補形分析（最巧妙的思考）把正四面體補成正方體進行分析。如圖:此時，正四面體與正方體有共同的外接球。正四面體的棱長為，則正方體棱長為：；正方體的外接球直徑為其體對角線正四面體的外接球半徑為:內(nèi)切球半徑為:4V外接球34V內(nèi)切球33- 6r 216方法5:坐標分析（最意外的解法）建立如圖所示的空間直角坐標系:則A（0, 0,詩a），b（0，予，0），1 3C（ ；a，罟a，0），D（6i2a，V3Ta，0），設(shè)球心位置為0（,）由 |0A | |0B| |0C| |0D |R 得:2OA2OB0C2OD(zfa)2x (y（X212a)(y a) z2/ 1、=(xa)2(y 6a)解得：X y6z a，即:、612 a，43/63V內(nèi)切球3 r 216 a主要方法：、 統(tǒng)一思想4、公式的統(tǒng)一對于每個幾何形體的面積與體積公式，我們很想找出一個萬能公式全