教完全平方公式案

1、課題1522完全平方公式編者單位教學(xué)知識(shí)與能力：完全平方公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用,完全平方公式的幾何解釋?zhuān)贿M(jìn)一步熟悉乘法公式，體會(huì)公式中字母的含義。過(guò)程與方法:重視學(xué)生對(duì)算理的理解，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的思維條理性和表達(dá)能力；利用去括號(hào)法則得到添括號(hào)法則，培養(yǎng)目標(biāo)學(xué)生的逆向思維能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：在靈活應(yīng)用公式的過(guò)程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和探索精神；鼓勵(lì)學(xué)生裝算法多樣化，培養(yǎng)學(xué)生多方位思考問(wèn)題的習(xí)慣，提高學(xué)生的合作交流意識(shí)和創(chuàng)新精神。教材教學(xué)重點(diǎn):完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程、結(jié)構(gòu)特征、幾何解釋及靈活應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn):理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征并能靈活應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算。分析教學(xué)關(guān)鍵:完全平方

2、公式的靈活應(yīng)用。課時(shí)安排乘法公式（二）課件多媒體教具實(shí)物投影儀教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容與過(guò)程設(shè)計(jì)意圖批注問(wèn)題1:請(qǐng)同學(xué)們探究下列問(wèn)題：、提出問(wèn)題一位老人非常喜歡孩子，每當(dāng)有孩子到他家做客時(shí)，老人探討新知都要拿出糖果招待他們來(lái)一個(gè)小孩，老人就給這個(gè)孩子一塊糖,來(lái)兩個(gè)孩子，老人就給每個(gè)孩子兩塊糖 (1)第天有a個(gè)男孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？(2)第二天有b個(gè)女孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容與過(guò)程設(shè)計(jì)意圖批注（3）第二天這（a+b ）個(gè)孩子一起去看老人，老人一共給了 這些孩子多少塊糖？（4）這些孩子第二天得到的糖果數(shù)與前兩天他們得到的糖 果總數(shù)哪個(gè)多？多多少？

3、為什么？解：（1）第一天老人一共給了這些孩子a2塊糖.（2）第二天老人一共給了這些孩子b 2塊糖。（3）第三天老人一共給了這些孩子（a+b）2塊糖。（4）孩子們第三天得到的糖果總數(shù)與前兩天他們得到的糖果總數(shù)比較，應(yīng)用減法，即（a+b）2（a卻b2）問(wèn)題2 :能不能將（a+b）2轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過(guò)的知識(shí)去解 決呢？我們知道 a2=a*a,所以（a+b）2=（a+b）（a-b）,這樣就轉(zhuǎn)化 成多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積了。像研究平方差公式一樣，我們探究一下（a+b）2的運(yùn)算結(jié)果有什么規(guī)律。完全平方公式也是多項(xiàng)式 乘法運(yùn)算中一個(gè)重要的公式 由于學(xué)生在前面已經(jīng)接觸過(guò) 乘法公式推導(dǎo)的思路和方 法，所以在此引導(dǎo)他們

4、自主 推導(dǎo)即可。在推導(dǎo)公式的過(guò) 程中，要重視學(xué)生對(duì)運(yùn)算依 據(jù)的理解與敘述，強(qiáng)調(diào)推理， 培養(yǎng)他們的代數(shù)推理能力、 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)的能 力。設(shè)計(jì)冋題2是對(duì)前邊進(jìn) 行的運(yùn)算的討論，目的是讓 學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、歸納、鼓勵(lì) 他們發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式的一些特 點(diǎn)。計(jì)算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）（p+1） 2=（p+1）（p+1）=(2)(m+2) 2(p-1) 2=(p-1)(p-1)=學(xué)生小組組討論，使學(xué)生(m-2) 2=明確公式特點(diǎn)，加深對(duì)公式(5)(a+b) 2=表象的理解。(a-b) 2=發(fā)現(xiàn)(1 )結(jié)果中的 2p=2*p*1, (2)結(jié)果中 4m=2*m*2,(3)(4)與（1 ）、（ 2 ）比

5、較只有一次項(xiàng)有符號(hào)之差，（5）（ 6）則具有一般性。學(xué)生對(duì)公式的正確表述，問(wèn)題3 :試著用語(yǔ)言敘述出來(lái)。有利于學(xué)生正確用于計(jì)算之文字?jǐn)⑹觯簝蓴?shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，中。力口（或減）它們的積的 2倍。符號(hào)敘述：(a+b) 2=a2+2qb+b 2(a-b) 2=a2-2ab+b 2教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容與過(guò)程設(shè)計(jì)意圖批注問(wèn)題4 :其實(shí)我們還可以從幾何角度去解釋完全平方公式。你能根據(jù)下圖（1 ）和圖（2）中的面積說(shuō)明完全平方公式嗎？bb AF學(xué)生可能看出如下一些信息：先看圖（1），可以看出大正方形的邊長(zhǎng)是a+b還可以看出大正方形是由兩個(gè)小正方形和兩個(gè)矩形組成，所以大正方形的面積等于這四個(gè)圖

6、形的面積之和。陰影部分的正方形邊長(zhǎng)是 a，所以它的面積是a2,另公式的推導(dǎo)既是對(duì)上述特例的概括，更是從特殊到一般 的歸納證明，在此應(yīng)注意向 學(xué)生滲透數(shù)學(xué)的思想方法： 特例一一歸納一一猜想一一 驗(yàn)證一一用數(shù)學(xué)符號(hào)表示。重視公式的幾何背景，可以 幫助學(xué)生運(yùn)用幾何直觀(guān)理解 和解決有關(guān)代數(shù)問(wèn)題。個(gè)小正方形邊長(zhǎng)是 b，所以它的面積是b2,另外兩個(gè)矩形的長(zhǎng)都是a，寬都是b，所以每個(gè)矩形的面積都是ab，大正方形的邊長(zhǎng)是a+b，其面積是(a+b)2,于是就可以看出：(a+b) 2=a2+2ab+b 2，這正好符合完全平方公式。如圖(2)中，大正方形的邊長(zhǎng)是 a，它的面積是 a2， 矩形DCGE與矩形BCHF是

7、全等圖形，長(zhǎng)都是a,寬都是b,所 以它們的面積都是 a*b;正方形HCGM的邊長(zhǎng)是b,其面積就是 b2;正方形AFME的邊長(zhǎng)是(a-b),所以它的面積是(a-b)2從圖 中可以看出正方形 AEMF的面積等于正方形 ABCD的面積減 去兩個(gè)矩形DCGE和BCHF的面積再加上正方形 HCGM的 面積也就是(a-b) 2=a2-2ab+b 2這也正符合完全平方公式 總結(jié):數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活，于是我們可以進(jìn)一步理 解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征 現(xiàn)在大家可以輕松解開(kāi)開(kāi)始提出的老人用糖果招待孩子的問(wèn)題了教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容與過(guò)程設(shè)計(jì)意圖批注二、應(yīng)用舉例三、添括號(hào)的學(xué)習(xí)例1、應(yīng)用完全平方公式計(jì)算：(1)(4

8、m+n)2(2)(y-12)2(3)(-a-b)2(4)(b-a)2解：(1)(4m+n)2 =(4m)2+2*4m* n+n2(2) (y-12)2 =y2-2*y*12+(12)2 =y2-y+14(3) (-a-b)2 =(-a)2-2*(-a)*b+b2 =a2+2ab+b2(4) (b-a)2 =b2-2ab+a2 =a2-2ab+b2例2運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)1022(2)992解:1022=(100+2)2 =1002+2*100*2+22 =10000+400+4=10404 992=(100-1)2 =1002-2*100*1 + 12 =10000-200+1=980

9、1 問(wèn)題1:請(qǐng)冋學(xué)們完成下列運(yùn)算并回憶去括號(hào)法則。(1) 4+ (5+2 ); (2) 4- (5+2 ) ; (3) a+(b+c) (4)a-(b-c)解：(1)4+(5+2)=4+5+2=11(2) 4-(5+2)=4-5-2=-3(3) a+(b+c)=a+b+c(4) a-(b-c)=a-b+c去括號(hào)法則：去括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前是正號(hào)，去掉括號(hào)后，括號(hào)里的運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行 數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算的目的是進(jìn)一 步鞏固完全平方公式，體會(huì) 符號(hào)運(yùn)算對(duì)解決問(wèn)題的作 用，教學(xué)時(shí)可讓學(xué)生自己獨(dú) 立解決此問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò) 應(yīng)用舉例，達(dá)成本節(jié)課的基 本學(xué)習(xí)目標(biāo)。此處的功能就是達(dá)成基 本學(xué)習(xí)目標(biāo)，該環(huán)節(jié)需要足

10、夠 的耐心去面對(duì)學(xué)生中出現(xiàn)的 問(wèn)題，例2的講解要讓學(xué)生體 驗(yàn)到化整處理給計(jì)策帶來(lái)的 簡(jiǎn)便之處每一項(xiàng)都不改變符號(hào)；如果括號(hào)前是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都有改變符號(hào)。也就是說(shuō)，遇“加”不變，遇“減”都變。添括號(hào)的學(xué)習(xí)是結(jié)合去問(wèn)題2 :因?yàn)?+5+2與4+( 5+2)的值相等，4-5-2與括號(hào)進(jìn)行的，加強(qiáng)對(duì)比，學(xué)4-( 5+2 )的值相等,生容易認(rèn)可和接受，并且互所以可以寫(xiě)出下列兩個(gè)等式：相印證，互相檢驗(yàn)，可減少（1）4+5+2=4+ （ 5+2）；（ 2）4-5-2=4- （ 5+2）應(yīng)用中的失誤。左邊沒(méi)括號(hào)，右邊有括號(hào)，也就是添了括號(hào)，冋學(xué)們可教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容與過(guò)程設(shè)計(jì)意圖批注不可以總結(jié)出

11、添括號(hào)法則呢？學(xué)生分組討論，最后總結(jié)。添括號(hào)其實(shí)就是把去括號(hào)反過(guò)來(lái)，所以添括號(hào)法則是：添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都有不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變 符號(hào)。也是：遇“加”不變，遇“減”都變。問(wèn)題3:能舉例說(shuō)明添括號(hào)法則嗎？例如，a+b-c,要對(duì)a+b-c項(xiàng)添括號(hào)，可以讓a先休息，括 號(hào)前添加號(hào)，括號(hào)里的每項(xiàng)都有不改變符號(hào)，也就是+(+b-c)，括號(hào)里的第一項(xiàng)若系數(shù)為正數(shù)可省略正號(hào)即+(b-c)，于是得：a+b-c-a+(b-c);右括號(hào)前添減號(hào)，括號(hào)里的每一項(xiàng)都改變符 號(hào)，+b改為-b,-c改為+c ,也就是-(-b+c),于是得 a+b-c-a-(-b

12、+c),添加括號(hào)后，無(wú)論括號(hào)前疋正還疋負(fù)，都不 改變代數(shù)式的值。添括號(hào)法則是去括號(hào)法 則反過(guò)來(lái)得到的，無(wú)論是添 括號(hào)，還是去括號(hào)，運(yùn)算前 后代數(shù)式的值都保持不變， 所以我們可以用去括號(hào)法則 驗(yàn)證所添括號(hào)后的代數(shù)式是 否正確。課堂練習(xí)1、在等號(hào)右邊的括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)捻?xiàng)：a+b-c=a+()(2) a-b+c=a-()(3) a-b-c=a-()(4) a+b+c=a-()2、判斷下列運(yùn)算是否正確。(1) 2a-b-12c=2a-(b-c2);(2) m-3 n+2a-b=m+(3 n+2a-b)(3) 2x-3y+2=-(2x+3y-2)(4) a-2b-4c+5=(a-2b)-(4c+5)學(xué)生

13、嘗試或獨(dú)立完成，然后與冋伴交流解題心得，教師 巡視學(xué)生完成情況，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并幫助個(gè)別有困難的同 學(xué)。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容與過(guò)程設(shè)計(jì)意圖批注四、拓展應(yīng)用請(qǐng)同學(xué)們分組討論，完成下列計(jì)算。例、運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1)(x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a+b+c)2 ;(3)(x+3)2-x2;(4)(x+5)2 -(x-2)(x-3)此處是學(xué)生理解的難點(diǎn)， 也是教學(xué)的重點(diǎn)，教學(xué)時(shí)可 設(shè)計(jì)大量的例子讓學(xué)生做轉(zhuǎn)五、小結(jié)反思讓學(xué)生充分討論，鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法運(yùn)算，從而達(dá)到化練習(xí)，并讓其說(shuō)明這樣做靈活應(yīng)用公式的目的。的道理，這樣設(shè)計(jì)有利于加通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有何體會(huì)和收獲？深學(xué)生對(duì)完全平方公式的理學(xué)會(huì)了去括號(hào)法則和添括號(hào)法則，利用添括號(hào)法則可以將解，也會(huì)開(kāi)闊學(xué)