高等教育出版社,袁德美主編的概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題一的答案

1、1.31.3 寫出下列隨機事件的樣本空間寫出下列隨機事件的樣本空間12,3,4,12 40t t 2(1,1),(1,2),(1,6),(2,1),(2,2)(2,6),(6,6) 31,2, (1)(1)擲一顆均勻的骰子兩次擲一顆均勻的骰子兩次, ,觀察前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和觀察前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和(2)(2)擲一顆均勻的骰子兩次擲一顆均勻的骰子兩次, ,觀察前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)觀察前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)(3)(3)連續(xù)拋一枚硬幣直到正面出現(xiàn)為止的試驗次數(shù)連續(xù)拋一枚硬幣直到正面出現(xiàn)為止的試驗次數(shù)(4)(4)某城市一天的用電量某城市一天的用電量(5)(5)深成指數(shù)在未來一段時間內(nèi)漲跌的點數(shù)深成指數(shù)

2、在未來一段時間內(nèi)漲跌的點數(shù)5,0 xaxaa 其中是漲或跌的最大幅度C1.41.4 試問下列命題是否成立試問下列命題是否成立? ?若正確給出其證明若正確給出其證明, ,若錯誤若錯誤舉一個反例舉一個反例. .(1),ACBCAB若則( () )AB1.41.4 試問下列命題是否成立試問下列命題是否成立? ?若正確給出其證明若正確給出其證明, ,若錯誤若錯誤舉一個反例舉一個反例. .(2)()ABBA( () )()()ABBABB證明證明()()ABBBAB1.41.4 試問下列命題是否成立試問下列命題是否成立? ?若正確給出其證明若正確給出其證明, ,若錯誤若錯誤舉一個反例舉一個反例. .(3

3、)()ABBA( () )()()ABBABB證明證明()()ABBBAB1.41.4 試問下列命題是否成立試問下列命題是否成立? ?若正確給出其證明若正確給出其證明, ,若錯誤若錯誤舉一個反例舉一個反例. .(4),ABCABC若且則()(),BC 假設(shè)證明證明( (反證法反證法) )BC則至少 一個BC則且CA又AAB,AB 即與已知矛盾BC 1.41.4 試問下列命題是否成立試問下列命題是否成立? ?若正確給出其證明若正確給出其證明, ,若錯誤若錯誤舉一個反例舉一個反例. .(5),ABAB若 與 互不相容 則 與 互不相容( () ) BA1.51.5 設(shè)設(shè)A A、B B、C C為某隨

4、機試驗中的三個事件為某隨機試驗中的三個事件, ,試表示下列試表示下列事件事件(1):(2):(3):(4):ABCABCABCABC、 都發(fā)生,但 不發(fā)生、 中至少有一個發(fā)生,且 不發(fā)生、 、 恰有兩個發(fā)生、 、 中最多有一個發(fā)生ABCABBCAC()AB C ABCABCABC( (即對立事件至少有兩個發(fā)生即對立事件至少有兩個發(fā)生) )1.81.8 設(shè)設(shè)A A與與B B互不相容互不相容, ,且且P(A)=0.2,P(A+B)=0.6,P(A)=0.2,P(A+B)=0.6,求求P(B)P(B)解解AA與與B B互不相容互不相容P(AB)=0P(AB)=0又又P(A+B)=P(A)+P(B)-

5、P(AB)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(B)=P(A+B)-P(A)P(B)=P(A+B)-P(A)=0.6-0.2=0.6-0.2=0.4=0.41.91.90.5解解1 0.70.2 ( )0.7, ()0.2,()P AP A BP A B設(shè)求1()P A B 1 ( )()P AP AB ()()P ABP AB1.101.10 設(shè)設(shè)A,BA,B是任意兩事件是任意兩事件, ,將下列四個數(shù)將下列四個數(shù)P(A),P(AB), P(A),P(AB), P(AB),P(A)+P(B)P(AB),P(A)+P(B)按由小到大的順序排列起來按由小到大的順序排列起來解解P(AB)P

6、(A)P(AB)P(AB)P(A)P(AB)又又P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)P(A)+P(B)P(AB)P(A)+P(B)P(AB)P(A)P(AB)P(A)+P(B)P(AB)P(A)P(AB)P(A)+P(B)()ABAA B1.111.11 試問下列命題是否成立試問下列命題是否成立? ?若正確給出其證明若正確給出其證明. .(1)(1)若若P(AB)=P(A)+P(B),P(AB)=P(A)+P(B),則則A A與與B B互不相容互不相容()( )( )()P ABP AP BP AB解解( )( )P AP B()0P

7、AB AB 即AB與 互不相容( () )1.111.11 試問下列命題是否成立試問下列命題是否成立? ?若正確給出其證明若正確給出其證明. .(2)(2)若若P(A)+P(B)P(A)+P(B)1,1,則則A A與與B B相容相容()( )( )()P ABP AP BP AB解解1()P AB11()1P AB ()0P AB()()()0P AB 即AA與與B B相容相容AB 1.111.11 試問下列命題是否成立試問下列命題是否成立? ?若正確給出其證明若正確給出其證明. .(3)(3)若若P(A)=1,P(B)=1,P(A)=1,P(B)=1,則則P(AB)=1P(AB)=1( )(

8、)P AP AB解解AAB1( )()1P AP AB ()1P AB()()1.111.11 試問下列命題是否成立試問下列命題是否成立? ?若正確給出其證明若正確給出其證明. .(4)(4)若若P(A)=1,P(B)=1,P(A)=1,P(B)=1,則則P(AB)=1P(AB)=1()( )( )()P ABP AP BP AB解解1 1 1 1()()由由(3),P(AB)=1(3),P(AB)=1 00P ABCP AB 解解 問題歸結(jié)于求問題歸結(jié)于求 .P ABC 1.141.14 設(shè)設(shè) 11,33P AP B 1,3P C 0,P AB 0,P AC 1,4P BC 個發(fā)生的概率個發(fā)

9、生的概率求事件求事件A A，B B，C C中至少有一中至少有一 0,P ABC 由概率的加法公式得所求概率為由概率的加法公式得所求概率為 P ABCP AP BP C( )( )( ) ()()()P ABP ACP BC11113000.33344 ()P ABC 1.151.15 某城市中共發(fā)行三種報紙某城市中共發(fā)行三種報紙: :甲、乙、丙甲、乙、丙. .在這在這個城市的居民中個城市的居民中, ,訂甲報的有訂甲報的有4545, ,訂乙報的有訂乙報的有3535, ,訂訂丙報的有丙報的有3030, ,同時訂甲、乙兩報的有同時訂甲、乙兩報的有1010, ,同時訂甲、同時訂甲、丙兩報的有丙兩報的有

10、8 8, ,同時訂乙、丙兩報的有同時訂乙、丙兩報的有5 5, ,同時訂三同時訂三種報紙的有種報紙的有3 3, ,求下列事件的概率求下列事件的概率. .(1)(1)至少訂一種報紙至少訂一種報紙;(2);(2)不訂任何報紙不訂任何報紙;(3);(3)只訂一種報只訂一種報紙紙;(4);(4)正好訂兩種報紙正好訂兩種報紙. .0.1,()0.08,()0.050.03P ABP ACP BCP ABC解解 令令A=A=訂甲報訂甲報 ，B=B=訂乙報訂乙報,C=C=訂丙報訂丙報 ，則，則 0.45,0.35,0.3.P AP BP C 0.1,()0.08,()0.05,0.03P ABP ACP BC

11、P ABC 0.45,0.35,0.3.P AP BP C (1)P ABC( )( )( ) ()()()P AP BP CP ABP ACP BCP ABC0.450.350.30.1 0.080.050.030.9(2)P ABCP ABC1 P ABC1 0.9 0.10.1,()0.08,()0.05,0.03P ABP ACP BCP ABC 0.45,0.35,0.3.P AP BP C (3)P ABCABCABCP ABCP ABCP ABC其中P ABCP ABC1 P ABC 而P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC 而P ABP BAP BP A

12、BP ABCP BCAP BCP ABC0.30.230.20.73P ABCABCABC0.1,()0.08,()0.05,0.03P ABP ACP BCP ABC 0.45,0.35,0.3.P AP BP C P ABCP BCAP BCP ABC(4)P ABCABCABCP ABCP ABCP ABC0.070.050.020.141.161.16 把把1010本書隨機地放在書架上本書隨機地放在書架上, ,求其中指定的求其中指定的3 3本書本書放在一起的概率放在一起的概率. .1153!8!10!P 解解所求概率為所求概率為1.181.18 某公司生產(chǎn)的某公司生產(chǎn)的1515件產(chǎn)品中

13、件產(chǎn)品中, ,有有1212件是正品件是正品,3,3件是件是次品次品. .現(xiàn)將它們隨機地分裝在現(xiàn)將它們隨機地分裝在3 3個箱中個箱中, ,每箱每箱5 5件件, ,求求3 3件件次品被分在同一箱中的概率次品被分在同一箱中的概率. .6912512105515103CCPCC 解解所求概率為所求概率為12!32!5!5!15!5!5!5!P 或或1.201.20 將三封信隨機地投入四個郵箱將三封信隨機地投入四個郵箱, ,求恰有三個郵箱求恰有三個郵箱, ,其中各有一封信的概率其中各有一封信的概率. .383433!4CP 解解所求概率為所求概率為1.221.22 一個班級中有一個班級中有8 8名男生和

14、名男生和7 7名女生名女生, ,現(xiàn)隨機地選出現(xiàn)隨機地選出3 3名學生參加比賽名學生參加比賽, ,求選出的學生中求選出的學生中, ,男生數(shù)多于女生數(shù)男生數(shù)多于女生數(shù)的概率的概率3665213878315CCCPC 解解所求概率為所求概率為1.29設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%60%、30%30%、10%10%，從中隨意取出一件，結(jié)果不是三等品，求取到的是一從中隨意取出一件，結(jié)果不是三等品，求取到的是一等品的概率等品的概率. .解解13133()()()P A AP A AP A0.61 0.113()1()P AP A23130.6()0.9P A AA Ai

15、= =取到的是取到的是i等品等品i=1=1，2 2，3.3.則所求概率為則所求概率為解法二解法二( (用條件概率的本來含義用條件概率的本來含義) )231.30袋中有袋中有2 2個紅球個紅球,2,2個黑球與個黑球與3 3個白球個白球, ,現(xiàn)從袋中任意現(xiàn)從袋中任意取出兩個球取出兩個球, ,以以X,Y分別表示所取出的兩個球中紅球與分別表示所取出的兩個球中紅球與白球的個數(shù)白球的個數(shù), ,求求P(X=1|Y=0).解解112224(10)CCP XYC23此題即為求取到此題即為求取到0 0個白球事件發(fā)生的條件下個白球事件發(fā)生的條件下, ,取到取到1 1個紅球的概率個紅球的概率. .(用條件概率的本來含

16、義用條件概率的本來含義)即為求在即為求在2 2紅紅2 2黑四個球中黑四個球中, ,取到取到1 1紅紅1 1黑的概率黑的概率. .1.31已知已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8,求求P(AB).解解()( )( )()P ABP AP BP AB( )( )( )()P AP BP AP B A0.50.60.5 0.80.71.35袋中裝有袋中裝有1 1個白球個白球,1,1個黑球個黑球. .從中任取從中任取1 1個個, ,若取出若取出白球白球, ,則試驗停止則試驗停止; ;若取出黑球若取出黑球, ,則把取出黑球放回的同則把取出黑球放回的同時時, ,再加入再加入1 1個

17、黑球個黑球, ,如此下去如此下去, ,直到取出白球為止直到取出白球為止. .問試問試驗恰好在第驗恰好在第3 3次取球后結(jié)束的概率是多少次取球后結(jié)束的概率是多少? ?解解123()P A A A121234121312() () ()P A P A A P A A A112設(shè)設(shè)A Ai= =第第i次取到白球次取到白球i=1=1，2 2，3.3.則所求概率為則所求概率為1.36袋中裝有袋中裝有5050個乒乓球個乒乓球, ,其中其中2020個是黃球個是黃球,30,30個是白個是白球球, ,今有兩人依次隨機地從袋中各取一球今有兩人依次隨機地從袋中各取一球, ,取后不放回取后不放回, ,求第二個人取得黃

18、球的概率求第二個人取得黃球的概率. .解解2()P A2019302050495049121121() ()() ()P A P A AP A P A A25設(shè)設(shè)A Ai= =第第i個個人取到黃球人取到黃球i=1=1，2.2.則所求概率為則所求概率為1.37有兩個口袋有兩個口袋, ,甲袋中裝有甲袋中裝有2 2個白球個白球,1,1個黑球個黑球, ,乙袋中乙袋中裝有裝有1 1個白球個白球,2,2個黑球個黑球. .今從甲袋中任取一個球放入乙今從甲袋中任取一個球放入乙袋袋, ,再從乙袋中取出一個球再從乙袋中取出一個球, ,求最后取出那個球恰好為求最后取出那個球恰好為白球的概率白球的概率. .解解2()

19、P A22113434121121() ()() ()P A P A AP A P A A512設(shè)設(shè)A Ai= =第第i袋中袋中取到白球取到白球i=1=1，2.2.則所求概率為則所求概率為給甲乙分別編號給甲乙分別編號1,21,21.38某人決定將一筆錢投資于房地產(chǎn)、股票和期貨之某人決定將一筆錢投資于房地產(chǎn)、股票和期貨之一一, ,他選擇這三種投資渠道的概率依次為他選擇這三種投資渠道的概率依次為1/2,1/41/2,1/4和和1/4.1/4.據(jù)有關(guān)信息顯示據(jù)有關(guān)信息顯示, ,現(xiàn)階段這三種投資渠道虧本的概率分現(xiàn)階段這三種投資渠道虧本的概率分別為別為1/8,1/41/8,1/4和和1/8.1/8.問他

20、投資虧本的概率是多少問他投資虧本的概率是多少? ?解解( )P B111111284448112233() ()() ()() ()P A P B AP A P B AP A P B A532設(shè)設(shè)A Ai= =進行第進行第i項投資項投資i=1,2,3.=1,2,3.則所求概率為則所求概率為給給投資于房地產(chǎn)、股票和期貨投資于房地產(chǎn)、股票和期貨分別編號分別編號1,2,31,2,3B B= =投資虧本投資虧本1.41有朋友自遠方來訪有朋友自遠方來訪, ,他乘火車、輪船、汽車和飛機來的概率他乘火車、輪船、汽車和飛機來的概率分別是分別是0.3,0.2,0.1,0.4.0.3,0.2,0.1,0.4.如果

21、他乘火車、輪船和汽車來的話如果他乘火車、輪船和汽車來的話, ,遲遲到的概率分別是到的概率分別是1/41/4、1/31/3和和1/12,1/12,而乘飛機來不會遲到而乘飛機來不會遲到. .結(jié)果他結(jié)果他遲到了遲到了, ,試問他是乘火車來的概率是多少試問他是乘火車來的概率是多少? ?解解1()P A B10.341110.30.20.10.4 043121141() ()() ()iiiP A P B AP A P B A0.5設(shè)設(shè)A Ai= =乘第乘第i種交通工具種交通工具i=1,2,3,4.=1,2,3,4.則所求概率為則所求概率為給給乘火車、輪船、汽車和飛機乘火車、輪船、汽車和飛機分別編號分別

22、編號1,2,3,41,2,3,4B B= =遲到遲到1.42據(jù)統(tǒng)計據(jù)統(tǒng)計, ,某地區(qū)癌癥患者占人口總數(shù)的某地區(qū)癌癥患者占人口總數(shù)的5.5.根據(jù)以根據(jù)以往的臨床記錄往的臨床記錄, ,癌癥患者對某種試驗呈陽性反應(yīng)的概率癌癥患者對某種試驗呈陽性反應(yīng)的概率為為0.95,0.95,非癌癥患者對這種試驗呈陽性反應(yīng)的概率為非癌癥患者對這種試驗呈陽性反應(yīng)的概率為0.01.0.01.若某人對這種試驗呈陽性反應(yīng)若某人對這種試驗呈陽性反應(yīng), ,求此人患有癌癥求此人患有癌癥的概率的概率. .解解()P A B0.005 0.950.005 0.950.995 0.01( ) ()( ) ()( ) ()P A P B

23、 AP A P B AP A P B A95294B B= =呈陽性反應(yīng)呈陽性反應(yīng)則所求概率為則所求概率為設(shè)設(shè)A A=癌癥患者癌癥患者 解解()( )( )( ) ()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC( )( )( ),P AP BP CABC 23 ( )3( )P AP A1.47設(shè)兩兩獨立的三個事件設(shè)兩兩獨立的三個事件A、B、C滿足條件滿足條件ABC= P(A)=P(B)=P(C) ,P(ABC)= ,求求P(A)12916又又A A、B B、C C兩兩獨立兩兩獨立91613( )44P A或( (舍去舍去) )1( )4P A1.481.48

24、甲、乙、丙三人獨立地向同一目標甲、乙、丙三人獨立地向同一目標各射擊一次，他們擊中的概率分別為各射擊一次，他們擊中的概率分別為0.7,0.80.7,0.8和和0.90.9，問目標被擊中的概率是多少，問目標被擊中的概率是多少? ? 解解 設(shè)設(shè)A=A=甲射中目標甲射中目標 ，B=B=乙射中目標乙射中目標 ，C=C=丙射中目標丙射中目標 則所求概率為則所求概率為 11P ABCP ABCP ABC 110.3 0.2 0.10.994.P A P B P C 解解 在任一時刻，考察一名售貨員是否使在任一時刻，考察一名售貨員是否使為成功，為成功，否則視為失敗，從而每次試驗成功的否則視為失敗，從而每次試驗成功的用臺用臺秤相當于作一次試驗，如果使用臺秤則視秤相當于作一次試驗，如果使用臺秤則視概率為概率為15/6015/60 =1=14 41.491.49 店內(nèi)有店內(nèi)有4 4名售貨員，根據(jù)經(jīng)驗每名售名售貨員，根據(jù)