微分幾何第二章曲面論第一節(jié)曲面的概念

1、微分幾何第二章曲面論第一節(jié)曲面的概念2022-3-121 曲面的概念1.1.簡(jiǎn)單曲面及其參數(shù)表示；簡(jiǎn)單曲面及其參數(shù)表示；2.2.光滑曲面光滑曲面 曲面的切平面和法線；曲面的切平面和法線；3.3.曲面上的曲線族和曲線網(wǎng)曲面上的曲線族和曲線網(wǎng). .1.1 簡(jiǎn)單曲面及其參數(shù)表示簡(jiǎn)單曲面及其參數(shù)表示定義定義1 1 （約當(dāng)曲線）（約當(dāng)曲線）.稱稱為為約約當(dāng)當(dāng)曲曲線線平平面面上上不不自自交交的的閉閉曲曲線線注注（約當(dāng)定理）（約當(dāng)定理）分分，約約當(dāng)當(dāng)曲曲線線分分平平面面為為兩兩部部線線為為邊邊界界，并并且且每每一一部部分分都都以以此此曲曲，它它們們中中間間一一個(gè)個(gè)是是有有限限的的.另另一一部部分分是是無(wú)無(wú)限

2、限的的定義定義2 2 （初等區(qū)域）（初等區(qū)域）部部在在平平面面上上的的同同胚胚像像約約當(dāng)當(dāng)曲曲線線的的內(nèi)內(nèi)部部及及其其內(nèi)內(nèi).稱稱為為平平面面上上的的初初等等區(qū)區(qū)域域如如：長(zhǎng)長(zhǎng)方方形形內(nèi)內(nèi)部部 正正方方形形內(nèi)內(nèi)部部圓圓內(nèi)內(nèi)部部橢橢圓圓內(nèi)內(nèi)部部Oxy全全平平面面 1.1.簡(jiǎn)單曲面簡(jiǎn)單曲面定義定義3 3 （簡(jiǎn)單曲面）（簡(jiǎn)單曲面）.3面面中中的的同同胚胚像像稱稱為為簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單曲曲平平面面上上的的初初等等區(qū)區(qū)域域在在 E如如：簡(jiǎn)單曲面簡(jiǎn)單曲面fgOuv),(vu.GOyzx),(zyx2.2.簡(jiǎn)單曲面的參數(shù)表示簡(jiǎn)單曲面的參數(shù)表示Sf P),(vurr ),(vurr ),(),(),(vuzvuyvux

3、的向量式參數(shù)表示的向量式參數(shù)表示)(S),(),(),(vuzzvuyyvuxx 的坐標(biāo)式參數(shù)表示的坐標(biāo)式參數(shù)表示)(S),(vu.,坐標(biāo)坐標(biāo)叫做曲面的參數(shù)或曲紋叫做曲面的參數(shù)或曲紋vu).,(),(vuPzyxP也也可可直直接接寫(xiě)寫(xiě)作作曲曲面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)GOuv),(00vu.Oyzx3.3.曲紋坐標(biāo)網(wǎng)曲紋坐標(biāo)網(wǎng)Sf P),(00vu坐標(biāo)直線坐標(biāo)直線u坐標(biāo)曲線坐標(biāo)曲線u坐標(biāo)直線坐標(biāo)直線v坐標(biāo)曲線坐標(biāo)曲線v坐坐標(biāo)標(biāo)直直線線的的方方程程為為u,0vv ),()(vurrS 的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲面面曲曲線線的的方方程程為為：的的上上點(diǎn)點(diǎn)則則過(guò)過(guò)曲曲面面-),()(00uvuPS),(0vur

4、r ),(),(),(000vuzvuyvux ,0vv 或或,同同樣樣坐坐標(biāo)標(biāo)直直線線的的方方程程為為v,0uu 曲曲線線的的方方程程為為：的的上上點(diǎn)點(diǎn)則則過(guò)過(guò)曲曲面面-),()(00vvuPS),(0vurr ),(),(),(000vuzvuyvux ,0uu 或或GOuv),(00vu.Oyzx3.3.曲紋坐標(biāo)網(wǎng)曲紋坐標(biāo)網(wǎng)Sf P),(00vu坐標(biāo)直線族坐標(biāo)直線族u坐標(biāo)曲線族坐標(biāo)曲線族u坐標(biāo)直線族坐標(biāo)直線族v坐標(biāo)曲線族坐標(biāo)曲線族v坐坐標(biāo)標(biāo)曲曲線線族族的的方方程程為為u常常數(shù)數(shù)； v坐坐標(biāo)標(biāo)曲曲線線族族的的方方程程為為v.常常數(shù)數(shù) u網(wǎng)網(wǎng)坐坐標(biāo)標(biāo)曲曲線線族族形形成成的的曲曲線線坐坐標(biāo)標(biāo)曲

5、曲線線族族與與 vu叫叫做做曲曲紋紋坐坐標(biāo)標(biāo)網(wǎng)網(wǎng)（或或參參數(shù)數(shù)曲曲線線網(wǎng)網(wǎng)）xyzo例例1 1（帶縫的圓柱面）（帶縫的圓柱面）O)( u)(tv 2fR t參數(shù)方程：參數(shù)方程：),20( t 其其中中tzRyRx ,sin,cos :其其坐坐標(biāo)標(biāo)曲曲線線為為:)(常常數(shù)數(shù)曲曲線線 t ,sin,cos0tRRr 緯緯圓圓 :)(常常數(shù)數(shù)曲曲線線 t,sin,cos00tRRr 1 , 0 , 00 ,sin,cos00tRR 直直母母線線 例例2 2（帶縫的球面）（帶縫的球面）O)( u)( v 2f參數(shù)方程：參數(shù)方程：)20 ,22( 其中其中 sin,sincos,coscosRzRyRx

6、 :其其坐坐標(biāo)標(biāo)曲曲線線為為:)(常常數(shù)數(shù)曲曲線線 .緯緯圓圓:)(常常數(shù)數(shù)曲曲線線 .經(jīng)經(jīng)線線2 2 R xyzO例例3 3（帶縫的旋轉(zhuǎn)曲面）（帶縫的旋轉(zhuǎn)曲面）O)( u)(tv 2f參數(shù)方程：參數(shù)方程：),20( t 其其中中)(,sin)(,cos)(tztytx :其其坐坐標(biāo)標(biāo)曲曲線線為為:)(常常數(shù)數(shù)曲曲線線 t .緯緯圓圓:)(常常數(shù)數(shù)曲曲線線 t.經(jīng)經(jīng)線線xyzo).()()(),()(如如圖圖旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周得得一一帶帶縫縫的的繞繞，：面面上上的的曲曲線線將將zttztxCxoz ),(zyx 1.2 光滑曲面光滑曲面 曲面的切平面和法線曲面的切平面和法線1

7、.1.光滑曲面，正常點(diǎn)光滑曲面，正常點(diǎn)定義定義4 4,階的連續(xù)偏微商階的連續(xù)偏微商中的函數(shù)有直至中的函數(shù)有直至k),(),(),(),(vurrvuzzvuyyvuxx 或或如如果果曲曲面面方方程程.類曲面類曲面則稱為則稱為kC特別地，特別地，類曲面又稱為光滑曲面類曲面又稱為光滑曲面1C.0類曲面又稱為連續(xù)曲面類曲面又稱為連續(xù)曲面C定義定義5 5，上上的的點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)于于曲曲面面),(),(:00vuPvurrS )(光滑曲面光滑曲面)(正常點(diǎn)正常點(diǎn)0),(),(0000 vurvurvu如如果果為為曲曲面面上上的的正正常常點(diǎn)點(diǎn)，則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)),(00vuP.,稱稱為為奇奇點(diǎn)點(diǎn)否否則則注注正常點(diǎn)的

8、幾何意義：正常點(diǎn)的幾何意義：OyzxS P曲曲線線-u曲線曲線-v),(00vuru),(00vurv0),(),(0000 vurvurvu.-),(00曲線不相切曲線不相切曲線和曲線和的的表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)vuvu定義定義6 6曲線網(wǎng)，曲線網(wǎng)，曲面上兩族曲線構(gòu)成的曲面上兩族曲線構(gòu)成的)(正規(guī)曲線網(wǎng)正規(guī)曲線網(wǎng)不不相相切切，如如果果任任意意兩兩條條異異族族曲曲線線則稱該曲線網(wǎng)為則稱該曲線網(wǎng)為.正規(guī)曲線網(wǎng)正規(guī)曲線網(wǎng)注注.)1(網(wǎng)網(wǎng)是是正正規(guī)規(guī)網(wǎng)網(wǎng)正正則則曲曲面面上上的的曲曲紋紋坐坐標(biāo)標(biāo).)2(是是正正規(guī)規(guī)網(wǎng)網(wǎng)因因而而其其上上的的曲曲紋紋坐坐標(biāo)標(biāo)網(wǎng)網(wǎng)則則曲曲面面片片上上，曲曲面面的的正正常常點(diǎn)點(diǎn)

9、總總在在一一正正事事實(shí)實(shí)上上，因因?yàn)闉榍婷媸鞘枪夤饣牡模? 連連續(xù)續(xù)vurr為為正正常常點(diǎn)點(diǎn)，如如果果點(diǎn)點(diǎn)),(00vuP, 0),(),(0000 vurvurvu則則.連續(xù)連續(xù)從而從而uurr ，的的一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域總總存存在在Uvu),(00, 0 vurr在在此此鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的正正則則曲曲面面片片上上在在鄰鄰域域于于是是點(diǎn)點(diǎn)UvuP),(00.規(guī)規(guī)網(wǎng)網(wǎng)其其上上的的曲曲紋紋坐坐標(biāo)標(biāo)網(wǎng)網(wǎng)是是正正命題命題1 1總總可可以以用用形形如如曲曲面面在在正正常常點(diǎn)點(diǎn)的的鄰鄰域域中中),(),(),(zyxxzxyyyxzz 或或或或.的的參參數(shù)數(shù)表表示示證：證：為為正正常常點(diǎn)

10、點(diǎn)，設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)),(00vuP, 0),(),(0000 vurvurvu則則，的的一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域總總存存在在Uvu),(00, 0 vurr在在此此鄰鄰域域內(nèi)內(nèi), 0, vyvxuyuxvxvzuxuzvzvyuzuyrrvu即即.),(Uvu , 0 vyvxuyux不妨設(shè)不妨設(shè) ),(),(vuyyvuxx對(duì)對(duì)于于方方程程組組)( 滿足：滿足：；至至少少有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏微微商商，),(),()(vuyvuxi ),(),()(000000vuyyvuxxii, 0),(),()()0,0(00),( vuvyvxuyuxvuyxJocbiiiivu行列式行列式，由由反反函函數(shù)數(shù)存

11、存在在定定理理可可知知，的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域總存在總存在Vvu),(00內(nèi)內(nèi)，在在此此鄰鄰域域 V反反函函數(shù)數(shù)有有唯唯一一一一對(duì)對(duì)連連續(xù)續(xù)可可微微的的方方程程組組)( ),(),(yxvvyxuu得得：將將其其代代入入),(vuzz ),(),(yxvyxuzz ),(yxz 注注數(shù)數(shù)表表示示，是是曲曲面面的的一一種種特特殊殊的的參參),(yxzz ，即即),(,yxzyxrr ).,(是是參參數(shù)數(shù)yx2.2.曲面的切平面和法線曲面的切平面和法線GOuv),(00vu.OyzxSf P),(00vu坐標(biāo)直線坐標(biāo)直線u坐標(biāo)曲線坐標(biāo)曲線u坐標(biāo)直線坐標(biāo)直線v坐標(biāo)曲線坐標(biāo)曲線v),(:vurr )()

12、,(tvvtuu )(),(tvvtuu 或或)(),(tvturr C)(vuu 或或)(uvv 或或0),( vuf或或的曲紋坐標(biāo)方程的曲紋坐標(biāo)方程曲線曲線)(C的的切切向向量量為為在在點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線),()(00vuPC000),(),(0000tvtutdtdvvurdtduvurr 定義定義7 7)(切方向切方向的的切切向向量量平平行行的的方方向向在在點(diǎn)點(diǎn)與與曲曲線線PC)(向向叫叫做做曲曲面面在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的切切方方).(或或方方向向命題命題2 2., 所所決決定定的的平平面面上上坐坐標(biāo)標(biāo)曲曲線線的的切切向向量量方方向向都都在在過(guò)過(guò)該該點(diǎn)點(diǎn)的的曲曲面面在在一一點(diǎn)點(diǎn)處處的的所所有有切切

13、vurr定義定義8 8)(切平面切平面.,面面在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的切切平平面面所所決決定定的的平平面面上上叫叫做做曲曲線線的的切切向向量量曲曲面面在在一一點(diǎn)點(diǎn)處處的的坐坐標(biāo)標(biāo)曲曲vurr定義定義9 9)(法方向、法線法方向、法線.方方向向稱稱為為曲曲面面的的法法方方向向切切平平面面的的曲曲面面在在正正常常點(diǎn)點(diǎn)處處垂垂直直于于.法法線線直直線線叫叫做做曲曲面面在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的過(guò)過(guò)該該點(diǎn)點(diǎn)平平行行于于法法方方向向的的S P，法法向向量量vurrN .vuvurrrrn 單位法向量單位法向量切切平平面面和和法法線線方方程程S P),(00vuurvr:切切平平面面方方程程0),(),(),(000000

14、 vurvurvurRvu0),(),(),(),(),(),(),(),(),(000000000000000000 vuzvuyvuxvuzvuyvuxvuzZvuyYvuxXvvvuuu:法法線線方方程程),(),(),(000000vurvurvurvu ),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(000000000000000000000000000000vuyvuxvuyvuxvuzZvuxvuzvuxvuzvuyYvuzvuyvuzvuyvuxXvvuuvvuuvvuu ，若曲面若曲面),(:)1(vurrS ，若若曲曲面面),(:)

15、2(yxzzS ，則則),(,yxzyxr ，于是于是, 0 , 1prx ，, 1 , 0qry ，其其中中yzqxzp 處處的的切切平平面面方方程程為為：曲曲面面在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx01001 qpzZyYxX).()(yYqxXpzZ 即即法線方程為：法線方程為：.1 zZqyYpxX例例1 1.),(,sin,cos:)(的的切切平平面面和和法法線線方方程程處處在在任任一一點(diǎn)點(diǎn)求求圓圓柱柱面面tPtRRrS 解：解：,sin,costRRr ,0 ,cos,sin RRr ,1 , 0 , 0 tr處處的的切切平平面面方方程程為為：在在任任一一點(diǎn)點(diǎn)),()(tPS , 01000coss

16、insincos RRtzRyRxRyx sincos即即處處的的法法線線方方程程為為：在在點(diǎn)點(diǎn)),()(tPS ,0sinsincoscostzRRyRRx .0sinsincoscostzRyRx 即即.,法法線線平平行行面面唯唯一一沿沿同同一一條條直直母母線線的的切切平平可可見(jiàn)見(jiàn)xyzo 注注切方向的表示法：切方向的表示法：)1(GOuv),(vu.OyzxSf P),(vuC切切方方向向dtdvrdtdurdtrdvu /切切方方向向),(vurdvdurdvrd /切切方方向向,vurdvdur /表表示示，切切方方向向常常用用dvdu :.)(表表示示或或也也用用drd,dvrdu

17、rrdvu /注注切切空空間間)2(fGOuv),(00vu.)(COyzxS P),(00vuurvr),(),(0000vurvurVvu 任任給給一一個(gè)個(gè)向向量量:),(00的的曲曲線線上上必必定定能能找找到到過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)則則在在曲曲面面vuPS),(),(0000ttvtturr .),(00VvuP的的切切向向量量就就是是此此曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)PT處的切空間，處的切空間，在點(diǎn)在點(diǎn)稱為曲面稱為曲面PSTP.,的一組基的一組基是切空間是切空間PvuTrr3.3.曲面的參數(shù)變換及曲面的正側(cè)曲面的參數(shù)變換及曲面的正側(cè)GvuvurrS ),(),(:)(給定曲面給定曲面 ),(),(vuvvvuuu

18、及函數(shù)組及函數(shù)組)( ；至至少少有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏微微商商函函數(shù)數(shù)組組)()( i, 0),(),()( vvvuuvuuvuvuJocbiii行列式行列式定義定義1010Gvu ),(滿滿足足下下列列條條件件：若若函函數(shù)數(shù)組組)( .)()(的的一一宗宗一一一一對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)到到給給出出了了函函數(shù)數(shù)組組GGiii .)()(的的一一個(gè)個(gè)參參數(shù)數(shù)變變換換為為曲曲面面則則稱稱函函數(shù)數(shù)組組S GOuv),(vu.Oyzx)(Sf同同胚胚),(vu PG),(vu.g同同胚胚h(yuǎn)同同胚胚,)( 下下在在 :)(方程為方程為曲面的曲面的 S),(),(vuvvuurr ),(vur Gvu ),(.)(

19、)(的的一一個(gè)個(gè)參參數(shù)數(shù)變變換換稱稱為為曲曲面面函函數(shù)數(shù)組組S 注注.稱為曲面的正側(cè)稱為曲面的正側(cè)所指向的一側(cè)所指向的一側(cè)或或曲面的法向量曲面的法向量nN定義定義1111雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面有正、負(fù)側(cè)的曲面叫做有正、負(fù)側(cè)的曲面叫做).(或可定向曲面或可定向曲面否則叫做單側(cè)曲面否則叫做單側(cè)曲面).(或不可定向曲面或不可定向曲面.P可定向曲面可定向曲面麥比烏斯帶麥比烏斯帶不可定向曲面不可定向曲面注注./)1(nnNN ，在在參參數(shù)數(shù)變變換換下下，., 0),(),()2(即即曲曲面面的的正正側(cè)側(cè)保保持持不不變變則則若若nnvuvu 事實(shí)上，事實(shí)上，),(),(vuvvuurr ,uvruurrvuu

20、,vvrvurrvuv )()(vvrvuruvruurrrNvuvuvu )(uurrvvvuuvuu )(),(),(uurrvuvu ，Nvuvu),(),( ./nnNN ，., 0),(),(nnNNvuvu 同同向向，從從而而與與則則若若.)3(換換下下不不變變曲曲面面的的正正則則性性在在參參數(shù)數(shù)變變.)4(的的確確定定有有關(guān)關(guān)曲曲面面正正側(cè)側(cè)的的確確定定與與參參數(shù)數(shù)順順序序構(gòu)構(gòu)成成右右手手系系，Nrrvu,對(duì)調(diào)時(shí)，對(duì)調(diào)時(shí)，與與當(dāng)坐標(biāo)曲線當(dāng)坐標(biāo)曲線vu改變?yōu)樗姆聪颍淖優(yōu)樗姆聪?，N.側(cè)側(cè)因而曲面的正側(cè)變?yōu)樨?fù)因而曲面的正側(cè)變?yōu)樨?fù)1.3 曲面上的曲線族和曲線網(wǎng)曲面上的曲線族和曲線網(wǎng)

21、1.1.曲面上的曲線族曲面上的曲線族)(00是是固固定定常常數(shù)數(shù)vvv .曲曲線線表表示示一一條條 u )(00是是任任意意常常數(shù)數(shù)vvv .曲曲線線表表示示一一族族 u .曲曲線線族族即即 u)(00是是任任意意常常數(shù)數(shù)uuu .曲曲線線表表示示一一族族 v .曲曲線線族族即即 v)(),(),(是是任任意意常常數(shù)數(shù)CCtvvCtuu .曲曲線線表表示示一一族族 u .曲曲線線族族即即 u.表表示示曲曲面面上上的的一一族族曲曲線線 同同理理，)(0),(),(),(是是任任意意常常數(shù)數(shù)或或或或CCvufCtvCvu .表表示示曲曲面面上上的的一一族族曲曲線線 定義定義1212)(曲曲線線族族

22、，給給定定曲曲面面上上的的一一族族曲曲線線它它的的方方程程由由一一個(gè)個(gè)參參數(shù)數(shù)來(lái)來(lái)確確定定，參參數(shù)數(shù)并并且且連連續(xù)續(xù)地地依依賴賴于于這這個(gè)個(gè))(，當(dāng)當(dāng)取取定定參參數(shù)數(shù)的的一一個(gè)個(gè)值值時(shí)時(shí)就就得得到到一一條條曲曲線線，點(diǎn)點(diǎn)，如如果果對(duì)對(duì)于于曲曲面面上上每每一一個(gè)個(gè)有有唯唯一一的的一一條條曲曲線線通通過(guò)過(guò)該該點(diǎn)點(diǎn)，的的單單參參數(shù)數(shù)則則稱稱這這族族曲曲線線為為曲曲面面上上曲曲線線族族，.簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱曲曲面面上上的的曲曲線線族族由由上上可可以以看看出出，為為：曲曲面面上上的的曲曲線線族族可可以以表表 ),(),(CtvvCtuu),(Cvu 或或),( Ctv 或或0),( Cvuf或或)( 是任意常數(shù)是任意常數(shù)C命題命題1 1一一個(gè)個(gè)線線性性微微分分方方程程)0(0),(),(22 BAdvvuBduvuA.總總表表示示曲曲面面上上的的曲曲線線族族）（*.(*)表表示示的的微微分分方方程程線線族族均均可可用用形形如如反反之之，曲曲面面上上的的任任一一曲曲.(*)分分方方程程稱稱為為曲曲面面上上曲曲線線族族的的微微證：證：，不不妨妨設(shè)設(shè)0),( vuA，則則0 dv可可