向量解題技巧doc

1、第二講平面向量的解題技巧【考點(diǎn)透視】“平面向量” 是高中新課程新增加的內(nèi)容之一，高考每年都考， 題型主要有選擇題、填空題，也可以與其他知識(shí)相結(jié)合在解答題中出現(xiàn)，試題多以低、中檔題為主透析高考試題，知命題熱點(diǎn)為：1向量的概念，幾何表示，向量的加法、減法，實(shí)數(shù)與向量的積2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積及其幾何意義3兩非零向量平行、垂直的充要條件4圖形平移、線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式5由于向量具有“數(shù)”與“形”雙重身份，加之向量的工具性作用，向量經(jīng)常與數(shù)列、三角、解析幾何、立體幾何等知識(shí)相結(jié)合，綜合解決三角函數(shù)的化簡、求值及三角形中的有關(guān)問題，處理有關(guān)長度、夾角、垂直與平行等問題以及圓錐曲線中的典

2、型問題等6利用化歸思想處理共線、平行、垂直問題向向量的坐標(biāo)運(yùn)算方面轉(zhuǎn)化，向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算等；利用數(shù)形結(jié)合思想將幾何問題代數(shù)化，通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題【知識(shí)回顧 】1.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè) 、 為實(shí)數(shù)，那么(1) 結(jié)合律： (a )=( )a;(2) 第一分配律： ( + )a= a + a;(3) 第二分配律： (a+ b )= a+ b .58. 向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1) a ·b= b ·a （交換律） ;(2) （ a）·b=（ a·b） = a·b= a （· b ） ;(3) （ a+b ）·

3、c= a ·c +b ·c.2.平面向量基本定理如果 e1 、 e 2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、 2，使得 a= 1e 1+ 2 e 2不共線的向量e 1 、 e 2 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底3 向量平行的坐標(biāo)表示設(shè) a= ( x1 , y1) ,b = (x2 , y2 ) ，且 b0 ，則 ab(b0)x1 y2x2 y10.4. a 與 b 的數(shù)量積 (或內(nèi)積 )a·b=| a| b |cos 5. a ·b 的幾何意義數(shù)量積 a·b 等于 a 的長度 |a|與 b 在

4、a 的方向上的投影|b |cos 的乘積6.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè) a= (x1, y1 ) ,b = ( x2, y2 ) ，則 a+b=( x1x2 , y1y2 ) .(2)設(shè) a= (x1, y1 ) ,b = ( x2, y2 ) ，則 a-b=(x1x2 , y1y2 ) .(3) 設(shè) A (x1, y1 ) ，B (x2 , y2 ) ,則 AB OB OA( x2 x1 , y2 y1 ) .(4) 設(shè) a= (x, y),R ，則 a= (x, y) .(5) 設(shè) a= (x1, y1 ) ,b = ( x2 , y2 ) ，則 a ·b= (x1x2y1 y2

5、 ) .7.兩向量的夾角 公式cosx1x2y1 y2(a=(x1, y1 ) ,b = (x2 , y2 ) ).x12y12x22y228.平面兩點(diǎn)間的距離公式dA ,B = | AB |AB AB( x2x1 )2( y2y1)2 (A (x1, y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ).9.向量的平行與垂直設(shè) a= ( x1 , y1) ,b = (x2 , y2 ) ，且 b0 ，則A |bb = ax 1 y2x2 y1 0.a b(a0)a·b= 0x 1 x2y1 y2 0 .10. 線段的定比分公式設(shè) P1 ( x1 , y1 ) ， P2(x2 , y2 )

6、， P( x, y) 是線段 P1P2 的分點(diǎn) ,是實(shí)數(shù)，且PPPP，則12x1x2xOP1OP21y1y2OP1y11OPtOP1(1 t)OP2 （ t） .111. 三角形的重心坐標(biāo)公式ABC 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x 1,y 1 ) 、 B(x 2 ,y 2 ) 、 C(x 3 ,y 3 ) ,則ABC 的重心的坐標(biāo)是 G( x1 x2x3 , y1 y2 y3 ) .3312. 點(diǎn)的平移公式x'x hx x'hOP 'OP PP'.y'y ky y'k注 :圖形 F 上的任意一點(diǎn) P(x ， y)在平移后圖形 F ' 上的對(duì)應(yīng)

7、點(diǎn)為 P' (x' , y' ) ，且 PP ' 的坐標(biāo)為 (h, k) .13. “按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論（ 1）點(diǎn) P(x, y) 按向量 a= ( h, k) 平移后得到點(diǎn) P' ( x h, yk) .(2)函數(shù) yf ( x) 的圖象 C 按向量 a= (h, k) 平移后得到圖象 C ',則 C ' 的函數(shù)解析式為yf ( xh) k .(3)圖象 C'按向量 a= (h,k ) 平移后得到圖象 C ,若 C 的解析式 yf ( x) ,則 C ' 的函數(shù)解析式為 yf ( xh) k .(4)曲 線 C :

8、f (x, y) 0 按 向 量 a= (h, k ) 平 移 后 得 到 圖 象 C ' , 則 C ' 的 方 程 為f (xh, y k )0 .(5)向量 m = (x, y) 按向量 a= ( h, k) 平移后得到的向量仍然為m = ( x, y) .14. 三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè) O 為 ABC 所在平面上一點(diǎn)，角A, B,C 所對(duì)邊長分別為a,b, c ，則（1）O為ABC 的外心2OB22OAOC .（2）O為ABC 的重心OAOBOC 0.（3）O為ABC 的垂心OA OBOB OCOC OA.（4）O為ABC 的內(nèi)心aOAbOBcOC0 .（5

9、）O為ABC 的 A 的旁心aOAbOBcOC .【例題解析】1. 向量的概念，向量的基本運(yùn)算(1) 理解向量的概念，掌握向量的幾何意義，了解共線向量的概念.(2) 掌握向量的加法和減法 .(3) 掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件.(4) 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.(5) 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義,了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題 ,掌握向量垂直的條件 .(6) 掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式 .例 1（ 2007年北京卷理）已知O是ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)， D為BC 邊中點(diǎn)，且2OA OBOC0 ，那么（

10、） AO OD AO2OD AO3OD 2AO OD命題意圖 : 本題考查能夠結(jié)合圖形進(jìn)行向量計(jì)算的能力例 2 （ 2006 年安徽卷）在ABCD 中， ABa, ADb, AN3NC ，M 為 BC 的中點(diǎn)，則MN _. （用 a、b表示）命題意圖 :本題主要考查向量的加法和減法,以及實(shí)數(shù)與向量的積 .例 3 （ 2006 年廣東卷）如圖1 所示， D 是 ABC 的邊 AB 上的中點(diǎn)，則向量CD ()（A） BC1 BA（B ）BC1 BA22（C） BC1 BA（D） BC1 BA22命題意圖 :本題主要考查向量的加法和減法運(yùn)算能力.例 4 ( 2006年重慶卷 )與向量 a = 7,1

11、, b1,7的夾解相等，且模為1 的向量是()2222(A) 4,3(B)4,3或4, 355555 5（C） 2 2,1（D） 232 ,1或 22,133333命題意圖 :本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和用平面向量處理有關(guān)角度的問題.例 5 （2006 年天津卷） 設(shè)向量 a 與 b 的夾角為，且 a(3,3) ，2ba (1,1)，則 cos_ 命題意圖 :本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積,以及用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)角度的問題 .例 6.（ 2006 年湖北卷）已知向量a3,1 ， b 是不平行于 x 軸的單位向量，且a b3，則b = （）（A）3,1（B） 1,

12、3（C） 1,33（D） 1,0222244命題意圖 :本題主要考查應(yīng)用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積,以及方程的思想解題的能力 .例 7.設(shè)平面向量 a1、 a2、3 的和 a1a2 a30 .如果向量 b1、2、 b3，滿足 ii ，且 ai 順時(shí)abb2 a針旋轉(zhuǎn) 30o 后與 bi 同向，其中 i 1,2,3，則（）（ A） b1b2b30（B ） b1b2b3 0（ C） b b b 0（ D ） b b b 0123123命題意圖 : 本題主要考查向量加法的幾何意義及向量的模的夾角等基本概念.2. 平面向量與三角函數(shù) , 解析幾何等問題結(jié)合(1) 平面向量與三角函數(shù)、三角變換

13、、數(shù)列、不等式及其他代數(shù)問題，由于結(jié)合性強(qiáng)，因而綜合能力較強(qiáng)，所以復(fù)習(xí)時(shí)，通過解題過程，力爭達(dá)到既回顧知識(shí)要點(diǎn)，又感悟思維方法的雙重效果，解題要點(diǎn)是運(yùn)用向量知識(shí)，將所給問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解.(2) 解答題考查圓錐曲線中典型問題，如垂直、平行、共線等，此類題綜合性比較強(qiáng)，難度大.例 8 （ 2007 年陜西卷理17. ）設(shè)函數(shù)f(x)= a-b ,其中向量a=(m, cos2 x),b=(1+sin2 x,1), x R,且函數(shù) y=f (x)的圖象經(jīng)過點(diǎn),2 ，4（）求實(shí)數(shù)m 的值；（）求函數(shù)f( x)的最小值及此時(shí)x 的值的集合 .例 2 （ 2007 年陜西卷文17 ）設(shè)函數(shù)f ( x)

14、a、 b . 其中向量 a(m, cos x), b(1sin x,1), xR, 且 f ()2 .2（）求實(shí)數(shù)m 的值 ; （）求函數(shù)f (x) 的最小值 .例 9 （ 2007 年湖北卷理16 ）已知 ABC 的面積為 3，且滿足 0 AB AC 6，設(shè) AB 和 AC 的夾角為（ I）求的取值范圍；（ II）求函數(shù) f ( ) 2sin 2 3 cos2 的最大4例 10 （ 2007 年廣東卷理）已知 ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3,4) 、 B(0,0) 、 (c,0)（ 1 ）若 c=5 ，求 sin A 的值；（ 2 ）若 A 為鈍角，求 c 的取值范圍；例 11（

15、2007 年山東卷文 17）在 ABC 中，角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c，tanC 37 （ 1）求 cosC ；（ 2）若 CB CA5b9 ，求 c ，且 a2例 12.（ 2006 年湖北卷） 設(shè)函數(shù) fx a bc，其中向量 asin x, cosx ,b sin x, 3cosx ,ccos x,sin x , x R .（）求函數(shù)f x 的最大值和最小正周期；（）將函數(shù) y f x 的圖像按向量d 平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，求長度最小的 d .命題意圖 : 本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算方法、三角公式、 三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像的基本知識(shí)，

16、考查推理和運(yùn)算能力.例 13 （ 2006 年全國卷 II）已知向量a (sin ， 1) ， b (1 ， cos )， 22（）若 a b ，求 ；（）求a b 的最大值命題意圖 : 本小題主要考查平面向量數(shù)量積和平面向量的模的計(jì)算方法、以及三角公式、 三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力.例 14 （ 2006年陜西卷）如圖，三定點(diǎn) A(2,1), B (0,1),C( 2,1); 三動(dòng)點(diǎn) D、 E、 M 滿足yAD t AB , BEtBC , DM tDE ,t 0,1.C1A（ I）求動(dòng)直線 DE 斜率的變化范圍；OD- 2- 1 E1x（ II）求動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡方程。-

17、1B圖2命題意圖 : 本小題主要考查平面向量的計(jì)算方法、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像和圓錐曲線方程的求法等基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力.例 15 （2006 年全國卷 II）已知拋物線 x2 4y的焦點(diǎn)為 F，A 、B 是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)， 且 AF FB （ 0 ）過 A 、 B 兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為 （）證明 FM ·AB 為定值；（）設(shè) ABM 的面積為 S ，寫出 S f()的表達(dá)式，并求S 的最小值【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測】一、選擇題1已知 a(2,3), b(4, x), 且a / b,則x 的值為（）A 6B 6C 8D 8332已知 ABC 中，點(diǎn) D 在

18、 BC 邊上，且 CD2DB ,CD r ABsAC , 則 rs 的值是（）A 2B 4C 3D 0333把直線 x 2y0 按向量 a ( 1, 2) 平移后，所得直線與圓x2y22x4 y相5切，則實(shí)數(shù)的值為（ A ）A 39B 13C 21D394給出下列命題： a ·b =0 ，則 a =0 或 b =0.若 e 為單位向量且 a / e ，則 a =| a |·e . a · a · a =| a |3 . 若 a 與 b 共線， b 與 c 共線，則a 與 c 共線 . 其中正確的個(gè)數(shù)是（）A 0B 1C 2D 35. 在以下關(guān)于向量的命題

19、中，不正確的是（）A. 若向量 a=(x， y) ，向量 b=( y，x)( x、y 0) ，則 a bB. 四邊形 ABCD 是菱形的充要條件是AB = DC ，且 | AB |=| AD |C. 點(diǎn)G 是 ABC的重心，則GA+ GB + CG =0D. ABC中，AB和 CA 的夾角等于180 °A6.若 O為平行四邊形ABCD的中心，AB= 4 e1 ,= 6e 2, 則 3e 22e1 等于（）A.AOB.BOC.COD.DO7. 將函數(shù)y=x +2的圖象按a=（ 6， 2 ）平移后，得到的新圖象的解析式為（）A. y=x +10B. y=x 6C. y=x +6D. y=

20、x108. 已知向量m =(a,b )，向量 m n 且 |m |=|n |,則 n 的坐標(biāo)為A. （ a, b）B.( a,b )C.( b,a)D.( b,a)9. 給出如下命題：命題（1 ）設(shè)e 1 、 e2 是平面內(nèi)兩個(gè)已知向量，則對(duì)于平面內(nèi)任意向量a,都存在惟一的一對(duì)實(shí)數(shù)x、 y，使a= xe1 +ye 2 成立；命題（2 ）若定義域?yàn)镽 的函數(shù)f(x)恒滿足 f( x) = f(x) ,則f(x)或?yàn)槠婧瘮?shù)，或?yàn)榕己瘮?shù).則下述判斷正確的是（）A. 命題（ 1）（ 2 ）均為假命題B. 命題（ 1）（ 2 ）均為真命題C. 命題（ 1）為真命題，命題（2 ）為假命題D. 命題（ 1）

21、為假命題，命題（2 ）為真命題10 若 |a+b|=|a-b|，則向量 a 與 b 的關(guān)系是（）A. a= 0 或 b= 0B.|a|=|b|C. a ?b=0D. 以上都不對(duì)11O 是平面上一 定點(diǎn)，A、B、C 是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P 滿足A BAC則 P 的軌跡一定通過ABC的（）OP OA(),0,).|AB| A CA外心B 內(nèi)心C 重心D垂心12 若 a 2, 3,1 , b2,0,3 , c0,2,2 , 則 a b c =（）A 4B 15C 7D 3二、填空題1已知 | AB | 3,| AC | 4, AB 與 AC 的夾角為60°，則 AB 與 AB AC 的夾角余弦為.2 已知 a （ 4,2,x ）， b (2,1,3), 且 a b ，則 x.3 向量 ( a3b )7 a5b ， a4b7 a2 b ，則 a 和 b 所夾角是4 已知 A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1),點(diǎn) D 滿足條件： DB AC, DC AB,AD=BC,則 D 的坐標(biāo)為.5