向量補(bǔ)充：三角形的五心

1、平面向量三角形的五個(gè)“心”；重心：三角形三條中線交點(diǎn).外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn)內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點(diǎn)考試內(nèi)容：向量.向量的加法與減法.實(shí)數(shù)與向量的積.平面向量的坐標(biāo)表示.線段的定比分點(diǎn).平面向量的數(shù)量積.平面兩點(diǎn)間的距離、平移.考試要求：(1)理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念.(2)掌握向量的加法和減法.(3)掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.(5)掌握平面向量的

2、數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題，掌握向量垂直的條件.(6)掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式，以及線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且能熟練運(yùn)用掌握平移公式.知識(shí)要點(diǎn)1 .本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)2 .向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向(2)向量的表不：幾何表不法AB;字母表不：a；坐標(biāo)表示法a=xi+yj=(x,y).向量的長(zhǎng)度：即向量的大小，記作Ia|.(4)特殊的向量：零向量a=O=|a|=Q單位向量a。為單位向量u|a。|=1.r一，一，一.、，一1_.X1=X2相等的向重：大小相等，方向相同(X1,y1)=(x2,y2)=*J1=y2(6)相反向量：

3、a=-b=b=-aua+b=0平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a/b.平行向量也稱為共線向量.3,向量的運(yùn)算運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)a+b=b+a向量的加法1,平行四邊形法則2.三角形法則a+b=(x+X2,%+y2)(a+b)+c=a+(b+c)aB+bC=AC向量的減法三角形法則ab=3X2,yy?)a-b=a+(-b)AB=-BA,OB-OA=AB1.九a是一個(gè)向量，滿£(Ra)=(?*)a數(shù)足：|九a閆X|a|乘向2.九0時(shí)，_a與a同向；九a二(九x,九y)(九+N)a=Z,a+Na量K(a+b)=?a+九b九0時(shí)，la與a異向；abu

4、a=Z.b九二0時(shí),加a=0.a*b個(gè)數(shù)ab=ba向量1.a=0或b=0時(shí)，(九a)b=a(九b)=K(a,b)的數(shù)量積a*b=0.ab=x1x2+y/2(a+b)c=ac+bca#0且b¥0時(shí)，2.-22口口/22a=|a|即|a|二,x+ya=|a|b|cos(a,b)|a*b|<|a|b|4.重要定理、公式(1)平面向量基本定理e1,e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么，對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且僅有對(duì)實(shí)數(shù)入1,入2,使a=入iei+入2色.(2)兩個(gè)向量平行的充要條件a/bua=入b(bw0)uxy*/=0.(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件a±bua-b=O=

5、xix2+yiy2=O.(4)線段的定比分點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比為入，即P1P=入PP2,則OP=OP1+OP2(線段的定比分點(diǎn)的向量公式)1-1Xi十九X2X=,11十九(線段定比分點(diǎn)白坐標(biāo)公式)yi+九y2y=.L.1十九當(dāng)入=1時(shí)，得中點(diǎn)公式：X1+x2xX二,1 2OP=-(OP1+OP2)或2 y1-y2y二.2(5)平移公式設(shè)點(diǎn)Rx,y)按向量a=(h,k)平移后得到點(diǎn)P'(x',y'),l>-x，=x+h則OP'=OP+a或，,y'=y+k.曲線y=f(x)按向量a=(h,k)平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為：yk=f(

6、xh)空間向量1 .空間向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量.注：空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量.向量一般用有向線段表示.同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量.空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來(lái)表示2 .空間向量的運(yùn)算定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下.r1.OB=OAAB=abBA=OA-OB=a-bOP=a(R)運(yùn)算律：加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：(ab)c=a'(b'c)數(shù)乘分配律：,(a»b)='a-.b3 .共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量.a平

7、行于b記彳ab.當(dāng)我們說(shuō)向量a、b共線(或ab)時(shí)，表示a、b的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線.4 .共線向量定理及其推論：共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、bw0,ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)力使a=Xb.推論：如果i為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)a且平行于已知非零向量a的直線，那么對(duì)于任意一點(diǎn)o,點(diǎn)p在直線i上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t滿足等式op=oa+ta.其中向量a叫做直線i的方向向量.5 .向量與平面平行：已知平面口和向量a,作oA=a,如果直線OA平行于a或在0（內(nèi)，那么我們說(shuō)向量a平行于平面a.,記作：a/a.通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量.說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共

8、面的.6 .共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，p與向量a,b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)x,y使p=xayb推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y,使MP=xMA+yMB或?qū)臻g任一點(diǎn)O,有OP=OM+xMA+yMB式叫做平面MAB的向量表達(dá)式.7 .空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量P,存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使p=xa+yb+zc*推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x,y,z,使OP=xOA+yOB+zOC8.空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)O，作OA

9、=a,OB=b，則/AOB叫做向量5與b的夾角，記作ca,b）;且規(guī)定0女a(chǎn),b>£n,顯然有<a,b>=<b,a>若<a,b>=,則稱a與b互相垂直，記作：a_Lb.29 .向量的模：設(shè)oa=a,則有向線段oa的長(zhǎng)度叫做向量a的長(zhǎng)度或模，記作：iai.10 .向量的數(shù)量積：ab=|a|-|b|cos<a,b>.已知向量AB=一和軸1,e是l上與l同方向的單位向量，作點(diǎn)A在l上的射影A',作點(diǎn)B在1上的射影B則A'B'叫做向量AB在軸1上或在J上的正射影.可以證明AB'的長(zhǎng)度|AB'|=|A

10、B|cos<a,e>=|J|.11 .空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：2ii(1)ae=|a|cos<a,e>.(2)a_Lb=a，b=0.(3)|a|=a，a.12.空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：._(1)(九a。b=兒(3b)=aT.(九b).(2)ab=ba(交換律)(3)a*(b+c)=ab+a*.c(分配律).空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算一.知識(shí)回顧：(1)空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸(對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo))，y軸是縱軸(對(duì)應(yīng)為縱軸)，z軸是豎軸(對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo))令a=(a1,a2,a3),b=住1也應(yīng))，則ab=a1b1a2b2-a3b3ab=(a±b,a±b.

11、,a,b,)11122'3-3,a=(，a1,，a2,'a3)(,小_R)ab：ab-a1,b1,-a,b,=01II2233a1a2a3aIIb=a1=#1,a2=油2e3=如3(九uR)u-=一b1b2b3a=Vaa=1歸12米22y32(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：口2=aa=H=4aa)i-aba1bl.a2b2-a3b3cos:二a,b=lallbl222-2-2-21a1，|b1a1：ua2：|a3vb1：ub2“b?空間兩點(diǎn)的距離公式:(x2-x1)'(y2-y1)'(z2-z1)(2)法向量：若向量a所在直線垂直于平面Ct,則稱這個(gè)向量垂直于平面0(,記作a_La,如果a_L£那么向量a叫做平面a的法向量.(3)用向量的常用方法：利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面a的法向量，AB是平面a的一條射線，其中AWa,則點(diǎn)B到平面a的距離為|ALn|.|n|利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)n1,n2分別是二面角a-1-P中平面a,P的法向量,則n