圓錐曲線常見結(jié)論

1、1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的外角.PT平分PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線端點.以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離.以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓若P0（%,y。）在橢圓右0（%,丫0）在橢圓xxyy22ab2=1.橢圓xy冬=1a2b2（必背的經(jīng)典結(jié)論）PT上的射影H內(nèi)切.22+%=1上，則過P。的橢圓的切線方程是ab22點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個三十多=1外，則過P。作橢圓的兩條切線切點為abP1、P2,則切點弦P1P2的直線方程是1.2.3.4.5.6.

2、7.（ab0）的左右焦點分別為F1,F2,點P為橢圓上任意一點/PF2=?，則橢圓的焦點角形雙曲線點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角.PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線兩個端點.以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交.以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓2x若B(x0,y0)在雙曲線a2x右Pd(x0,y0)在雙曲線一2ab22yb2=1(a0,b0)=1(a0,b0)弦P1P2的直線方程是2孚=1.a2b2PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）上,22雙曲線3斗=1（a0,b。）的左右焦點分別為ab曲線的焦

3、點角形的面積為s&pf2=b2cot;.則過Po的雙曲線的切線方程是xxyoyb2=1.,則過P0作雙曲線的兩條切線切點為F1,F2,點P為雙曲線上任意一點/PP2,則切點FPF2=,則雙y的面積為SF1PF2=b2tan3.8.22橢圓xy+l=1(ab0)的焦半徑公式：a2b2|MFJ=aex,|MF21=a-ex(F。)，F(xiàn)2(c,0)M(x。，y。).22雙曲線3當=1(a0,b。)的焦半徑公式:(Kc,0),F2(c,0)ab當M(x0,yo)在右支上時，|MF1|=e%+a,|MF21e%a.當M(xo,yo)在左支上時，|MF1|=exo+a,|MF2=-exo-a9.設過雙曲線

4、焦點F作直線與雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)的橢圓準線于M、N兩點，則MFXNF.AP和AQ分別交相應于焦點F應于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MFXNF.10.過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q,A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，AP和A2Q交于點過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M,A2P和A1QA2P和AiQ交于點N,則MFXNF.交于點N,則MFXNF.2一,一xAB是橢圓即Kab11.2xAB是雙曲線一

5、2a1b2X0b220aV。右0（%,丫0）在橢圓若P0（x0,y。）在橢圓b2=1的不平行于對稱軸的弦，M（xo,yo）為AB的中點，則koM-kAB=-a222xy（,xxyoyx。二十彳=1內(nèi)，則被P。所平分的中點弦的方程是勺+*=嘎ababa2.近b212.13.KomKabab2x。-2，ay。2y2=1(a0,b0)b若F0（x0,y0）在雙曲線的不平行于對稱軸的弦，M（x0,y0）為AB的中點，即Kab2x2a2x2a2yb22yb2b2x。-2ay。=1（a0,b0）內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是xxyoyx_y。2ab22ab222xyxoxyoy2,2一2,2abab22

6、=1（a0,b0）內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是22與+，=1內(nèi)，則過P。的弦中點的軌跡方程是a2b22.2ab2.2ab橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)-(會推導的經(jīng)典結(jié)論)9.橢圓22xV1.橢圓+=1(abo)的兩個頂點為A(a,0)A(a,0),與y軸平行的直線交橢圓于Pi、P2時A1P1ab22與A2P2交點的軌跡方程是與4=1.a2b222一一xV2 .過橢圓+22-=1(a0,b0)上任一點A(Xo，Vo)任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直ab線BC有定向且kBC=B=(常數(shù)).aV。x2y23 .若P為橢圓二十彳=1(ab0)上異于長軸端點的任一點，F(xiàn)1,F2是焦點，

7、/PF1F2=u,/PF2F1=B,aba-c貝U=tancot.ac2222XV_f4.設橢圓二十彳=1(ab0)的兩個焦點為FvF2,P(異于長軸端點)為橢圓上任意一點，在PF1F2中，ab10.11.12.記/F1PF2=a，PF1F2=P,/F1F2P=了，則有yr-7=e.sin:sina13.22_5.若橢圓與+4=1(ab0)的左、右焦點分別為F1、F2,左準線為L,則當0vewJ2-1時，可在橢圓a2b222一一XV過橢圓十七=1(ab0)的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸ab于p,則1P匚！=.|MN|222，一XV已知橢圓二十七=1(ab0)

8、,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x0,0),ab2222a-ba-b貝L:二X0：二.aa22XV設P點是橢圓1+工2=1(ab0)上異于長軸端點的任一點，F(xiàn)1、F2為其焦點記NF1PF2=e,則ab2b221PF1|PF21二E.S=b嗎.22、一一，一XV設A、B是橢圓1十七=1(ab0)的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，/PAB=a,ab.PBA=?,.BPA-2,2ab|cos：|,c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1)|PA|=12封.(2)a-ccostan：tan-1-e2.(3)S.PAB=Xcot.b-a22XV已知橢圓+七=1(ab0)的右

9、準線l與x軸相交于點E,過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于a2b2B兩點，點C在右準線l上，且BC_LX軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.A、上求一點P,使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項226.P為橢圓xy+=1(ab0)上任一點尼在為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，則a2b214 .過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直15 .過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16 .橢圓焦三角形中，內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).7.B+v0b0),O為坐標

10、原點，abP、Q為橢圓上兩動點，且OP_LOQ.(1)18.橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項|OP|2|OQ|211=十方；(2)|OP|2+|OQ|2的最大值為ab2,22,2萼三；(3)Spq的最小值是一R.abab拋物線焦點弦性質(zhì)總結(jié)30條16. AB_2P;1. 117. CC=-|AB=-(AA+|BB)；“，P18. Kab=；y3y219. tan：二p;x2-4220. |AB=4AFBF;-121. CF=-AB.222. 切線方程y0y=m%+x)性質(zhì)深究一）焦點弦與切線基礎(chǔ)回顧1. 以AB為直徑的圓與準線L相切;22. x1Lx2=-；43. y1l

11、_y2-p2；4. ACB=90;5. AFB=90;1、過拋物線焦點弦的兩端點作拋物線的切線，兩切線交點位置有特殊之處？結(jié)論1：交點在準線上先猜后證：當弦AB_Lx軸時，則點P的坐標為-衛(wèi),0i在準線上.,2證明：從略結(jié)論2切線交點與弦中點連線平行于對稱軸結(jié)論3弦AB不過焦點即切線交點P不在準線上時，切線交點與弦中點的連線也平行于對稱軸.6.AB=x1+x2+p=2(x3+艮)=22p2sin二7. _i_._i_=2.|af|bf|p;一,一8. A。B三點共線；9. BOA三點共線；P210. SAOB二-2sin=2、上述命題的逆命題是否成立？結(jié)論4過拋物線準線上任一點作拋物線的切線，

12、則過兩切點的弦必過焦點先猜后證：過準線與x軸的交點作拋物線的切線，則過兩切點AB的弦必過焦點.結(jié)論5過準線上任一點作拋物線的切線，過兩切點的弦最短時，即為通徑.3、AB是拋物線y2=2px（p0）焦點弦，Q是AB的中點，l是拋物線的準線，AA1_Ll,BB1_Ll,過A,11.2SLaobABI（定值）；“PP12. AF=；BF=1-cos:1cos:13. BC垂直平分BF；14. AC垂直平分AF；_15. CF_AB；B的切線相交于巳PQ與拋物線交于點M.則有結(jié)論6FALPB.結(jié)論7PF,AB.結(jié)論8M平分PQ.結(jié)論9PA平分/AjAB:PB平分/BlBA.結(jié)論10kA卜目=際2結(jié)論1

13、1Sfabmin=p2）非焦點弦與切線思考：當弦AB不過焦點，切線交于P點時,也有與上述結(jié)論類似結(jié)果：結(jié)論三：兩個相切：（1）以拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切。（2）過拋物線焦點弦的兩端點向準線作垂線，以兩垂足為直徑端點的圓與焦點弦相切。2例：已知AB是拋物線y=2px（pA0）的過焦點F的弦，求證：（1）以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切。（2）分別過A、B做準線的垂線，垂足為結(jié)論12XpYiY22pyiV2結(jié)論13PA平分/AiAB,同理PB平分/BiBA.結(jié)論14.PFA=.PFB結(jié)論15點M平分PQ-2結(jié)論16FAFB=PFM、N,求證：以MN為直徑的圓與直線拋物線的幾個常見結(jié)論及其應用2結(jié)論一：若AB是拋物線y2=2pX：pA0）的焦點弦（過焦點的弦），且7X4）,Bfe%）,則：XXz=E,X丫2=-p2。4結(jié)論四：若拋物線方程為夕=2pXp0）,過（2p,0）的直線與之交于A、B兩點，則OALOB反之也成立。2例：已知直線AB是過拋物線y=2px（p0）焦點F,求證：1+1為定值。lAFllBF結(jié)論二：（1）若AB是拋物線y2=2px（p0）的焦點弦，且直線AB的傾