高數(shù)課件導(dǎo)數(shù)與微分

1、第二章第二章 倒數(shù)與微分倒數(shù)與微分 第一節(jié)第一節(jié) 倒數(shù)的概念倒數(shù)的概念一. 變速直線運(yùn)動的速度問題 1.汽車的行駛 在很短的時間內(nèi)， 我們用平均速度來近似的代替瞬時速度，當(dāng) 很小時，近似程度就越好, 此時由近似值就過渡到精確值 汽車在t+ 內(nèi)的行駛路程為 ，在t時刻的速度 v(t) = t0tts) 0(/ )(lim/limttttsts例 已知自由落體運(yùn)動方程 S=1/2 gt2求（1）落體在 t0 到 t0+ 這段時間內(nèi)的平均速度； （2）落體在 t = t0 時的瞬時速度； （3）落體在 t =10s 到 t =10.1s 這段時間內(nèi)的平均速度； （4）落體在 t =10s 時的瞬時速

2、度。t（1） （2）由上式知，t = t0 時的瞬時速度為：（3）當(dāng)t0 =10, =0.1s時，平均速度為 （4）當(dāng) t = 10s時，瞬時速度為 )(21)(2100220ttgtgtttgtSV000)21(lim0gtttgVtttt)/(05.10) 1 . 02110(smggV)/(1010tsmgV二二. 曲線的切線問題曲線的切線問題 與曲線只有一個交點的直線為圓的切線，y=x2在原點兩個坐標(biāo)軸都符合圓的切線的定義，但在實際中切線只有一條導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義定義2-1 設(shè)函數(shù) y = f(x)在點x0及其鄰域有定義，當(dāng)自變量x在點x0處取得增量 時，相應(yīng)函數(shù)y取得增量 如果 存

3、在，則稱函數(shù) y = f(x)在點x0處可導(dǎo)，并稱此極限為函數(shù)y = f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)，記做 ，即 = x)()(00 xfxxfyxxfxxfxyx)()(000lim)(f0 xxxfxxfxyx)()(000lim)(f0 x比值 反映自變量 時，函數(shù)的平均變化率；導(dǎo)數(shù) 反映函數(shù)在點x0處的瞬時變化率，即函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度；若函數(shù)y = f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)每一點都可導(dǎo)，則稱函數(shù)y = f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；導(dǎo)函數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù)xyxxx00)(f0 x求導(dǎo)數(shù)的步驟 （1）求增量： （2）算比值： （3）取極限：)()(xfxxfyxxfxxfxy)()(

4、xxfxxfxyx)()(lim0常見的導(dǎo)數(shù)公式 （常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零） 冪函數(shù) 0）（ C)()(x1Raaxaaxxxxxxxxxxxxcsccot)(cscsectan)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin22 對數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù))(1)(lnlog1)(loga時eaxxexxaxxxxeea)(lna)(a導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù) y = f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù) 表示曲線 y = f(x)上點M（x0,f(x0)）的切線斜率k,k = tan = 函數(shù)在點M（x0,f(x0)）處的切線方程 函數(shù)在點M（x0,f(x0)）的法線方程)(f0 x)(f0

5、x例 2-7 求曲線 在點（4 , 2）處的切 線方程和法線方程。例 2-8 曲線 上何處的切線平行于直線y = x + 1。xy xyln可導(dǎo)的充要條件可導(dǎo)的充要條件 定義2-2 若 存在，則稱其為函數(shù)y = f(x)在點x0處的左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)，記作 ，即 =xxfxxfxyxx)()(lim0000lim)(f0 x)(f0 xxxfxxfxyxx)()(0000limlim 同樣，如果 存在，則稱其為函數(shù)y = f(x)在點x0處的右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)，記作 ，即 = 因此，函數(shù)y = f(x)在點x0處可導(dǎo)的充要條件是 左右導(dǎo)數(shù)存在且相等，即 = xxfxxfxyxx)()(lim0000lim

6、)(f0 x)(f0 xxxfxxfxyx)()(000lim)(f0 x)(f0 x例 2-9 討論函數(shù)y = f(x) = 在點x=0處的可導(dǎo)性。0,0,xxxxx可導(dǎo)與連續(xù)的的關(guān)系可導(dǎo)與連續(xù)的的關(guān)系定理定理2-1 若函數(shù)若函數(shù)y = f(x)在點在點x處可導(dǎo)，則它處可導(dǎo)，則它在該點處必連續(xù)。在該點處必連續(xù)。若函數(shù)若函數(shù)y = f(x)在點在點x處連續(xù)，則它在該點處處連續(xù)，則它在該點處不一定可導(dǎo)。不一定可導(dǎo)。例 2-11 討論函數(shù)y = f(x) = 在點x = 1處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。連續(xù)性 左極限=右極限=函數(shù)值可導(dǎo)性 左導(dǎo)數(shù)=右導(dǎo)數(shù) 1,1,223xxxxx第二節(jié)函數(shù)的和、差、積、商求

7、導(dǎo)法則第二節(jié)函數(shù)的和、差、積、商求導(dǎo)法則一、函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)一、函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)定理2-2 （導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算的法則） 若函數(shù)u = u(x),v = v(x)都是 x 的可導(dǎo)函數(shù)，則（1） 也是x的可導(dǎo)函數(shù)，且（2）u*v也是x的可導(dǎo)函數(shù)，且（3） 也是x的可導(dǎo)函數(shù)，且特別 vuvvuu）（vuvuv ）（u)0(uvv)0()(2vvvuvuvu)0()1(),()(u2uuuuxuCxC （4） （5） 例2-12 求 例2-13 求 例2-14 例2-15 例2-16 nnuuuuuu321321u)u (? nnnnuuuuuuuuu21212121uuu）（735

8、2y23xxxy的導(dǎo)數(shù)2lgsin22xxxyyxxy，求3lnsin3yxxy，求sin2yxxeyx，求)cos(sin例2-17 求y = tan x 的導(dǎo)數(shù)；例2-18 求y = sec x 的導(dǎo)數(shù)；例2-19 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)，并求例2-20 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)xxxfycos1cos1)()2(f 11xxy第三節(jié)第三節(jié) 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理2-3 設(shè) 為直接函數(shù)， 是它的反函數(shù)，如果 在區(qū)間I內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、可導(dǎo)，且 ，那么它的反函數(shù) 在對應(yīng)的區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且有 )(yx)(xfy )(yx0)( y)(xfy )(1)(,1yxfdydxdxdy

9、或結(jié)論概括：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于它的原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)例2-21 求 的導(dǎo)數(shù)例2-22 求 的導(dǎo)數(shù)xyarcsinxyarctan基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 （常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零） 冪函數(shù) 三角函數(shù) 0）（ C)()(x1Raaxaaxxxxxxxxxxxxcsccot)(cscsectan)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin22 反三角函數(shù)222211)cot(;11)(arctan;11)(arccos;11)(arcsinxxarcxxxxxx 對數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù))(1)(lnlog1)(loga時eaxxexxaxxxxeea)(lna)(a二二 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)

10、數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理2-4 （復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則） 若函數(shù)在點x處可導(dǎo)，函數(shù) 在對應(yīng)點u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) 在點x處可導(dǎo)，且)(xu)(ufy )(xufy )()u(,xfyuyydxdududydxdyxxux ，或或例2-23 例2-24 例2-25 例2-26 例2-27 dxdyxy，求tanlndxdyeyx，求3dxdyxxy，求212sindxdyxy，求sinlndxdyxy，求3221例2-28 例2-29例2-30 dxdyeyx，求)cos(lnyeyx，求1sinyxnxyn，求sinsin第四節(jié)第四節(jié) 隱函數(shù)、冪指函數(shù)及參數(shù)隱函數(shù)、冪指函數(shù)及參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)

11、數(shù)一 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)用自變量x表示y的函數(shù)即 ，如y = 3x+1,y = lnx+sinx等，稱之為顯函數(shù)；函數(shù)y與自變量x的關(guān)系由方程F（x,y）= 0表示的函數(shù)稱為隱函數(shù)，如 3x-y+1=0,xy+x+1=0等。)(xfy 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則：方程兩邊同時對自變量 x 求導(dǎo)，得到一個含 的方程式，從中解出 即可。注：方程兩邊對 x 求導(dǎo)，是指遇到 x 時，可直接求出其導(dǎo)數(shù)；遇到 y 或 y 的函數(shù)時，把 y 看成中間變量，按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則先對 y 求導(dǎo)，再對 x 求導(dǎo)。 yy例 2-31 求由方程 所確定的函數(shù) y 對自變量 x 的導(dǎo)數(shù)例 2-32 求由方程 所確定的隱函數(shù)y 對自變

12、量 x 的導(dǎo)數(shù)例 2-33 求曲線 上點（3,-4）處的切線方程和法線方程 0yxexye03275xxyy2522 yx二 冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形如 的函數(shù)稱為冪指函數(shù)。如 等冪指函數(shù)求導(dǎo)方法：1.對數(shù)求導(dǎo)法2.指數(shù)求導(dǎo)法)0)()()(xfxfyxg其中)(,sinoxxyxyxx1.對數(shù)求導(dǎo)法步驟：1）兩邊取對數(shù)2）方程兩邊同時對X求導(dǎo)，得到一個關(guān)于 的方程式，從中解出2.指數(shù)求導(dǎo)法yy例2-34 求函數(shù)的 導(dǎo)數(shù)例2-35 設(shè)例2-36 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)xxysinyxyx求,)cos1 (1)4)(3()2)(1(xxxxy三 參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理2-5 設(shè)函數(shù) 由參數(shù)方程 所確定，當(dāng) 都可導(dǎo)

13、，且 ，則由參數(shù)方程所確定的函數(shù)（參數(shù)式函數(shù)） 的導(dǎo)數(shù)為)(xfy )()(txty)( t)()(tytx與0)( t)(xfy )()(,ttyxydtdxdtdydxdyxtt或例2-37 求參數(shù)方程 的導(dǎo)數(shù)例2-38 求曲線 在 處的切線方程和法線方程例2-39 已知參數(shù)方程 ，求 。 )sin1(cosxytaxtbycossin4ttexteyttsincosdxdy第五節(jié)第五節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定義一 函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 的導(dǎo)數(shù)稱為 函數(shù) 二階導(dǎo)數(shù)，記為定義二 若函數(shù) 存在n-1階導(dǎo)數(shù)，并且n-1階導(dǎo)數(shù)可導(dǎo)，那么函數(shù) 的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱為 的n階導(dǎo)數(shù)，記為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱

14、為高階導(dǎo)數(shù)二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù))(xfy )(xf )(xfy ).(,),(2222xfdxddxydyxf )(xfy )(xfy )(xfy ).(,),()()()2()()()(xfdxddxydyxfnnnnn例2-40 求函數(shù)y = ax+b 的二階導(dǎo)數(shù)例2-41 設(shè) ，求 例2-42 設(shè) ，求例2-43 求函數(shù) 的四階導(dǎo)數(shù)例2-44 求由方程 所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)xxy232y xxey y 653423xxxy422 yxy 例2-45 求參數(shù)方程所確定的函數(shù) 的二階導(dǎo)數(shù) 例2-46 求 的n階導(dǎo)數(shù)例2-47 設(shè)txtysincos22dxydxysin)(),1ln(nyxy求第六節(jié)第六節(jié) 微分的概念、基本公式及運(yùn)算法則微分的概念、基本公式及運(yùn)算法則一.面積的增