常微分方程的初等解法與求解技巧

1、山西師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）常微分方程的初等解法與求解技巧姓名幽院系數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院專業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)班級(jí)12510201學(xué)號(hào)1251020126指導(dǎo)教師王曉鋒答辯日期常微分方程的初等解法與求解技巧內(nèi)容摘要常微分方程在數(shù)學(xué)中發(fā)揮著舉足輕重的作用，同時(shí)它的應(yīng)用在日常生活里隨處可見(jiàn),因此掌握常微分方程的初等解法與求解技巧是非常必要的.本論文主要論述了其發(fā)展、初等解法與求解技巧，前者主要有變量分離、積分因子、一階隱式微分方程的參數(shù)表示，通過(guò)舉例從中總結(jié)出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.【關(guān)鍵詞】變量分離一階隱式微分方程積分因子求解技巧ElementarySolutionandSolving

2、SkillsofOrdinaryDifferentialEquationAbstractOrdinarydifferentialequationstakeupsignificantpositioninmathematics,andatthesametime,theapplicationofitcanbeseeneverywhereinourdailylife,therefore,it'snecessarytograsptheelementarysolutionofordinarydifferentialequationsandsolvingskills.Thispapermainlyi

3、ntroducedthedefinitionofordinarydifferentialequations,elementarysolutionmethodandsolvingskills,theformermainlyincludedtheseparationofvariables,integralfactor,aparameter-orderdifferentialequationsimplicitrepresentation,bywayofexamplestosumuptheirsolvingskills,thepurposeistomastertheskillstosolve.【Key

4、Wordsitheseparationofvariablesthefirstorderimplicitdifferentialequationintegratingfactorsolutiontechniques目錄1 .弓I論12,變量分離方程與變量變換11.1 變量分離方程的解法11.2 變量分離方程的舉例21.3 變量分離方程的幾種類型25. .線性微分方程和常數(shù)變易法65.1 線性微分方程與常數(shù)變易法65.2 伯努禾U微分方程86. .恰當(dāng)微分方程與積分因子96.1 恰當(dāng)微分方程96.2 積分因子117. .一階隱式微分方程與參數(shù)表示137.1 一階隱式微分方程的主要類型138. .常

5、微分方程的若干求解技巧188.1 將一階微分方程業(yè)變?yōu)閐x的形式18dxdy8.2 分項(xiàng)組合198.3 積分因子的選擇209. .總名吉21參考文獻(xiàn)錯(cuò)誤！未定義書簽。10. 謝22常微分方程的初等解法與求解技巧學(xué)生姓名：張娟指導(dǎo)教師：王曉鋒.引論常微分方程的實(shí)質(zhì)就是一個(gè)關(guān)系式，這個(gè)關(guān)系式是由自變量、未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)組成的，且自變量的個(gè)數(shù)為一個(gè)m.其發(fā)展歷史經(jīng)歷了一個(gè)很漫長(zhǎng)的過(guò)程，在這個(gè)發(fā)展過(guò)程中涌現(xiàn)出很多科學(xué)家例如歐拉、拉格朗日、柯西等，他們對(duì)常微分方程的發(fā)展做出了很大的貢獻(xiàn).常微分方程的發(fā)展歷史可分為三個(gè)階段，分別是“求通解”階段、“求定解”階段、“求所有解”的新階段反常微分方程在數(shù)

6、學(xué)中占有很重要的地位，有很多偉人例如賽蒙斯都曾評(píng)價(jià)過(guò)常微分方程在數(shù)學(xué)中的地位，指出其在數(shù)學(xué)中的不可替代的作用口常微分方程非常重要，其初等解法有很多種，我們應(yīng)該掌握其初等解法與技巧.變量分離方程與變量變換變量分離方程的解法對(duì)于變量分離方程"'=f(x)9(y),dx若中(y)#0,則有：dy(y)=f(x)dx,兩邊積分，得到：巫/y)f(x)dx+c,c為任意實(shí)數(shù).如果中(y)=0得y=y0,驗(yàn)證一下y=y0是否包括在dy：(y)=f(x)dx+c中，若不包括，需補(bǔ)上特解y=y0.變量分離方程的舉例dy（1）工：求該方程的解.dx解：當(dāng)y=0時(shí)，業(yè)=2xdx,y兩邊積分，得到

7、：曳=f2xdx+c,Ci為任意實(shí)數(shù).y1故y=cex,c為任意實(shí)數(shù).v2顯然y=0包括在y=ce中，故方程的通解為：X2y=ce,c為任意實(shí)數(shù).變量分離方程的幾種類型齊次微分方程對(duì)于齊次彳分方程dy=g（y）,dxx兩邊對(duì)x求導(dǎo)得:(2-1)(2-2)解法：令u則有：xdydu=xudxdx將（2-1）,（2-2）代入齊次微分方程業(yè)=gd）中可得:dxxdux一dx+u=g(u),即業(yè)二g（u）-udxx從而可以求得其解.舉例：求解方程x電2,xy=y（x：二0）.dx解：原方程可化解為：這個(gè)方程為齊次微分方程，令y=u,x則有兩邊對(duì)x求導(dǎo)得:dydu&ydydu=x+u,將一=u和

8、=x+u代入原方程中生p:dxdxxdxdxduxdx這個(gè)方程為可分離變量方程,當(dāng)u#0時(shí)解之可得：內(nèi)=ln(-x)+c,其中c為使等式有意義的任意常數(shù).即當(dāng)u=0時(shí)，顯然是x四=2，u的解，且不包含在而=ln(-x)+c中,dx將y=u代入u=0或Tu=ln(-x)+c中可得：xxln(-x)+c2,當(dāng)ln(x)+c，0,y=0,有理比式電=a1x+ay+°的三種類型dxa2xb2yc2類型一曳=k(常數(shù))情形，則原方程變?yōu)椋喊?匕a2b2c2dx故方程的通解為：y=kx+c,其中c為任意常數(shù).舉例：求解下列方程的解dy=4x2y2.dx2xy1解：根據(jù)題意可得：dy4x2y2工=

9、t=2,dx2xy1即出=2,dx故可得：y=2x+c,c為任意常數(shù).因此原方程的通解為：y=2x+c,c為任意常數(shù).類型二亙=b1=k=%情形，令a?b2C2u=a2x+b2y,兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得：du,dy,kuga2b2a2,b2dxdxuc2這個(gè)方程是變量分離方程.舉例：做適當(dāng)變換求解方程叱=x-y5.dxx-y-2解：經(jīng)判斷為第二種類型，令u=x一y,兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得：du/dy=1,dxdx故可得：du-7一=，dxu-21c斛N可行：2u-2u=-7x+Ci,G為任息常數(shù).將口=*-y代入并化簡(jiǎn)可得：x2+y2-2xy+4y+10x=c,c為任意常數(shù).類型三曳,與情形，如果方程四=

10、為'+.丫+（中的cc2不全等于零，ax+b1ya2x+b2y+C2者B是x則可以求得解為：令a2b2dxa2xb2yc2，y的一次多項(xiàng)式，(2-3)a1x+b1y+c1=0,=©2x+b2y+c2=0x=a,U=P，:X=xfN=y-P,則(2-3)化解為:a1X+b1Y=0,a2X+b2Y=0,故也ixfy”化為dxa2xb2yc2dYdX”Y=g(Y),a2Xb2YX故可以解出該方程的解，解出其解，再將的解.X=x-a.,.、/帶入其解中，從而得到所求方程、Y=y-P,舉例：解下列方程曳=2X71dxx-2y1解：顯然曳=.，故為第三種類型,a2b2X=x+解方程組3得

11、:Y=y-3于是令代入原方程中，則有:x=X-,3y=Y1,3這個(gè)方程為可變量分離方程,則等式兩邊對(duì)X求導(dǎo)可得：dY_2X-YdX-X-2Y故令u=Y,XY=uX,2X1-2YXdYdX二嚷2-Y將dY=T代入dYdXdqYdX1-21XX四十u中得至IJ：dXdu2-uu二dX1-2u化解得:duXdX2u2-2u21-2u(u2-u1)2=c1X，解之可得：換入原來(lái)的變量得：y2+x2+x一yxy=c,其中c為任意常數(shù).故原方程的解為：y2+x2+x-y-xy=c,其中c為任意常數(shù).上面三種類型解題方法和步驟也適用于下列類型的方程：(2)dy=f(ax+by+c),dxx2dy=f(xy)

12、,dx(4)yf(xy)dxxg(xy)dy=03.線性微分方程和常數(shù)變易法線性微分方程與常數(shù)變易法如果一階線性微分方程可表示為：出=P(x)y+Q(x),這里P(x),Q(x)在定義域dx上是連續(xù)的函數(shù).如果Q(x)=0,則原式變成dy=P(x)y,故形如色=P(x)y的類型通常叫做一階dxdx齊次線性微分方程U如果Q(x)#0,則原式變成電=P(x)y+Q(x),故形如業(yè)=P(x)y+Q(x)的類型dxdx通常叫做一階非齊次線性微分方程U因"=P(x)y為變量分離方程，其通解為：dxy=ce'P(x"x,c為任意常數(shù).下面討論形如dy=P(x)y+Q(x)形式的

13、方程解的求法.dx由上可知其所對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的解為:P(x)dxy=ce，令兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得:P(x)dxy-c(x)e,dy_dc(x)fedxdxP(x)dxP(x)dxc(x)P(x)e-(3-1)(3-2)將(3-1),(3-2)代入電=P(x)y+Q(x)中并化簡(jiǎn)可得:dxdc(x)_P(x)dx二Q(x)e,dx兩邊積分得:一P(x)dxc(x)=fQ(x)edx+ci,其中ci是任意常數(shù).因此可得原方程的通解為：P(x)dxy=ei這種方法叫做常數(shù)變易法,-I_P(x)dx(jQ(x)edx+Ci),這里g是任意常數(shù).舉例：求解方程dy=ysinx.dx解：該方程所對(duì)應(yīng)的齊次

14、線性微分方程為:ry,dx解之得:(3-3)(3-4)y=cex,c為任意常數(shù).兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得:y=cxex,dydcxx,、x=exc(x)ex,dxdx將(3-3),(3-4)都代到業(yè)=y+sinx中并化解可得：dxdcxxxx.e+c(xe=c(x)e+sinx,dx因此有:圾Ainx,dx從而可以求得該方程的解為:c(x)=cosx+g，c為任意常數(shù).因此可得原方程的通解為:y=(cosx+gex,這里Ci為任意常數(shù).伯努利微分方程定義：形如dy=P(xy+Q(x)yn的類型，n#0,n#1,并且n是常數(shù)，其中P(x)Q(x)dx，關(guān)于x是連續(xù)的，故我們稱dy=P(xy+Q(x)yn

15、為伯努利微分方程錯(cuò)誤！未定義書簽。.dx解法：明顯y=0是這個(gè)方程的一個(gè)解.當(dāng)y#0時(shí)，在這個(gè)方程兩端同乘y得:(3-5)y?=y"xQx,dx于是令1.nu=y,(3-6)兩端對(duì)x求導(dǎo)有:(3-7)du._ndy1-ny-dxdx將(3-6)等式、(3-7)等式代到(3-5)等式里并化簡(jiǎn)可得：duv(1-n)Pxu(1-n)Q(x),dx從而可以求得該方程的通解.舉例：求方程的解,xy=x3y3.dx解：顯然y=0為方程的解.當(dāng)y#0時(shí),兩邊同乘y&得:兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得:3dy23yxy=x,dx將(3-9),(3-10)代到(3-8)并化解變?yōu)?1du2dx+xu=x3,

16、其所對(duì)應(yīng)的齊次微分方程為:1du.xu=0,2dx其解為:-2u=ce,c為任意常數(shù).利用常數(shù)變易法求解，令u=c(x)e',(3-8)(3-10)(3-11)(3-12)(3-9)兩邊對(duì)x求導(dǎo)得:dudc(x)x2c，、X=-e+2xc(x)e,dxdx由等式(3-11)、(3-12)、(3-13)聯(lián)立并化解可得：dc(x)=-2x3edx從而可求得其解為：c(x)=x2e+e"+ci,其中G為任意常數(shù)則2u=x+1+c1ex,其中c1為任意常數(shù).將原變量代入得：2x22(x+1+c1e)y=1,(3-13)故原方程的解為:2x22(x+1+c1e)y=1或y=0.4.恰當(dāng)

17、微分方程與積分因子4.1恰當(dāng)微分方程定義：一階微分方程可表示為M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,其中M(x,y),N(x,y)在使xy有意義的范圍上關(guān)于xy可導(dǎo)且連續(xù)，若JJ7u-u,M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)=dx+dy,二x二y則稱M(x,y)dx+N(x,y)dy=0為恰當(dāng)微分方程.判定：判定M(x,y)dx+N(x,y)dy=0為恰當(dāng)微分方程等價(jià)條件是：.:M；:N:y：x求解：顯然恰當(dāng)微分方程的通解就是u(x,y)=c,其中c為常數(shù).由恰當(dāng)微分方程可得:；：u一=M,二x(4-1).:uu=N,-y(4-2)從關(guān)系式（4-1）出發(fā)，把y看做未知參數(shù)，解這

18、個(gè)方程可得:u=fM（x,y）dx+cP（y）,（4-3）其中邛（y）是y的任意可微函數(shù).選才¥%y）使u同時(shí)滿足（4-2）,即:u,d(y)=工fM(x,y)dx+d-(2=N,.:y7dy故有dy:yJM(x,y)dx,(4-4)則有（4-4）的右端只與y有關(guān)，事實(shí)上是僅僅需證明（4-4）的右端滿足下列等式,cL.。N-:x|yNJM(x，y)dx=-J-JM(x，y)dxj.N一一M(x,y)dxr-.II,xtylxN；:M:x=0,:y故（4-4）式的右端只與y有關(guān),故可以得到:(y)&=.N-M(x,y)dxdy,ILy將(y)=N-a1一fM(x,y)dxdy代

19、入(4-3)中求得:yu=M(x,y)dx-Nc1、，JM(x,y)dxdy=c,c為任息吊數(shù).舉例：驗(yàn)證方程（y-3x2）dx-（4y-x）dy=0是恰當(dāng)微分方程，并求出其解.解：先驗(yàn)證是恰當(dāng)微分方程，因M=y-3x2,N=-4y+x.且有FM-:y二1，:N:x即可得=,則原方程為恰當(dāng)微分方程.二yex故可設(shè):2(y-3x)dx(4y-x)dy=du(x,y),則有：J=y3x2,(4-5)；:x:u，一、=My+x,(4-6):y由方程(4-5)可以解得：3u=xy-x+中(y),為了確定中(y),在u=xy-x3十邛(y)的兩端對(duì)y求導(dǎo)數(shù)，并使之滿足等式：:ud(y)=x+=_4y+x

20、,.:ydy于是可得：汕，dy積分后可得：(y)=-2y2,故u=xy-x3-2y2,因此可得原方程的通解為：x3+2y2-xy=c,這里c為任意常數(shù).4.2積分因子定義：如果存在N(x,y)#0且為連續(xù)可微的函數(shù)，使得：N(x,y)M(x,y)dx+邑(x,y)N(x,y)dy=0,恰好為恰當(dāng)微分方程，也就是存在一個(gè)v(x,y),滿足下列等式：-Mdx;i-Ndy三dv,則函數(shù)注稱為方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的積分因子,邑(x,y)M(x,y)dx+2(x,y)N(x,y)dy=0的解為:v(x,y)=c,c為任意常數(shù).它也是方程M(x,y)dx十N(x,y)dy=0的通解.

21、求法：方程Mdx+Ndy=0有只與x有關(guān)的積分因子的等價(jià)條件是:FMFN=*(x),.:y；xN這里Wx)僅為x的函數(shù).則方程Mdx十Ndy=0的一個(gè)積分因子為:M(x)dxJ=e,方程Mdx+Ndy=0有只與y有關(guān)的積分因子的等價(jià)條件是:三Mn，-M這里中(y)僅為y函數(shù)，則方程Mdx+Ndy=0的一個(gè)積分因子為：,-(y)dy=e,.舉例：求方程的解y-x2dx-xdy=0.解：由題意可知：2M(x,y)=y-x,N(x,y)=-x,FM/fN.則有.-=1，T，y二x.:M_：N:yfx_2Nx'2-dx故可求得積分因子為：-=e，x=x,原式兩邊同乘N=x1可得：,-21.(x

22、y-1)dx-xdy=0,則有:JJ=x：:y(4-7)(4-8)由(4-7)式兩邊積分得:xx_xy+邛(x),為了確定中(x),在N=x1y+9(x)的兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)，得:nd:(x)二x/y,二xdx與(4-8)比較可得:兩邊積分可得：故原方程的解為：x'+x=c,c為任意常數(shù).一階隱式微分方程與參數(shù)表示一階隱式微分方程的主要類型在這一章中，主要介紹以下四種類型：y=f(x,y')；(2)x=f(y,y')；/_、.'、一.,F(x,y)=0;(4)F(y,y)=0.1一階隱式微分方程的參數(shù)表示類型一：y=f(x,y).首先討論形如y=f(x,電)方程的解

23、法，其中f(x,包)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)dxdx為了討論的簡(jiǎn)單引入?yún)?shù)dy=P,代入y=f(x,曳)中可得：dxdxy=f(x,p),對(duì)y=f(x,p)進(jìn)行對(duì)x求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，其中P僅與x有關(guān)，并將曳=P代入，因此得:dxp二十,fxfpdxp=9(x,c),則可以得到:y=f(x嚴(yán)(x,c),；:ffdp可以求得該方程的解.(1)若解出的P值：因此原方程的通解為：y=f(x,9(x,c),這里c為任意常數(shù).(2)若解出x的值：x=®(p,c),于是原方程的通解為：,x=:(p,c),其中P為參數(shù)，c為任意常數(shù).J=f(4(p,c),p),(x,p,c)=0,v=f(x,p),其中p為參數(shù)

24、，c為任意常數(shù).(3)若解出的表達(dá)式滿足：(x,p,c)=0,因此得到原方程的通解為:舉例：求方程y=(曳)y=±+cx+c2,c為任意常數(shù).2-xdyV的解.dxdx2解：由題可知這個(gè)方程為y=f(x,y')的類型，故引入?yún)?shù)，令dy=p,代入dx2原式中，并解出y,即y=p2xp+二，2在這個(gè)式子兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得到:cdpdpp=2pxpxdxdx化解得:則有：(曲-1)(2px)=0,dx(曲-1)=0或(2p-x)=0.dx當(dāng)(也1)=0時(shí)，解得：p=x+c,將之代入y=p2xp+二中化簡(jiǎn)得:dx22當(dāng)(2p_x:0時(shí)，解得pg將之代入p+1.中又得到方程一個(gè)解為:

25、2xy二一,4故方程的解為:22y=、+cx+c2,(c為任意常數(shù))或y=24類型二：x=f(y,y).有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù).、»、上.討論x=f(y,y)的解法，假設(shè)函數(shù)f(y,同樣為了討論方便引入?yún)?shù)dy=p,代入x=f(y,y')中得:dxx=f(y,p)，兩邊對(duì)y求導(dǎo)數(shù)，其中將竺=工代入得至上dyp這個(gè)方程為關(guān)于y,1旦+亙生,p二y二pdyp的一階微分方程，故可運(yùn)用前面學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)來(lái)求其通解，不妨設(shè)求得通解為:中(y,p,c)=0,則得原方程的通解為:x=f(y,p),W(y,p,c)=0,舉例：求解方程解：該方程為第二種類型，可解出x,并引入?yún)?shù)或=p代入x的表達(dá)式中可

26、得:dx3x=-,p#0,2p等式兩邊對(duì)y求導(dǎo)可得:p(1.3p2dP)-(y-p3)dPdydy2p2化簡(jiǎn)得:從而可以解得該方程的解為:3將之代入x=匕區(qū)中可得:2p3.pdy+ydp+2Pdp=0,4c-py=FT'4c-p32Ppc-3p4x二二八9?2p4p所以方程的通解為：cx24p32丁3pp#0,其中c為任意常數(shù).顯然y=0也是方程的解.類型三：F(x,y)=0.現(xiàn)在討論形如F(x,y)=0的方程的解法，為了討論的簡(jiǎn)便引入?yún)?shù):dydx=p，代入原方程F(x,y')=0中得；F(x,p)=0,從而可以選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)形式:x=(t),p=*(t),t為參數(shù).且滿足關(guān)

27、系dy=pdx,因此可將x和p代入得到:dy=*(t)cp'(t)dt,等式兩邊積分可得：y=(t)'(t)dtc,故原方程參數(shù)形式的通解為：x=(t),一一一y嚇(t)*(t)dt+c,C為任意常數(shù).舉例：求解下列方程的解x2+y2=1.解：可以判斷為第三種類型，故引入?yún)?shù)y=cost,則原方程的參數(shù)形式為:x=sint,工4各有,t為參數(shù).y=cost,又滿足dy=costdx,將x的參數(shù)形式代入得:.2.dy=costdt,兩邊積分可得：y=1t+'冶2t+c,c為任意常數(shù).24故原方程的參數(shù)形式通解為：x=sint,11sin2tt為參數(shù)，c為任意常數(shù).y亍丁c

28、,類型四：F(y,y')=0.現(xiàn)在討論形如F(y,y')=0的方程的解法，為了討論的簡(jiǎn)便引入?yún)?shù)：dy=y=p代dx入原方程F(y,y')=0中得：F(y,p)=0,從而可以選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)形式：(t),P=*(t),t為參數(shù),且滿足關(guān)系dy=pdx,因此可將y和p代入得到:5(t)dt=*(t)dx,該方程為變量分離方程，故可得：x=f(t)dt+c,c為任意常數(shù).(t)因此原方程的通解為：x=.dtC,x9(t)c,這里c為任意常數(shù)，t為參數(shù).、y=*(t),舉例：求解下列方程：y2(y-1)=(2y)2.解：該方程為第四種類型，引入?yún)?shù)令2-y'=yt,即y

29、=2-yt,代入原式可化得:1-t2y-代入y'=2yt中可得：y'=l+t2,兩邊積分得：y=1t3+t+c,c為任意常數(shù).31c故原方程的解為：y=-t3+t+c,c為任息常數(shù).36.常微分方程的若干求解技巧將一階微分方程dy變?yōu)橹沟男问絛xdy若一階齊次微分方程可化簡(jiǎn)業(yè)=妙辿的類型.而這種類型不容易求解，這時(shí)需對(duì)dxf(x,y)式子兩邊取倒數(shù)，即將其化為生=上(的類型，這里x為未知函數(shù)，y為自變量,dyg(x,y)有時(shí)這種類型更容易求解.舉例：求方程出二的通解.dx2x-y解：顯然y=0是方程的解，當(dāng)y#0時(shí)直接求解不容易，因此我們可以考慮將原式化為：dx2-=-x-y,

30、dyydx2求出其對(duì)應(yīng)的齊次微分萬(wàn)程d=x的通解為：dyy2x=cy,(6-1)再利用常數(shù)變易法，令x=c(y)y2,(6-2)故有:dxdydc(y)dy2y+2c(y)y,(6-3)把（6-2）等式、（6-3）等式代到（6-1）等式中并化簡(jiǎn)可得:dc(y)1=-dyy兩邊積分得：c(y)=-lny+c,將c（y）=-lny+c代到（6-2）中可以并化解得：x=y2（c-lny）,c為任意常數(shù).故原方程的通解為：x=y2（c-lny）,c為任意常數(shù).6.2分項(xiàng)組合對(duì)于恰當(dāng)微分方程的解法，也可利用“分項(xiàng)組合”的形式來(lái)求其通解，即先找到已構(gòu)成全微分的項(xiàng)將其組合到一塊，再將其余的項(xiàng)拼成全微分貝這種

31、方法更加簡(jiǎn)單.這需要記住一些常用的函數(shù)的微分，比如：ydx-xdyx2二d,yy-ydxxdy_y0x，ydx-xdyxyydx-xdy22xy=dlnx=d(arctan),yydx-xdy22x-y1=一dln2舉例：用“分項(xiàng)組合”的方法，求解（3x2+6xy2dx+（6x2y+4y2）dy=0的通解.解：經(jīng)驗(yàn)證滿足故為恰當(dāng)微分方程，故可得：二yex一2.3_2_2_3xdx+4ydy+6xydx+6xydy=0,34222234c22dx+dy+3ydx+3xdy=0,d(x+y+3yx)=0,故方程的通解為:x3+y4+3x2y一，i.一可以知道N=2和N=2都是ydx-xdy=-ydy左防的積分因子，xy因此改寫ydx+(y-x)dy=0后變?yōu)?ydx-xdy=-ydy,=c,c是任意常數(shù).-.2x(y>0).有的常微分方程通解的解法不能利用積分因子法來(lái)求解，例如下例。舉例：求解方程包=dx解：方程可以化解為：xdxyd