探旋轉(zhuǎn)相似型的解法

1、. 變與不變變與不變 多變歸一多變歸一 探旋轉(zhuǎn)相似型的解法大唐鎮(zhèn)中 蔡培杰.概念提出概念提出 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)和和相似相似是初中數(shù)學(xué)圖形變換的是初中數(shù)學(xué)圖形變換的重要內(nèi)容重要內(nèi)容,兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)看似毫無關(guān)聯(lián)兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)看似毫無關(guān)聯(lián),但它但它們會(huì)同時(shí)出現(xiàn)在數(shù)學(xué)綜合試題中們會(huì)同時(shí)出現(xiàn)在數(shù)學(xué)綜合試題中,對(duì)于此對(duì)于此類題型我們不妨叫作類題型我們不妨叫作“旋轉(zhuǎn)相似型旋轉(zhuǎn)相似型”。.學(xué)生解此類題的困惑學(xué)生解此類題的困惑 圖形在變、旋轉(zhuǎn)角度在變，對(duì)應(yīng)點(diǎn)圖形在變、旋轉(zhuǎn)角度在變，對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的連線段長(zhǎng)在變等等之間的連線段長(zhǎng)在變等等旋轉(zhuǎn)中的旋轉(zhuǎn)中的變化元素變化元素成了解題的成了解題的“絆腳石絆腳石”！.探尋解決方法探尋解決方法尋

2、求變化規(guī)律，以不變應(yīng)萬變尋求變化規(guī)律，以不變應(yīng)萬變應(yīng)用：求對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線比值、求對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線長(zhǎng)應(yīng)用：求對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線比值、求對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線長(zhǎng)應(yīng)用：求兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線夾角應(yīng)用：求兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線夾角 求兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線交點(diǎn)的軌跡求兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線交點(diǎn)的軌跡應(yīng)用：求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)，求運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的軌跡的解析式應(yīng)用：求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)，求運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的軌跡的解析式.旋轉(zhuǎn)相似中的存在雙重相似旋轉(zhuǎn)相似中的存在雙重相似基本圖形：基本圖形：如圖，如圖， AOB COD，且點(diǎn)，且點(diǎn)A、點(diǎn)、點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)是點(diǎn)C,點(diǎn)點(diǎn)D. 則可證則可證 AOC BOD.?D?B?A?O?C 相似旋轉(zhuǎn)型中由對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段及所對(duì)旋轉(zhuǎn)角相似旋轉(zhuǎn)型中由對(duì)應(yīng)

3、點(diǎn)連線段及所對(duì)旋轉(zhuǎn)角組成的兩個(gè)三角形也相似。組成的兩個(gè)三角形也相似。.旋轉(zhuǎn)相似中旋轉(zhuǎn)相似中 存在雙重相似的應(yīng)用存在雙重相似的應(yīng)用例例1、如圖如圖4，ABC與與DEF均均為等邊三角形，為等邊三角形，O為為BC、EF的中的中點(diǎn)，則點(diǎn)，則AD：BE的值為（的值為（ ）。 變式：變式：旋轉(zhuǎn)相似中對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的比值不變！旋轉(zhuǎn)相似中對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的比值不變！可證：可證： AOD BOE?AD：BE=AO：BO.23（12分）（分）（2013紹興）在紹興）在ABC中，中，CAB=90，ADBC于點(diǎn)于點(diǎn)D，點(diǎn)，點(diǎn)E為為AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，EC與與AD交于點(diǎn)交于點(diǎn)G，點(diǎn)，點(diǎn)F在在BC上上（1）如圖）如圖1，AC:

4、AB=1:2，EFCB，求證：，求證：EF=CD（2）如圖）如圖2，AC:AB=1：，EFCE，求，求EF：EG的值的值旋轉(zhuǎn)相似中旋轉(zhuǎn)相似中 存在雙重相似的應(yīng)用存在雙重相似的應(yīng)用H作作EH AB可證可證HEF AEG EF：GE = HE：AE = HE：BE.旋轉(zhuǎn)相似中旋轉(zhuǎn)相似中 存在雙重相似的應(yīng)用存在雙重相似的應(yīng)用例例2、已知已知ABC中，中，C=90AB=9， ，把把ABC 繞著點(diǎn)繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)落在點(diǎn)A，點(diǎn)，點(diǎn)B落落在點(diǎn)在點(diǎn)B若點(diǎn)若點(diǎn)A在邊在邊AB上，則點(diǎn)上，則點(diǎn)B、B的距離的距離_簡(jiǎn)析：簡(jiǎn)析：由題可知由題可知AA,BB是旋轉(zhuǎn)中的對(duì)是旋轉(zhuǎn)中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段，應(yīng)點(diǎn)連

5、線段， ACA ， BCB分別為所對(duì)旋轉(zhuǎn)角。所以分別為所對(duì)旋轉(zhuǎn)角。所以ACABCB，可知可知AA：BB=AC：BC=6：35，所以要所以要先求先求AA的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。求對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的長(zhǎng)求對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的長(zhǎng)=?C.旋轉(zhuǎn)相似中的存在兩組四點(diǎn)共圓旋轉(zhuǎn)相似中的存在兩組四點(diǎn)共圓ADCFGM例：如圖，例：如圖， ADC GDF，A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是G、F。當(dāng)當(dāng)GDF繞點(diǎn)繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線AG、CF交于點(diǎn)交于點(diǎn)M，則，則可證可證M、A、D、C四點(diǎn)共圓和四點(diǎn)共圓和M、D、F、G四點(diǎn)共圓。四點(diǎn)共圓。證證 M、A、D、C四點(diǎn)共圓四點(diǎn)共圓：由雙重相似可知由雙重相似可知 ADG CDF ,? AG

6、D= CFD? AMC= AGD+ 1+ 2 = CFD+ 1+ 2 =180- GDF =180- ADC? AMC+ ADC=180，得證得證.證證 M、D、F、G四點(diǎn)共圓：四點(diǎn)共圓：連連DM，由由MADC四點(diǎn)共圓可知四點(diǎn)共圓可知 DMC= DAC又又 DAC= DGF? DMC= DGF，得證得證.12.ADCFGMRtADC Rt GDF， ADC= GDF=90，求求 AMC的度數(shù)的度數(shù)ADCGFM12旋轉(zhuǎn)相似中旋轉(zhuǎn)相似中 存在兩組四點(diǎn)共圓的應(yīng)用存在兩組四點(diǎn)共圓的應(yīng)用（2015學(xué)年上學(xué)期期末第學(xué)年上學(xué)期期末第16題）題） 如圖，如圖，ABC，EFG均是邊長(zhǎng)為均是邊長(zhǎng)為4的的等邊三角形

7、，點(diǎn)等邊三角形，點(diǎn)D是邊是邊BC、EF的中點(diǎn)的中點(diǎn)，直線，直線AG、FC相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)M當(dāng)當(dāng)EFG繞點(diǎn)繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)時(shí)，AMC=（ ）線段線段BM長(zhǎng)的最大值是（長(zhǎng)的最大值是（ ）.旋轉(zhuǎn)相似中兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡有共性旋轉(zhuǎn)相似中兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡有共性 常見的，一個(gè)圖形繞一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，常見的，一個(gè)圖形繞一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，則圖像上任一點(diǎn)都在作圓弧運(yùn)動(dòng)。則圖像上任一點(diǎn)都在作圓弧運(yùn)動(dòng)。.旋轉(zhuǎn)相似中兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡有共性旋轉(zhuǎn)相似中兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡有共性四邊形ABCD,AEFG都是正方形，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，求證：點(diǎn)G一定落在直線CD上。 像這樣的點(diǎn)像這樣的點(diǎn)E在作直線運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)相似變換中，則其他在作直線運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)相似變換中，則其他的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也都沿著各自的一條直線運(yùn)動(dòng)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也都沿著各自的一條直線運(yùn)動(dòng)。xy若AB=BC=2，試描述點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡。.幾點(diǎn)建議幾點(diǎn)建議1.基本模型牢記于心基本模型牢記于心,以不變應(yīng)萬變以不變應(yīng)萬變2.重視帶領(lǐng)學(xué)生探究模型的重現(xiàn)過程重視帶領(lǐng)學(xué)生探究模型的重現(xiàn)過程3.變式訓(xùn)練中體會(huì)模型的應(yīng)用價(jià)