探旋轉(zhuǎn)相似型的解法

1、. 變與不變變與不變 多變歸一多變歸一 探旋轉(zhuǎn)相似型的解法大唐鎮(zhèn)中 蔡培杰.概念提出概念提出 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)和和相似相似是初中數(shù)學圖形變換的是初中數(shù)學圖形變換的重要內(nèi)容重要內(nèi)容,兩個知識點看似毫無關(guān)聯(lián)兩個知識點看似毫無關(guān)聯(lián),但它但它們會同時出現(xiàn)在數(shù)學綜合試題中們會同時出現(xiàn)在數(shù)學綜合試題中,對于此對于此類題型我們不妨叫作類題型我們不妨叫作“旋轉(zhuǎn)相似型旋轉(zhuǎn)相似型”。.學生解此類題的困惑學生解此類題的困惑 圖形在變、旋轉(zhuǎn)角度在變，對應點圖形在變、旋轉(zhuǎn)角度在變，對應點之間的連線段長在變等等之間的連線段長在變等等旋轉(zhuǎn)中的旋轉(zhuǎn)中的變化元素變化元素成了解題的成了解題的“絆腳石絆腳石”！.探尋解決方法探尋解決方法尋

2、求變化規(guī)律，以不變應萬變尋求變化規(guī)律，以不變應萬變應用：求對應點連線比值、求對應點連線長應用：求對應點連線比值、求對應點連線長應用：求兩組對應點連線夾角應用：求兩組對應點連線夾角 求兩組對應點連線交點的軌跡求兩組對應點連線交點的軌跡應用：求點的運動軌跡長，求運動點的軌跡的解析式應用：求點的運動軌跡長，求運動點的軌跡的解析式.旋轉(zhuǎn)相似中的存在雙重相似旋轉(zhuǎn)相似中的存在雙重相似基本圖形：基本圖形：如圖，如圖， AOB COD，且點，且點A、點、點B的對應點分別的對應點分別是點是點C,點點D. 則可證則可證 AOC BOD.?D?B?A?O?C 相似旋轉(zhuǎn)型中由對應點連線段及所對旋轉(zhuǎn)角相似旋轉(zhuǎn)型中由對應

3、點連線段及所對旋轉(zhuǎn)角組成的兩個三角形也相似。組成的兩個三角形也相似。.旋轉(zhuǎn)相似中旋轉(zhuǎn)相似中 存在雙重相似的應用存在雙重相似的應用例例1、如圖如圖4，ABC與與DEF均均為等邊三角形，為等邊三角形，O為為BC、EF的中的中點，則點，則AD：BE的值為（的值為（ ）。 變式：變式：旋轉(zhuǎn)相似中對應點連線段的比值不變！旋轉(zhuǎn)相似中對應點連線段的比值不變！可證：可證： AOD BOE?AD：BE=AO：BO.23（12分）（分）（2013紹興）在紹興）在ABC中，中，CAB=90，ADBC于點于點D，點，點E為為AB的中點，的中點，EC與與AD交于點交于點G，點，點F在在BC上上（1）如圖）如圖1，AC:

4、AB=1:2，EFCB，求證：，求證：EF=CD（2）如圖）如圖2，AC:AB=1：，EFCE，求，求EF：EG的值的值旋轉(zhuǎn)相似中旋轉(zhuǎn)相似中 存在雙重相似的應用存在雙重相似的應用H作作EH AB可證可證HEF AEG EF：GE = HE：AE = HE：BE.旋轉(zhuǎn)相似中旋轉(zhuǎn)相似中 存在雙重相似的應用存在雙重相似的應用例例2、已知已知ABC中，中，C=90AB=9， ，把把ABC 繞著點繞著點C旋轉(zhuǎn)，使得點旋轉(zhuǎn)，使得點A落在點落在點A，點，點B落落在點在點B若點若點A在邊在邊AB上，則點上，則點B、B的距離的距離_簡析：簡析：由題可知由題可知AA,BB是旋轉(zhuǎn)中的對是旋轉(zhuǎn)中的對應點連線段，應點連

5、線段， ACA ， BCB分別為所對旋轉(zhuǎn)角。所以分別為所對旋轉(zhuǎn)角。所以ACABCB，可知可知AA：BB=AC：BC=6：35，所以要所以要先求先求AA的長。的長。求對應點連線段的長求對應點連線段的長=?C.旋轉(zhuǎn)相似中的存在兩組四點共圓旋轉(zhuǎn)相似中的存在兩組四點共圓ADCFGM例：如圖，例：如圖， ADC GDF，A、C的對應點分別是的對應點分別是G、F。當當GDF繞點繞點D旋轉(zhuǎn)時，直線旋轉(zhuǎn)時，直線AG、CF交于點交于點M，則，則可證可證M、A、D、C四點共圓和四點共圓和M、D、F、G四點共圓。四點共圓。證證 M、A、D、C四點共圓四點共圓：由雙重相似可知由雙重相似可知 ADG CDF ,? AG

6、D= CFD? AMC= AGD+ 1+ 2 = CFD+ 1+ 2 =180- GDF =180- ADC? AMC+ ADC=180，得證得證.證證 M、D、F、G四點共圓：四點共圓：連連DM，由由MADC四點共圓可知四點共圓可知 DMC= DAC又又 DAC= DGF? DMC= DGF，得證得證.12.ADCFGMRtADC Rt GDF， ADC= GDF=90，求求 AMC的度數(shù)的度數(shù)ADCGFM12旋轉(zhuǎn)相似中旋轉(zhuǎn)相似中 存在兩組四點共圓的應用存在兩組四點共圓的應用（2015學年上學期期末第學年上學期期末第16題）題） 如圖，如圖，ABC，EFG均是邊長為均是邊長為4的的等邊三角形

7、，點等邊三角形，點D是邊是邊BC、EF的中點的中點，直線，直線AG、FC相交于點相交于點M當當EFG繞點繞點D旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)時，AMC=（ ）線段線段BM長的最大值是（長的最大值是（ ）.旋轉(zhuǎn)相似中兩個點的運動軌跡有共性旋轉(zhuǎn)相似中兩個點的運動軌跡有共性 常見的，一個圖形繞一定點旋轉(zhuǎn)時，常見的，一個圖形繞一定點旋轉(zhuǎn)時，則圖像上任一點都在作圓弧運動。則圖像上任一點都在作圓弧運動。.旋轉(zhuǎn)相似中兩個點的運動軌跡有共性旋轉(zhuǎn)相似中兩個點的運動軌跡有共性四邊形ABCD,AEFG都是正方形，點E為BC邊上一點，求證：點G一定落在直線CD上。 像這樣的點像這樣的點E在作直線運動的旋轉(zhuǎn)相似變換中，則其他在作直線運動的旋轉(zhuǎn)相似變換中，則其他的對應點也都沿著各自的一條直線運動。的對應點也都沿著各自的一條直線運動。xy若AB=BC=2，試描述點F的運動軌跡。.幾點建議幾點建議1.基本模型牢記于心基本模型牢記于心,以不變應萬變以不變應萬變2.重視帶領(lǐng)學生探究模型的重現(xiàn)過程重視帶領(lǐng)學生探究模型的重現(xiàn)過程3.變式訓練中體會模型的應用價