振動(dòng)力學(xué)與結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)第二章21

1、第二章第二章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第一節(jié)單自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)第一節(jié)單自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)一、自由振動(dòng)的解一、自由振動(dòng)的解0)()(tkytym )sin()(tAty)/(,)/(00220yyarctgyyA自由振動(dòng)自由振動(dòng)-由初位移、初速由初位移、初速度引起的度引起的, ,在振動(dòng)中無(wú)動(dòng)荷載在振動(dòng)中無(wú)動(dòng)荷載作用的振動(dòng)。作用的振動(dòng)。lEI)(ty)(tym 一一. .運(yùn)動(dòng)方程及其解運(yùn)動(dòng)方程及其解EIl)(ty)(tym )()(11tymty )()(11tymtyk 0)()(2tyty 111121mmk其通解為其通解為tctctysincos)(21由初始條

2、件由初始條件0)0(yy0)0(yy可得可得01yc /02yctytytysincos)(00vAysin0vAycos/0)sin()(vtAty22020yyA00tanyy yt0Av/2T22020yyA00tanyy 無(wú)阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)后，其自由振動(dòng)是以無(wú)阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)后，其自由振動(dòng)是以 為振動(dòng)頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并且永無(wú)休止。為振動(dòng)頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并且永無(wú)休止。初始條件的說(shuō)明：初始條件的說(shuō)明： 初始條件是外界能量轉(zhuǎn)入的一種初始條件是外界能量轉(zhuǎn)入的一種方式，有初始位移即轉(zhuǎn)入了彈性方式，有初始位移即轉(zhuǎn)入了彈性勢(shì)能，有初始速度即轉(zhuǎn)入了動(dòng)能勢(shì)能，有初始速度即轉(zhuǎn)入

3、了動(dòng)能二、單自由度系統(tǒng)的動(dòng)力特性二、單自由度系統(tǒng)的動(dòng)力特性周期：周期：園頻率：園頻率：工程頻率：工程頻率：2Tmk2fstyggmgmmk1與外界無(wú)關(guān)與外界無(wú)關(guān), ,體系本身固有的特性體系本身固有的特性與系統(tǒng)是否正在振動(dòng)著以及如與系統(tǒng)是否正在振動(dòng)著以及如何進(jìn)行振動(dòng)的方式都毫無(wú)關(guān)系何進(jìn)行振動(dòng)的方式都毫無(wú)關(guān)系A(chǔ) A、v v不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)字特征，與系統(tǒng)過(guò)去所受到過(guò)字特征，與系統(tǒng)過(guò)去所受到過(guò)的激勵(lì)和考察開(kāi)始時(shí)刻系統(tǒng)所的激勵(lì)和考察開(kāi)始時(shí)刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關(guān)處的狀態(tài)有關(guān) 例例: :圖示剛架其橫梁的剛度為無(wú)限大，柱子的抗彎圖示剛架其橫梁的剛度為無(wú)限大，柱子的抗彎剛度剛度 ，梁的

4、質(zhì)量，梁的質(zhì)量m m=5000kg=5000kg，不計(jì)柱，不計(jì)柱子的軸向變形和阻尼，試計(jì)算此剛架的自振頻率。子的軸向變形和阻尼，試計(jì)算此剛架的自振頻率。26105 . 4NmEI思考題：剛架如何振動(dòng)？關(guān)鍵是求側(cè)移勁度。HzfsradmkhEIkk502. 4500010421,/284.28,126321求圖示系統(tǒng)的固有頻率求圖示系統(tǒng)的固有頻率（a a）彈簧串聯(lián)情況；）彈簧串聯(lián)情況；（b b）彈簧并聯(lián)情況。）彈簧并聯(lián)情況。(a)(a)(,),(,21212121212121212211kkmkkkkkkymgkkkkkmgkmgkmgyyymgykykstststststst思考題：串聯(lián)后系統(tǒng)

5、頻率與單個(gè)彈簧系統(tǒng)相比有何變化？(b) (b) 并聯(lián)情況并聯(lián)情況mkkkkkkkmgymgykykyyystststststst212121221121,思考題：并聯(lián)后系統(tǒng)頻率與單個(gè)彈簧系統(tǒng)相比有何變化？ 例：簡(jiǎn)支梁例：簡(jiǎn)支梁ABAB，重量不計(jì)。在梁的中點(diǎn)位置放一重為重量不計(jì)。在梁的中點(diǎn)位置放一重為W W的物體的物體M M時(shí)，其靜撓度為時(shí)，其靜撓度為y ystst?，F(xiàn)將物體現(xiàn)將物體M M從高度從高度h h處自由處自由釋放，落到梁的中點(diǎn)處，求該系統(tǒng)振動(dòng)的規(guī)律。釋放，落到梁的中點(diǎn)處，求該系統(tǒng)振動(dòng)的規(guī)律。當(dāng)物體落到梁上后，梁、物體系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，只要定出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)參數(shù)：圓頻率、振幅和初相角即可。

6、ghyyyyyarctgyyyAygststst2,00002020).14. 05 .49sin(86. 2,14. 0,86. 2,/5 .49,10,4 . 0tyradcmAsradygcmhcmystst).25 .49sin(4 . 0,2,4 . 0, 0tycmyAhst2.2.算例算例例一例一. .求圖示體系的自振頻率和周期求圖示體系的自振頻率和周期. .3117121mlEIm)221213221(111lllllllllEIEImlT127223EIlEIl=111=1ll/2l解解: :EIl3127例二例二. .求圖示體系的自振頻率和周期求圖示體系的自振頻率和周期.

7、.3332231mlEIEIlmEIl31132EImlT32=1解解: :23lEIEIllm/2EIEIll例三例三. .質(zhì)點(diǎn)重質(zhì)點(diǎn)重W,求體系的頻率和周期求體系的頻率和周期. .3113lEIkk解解: :EIkl11k111kk33lEIgWm/gWlEIk33例三：例三： 提升機(jī)系統(tǒng)提升機(jī)系統(tǒng)重物重重物重 量量NW51047. 1 鋼絲繩的彈簧剛度鋼絲繩的彈簧剛度 cmNk/1078. 54重物以重物以 的速度均勻下降的速度均勻下降 min/15mv 求：繩的上端突然被卡住時(shí)，求：繩的上端突然被卡住時(shí)， （1）重物的振動(dòng)頻率，（）重物的振動(dòng)頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力）鋼絲繩中的最

8、大張力 Wv解：解：sradWgk/6 .19振動(dòng)頻率振動(dòng)頻率重物勻速下降時(shí)處于靜平衡位重物勻速下降時(shí)處于靜平衡位置，若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在繩被卡置，若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在繩被卡住瞬時(shí)重物所在位置住瞬時(shí)重物所在位置 則則 t=0 時(shí)，有：時(shí)，有： 00 xvx 0)()6 .19sin(28. 1)sin()(cmttvtx)sin()cos()(00txtxtx振動(dòng)解：振動(dòng)解： W靜平衡位置靜平衡位置kxWv)( )6 .19sin(28. 1)sin()(cmttvtx振動(dòng)解：振動(dòng)解： 繩中的最大張力等于靜張力與因振動(dòng)引起繩中的最大張力等于靜張力與因振動(dòng)引起的動(dòng)張力之和的動(dòng)張力之和 ：)(1021.

9、2 1074. 01047. 1 555maxNkAWkATTs 動(dòng)張力幾乎是靜張力的一半動(dòng)張力幾乎是靜張力的一半 由于由于 kmvvkkA為了減少振動(dòng)引起的動(dòng)張力，應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度為了減少振動(dòng)引起的動(dòng)張力，應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度 Wv例：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)例：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I在圓盤的靜平衡位置上任意選一根在圓盤的靜平衡位置上任意選一根半徑作為角位移的起點(diǎn)位置半徑作為角位移的起點(diǎn)位置0kI Ik /扭振固有頻率扭振固有頻率02 為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，定義為使得圓盤為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，定義為使得圓盤產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩)/(radmN kkI由牛頓第二定律：由牛頓第

10、二定律：由上例可看出，除了選擇的坐標(biāo)不同之外，由上例可看出，除了選擇的坐標(biāo)不同之外，角振動(dòng)角振動(dòng)與與直線振動(dòng)直線振動(dòng)的數(shù)學(xué)描述的數(shù)學(xué)描述完全相同。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將完全相同。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將 m、k 稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完全適用于角振動(dòng)。以后不加特別聲明時(shí)，彈簧彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完全適用于角振動(dòng)。以后不加特別聲明時(shí)，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)是廣義的質(zhì)量系統(tǒng)是廣義的 。0 kxxm mk /0kI Ik /kI0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)位置彈簧原長(zhǎng)位置k從前面兩種形式的振動(dòng)看到，單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)總包含著從前面兩種形式的振動(dòng)看到，單

11、自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)總包含著慣性元件慣性元件和和彈彈性元件性元件兩種基本元件，慣性元件是感受加速度的元件，它表現(xiàn)為系統(tǒng)的質(zhì)兩種基本元件，慣性元件是感受加速度的元件，它表現(xiàn)為系統(tǒng)的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而彈性元件是產(chǎn)生使系統(tǒng)恢復(fù)原來(lái)狀態(tài)的恢復(fù)力的元件，量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而彈性元件是產(chǎn)生使系統(tǒng)恢復(fù)原來(lái)狀態(tài)的恢復(fù)力的元件，它表現(xiàn)為具有剛度或扭轉(zhuǎn)剛度的彈性體。同一個(gè)系統(tǒng)中，若慣性增加，則它表現(xiàn)為具有剛度或扭轉(zhuǎn)剛度的彈性體。同一個(gè)系統(tǒng)中，若慣性增加，則使固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大使固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大 0 kxxm mk /0kI Ik /kI0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)位

12、置彈簧原長(zhǎng)位置k例：復(fù)擺例：復(fù)擺剛體質(zhì)量剛體質(zhì)量 m對(duì)懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 0I重心重心 C 求：求：復(fù)擺在平衡位置附近做微振動(dòng)時(shí)的微分方程和固有頻率復(fù)擺在平衡位置附近做微振動(dòng)時(shí)的微分方程和固有頻率 mg0Ia0C解：解：由牛頓定律由牛頓定律 ：0sin0mgaI 因?yàn)槲⒄駝?dòng)：因?yàn)槲⒄駝?dòng)：sin則有則有 ：00mgaI 0/ Imga固有頻率固有頻率 ：實(shí)驗(yàn)確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一個(gè)方法實(shí)驗(yàn)確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一個(gè)方法 若已測(cè)出物體的固有頻率若已測(cè)出物體的固有頻率 ，則可求出，則可求出 ，再由移軸定理，可，再由移軸定理，可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

13、 0I20maIIcmg0Ia0C例：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動(dòng)例：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動(dòng)斜面傾角斜面傾角 300質(zhì)量質(zhì)量 m=1kg彈簧剛度彈簧剛度 k=49N/cm開(kāi)始時(shí)彈簧無(wú)伸長(zhǎng)，且速度為零開(kāi)始時(shí)彈簧無(wú)伸長(zhǎng)，且速度為零求：求： 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程m300k重力加速度取重力加速度取 9.8m/s2解：解：x0以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系振動(dòng)固有頻率：振動(dòng)固有頻率：)/(70 1/1049 /2sradmk振動(dòng)初始條件：振動(dòng)初始條件：0030sin mgkx)(1 . 00cmx 考慮方向考慮方向00 x 初始速度：初始速度：運(yùn)動(dòng)

14、方程：運(yùn)動(dòng)方程：)()70cos(1 . 0)(cmttx m300k)sin()cos()(00txtxtx 能量法（補(bǔ)充）對(duì)于不計(jì)阻尼即認(rèn)為沒(méi)有能量損失的單自由度系統(tǒng)，也可以對(duì)于不計(jì)阻尼即認(rèn)為沒(méi)有能量損失的單自由度系統(tǒng)，也可以利用利用能量守恒原理能量守恒原理建立自由振動(dòng)的微分方程，或直接求出系建立自由振動(dòng)的微分方程，或直接求出系統(tǒng)的固有頻率統(tǒng)的固有頻率無(wú)阻尼系統(tǒng)為無(wú)阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)保守系統(tǒng)，其，其機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒，即動(dòng)能，即動(dòng)能 T 和勢(shì)能和勢(shì)能 V 之和保持不變之和保持不變 ，即：，即：constVT0VTdtd或：或：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng) 動(dòng)能：動(dòng)能：221xmT勢(shì)能：勢(shì)能：

15、mgx （重力勢(shì)能）（重力勢(shì)能）（彈性勢(shì)能）（彈性勢(shì)能）dxxkx0)(0VTdtd0)( xkxxm dxxkmgxVx0 不可能恒為不可能恒為 0 x 0 kxxm kmg 221kxxkmgx221kx0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)位置彈簧原長(zhǎng)位置k零勢(shì)能點(diǎn)零勢(shì)能點(diǎn)222121kxxmVT如果將坐標(biāo)原點(diǎn)不是取在系統(tǒng)的靜平衡如果將坐標(biāo)原點(diǎn)不是取在系統(tǒng)的靜平衡位置，而是取在彈簧為自由長(zhǎng)時(shí)的位置位置，而是取在彈簧為自由長(zhǎng)時(shí)的位置 動(dòng)能：動(dòng)能：221xmT 勢(shì)能：勢(shì)能：xkxdxmgxV00 xkxxmgxxm 0VTdtdmgkxxm 設(shè)新坐標(biāo)設(shè)新坐標(biāo) kmgxy0 kyym 221 kx

16、mgx x0mxk零勢(shì)能點(diǎn)零勢(shì)能點(diǎn)y靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)彈簧原長(zhǎng)考慮兩個(gè)特殊位置上系統(tǒng)的能量考慮兩個(gè)特殊位置上系統(tǒng)的能量 靜平衡位置上，系統(tǒng)勢(shì)靜平衡位置上，系統(tǒng)勢(shì)能為零，動(dòng)能達(dá)到最大能為零，動(dòng)能達(dá)到最大021max2maxmaxVxmT最大位移位置，系統(tǒng)動(dòng)最大位移位置，系統(tǒng)動(dòng)能為零，勢(shì)能達(dá)到最大能為零，勢(shì)能達(dá)到最大2maxmaxmax210kxVTconstVT)sin()(tAtxmk /maxmaxxxmaxmaxVTmaxmax對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)：對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)：x 是廣義的是廣義的0mx靜平衡位置靜平衡位置k靜平衡位置靜平衡位置最大位移位置最大位移位置xmax0mxk例：如圖所示是一個(gè)倒置的擺

17、例：如圖所示是一個(gè)倒置的擺 擺球質(zhì)量擺球質(zhì)量 m剛桿質(zhì)量忽略剛桿質(zhì)量忽略 每個(gè)彈簧的剛度每個(gè)彈簧的剛度 2k求求:(1) 倒擺作微幅振動(dòng)時(shí)的固有頻率倒擺作微幅振動(dòng)時(shí)的固有頻率(2) 擺球擺球 時(shí)，測(cè)得頻率時(shí)，測(cè)得頻率 為為 ， 時(shí)，測(cè)得頻率為時(shí)，測(cè)得頻率為 ，問(wèn)擺球質(zhì)量為多少千克時(shí)恰，問(wèn)擺球質(zhì)量為多少千克時(shí)恰使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？ m0.9kgfZ1.5Hm1.8kgZ0.75Hlmak/2k/2（1）解法）解法1：廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)動(dòng)能動(dòng)能2222121mlIT勢(shì)能勢(shì)能maxmaxUTmaxmax22mlmglka 零勢(shì)能位置零勢(shì)能位置1cos1212122mgl

18、akV零勢(shì)能位置零勢(shì)能位置1)(21 222mglka2221 kamgl 112sin2222)(21 mglka lmak/2k/2解法解法2：零勢(shì)能位置零勢(shì)能位置2動(dòng)能動(dòng)能2222121mlIT勢(shì)能勢(shì)能cos212122mglakV0)(2222 mglkaml 0 UTdtd0)(2222mglkaml 22mlmglka 零勢(shì)能位置零勢(shì)能位置22sin2121 222mglka2222121 mglmglkamglmglka22)(21 lmak/2k/2（2）平衡臨界位置的確定2 0kamgl利用：m0.9kg，測(cè)得頻率，測(cè)得頻率f 為為 Z1.5Hm1.8kg，測(cè)得頻率，測(cè)得頻率

19、f 為為 Z0.75H2 24.5gll22 212.6kal，2.8kgm 瑞利法 利用能量法求解固有頻率時(shí)，對(duì)于系統(tǒng)的動(dòng)能的計(jì)算只利用能量法求解固有頻率時(shí)，對(duì)于系統(tǒng)的動(dòng)能的計(jì)算只考慮了慣性元件的動(dòng)能，而忽略不計(jì)彈性元件的質(zhì)量所具考慮了慣性元件的動(dòng)能，而忽略不計(jì)彈性元件的質(zhì)量所具有的動(dòng)能，因此算出的固有頻率是實(shí)際值的上限有的動(dòng)能，因此算出的固有頻率是實(shí)際值的上限mkx0 這種簡(jiǎn)化方法在許多場(chǎng)合中都能滿足要求，但有些工程這種簡(jiǎn)化方法在許多場(chǎng)合中都能滿足要求，但有些工程問(wèn)題中，彈性元件本身的質(zhì)量因占系統(tǒng)總質(zhì)量相當(dāng)大的比問(wèn)題中，彈性元件本身的質(zhì)量因占系統(tǒng)總質(zhì)量相當(dāng)大的比例而不能忽略，否則算出的固有

20、頻率明顯偏高例而不能忽略，否則算出的固有頻率明顯偏高例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)設(shè)彈簧的動(dòng)能設(shè)彈簧的動(dòng)能: 221xmTtt 系統(tǒng)最大動(dòng)能：系統(tǒng)最大動(dòng)能： 2max2maxmax2121xmxmTt系統(tǒng)最大勢(shì)能：系統(tǒng)最大勢(shì)能： 2maxmax21kxVmaxmaxxxtmmk若忽略若忽略 ，則，則 增大增大 tm2max)(21xmmttm彈簧等效質(zhì)量彈簧等效質(zhì)量 mtmkx0因此忽略彈簧動(dòng)能所算出的固有頻率是實(shí)際值的上限因此忽略彈簧動(dòng)能所算出的固有頻率是實(shí)際值的上限 等效質(zhì)量和等效剛度方法方法1：選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)得動(dòng)能、勢(shì)能寫成如下形式：選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)得動(dòng)能、勢(shì)

21、能寫成如下形式： 221xMTe 221xKVe 當(dāng)當(dāng) 、 分別取最大值時(shí)：分別取最大值時(shí)：x x則可得出：則可得出： maxTT maxVV eeMK /Ke：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的等效剛度：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的等效剛度Me：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的等效質(zhì)量：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的等效質(zhì)量 等效的含義是指簡(jiǎn)化前后的系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別相等等效的含義是指簡(jiǎn)化前后的系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別相等 動(dòng)能動(dòng)能2221mlT 勢(shì)能勢(shì)能22mlmglka 22)(21mglkaV2mlMemglkaKe2零勢(shì)能位置零勢(shì)能位置1lmak/2k/2第二節(jié)第二節(jié) 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)一、一、有阻尼自由振動(dòng)的解有阻尼自由振動(dòng)的解

22、特征方程的根：特征方程的根：122, 1r1 1、臨界阻尼情況：不產(chǎn)生振動(dòng)的最小阻尼、臨界阻尼情況：不產(chǎn)生振動(dòng)的最小阻尼)1 ()(, 1002, 1tytyetyrt2 2、超阻尼情況、超阻尼情況mc2, 1或)(000tshyytchyetyDDDt 體系仍不作振動(dòng)，只發(fā)生按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期體系仍不作振動(dòng)，只發(fā)生按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)，蠕動(dòng)，上式也不含簡(jiǎn)諧振動(dòng)因子，由于大阻尼作用，受干擾后，偏離平衡位置體系不會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，初始能量全部用于克服阻尼，不足以引起振動(dòng)。3 3、負(fù)阻尼情況、負(fù)阻尼情況 00或或c0c0 阻尼本來(lái)是耗散能量的，負(fù)阻尼表示在系統(tǒng)振動(dòng)過(guò)程中不阻尼本來(lái)是耗散能量的，

23、負(fù)阻尼表示在系統(tǒng)振動(dòng)過(guò)程中不僅不消耗能量，而且不斷加入能量。這種情況下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是僅不消耗能量，而且不斷加入能量。這種情況下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的，其振幅將會(huì)愈來(lái)愈大，直至系統(tǒng)破壞。不穩(wěn)定的，其振幅將會(huì)愈來(lái)愈大，直至系統(tǒng)破壞。4 4、低阻尼或小阻尼情況、低阻尼或小阻尼情況 11或或c2mc2m cossin)(000tytyyetydddt21d考慮阻尼使得結(jié)構(gòu)的自振頻率略有減小，亦即使系統(tǒng)的自振周期稍有增大。阻尼影響使振幅按指數(shù)規(guī)律衰減。 結(jié)構(gòu)實(shí)際量測(cè)表明，對(duì)于一般鋼筋混凝土桿系結(jié)構(gòu)的阻尼結(jié)構(gòu)實(shí)際量測(cè)表明，對(duì)于一般鋼筋混凝土桿系結(jié)構(gòu)的阻尼比比 在在0.050.05左右，拱壩在左右，拱壩在0.0

24、3-0.050.03-0.05，重力壩包括大頭壩在，重力壩包括大頭壩在0.05-0.10,0.05-0.10,土壩、堆石壩在土壩、堆石壩在0.10-0.200.10-0.20之間。強(qiáng)震時(shí)，之間。強(qiáng)震時(shí)， 還會(huì)還會(huì)增加一些，但其值也是不大的。即使取增加一些，但其值也是不大的。即使取0.020.02代入求得的頻率與代入求得的頻率與不考慮阻尼的頻率也很接近。因此實(shí)際工程結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算時(shí)不不考慮阻尼的頻率也很接近。因此實(shí)際工程結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算時(shí)不計(jì)阻尼的影響。計(jì)阻尼的影響。 不同阻尼比對(duì)自由振動(dòng)幅值的影響不同阻尼比對(duì)自由振動(dòng)幅值的影響ty(t)2 . 014 . 1臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，但比過(guò)

25、阻尼衰減快些臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，但比過(guò)阻尼衰減快些 三種阻尼情況比較：三種阻尼情況比較：111欠阻尼欠阻尼過(guò)阻尼過(guò)阻尼臨界阻尼臨界阻尼欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)過(guò)阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)，沒(méi)有振動(dòng)發(fā)生過(guò)阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)，沒(méi)有振動(dòng)發(fā)生 二、阻尼的量測(cè)二、阻尼的量測(cè)小阻尼解答經(jīng)過(guò)三角轉(zhuǎn)換可寫小阻尼解答經(jīng)過(guò)三角轉(zhuǎn)換可寫成成000120020,)()sin()(yyytgyyyAtAetydddt其中可以根據(jù)自由振動(dòng)衰減曲線確定阻尼比?？紤]兩相鄰幅值，可以根據(jù)自由振動(dòng)衰減曲線確定阻尼比。考慮兩相鄰幅值，在在t ti i時(shí)

26、刻，時(shí)刻，y yi i=Ae=Ae- -t ti i; ;在在t ti i+T+Td d時(shí)刻，時(shí)刻，y yi+1i+1=Ae=Ae- -(t(ti i+T+Td d),),定義自定義自然對(duì)數(shù)遞減率然對(duì)數(shù)遞減率 y y自由振動(dòng)衰減曲線自由振動(dòng)衰減曲線 2222221)()2(122ln,)2(122lnyyddmiiymiiyyddiiymmmmTyyyymTyy從而得阻尼比同樣有和個(gè)周期的幅值可以量測(cè)相隔因素產(chǎn)生的誤差，更高的精度和避免偶然為了獲得由此可得阻尼比 例：有關(guān)參數(shù)同前剛架，若用千斤頂使例：有關(guān)參數(shù)同前剛架，若用千斤頂使M M產(chǎn)生側(cè)移產(chǎn)生側(cè)移25mm25mm，然后突然放開(kāi)，剛架產(chǎn)生自

27、由振動(dòng)，振動(dòng)，然后突然放開(kāi)，剛架產(chǎn)生自由振動(dòng)，振動(dòng)5 5周周后測(cè)得的側(cè)移為后測(cè)得的側(cè)移為7.12mm7.12mm。試求。試求 ：（：（1 1）考慮阻尼時(shí)）考慮阻尼時(shí)的自振頻率；（的自振頻率；（2 2）阻尼比和阻尼系數(shù)；（）阻尼比和阻尼系數(shù)；（3 3）振動(dòng)）振動(dòng)1010周后的振幅。周后的振幅。解：由解：由y y0 0=25mm, y=25mm, y0+5TD0+5TD=7.12mm,=7.12mm,有：有：Hzffsradskgmcmddy498. 4)1 (/261.28)1 (/6 .113132,04. 012. 725ln101222mmyeyyeyymneyydddmnmn028. 2

28、,1050,1010201052052，有，取由kN4 .160276.012ln421)/(102 .802.0104 .165311mNk) s (5 .04/2DT) s (4998.012DTT)s/1 (57.122T)kg(5190/211km)kN(86.50 mgW)s/mN(36012mc)s/1 (89.1368005190102 .8252)s/1 (70.11)s (537.0/2T0257.02/mc 三、相軌跡與奇點(diǎn)三、相軌跡與奇點(diǎn) 1、相平面的相軌跡、相平面的相軌跡 狀態(tài)變量狀態(tài)變量 相平面相平面 相軌跡相軌跡 相軌跡的幾何特征相軌跡的幾何特征2 2、相平面的奇點(diǎn)

29、、相平面的奇點(diǎn)奇點(diǎn)：奇點(diǎn)：相平面內(nèi)平衡點(diǎn)：相平面內(nèi)平衡點(diǎn)：李雅普洛夫穩(wěn)定性李雅普洛夫穩(wěn)定性李雅普洛夫穩(wěn)定性李雅普洛夫穩(wěn)定性: : 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為Axx 式中A為nn方陣。設(shè)系統(tǒng)原來(lái)的平衡狀態(tài)為xe=0,在擾動(dòng)產(chǎn)生了初始狀態(tài)x0以后，系統(tǒng)狀態(tài)x(t)將從x0開(kāi)始按下列規(guī)律轉(zhuǎn)移：0)(xetxAt如果對(duì)于任意初始狀態(tài)x0,由它引起的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)x(t)滿足0lim)(lim0 xetxAttt那么，線性定常系統(tǒng)就是穩(wěn)定的（李雅普諾夫穩(wěn)定性定義下的漸近穩(wěn)定）(a)(b)(c)習(xí)題：習(xí)題：2-1(a)2-1(a)、（、（b b）、）、(d)(d)、(e)(e)劉延柱編劉延柱編振動(dòng)力學(xué)

30、振動(dòng)力學(xué)P32P32頁(yè)，頁(yè)，E1.1E1.1、E1.3E1.3、E1.4E1.4第三節(jié)第三節(jié) 單自由度系統(tǒng)簡(jiǎn)諧荷載作用下的單自由度系統(tǒng)簡(jiǎn)諧荷載作用下的 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)一、無(wú)阻尼受迫振動(dòng)一、無(wú)阻尼受迫振動(dòng) 1 1、無(wú)阻尼受迫振動(dòng)方程解、無(wú)阻尼受迫振動(dòng)方程解tFtkytymsin)()( 運(yùn)動(dòng)方程的解運(yùn)動(dòng)方程的解tmFtmFtytytysin)(sin)(cossin)(222200上式中，前三項(xiàng)都是頻率為上式中，前三項(xiàng)都是頻率為 的自由振動(dòng)。但第一、二項(xiàng)是的自由振動(dòng)。但第一、二項(xiàng)是初始條件決定的自由振動(dòng)，第三項(xiàng)與初始條件無(wú)關(guān)，是由初始條件決定的自由振動(dòng)，第三項(xiàng)與初始條件無(wú)關(guān)，是由伴隨干擾力的作

31、用而產(chǎn)生的，稱為伴生自由振動(dòng)。第四項(xiàng)伴隨干擾力的作用而產(chǎn)生的，稱為伴生自由振動(dòng)。第四項(xiàng)則是按照干擾力的頻率而進(jìn)行的振動(dòng)，稱為純受迫振動(dòng)。則是按照干擾力的頻率而進(jìn)行的振動(dòng)，稱為純受迫振動(dòng)。2 2、動(dòng)力系數(shù)、動(dòng)力系數(shù) 22222max221( )sinsin()(1)sin1/1 ()stFstFFFy tttmmytyy動(dòng)力系數(shù)變化曲線動(dòng)力系數(shù)變化曲線例例: :圖示無(wú)重簡(jiǎn)支梁，在跨中圖示無(wú)重簡(jiǎn)支梁，在跨中W20kN的電機(jī)，電機(jī)偏心所產(chǎn)的電機(jī)，電機(jī)偏心所產(chǎn)生的離心力生的離心力F(t)，若機(jī)器每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)，若機(jī)器每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)n=500rad/min，梁的，梁的EI=1.00810000kN.m2。在

32、不計(jì)阻尼的情況下，試求梁的最大。在不計(jì)阻尼的情況下，試求梁的最大位移和彎矩。位移和彎矩。解：（解：（1 1）梁的自振頻率）梁的自振頻率mEIWlyst00265. 010008.radygst/812.60（2 2）系統(tǒng)的動(dòng)力系數(shù)）系統(tǒng)的動(dòng)力系數(shù)866. 3)(11/36.52605001416. 3260222sradn想想看還有沒(méi)有其他方法求自振頻率？想想看還有沒(méi)有其他方法求自振頻率？（3 3）梁跨中截面的最大位移和彎矩）梁跨中截面的最大位移和彎矩mkNFlWlMMMmyyystFststFst.66.584400776. 0maxmax思考題：第二個(gè)式子怎么來(lái)的

33、？思考題：第二個(gè)式子怎么來(lái)的？22222( )( ( )()()sin441(1)sin()sinsin444stlWlM tF tyFy mtgFlFlFlttt 思考題：如何求某一截面的思考題：如何求某一截面的Qmax?3231482 . 1,488 . 0sin)(mlEImlEItFtF例例: : 圖示跨中帶有一質(zhì)體的無(wú)重簡(jiǎn)支梁，受動(dòng)力荷載圖示跨中帶有一質(zhì)體的無(wú)重簡(jiǎn)支梁，受動(dòng)力荷載作用，若外干擾力頻率取不同的值，試求質(zhì)體的最大作用，若外干擾力頻率取不同的值，試求質(zhì)體的最大動(dòng)力位移。動(dòng)力位移。解：按疊加原理解：按疊加原理 tmFymtFmtFyytFymtFtFyisin)(11)687

34、5. 0()(6875. 0)()()()()(221112212111211 （1 1）慣性力前為何加負(fù)號(hào)？）慣性力前為何加負(fù)號(hào)？（2 2）運(yùn)動(dòng)方程式與直接作用在質(zhì)體時(shí)有什么差別？）運(yùn)動(dòng)方程式與直接作用在質(zhì)體時(shí)有什么差別？（3 3）如果梁上還有一個(gè)動(dòng)荷載，運(yùn)動(dòng)方程式形式有何變）如果梁上還有一個(gè)動(dòng)荷載，運(yùn)動(dòng)方程式形式有何變化？化？例例1 1 求圖示體系振幅和動(dòng)彎矩幅值圖，已知求圖示體系振幅和動(dòng)彎矩幅值圖，已知 5 . 0動(dòng)位移、動(dòng)內(nèi)力幅值計(jì)算動(dòng)位移、動(dòng)內(nèi)力幅值計(jì)算tAty sin)(st FAy22/11 sinPt1EIEIEIPPl/4解解. . 31124lEIk31124st FPPl

35、ykEI34/1122 3118st FPlAyEIPl/3動(dòng)彎矩幅值圖動(dòng)彎矩幅值圖例例2 2 求圖示梁中最大彎矩和跨中點(diǎn)最大位移求圖示梁中最大彎矩和跨中點(diǎn)最大位移 已知已知: :./500,10,35,210,108.8,445分轉(zhuǎn)nkNFkNQGPaEmIml解解. . S/13 .62/111Qgmm10722.0311Fyst4 .3/1122 m1045.23styAtFsinQ/2/2重力引起的彎矩重力引起的彎矩kN3541QlMQ重力引起的位移重力引起的位移m1053. 2311QQ111/4m/N10722.0487311EIlkN.m1041FlMstS/13 .5260/2

36、n 振幅振幅動(dòng)彎矩幅值動(dòng)彎矩幅值kN.m34stDMM跨中最大彎矩跨中最大彎矩kN.m69maxDQMMM跨中最大位移跨中最大位移3max4.98 10 mQyA 動(dòng)荷載不作用于質(zhì)點(diǎn)時(shí)的計(jì)算動(dòng)荷載不作用于質(zhì)點(diǎn)時(shí)的計(jì)算 FF1112*tFsin)(ty)(sin)(1112ymtFty )(tym tFsin12=111=1tFtytymsin)(1)(111211 令令tFtytymsin)(1)(*11 tmFtysin)(2*11*2*FmFA111112FF12stFystyP仍是位移動(dòng)力系數(shù)仍是位移動(dòng)力系數(shù)是內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)嗎是內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)嗎? ?運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解振幅振幅 列幅

37、值方程求內(nèi)力幅值列幅值方程求內(nèi)力幅值 tAtysin)(31 155222648stFFllFlylEIEI解解: :5 .0例例: :求圖示體系振幅、動(dòng)彎矩幅值圖求圖示體系振幅、動(dòng)彎矩幅值圖. .已知已知tAtysin)(2 tmAtIsin)(2tFtFsin)(同頻同步變化同頻同步變化tFsinEIl/2l/2)(tyAm2A34/11223536stFFlAyEIstFy=1112/Fll重要！1122441AmAmAIF485FF485Fl965Fl4829動(dòng)彎矩幅值圖動(dòng)彎矩幅值圖31 155222648stFFllFlylEIEI解解: :5 .0例例: :求圖示體系振幅、動(dòng)彎矩幅

38、值圖求圖示體系振幅、動(dòng)彎矩幅值圖. .已知已知tFsinEIl/2l/2)(tyAm2AstFy=11134/11223536stFFlAyEI2/Fll解解: :例例: :求圖示體系右端的質(zhì)點(diǎn)振幅求圖示體系右端的質(zhì)點(diǎn)振幅 0oMkmFA410321122441AmAmAIF485FF485Fl965Fl4829動(dòng)彎矩幅值圖動(dòng)彎矩幅值圖tFsinlkEIllAF2mA231mAAk32o二、有阻尼受迫振動(dòng)二、有阻尼受迫振動(dòng)1 1、解的形式、解的形式)sin(sin)sincos(cossinsin)(cos)(sin)()()(000tAtAetAetyyetyetytFtkytyctymdd

39、dtdtdddtdt 式中，第一、二項(xiàng)由初始條件決定的自由振動(dòng)，第三、四式中，第一、二項(xiàng)由初始條件決定的自由振動(dòng)，第三、四是荷載作用而伴生的自由振動(dòng)，第五項(xiàng)為純受迫振動(dòng)。前是荷載作用而伴生的自由振動(dòng)，第五項(xiàng)為純受迫振動(dòng)。前四項(xiàng)自由振動(dòng)由于阻尼的存在，很快衰減以致消失，最終四項(xiàng)自由振動(dòng)由于阻尼的存在，很快衰減以致消失，最終只存下穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)。只存下穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)。2/1222)2()1()sin()sin()(stddstyAtytAty 2 2、幅頻曲線、幅頻曲線2221( )(1)(2)d簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性：簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性： 以以 為橫坐標(biāo)畫出為橫坐標(biāo)畫出 曲線曲線 ( )

40、d激振頻率相對(duì)于系統(tǒng)固有頻率很低激振頻率相對(duì)于系統(tǒng)固有頻率很低 結(jié)論：響應(yīng)的振幅結(jié)論：響應(yīng)的振幅 A 與靜位移與靜位移 B 相當(dāng)相當(dāng) sinFytk0123012345( )d01 . 025. 0375. 05 . 01（1）當(dāng)）當(dāng) 1（ ） 幅頻曲線幅頻曲線結(jié)論：系統(tǒng)即使按無(wú)阻尼情況考慮也是可以的結(jié)論：系統(tǒng)即使按無(wú)阻尼情況考慮也是可以的 對(duì)應(yīng)于不同對(duì)應(yīng)于不同 值值,曲線較為密集，說(shuō)明阻尼的影響不顯著曲線較為密集，說(shuō)明阻尼的影響不顯著 0123012345( )d01 . 025. 0375. 05 . 012221( )(1)(2)d（3）在以上兩個(gè)領(lǐng)域）在以上兩個(gè)領(lǐng)域 1， 1幅頻曲線幅

41、頻曲線結(jié)論：共振時(shí)振幅無(wú)窮大結(jié)論：共振時(shí)振幅無(wú)窮大（4）當(dāng)）當(dāng)1對(duì)應(yīng)于較小對(duì)應(yīng)于較小 值，值， 迅速增大迅速增大 ( )d當(dāng)當(dāng)0( )d 0123012345( )d01 . 025. 0375. 05 . 012221( )(1)(2)d但共振對(duì)于來(lái)自阻尼的影響很敏感，在但共振對(duì)于來(lái)自阻尼的影響很敏感，在 =1 附近的區(qū)域內(nèi)附近的區(qū)域內(nèi)，增加阻尼使振幅明顯下降，增加阻尼使振幅明顯下降 .幅頻曲線幅頻曲線max2121d0ddd2120123012345( )d01 . 025. 0375. 05 . 012221( )(1)(2)d（5）對(duì)于有阻尼系統(tǒng)，）對(duì)于有阻尼系統(tǒng)， 并不出并不出現(xiàn)在現(xiàn)

42、在 =1處，而且稍偏左處，而且稍偏左. maxd幅頻曲線幅頻曲線（6）當(dāng)）當(dāng)2/11d振幅無(wú)極值振幅無(wú)極值 0123012345( )d01 . 025. 0375. 05 . 012221( )(1)(2)d幅頻曲線幅頻曲線112dsQ記：記：品質(zhì)因子品質(zhì)因子 在共振峰的兩側(cè)取與在共振峰的兩側(cè)取與 對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn) ， /2dQ1221帶寬帶寬Q與與 有關(guān)系有關(guān)系 ：Q阻尼越弱，阻尼越弱，Q越大，帶越大，帶寬越窄，共振峰越陡峭寬越窄，共振峰越陡峭 d2Q2/Q122221( )(1)(2)dP33-34有證明 3 3、相頻曲線、相頻曲線相頻特性曲線相頻特性曲線 1221tg相位差相位差

43、0位移與激振力在相位上幾乎相同位移與激振力在相位上幾乎相同 位移與激振力反相位移與激振力反相 （3）當(dāng)）當(dāng)1共振時(shí)的相位差為共振時(shí)的相位差為 ，與阻尼無(wú)關(guān)，與阻尼無(wú)關(guān) 2( )d0123090180以以 為橫坐標(biāo)畫出為橫坐標(biāo)畫出 曲線曲線 ( )d（1）當(dāng)）當(dāng) 1（ ） 4 4、系統(tǒng)上各個(gè)力的平衡、系統(tǒng)上各個(gè)力的平衡由已知的荷載 , 以及求得的位移)sin()(tFtF)sin()sin()sin()(tkFtytAtydstd)cos(2)()(),sin()()(),sin()sin()()(22tFtyctFtFtkytFtFtmkFtymtFdddsddi 有， 當(dāng)荷載頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)自

44、振頻率時(shí)，當(dāng)荷載頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)自振頻率時(shí)，0, 0, 慣性力慣性力F Fi i(t)(t)和阻尼力和阻尼力F Fd d(t)(t)都很小，荷載主要由彈簧力平衡；都很小，荷載主要由彈簧力平衡；想想：此時(shí)相當(dāng)于什么情況?n當(dāng)荷載頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)自振頻率時(shí)，當(dāng)荷載頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)自振頻率時(shí)，, , 荷載主要荷載主要由慣性力平衡；由慣性力平衡；當(dāng)荷載頻率接近系統(tǒng)自振頻率時(shí)，1, 此時(shí)阻尼力)sin()2(12)21()(tFCOSFtFd此時(shí)荷載主要由阻尼力平衡，這種狀態(tài)稱為共振。此時(shí)荷載主要由阻尼力平衡，這種狀態(tài)稱為共振。共振區(qū)內(nèi)（共振區(qū)內(nèi)（0.75-1.25)0.75-1.25)阻尼力不可以忽略。阻尼

45、力不可以忽略。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中四個(gè)力的平衡5 5、半功率法確定阻尼比、半功率法確定阻尼比styyy22121max簡(jiǎn)諧荷載受迫振動(dòng)的幅頻曲簡(jiǎn)諧荷載受迫振動(dòng)的幅頻曲線可以用來(lái)確定系統(tǒng)的阻尼線可以用來(lái)確定系統(tǒng)的阻尼比比。取曲線上取曲線上a a、b b兩點(diǎn)，令縱兩點(diǎn)，令縱坐標(biāo)坐標(biāo)代入幅頻曲線公式，經(jīng)處理后代入幅頻曲線公式，經(jīng)處理后有有)(21)(211212例例. .圖示為塊式基礎(chǔ)圖示為塊式基礎(chǔ). .機(jī)器與基礎(chǔ)的質(zhì)量為機(jī)器與基礎(chǔ)的質(zhì)量為 ; ;地基豎向地基豎向 剛度為剛度為 ; ;豎向振動(dòng)時(shí)的阻尼比為豎向振動(dòng)時(shí)的阻尼比為 機(jī)器轉(zhuǎn)速為機(jī)器轉(zhuǎn)速為N=800r/min, ,其偏心質(zhì)量引起的離心力為其偏心質(zhì)量引起

46、的離心力為F F=30kN. .求豎向求豎向 振動(dòng)時(shí)的振幅。振動(dòng)時(shí)的振幅。N101563mN/m105 .13146K2.0解：解：33300.022810m1314.510stFFyK)s/1 (79.9110156105 .131436mK( )sinF tFt283.78(1/ s)60N22221/(1/)(2/)2.490.0568(mm)stFAy例：例：汽車的拖車在波形道汽車的拖車在波形道路上行駛路上行駛已知拖車的質(zhì)量滿載已知拖車的質(zhì)量滿載時(shí)為時(shí)為 m1=1000 kg空載時(shí)為空載時(shí)為 m2=250 kg懸掛彈簧的剛度為懸掛彈簧的剛度為 k =350 kN/m阻尼比在滿載時(shí)為阻尼

47、比在滿載時(shí)為5 . 01車速為車速為 v =100 km/h路面呈正弦波形，可表示為路面呈正弦波形，可表示為lzaxf2sin求：求： 拖車在滿載和空載時(shí)的振幅比拖車在滿載和空載時(shí)的振幅比l =5 ml =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz解：解：汽車行駛的路程可表示為：汽車行駛的路程可表示為：路面的激勵(lì)頻率：路面的激勵(lì)頻率：tlvaxf2sinvtz srad /9 .34kmccr202mc得：得：kmcccr2c、k 為常數(shù)，因此為常數(shù)，因此 與與 成反比成反比m因此得到空載時(shí)的阻尼比為：因此得到空載時(shí)的阻尼比為：2112mm滿載和空載時(shí)的頻率比：滿載和空載時(shí)的頻率比：101220

48、20.93mk因?yàn)橛校阂驗(yàn)橛校簂 =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz滿載滿載: m1=1000 kg空載空載: m2=250 kg5 . 01車速車速 : v =100 km/hlzaxf2sin2 vl0 . 1k =350 kN/m1mk87. 1滿載時(shí)頻率比滿載時(shí)頻率比記：滿載時(shí)振幅記：滿載時(shí)振幅 B1，空載時(shí)振幅，空載時(shí)振幅 B2有：有：滿載時(shí)阻尼比滿載時(shí)阻尼比空載時(shí)阻尼比空載時(shí)阻尼比0 . 1211.87空載時(shí)頻率比空載時(shí)頻率比20.9321112221111(2)0.68(1)(2)Ba 22222222221(2)1.13(1)(2)Ba 因此滿載和空載時(shí)的振幅比：因此滿

49、載和空載時(shí)的振幅比：60. 021BB5 . 01l =5 ml =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)小結(jié)簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)小結(jié)背景：地基振動(dòng)，轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)背景：地基振動(dòng)，轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)特點(diǎn)：激振慣性力的幅值與頻率的平方成正比例特點(diǎn)：激振慣性力的幅值與頻率的平方成正比例 ( )i tfxtDe坐標(biāo)：坐標(biāo)：動(dòng)力學(xué)方程：動(dòng)力學(xué)方程： 0)(1111kxxcxxmf 基座位移規(guī)律基座位移規(guī)律 ：x1 相對(duì)基座位移相對(duì)基座位移)(1fxxm 1kx1xcmm)(1fxxm 1xc1kx受力分析受力分析xfkc1xmx0mkxxfc1xD：基座位移

50、振幅：基座位移振幅21 111i tm xcxkxmDe21 111i tm xcxkxmDe0i tmxcxkxF e()itdstFxxe0stFFxk2221(1)(2)d122( )1tg 依據(jù)：依據(jù)：令：令：20mDF1()1itdstFxxe1()0itdFek12() itdmDek12()222 (1)(2)itDe1()1itdDe有：有：21222( )(1)(2)d1122( )1tg 其中：其中：xfkc1xmx02km0i tmxcxkxF e補(bǔ)：振動(dòng)微分方程解補(bǔ)：振動(dòng)微分方程解顯含時(shí)間顯含時(shí)間 t非齊次微分方程非齊次微分方程非齊次微分方程非齊次微分方程通解通解齊次微

51、分方程齊次微分方程通解通解非齊次微分方程非齊次微分方程特解特解阻尼自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)逐漸衰減逐漸衰減暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)持續(xù)等幅振動(dòng)持續(xù)等幅振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)0i tmxcxkxF e振動(dòng)微分方程：振動(dòng)微分方程：設(shè)：設(shè)：i txxe0( )xHF代入，有：代入，有：21( )Hkmic復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)復(fù)頻響應(yīng)函數(shù) 振動(dòng)微分方程：振動(dòng)微分方程：222i tstFxxxxekm2ckm0stFFxk引入：引入：2222112( )(1)(2)iHk2221( )(1)(2)d122( )1tg 振幅放大因子振幅放大因子相位差相位差則：則：1idek ：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)振幅：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)振幅 x靜變形靜變形

52、0i tmxcxkxF ei txxe22221121( )(1)(2)idiHekk0( )xHF()0itdFxekdAB穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的實(shí)振幅穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的實(shí)振幅 2221( )(1)(2)d0stFFxk()itAe122( )1tg 21 111i tm xcxkxmDe1()11itdxDe21222( )(1)(2)d1122( )1tg 0.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0 1( )d1 0 01901801( ) 幅頻曲線幅頻曲線相頻曲線相頻曲線若以絕對(duì)位移若以絕對(duì)位移 x 為坐標(biāo)為坐標(biāo)fxxx11()1iti tdxDeDe1()11itdxDe( )i tfxtDe其

53、中：其中：則有：則有：11()1()iitdeDe21222( )(1)(2)d1122( )1tg xfkc1xmx0mkxxfc1x12111222(cossin)(1)(2)idei222221 (2)(1)(2)d12(2)tg11()1()iitdxeDe21222( )(1)(2)d1122( )1tg 2222222222212(1)(2)(1)(2)(1)(2)i22212(1)(2)i222221(2)(1)(2)ie22ide2222211 (2)(1)(2)ie11()1()iitdxeDe1212iiddee222221 (2)(1)(2)d12(2)tg12()()2

54、2ititddxDeDe12代入：代入：211i txDe無(wú)阻尼情況：無(wú)阻尼情況：21222( )(1)(2)d1122( )1tg xfkc1xmx0mkxxfc1x222221 (2)(1)(2)d12()()22ititddxDeDe幅頻曲線幅頻曲線01010 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0 2( )d2可看出：可看出：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，221d振幅恒為支撐運(yùn)動(dòng)振幅振幅恒為支撐運(yùn)動(dòng)振幅D當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，221d振幅恒小于振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大增加阻尼反而使振幅增大xfkc1xmx0mkxxfc1x 機(jī)械阻抗與導(dǎo)納機(jī)械阻抗與導(dǎo)納*工程中常用機(jī)械阻抗來(lái)分析結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性工程

55、中常用機(jī)械阻抗來(lái)分析結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性 機(jī)械阻抗定義為簡(jiǎn)諧激振時(shí)復(fù)數(shù)形式的輸入與輸出之比機(jī)械阻抗定義為簡(jiǎn)諧激振時(shí)復(fù)數(shù)形式的輸入與輸出之比 0i tmxcxkxF e0i tF ei txxe0( )xHF21( )Hkmic0( )i txi tF eZxe動(dòng)力學(xué)方程：動(dòng)力學(xué)方程：輸入：輸入：輸出：輸出i txxe代入，得：代入，得：復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)根據(jù)定義，位移阻抗：根據(jù)定義，位移阻抗：2kmicxF0 1( )H2001( )( )i txi tF eFZkmicxexH21( )Hkmic位移阻抗與復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)互為倒數(shù)，位移阻抗與復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)互為倒數(shù)， 也稱為也稱為導(dǎo)納導(dǎo)納 ( )H

56、輸出也可以定義為速度或加速度，相應(yīng)的機(jī)械阻抗稱為輸出也可以定義為速度或加速度，相應(yīng)的機(jī)械阻抗稱為速度阻速度阻抗抗和和加速度阻抗加速度阻抗 001( )( )i ti txxi tF eF eZZxi xei21( )( )xxZZ 速度阻抗速度阻抗加速度阻抗加速度阻抗 機(jī)械阻抗的倒數(shù)稱為機(jī)械阻抗的倒數(shù)稱為機(jī)械導(dǎo)納機(jī)械導(dǎo)納，相應(yīng)，相應(yīng) 、 、 分分別有別有位移導(dǎo)納位移導(dǎo)納、速度導(dǎo)納速度導(dǎo)納和和加速度導(dǎo)納加速度導(dǎo)納( )xZ( )xZ( )xZ2001( )( )i txi tF eFZkmicxexH位移阻抗位移阻抗001( )( )i ti txxi tF eF eZZxi xei21( )(

57、 )xxZZ 速度阻抗速度阻抗加速度阻抗加速度阻抗 機(jī)械阻抗和機(jī)械導(dǎo)納都僅僅取決于系統(tǒng)本身的動(dòng)力特性（機(jī)械阻抗和機(jī)械導(dǎo)納都僅僅取決于系統(tǒng)本身的動(dòng)力特性（m，k，c），它們都是復(fù)數(shù)），它們都是復(fù)數(shù) 現(xiàn)已有多種專門測(cè)試機(jī)械阻抗的分析儀器，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械現(xiàn)已有多種專門測(cè)試機(jī)械阻抗的分析儀器，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械阻抗可以確定和分析系統(tǒng)的固有頻率、相對(duì)阻尼系數(shù)等參數(shù)阻抗可以確定和分析系統(tǒng)的固有頻率、相對(duì)阻尼系數(shù)等參數(shù)及其它動(dòng)力特征及其它動(dòng)力特征 復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)又可寫為：復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)又可寫為：21( )Hkmic22211( )(1)(2)Hk模及幅角：模及幅角： 12222arg( )(1)(2)Htg同時(shí)反映

58、了系統(tǒng)響應(yīng)的幅頻特性和相頻特性同時(shí)反映了系統(tǒng)響應(yīng)的幅頻特性和相頻特性( )H211(1)(2)ki0dstFxFdk0/dstFFx 222211Re()(1)(2)Hk22212Im()(1)(2)Hk 22111( )(1)(2)Hkmicki記記 實(shí)部和虛部為：實(shí)部和虛部為：實(shí)頻特性曲線和虛頻特性曲線實(shí)頻特性曲線和虛頻特性曲線 發(fā)生共振時(shí)發(fā)生共振時(shí)0)Re(H)Im(H近似取最大值近似取最大值 101010)Re(H0)Im( H粘性阻尼系數(shù)的粘性阻尼系數(shù)的 Nyquict 圖是一個(gè)近似的園，并且圖是一個(gè)近似的園，并且在共振點(diǎn)附近，曲線弧長(zhǎng)在共振點(diǎn)附近，曲線弧長(zhǎng)隨隨 的變化率是最大的的變

59、化率是最大的Nyquict圖在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分圖在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析上有很多用處析上有很多用處 -6-4-20246-12-10-8-6-4-20Re(H)Im(H)0.10.05110.96 21.040.981.020.961.04還可以用頻率比還可以用頻率比 或相對(duì)阻尼系數(shù)或相對(duì)阻尼系數(shù) 作參變量，把作參變量，把 畫畫在復(fù)平面上，這樣得到的曲線稱為在復(fù)平面上，這樣得到的曲線稱為乃奎斯特圖乃奎斯特圖（Nyquict plot） ( )H 質(zhì)量為m的物體掛在彈簧系數(shù)為 K的彈簧一端，另一端B沿鉛直按 作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，考慮粘滯阻尼力作用，求物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律。sindt解：取0時(shí)物體的平衡位置o為坐標(biāo)原點(diǎn)，物體的運(yùn)

60、動(dòng)微分方程為0,()0,sincisstWFFFWcymyk yymycykykdt右端等價(jià)于一個(gè)干擾力 參照標(biāo)準(zhǔn)形式，可得物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律：22212222sin(),(1)(2),(1)(2) stdyAtFAkFkdydkkAd由上式可知，當(dāng)物體較重，且彈簧常數(shù)k很小，而懸掛點(diǎn)A振動(dòng)的頻率 很高，導(dǎo)致很大，物體的振幅A0,物體靜止。 在精密儀器與其支座之間裝以彈簧系數(shù)很低的柔軟彈簧，當(dāng)支座振動(dòng)強(qiáng)烈時(shí)，彈簧的一端將隨同支座一起振動(dòng)。若支座的頻率比儀器彈簧系統(tǒng)的固有頻率高得多，儀器將近乎靜止而不致?lián)p壞。思考題：試解釋一下地震儀工作原理。低固有頻率測(cè)量?jī)x用于測(cè)量振動(dòng)的位移幅值，稱為低固有頻率測(cè)量?jī)x