非線性泛函分析試題與答案

1、.名詞解釋弱收斂，弱*收斂，W0k,PCO，強制，Gateaux可微，F(xiàn)rechet可微，緊映射，正則點，臨界點，正則值，臨界值,C2映射的Brouwer度，全連續(xù)場，全連續(xù)場的Leray-Schauder度二.舉例說明無窮維空間中的有界閉集不是緊集。三.求下列函數(shù)在(0,0)處沿著(hnh2)方向的G-微分f (x) = C()，(K )(xH k(x,y, (y)dy是全連續(xù)算子。六.設X是Banach空間，f :0, ：) X； X連續(xù)，對固定的0, ：)， f(t,x)關(guān)于x是局部Lipschitz的，并且Lipschitz常數(shù)對t在有界區(qū)間0,上一致有界，證明：存在 1 0 ,使得下

2、列初值問題在區(qū)間0,打上有唯一解dxx(0) = X0七.證明Gronwall不等式：設u,v,w是a,b上的實函數(shù)，其中u非負且在a,b上Lebesgue可積，v在a,b上絕對 連續(xù)，w在a, b上連續(xù)，若它們滿足tw(t)乞 v(t)亠 I u(s)w(s)ds, a 豈 t 乞 batt tdvw(t)二v(a)exp( u(s)ds)亠 i exp( u( )d ) dsads八.證明Brouwer度的切除性、Kronecker存在性定理、連通區(qū)性質(zhì)、邊界值性質(zhì)、Poincare-Bohl定理、銳角原理、缺方向性質(zhì)。九.設f : R Rn Rn連續(xù)，關(guān)于x是局部Lipschitz的，關(guān)

3、于t是T周期的，若存在球Br (0)Rn使得nT周期解x ；：耳(0), t 0,T 時，:f(t,x),xU“ fj(t,x)Xj ：0，證明下列初值問題存在iHfdxdTf(t,x)x(0) = X0十設門Rn是有界閉集，k(x,y,u)是門2 R上的連續(xù)函數(shù)，并且滿足下面的不等式2 |k(x, y,u)|_a b|u|, -(x,y,u) R其中a,b . 0,b mes(j) ：1，證明下列積分方程有連續(xù)解(x) = . k(x, y, (y)dy十一.設f : R2 R2定義為f (x,y) =(x3 _3xy2,3x2y _y3)證明 deg(f,B2(0), p) =3，其中 p

4、=(1,0).名詞解釋弱收斂:定義N2 設X是線性賦范空間.X是它的共牠空間“斗ux口取e x,如果對每個于e x J有hm/tx,） = /Cxa） w則稱,弱收斂于弘，記為（弱）Hmz.=尤”或孔-7卜弱*收斂:設C/J UX ,/0 e XJ如果對每個文W X.有 ltm/（x） = /0（x） flhOGF則稱冗弱收斂于幾，記為（弱 liniA =人或仁二入Wok,P(“)：設心 X我們用（6表示經(jīng)典的Banach空間*它是由G上所有p次無可積函數(shù)的全體所組成，其范數(shù)定義為II lb = (是Banach空間，其范數(shù)定義為inf sup |w(x) |* 沁甩mo爲定義31 設we是門

5、上的Lebesgue可積函數(shù)沱（眄，為Q是乘指數(shù).如果對任何護盤評人有VfAl 口（一 1）2JgJo則稱彳是徉的第。次弱導數(shù)汽2 =兀如果對所有的重指數(shù)叭1時 y j * 孑定理3.2 1）是自反的Banach空間爭并且c（n）n wnn）在 附（0）中稠密，其中c（n）表示。中無窮 次可微函數(shù)的全體.強制:定義1-4 稱泛函仁XfR是強制的是指 lirn /（z） = + oo.H Jf | 8Gateaux 可微:定義2.1 稱映射幾u丫在heu處沿著h e x方向是 Gateaux可微的，簡稱沿力方向是G 可微的或弱可微的，如果極 限D(zhuǎn)/（j:0；A） = lim 心 + 咒沁r0t存

6、在此時，稱D/a為/在叭處沿人方向的Gateaux微分，簡 稱為沿力方向的G 微分或弱微分若/在比處沿任何方向都是 Gateaux可微的，則稱f在比處Gateaux可微，簡稱G可微或弱 可微.Frechet 可微:定義2. 3 稱映射/Q - F在 處是Frechet可微的. 簡稱為F 可微的，或可微的，如果存在有界線性算子A E(X, 丫人使得當人e x.x. + hu時，有/(工。+ ft) /(x0) Ah +,其中 w(j;otA) = 0( | A | 兒即1；m II 3(工0上)II _ n上匕一ith =0-這時，稱月為/在6處的Frechet導算子，簡稱為F 導算子或F 導數(shù)

7、，記為*/(x0), V/(x0)或者八孔).緊映射：設X、y為線性賦范空間.定義3.1 設D U X,稱映射F：D f V為緊映射，如果F將 D中的任何有界集S映成y中的相對緊集F(s),即麗是Y的 緊集.進一步，如果映射F還是連續(xù)的，則稱F為緊連續(xù)映射，或全 連續(xù)映射.正則點：臨界點，正則值，臨界值：定義11稱hWC為/的正則點，如果線性算子f Cr)；Xf y滿值;反之，稱工為/的臨界點.稱 y為/的臨界值,如果存 在f的臨界點xe n使得Ax)=屮反之，稱y為f的正則值.C2映射的Brouwer度定義K 2 設0為卍中的有界開集($卅)e RJP住f(曲人定義映射/在C中關(guān)于P點的Br

8、ouwer度degSQ p)如下t當P是/的正則值時，讓deg (f.Q.p) = 丫 sgnJy(x)；當P是/的臨界值時，取九是/的正則值滿足,/(aQ)?并讓degC/,n,p) = degC/.npy).)藝 sgnJz(x)#疋廠全連續(xù)場定義4. 1設工為實線性賦范空間,DUX,如果F：)f X全 連續(xù)則稱映射/ = id - F為D上的全連續(xù)場，或緊連續(xù)場.全連續(xù)場的Leray-Schauder度定義4. 3設X.是X的有限畢子空間,/WX.,F”：ZJfX.連 續(xù)，并且滿足*sup | F(z) Fn(x) j| */(af2)則定義全連續(xù)場/在0上關(guān)于P點的Leray - Sc

9、hauder度hgCf, 。心為deg(/,.O,p) = degt/Q),引理4. 1表明，它與的選擇無關(guān).舉例說明無窮維空間中的有界閉集不是緊集。(5頁)理表明，如果X是無限維線性賦范空間，則X的閉單位球更市 =2 W X丨II工II M 不是相對緊的這一點可以說是無窮維空 間上的分析學所特有的困難.三.求下列函數(shù)在（0,0）處沿著（d,h2）方向的G-微分f(xr X； xj (A。0)0,(Xi,X2)=(0,0)例么1 考慮應上的函數(shù)H =（K，工 工（0.0）.ox = （OtO）,則/在XO = （0,0）處沿著h = （Aj ,尿）方向的G 微分為h-hDD =犠它關(guān)于人是齊次

10、的，但不是線性的.四.證明Poincare不等式：存在常數(shù) C 0使得對任意W =u|u,u Lp（0,T, Rn），有U :： - C U W1，p五.設:：=Rn是有界閉集，k(x,y,u)是門2 R上的連續(xù)函數(shù)，證明積分算子K:C()C()，(K ：)(x)k(x,y(y)dy是全連續(xù)算子。(44頁)證明 設”是C(G)中的有界集，則存在常數(shù)60,使得對 任何g &有| 創(chuàng)| max|?x) | enxn出韓文):=| | k(xyy)dy 冬 M mtM, V 0 5J a因此,K(B)中的元彖在O上一致有界.為了證明K(B)在C(G) 中相對緊，利用Arzela - Ascoli定理

11、，只要證明K 中的諸函數(shù) 具有等度連續(xù)性.對任意o由于機工山)在o x n x一“心上一致連續(xù),故存在60,使得當4，帀W C,列一召|(zhì) V5時，恒有 |i(Xi ,)(工2皿)|V r+ mean * J W S - g于是，當B - x2| vd時,對任何卩 ，有|K侃召一 KpOJI,=I 忑(工1就刀)一J D z:k mes/2 o,使得當x 6 n時，有|%Cr)笆“* n 0 J ,2,對任意0,由從工“川)在OX d X一 6心上的一致連續(xù)性知存在$ 0 ,使得當% ,吟W一且I W1 u2 I 時1恒有 kx9yfu2) I E1 + mesf2,(工7)0X2由于珞在C(G

12、)中收斂于,故存在自然數(shù)N,使當時片恒有U % % II cn)沢于是|K%(jr) K%a)|W *(% 3) v,(y) dyJ 01 + mes/2 mesjQ &從而，II心0,存在廠0,K（Ho,廠）=K 0,使得當工G B（xOtr） tz CO,a）時，有 II 必口）II | .因此在0,0 X B（x0,r）上一致有界，記M = sup | 曲 口）| II農(nóng)即花卩取B 0,使得B M aJK V 1,并且PAf “下面證明積分方程 （5.4）在/ C0,”上有唯一的解.讓D = C（0,P（/）,則D是Banach 空間C（0Q,X）中以常值映射兀為中心，以廠為半徑的用球，

13、其中文W C（0/.X）的范數(shù)定義為 |x| =max | x（/） | 再讓T：C（0QX）fC（0，e，X）定義為（7 X）（Z）= Xo +9x(5) 一tl dsK | x y | 這就驗證了，映D到自身并且在D上壓縮，唯一性以及解對初值的連續(xù)依賴性都可以從不等式（5-3）推得因此，為了結(jié)束定理的證明我們只要證明（53）.設是方程苗=曲山)分別對應于初始值 * 旳的解、則II 比)一 y(t) |M II Jo II +| 9($山(s)久$*(s)|dsJ Qo；AH(z) g u(s)=總一J：皿 * v(t) + T/(d) +因此結(jié)合(5)具有如下重要性質(zhì)： 代切除性)設K是C

14、中的閉集，且衛(wèi)& fg則ckg(人0) = deg(/QK“h2fl(Kronecker存在性定理)當小 /(H)時皿(人= 0因此.若deg(/,n,/)工0,則方程/(x)=廠在內(nèi)存在解.37連通區(qū)性質(zhì))當/在R%f(3Q)的一個連通區(qū)域內(nèi)變動時， deg(/.n)不變特別當p屬于無界連通區(qū)域時.deg(A,/) = 0*4(邊界值性質(zhì))血g(/衛(wèi))只與/在曲上的值有關(guān).更 明確地說，若g w c(n(/?)且衛(wèi)=門亦則deg(/= deg(g.a/)：5(Poincare - Bohl定理) 設幾g C(0用)*且當文G血 時“不在/(刃 與&(工)所連接的線段上，則degtAap) =6(銳角原理)設o e o,并且當乂 w邊時口與八乂)不反 向$特別當xeao時山與/(文)成銳角，即內(nèi)積0.則 degCAaO) = L7(缺方向性質(zhì)若存在固定的用0,使得當才加 且人 0時JQ)工如。則deg(/,n.O) = 0特別，若/映入圧 的某個低維子空間，則對任何P 都有deg(/,n,/ -0.九設f:R Rn Rn連續(xù)，關(guān)于x是局部Lipschitz的，關(guān)于t是T周期的，若存在球Br(0) Rn使得nx：=R(0), t 0,T時，叮f(t,x),x i匸為fi(t,x)Xj 0時，A(