人教版高中數(shù)學選修（4-5）-1.1《三個正數(shù)的算術(shù)－幾何平均不等式》參考課件2

1、三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式 類比基本不等式的形式，猜想對于類比基本不等式的形式，猜想對于3 3個正數(shù)個正數(shù)a a，b b，c c，可能有，可能有 ，那么，那么 ，當，當且僅當且僅當a ab bc c時，等號成立時，等號成立 Rcba,33abccba .,3,:333等號成立等號成立時時當且僅當當且僅當則則若若證明證明cbaabccbaRcba 和的立方公式：和的立方公式：3223333)(yxyyxxyx 立方和公式：立方和公式：)(2233yxyxyxyx 定理定理 如果如果 ，那么，那么 當且當且僅當僅當a=b=ca=b=c時，等號成立時，等號成立 Rcba

2、,33abccba （）若三個正數(shù)的積是一個常數(shù)，那么當且僅當這（）若三個正數(shù)的積是一個常數(shù)，那么當且僅當這三個正數(shù)相等時，它們的和有最小值三個正數(shù)相等時，它們的和有最小值（）若三個正數(shù)的和是一個常數(shù)，那么當且僅當這（）若三個正數(shù)的和是一個常數(shù)，那么當且僅當這三個正數(shù)相等時，它們的積有最大值三個正數(shù)相等時，它們的積有最大值 n n個正數(shù)的算術(shù)個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式：幾何平均不等式：.,321321321321等等號號成成立立時時當當且且僅僅當當則則若若nnnnnaaaaaaaanaaaaRaaaa 例例1 1 已知已知x,y,zx,y,zR R+ +，求證（，求證（x xy yz z）3

3、327xyz27xyz證明：因為證明：因為 ，所以，所以303xyzxyz327xyz（）xyz3xyz（） 27xyz即即例例2 2 求函數(shù)求函數(shù) 的最小值下面解的最小值下面解法是否正確？為什么？法是否正確？為什么？)0(322 xxxy解法：解法：由由 知知 ，則，則 當且僅當當且僅當0 x03, 022 xxxxxxxy623223222 33min321822362,2332 yxxx時時即即解法解法2 2：由由 知知 ，則，則 0 x02, 01, 022 xxx3322243212321232 xxxxxxxxy3min43 y例例2 2 求函數(shù)求函數(shù) 的最小值下面解的最小值下面解

4、法是否正確？為什么？法是否正確？為什么？)0(322 xxxy例例 2 2 求函數(shù)求函數(shù) 的最小值的最小值)0(322 xxxy解法：解法：由由 知知 則則 0 x, 023, 022 xx332222932323232323232 xxxxxxxxy33min32362329343232 yxxx時時即即當且僅當當且僅當?shù)淖钚≈凳堑淖钚≈凳?、函?shù)、函數(shù))0(12312 xxxyA A、6 6B B、C C、9 9D D、121266 （）（）變式：變式：C_)1(1642222的最小值是的最小值是、函數(shù)、函數(shù) xxy8例例3 3如下圖，把一塊邊長是如下圖，把一塊邊長是a a的正方形鐵片的各角

5、切的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)成去大小相同的小正方形，再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)成一個無蓋方底的盒子一個無蓋方底的盒子, ,問切去的正方形邊長是多少時，問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？才能使盒子的容積最大？ax解：設(shè)切去的正方形邊長為解：設(shè)切去的正方形邊長為x x，無蓋方底盒子的容積，無蓋方底盒子的容積為為V V，則，則xxaV2)2( xxaxa4)2)(2(41 27234)2()2(4133axxaxa 當且僅當當且僅當 即當即當 時，不等時，不等式取等號，此時取最大值式取等號，此時取最大值 即當切去的小正即當切去的小正方形邊長是原來正方

6、形邊長的方形邊長是原來正方形邊長的 時，盒子的容積時，盒子的容積最大最大xxaxa422 6ax 2723a61練習：練習：的最大值是的最大值是、函數(shù)、函數(shù))20)(2(124 xxxyA A、0 0B B、1 1C C、D D、（）（）27162732D_)(1,2 bbaabaRba則則且且、若、若3的最小值是的最小值是則則、若、若yxxyRyx24,32 A A、4 4B B、C C、6 6D D、非上述答案、非上述答案343（ ）B_111, 1,4的值不小于的值不小于則則且且、已知、已知cbacbaRcba 929)111)(,. 5 accbbacbaRcba求證求證 , 8 81

7、, 1 1 ,81B. 810,A.) (),( 1)11)(11)(11(. 6DCMRcbacbacbaM的取值范圍是的取值范圍是則則且且設(shè)設(shè)D.)2, 0(,cossin. 72的的最最大大值值求求函函數(shù)數(shù) xxxy小結(jié)小結(jié) 這節(jié)課我們討論了利用平均值定理求某些函數(shù)的最這節(jié)課我們討論了利用平均值定理求某些函數(shù)的最值問題?，F(xiàn)在，我們又多了一種求正變量在定積或定和值問題?，F(xiàn)在，我們又多了一種求正變量在定積或定和條件下的函數(shù)最值的方法。這是平均值定理的一個重要條件下的函數(shù)最值的方法。這是平均值定理的一個重要應用也是本章的重點內(nèi)容，應用定理時需注意應用也是本章的重點內(nèi)容，應用定理時需注意“一正二

8、一正二定三相等定三相等”這三個條件缺一不可，不可直接利用定理時，這三個條件缺一不可，不可直接利用定理時，要善于轉(zhuǎn)化，這里關(guān)鍵是掌握好轉(zhuǎn)化的條件，通過運用要善于轉(zhuǎn)化，這里關(guān)鍵是掌握好轉(zhuǎn)化的條件，通過運用有關(guān)變形的具體方法，以達到化歸的目的。有關(guān)變形的具體方法，以達到化歸的目的。思考題：思考題：已知：長方體的全面積為定值，試問這個長方體的已知：長方體的全面積為定值，試問這個長方體的長、寬、高各是多少時，它的體積最大，求出這個最長、寬、高各是多少時，它的體積最大，求出這個最大值大值解：設(shè)長方體的體積為解：設(shè)長方體的體積為V V，長、寬、高分別是，長、寬、高分別是a a，b b，c c，則則V=abcV=abc，S=2ab+2bc+2acS=2ab+2bc+2ac22)(abcV )()(acbcab 21663333S