悖論及其解決方案

1、.悖論及其解決方案1、一連串悖論的出現(xiàn)羅素的悖論以其簡單明確震動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)界，造成第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。但是，羅素悖論并不是頭一個(gè)悖論。老的不說，在羅素之前不久，康托爾和布拉里·福蒂已經(jīng)發(fā)現(xiàn)集合論中的矛盾。羅素悖論發(fā)表之后，更出現(xiàn)了一連串的邏輯悖論。這些悖論使入聯(lián)想到古代的說謊者悖論。即“我正在說謊，“這句話是謊話等。這些悖論合在一起，造成極大問題，促使大家都去關(guān)心如何解決這些悖論。頭一個(gè)發(fā)表的悖論是布拉里·福蒂悖論，這個(gè)悖論是說，序數(shù)按照它們的自然順序形成一個(gè)良序集。這個(gè)良序集合根據(jù)定義也有一個(gè)序數(shù)，這個(gè)序數(shù)由定義應(yīng)該屬于這個(gè)良序集。可是由序數(shù)的定義，序數(shù)序列中任何一段的序數(shù)要

2、大于這段之內(nèi)的任何序數(shù)，因此應(yīng)該比任何序數(shù)都大，從而又不屬于。這是布拉里·福蒂1897年3月28日在巴洛摩數(shù)學(xué)會(huì)上宣讀的一篇文章里提出的。這是頭一個(gè)發(fā)表的近代悖論，它引起了數(shù)學(xué)界的興趣，并導(dǎo)致了以后許多年的熱烈討論。有幾十篇文章討論悖論問題，極大地推動(dòng)了對集合論根底的重新審查。布拉里·福蒂本人認(rèn)為這個(gè)矛盾證明了這個(gè)序數(shù)的自然順序只是一個(gè)偏序，這與康托爾在幾個(gè)月以前證明的結(jié)果序數(shù)集合是全序相矛盾，后來布拉里·福蒂在這方面并沒有做工作。羅素在他的?數(shù)學(xué)的原理?中認(rèn)為，序數(shù)集雖然是全序，但并非良序，不過這種說法靠不住，因?yàn)槿魏谓o定序數(shù)的初始一段都是良序的。法國邏輯學(xué)家茹

3、爾丹找到條出路，他區(qū)分了相容集和不相容集。這種區(qū)分實(shí)際上康托爾已經(jīng)私下用了許多年了。不久之后，羅素在1905年一篇文章中對于序數(shù)集的存在性提出了疑問，策梅羅也有同樣的想法，后來的許多人在這個(gè)領(lǐng)域都持有同樣的想法。布拉里·福蒂文章中對良序集有一個(gè)錯(cuò)誤的概念，這個(gè)概念是康托爾1883年引進(jìn)來的，但直沒有受到什么重視。1887年8月，在布拉里·福蒂的文章發(fā)表以后，阿達(dá)馬在第一次國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上仍然給出了一個(gè)錯(cuò)誤的良序集的定義。因?yàn)椴祭锔５偎紤]的關(guān)于良序集的概念太弱了，他不得不引進(jìn)自己的完全序。這兩個(gè)概念并不一致，每一個(gè)良序集是完全序集，但是反過來不對。布拉里·福蒂很

4、快就認(rèn)識(shí)到他的錯(cuò)誤，他在1897年10月的一篇文章中指出這兩個(gè)概念的不同，但是他沒有重新檢查自己的證明。一直到1906年初他給庫圖拉的封信中，他似乎還認(rèn)為：一旦良序集和完全序集的區(qū)別被人們認(rèn)識(shí)到，在他的文章中提醒的矛盾就會(huì)消除?？低袪?899年7月28日給戴德金的信中，談到布拉里·福蒂所提到的矛盾，這個(gè)矛盾并沒有導(dǎo)致康托爾放棄集合的良序性，而放棄了它的集合性。他把集合分為兩類：相容集合和不相容集合，而只把前者叫做集合。這種區(qū)分法預(yù)示了馮·諾依曼在1925年引進(jìn)的集合和類的區(qū)別。但是康托爾對于這種區(qū)分的判斷標(biāo)準(zhǔn)仍然是不準(zhǔn)確的。假如我們把一個(gè)集體考慮為一個(gè)對象而沒有矛盾，它是一

5、個(gè)集合。這個(gè)想法后來改進(jìn)為：當(dāng)一個(gè)集體是另一個(gè)集體的元素，它是一個(gè)集合。這種相容集體和不相容集體的區(qū)別早已被施羅德引進(jìn)來。他認(rèn)為假如集體的元素彼此是相容的，它是相容的；而假如集體的元素彼此是不相容的，它是不相容的。有趣的是施羅德引進(jìn)的這種區(qū)分和悖論沒有關(guān)系，因?yàn)檫@種現(xiàn)代形式的悖論當(dāng)時(shí)還不知道?？低袪栮P(guān)于集體的表達(dá)兩個(gè)等價(jià)的集體或者都是集合，或者都是不相容的，可以看成是取代公理的最早的表述。這個(gè)公理是弗蘭克爾和斯科蘭姆在1922年提出的。布拉里·福蒂的悖論提醒了康托爾集合論的矛盾。其實(shí)，康托爾本人在這之前已經(jīng)意識(shí)到集合論的內(nèi)在矛盾。他在1899年7月28日給戴德金的信中指出，不能議論由

6、一切集合構(gòu)成的集合，否那么就會(huì)陷入矛盾。這實(shí)際上就是羅素悖論的內(nèi)容?？低袪栕畲蠡鶖?shù)悖論和布拉里·福蒂悖論到羅素悖論都是集合論悖論，它們直接同康托爾樸素集合論的不嚴(yán)格性有關(guān)。缺點(diǎn)出在集合的定義上，也就是任何性質(zhì)就對應(yīng)一個(gè)具有這種性質(zhì)的集合，這就是所謂內(nèi)函公理組。集合論的這種矛盾必須通過削弱這個(gè)錯(cuò)誤的公理組才能解決。羅素的悖論發(fā)表之后，接著又發(fā)現(xiàn)一系列悖論后來歸入所謂語義悖論：1、理查德悖論。法國第戎中學(xué)老師理查德在1905年發(fā)表了一個(gè)悖論，大意如下：法語中某些片語表示實(shí)數(shù)，比方“一個(gè)圓的圓周與直徑之比就表示實(shí)數(shù)。法語字母也象英語字母一樣有一定的順序，所以我們可以把所有片語按照字母順序排

7、列，然后按照片語中字母的多少排列，少的在前，多的在后。這樣我們把能用片語表達(dá)的實(shí)數(shù)排成一個(gè)序列，al，a2，a：，。于是就得到了所有能用有限多字字母定義的數(shù)了。它們構(gòu)成了一個(gè)可數(shù)集合E。如今我們提出一個(gè)規(guī)那么把這個(gè)序列改變一下造成一個(gè)數(shù)來：“設(shè)E中第n個(gè)數(shù)的第n位為p，我們造一個(gè)實(shí)數(shù)如下：其整數(shù)部分為0，假如p不是8或9；其第n位小數(shù)為p1，要是p是8或9的話，那么第n位變成1。這個(gè)實(shí)數(shù)顯然不屬于E，因?yàn)樗虴中每個(gè)數(shù)都不一樣。但是它們卻可以由上面有限多個(gè)字組成的話來表示，因此應(yīng)該屬于E，這就出現(xiàn)矛盾。理查德提出的悖論是因?yàn)榭吹椒▏?純粹科學(xué)與應(yīng)用科學(xué)通論?1905年3月30日一期的編者按語而

8、寫的。編者談到，1904年8月在德國海德爾堡召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，德國數(shù)學(xué)家寇尼格證明連續(xù)統(tǒng)是不可以良序化的。可是一個(gè)月后，德國數(shù)學(xué)家策梅羅卻證明了任何集合都能良序化，理查德從這段話中看到了集合論中存在“某些矛盾，這些矛盾和良序性和序數(shù)的概念有關(guān)系，于是他給該刊物編輯部寫了一封信，登在1905年6月號(hào)上，編者還加了按語。2、培里悖論。培里是英國的圖書館管理員。有一天他告訴羅素下面的悖論：英語中只有有限多個(gè)音節(jié)，只有有限多英語表達(dá)式包含少于40個(gè)音節(jié)，所以，用少于40個(gè)音節(jié)的表達(dá)式表示的正數(shù)數(shù)目只有有限多個(gè)。假設(shè)R為不能由少于40個(gè)普的英語表達(dá)式來表示的最小正整數(shù)Theleastpositiv

9、eintegerwhichisnotdenotedbyanexpressionintheEnglishlanguagecontainingfewerthanfortysyllables。但是，這段英語只包含三十幾個(gè)音節(jié)，肯定比40個(gè)少，而且表示R，這自然產(chǎn)生了矛盾。3格瑞林和納爾遜悖論。納爾遜是新康德主義的小流派之一弗瑞斯派的代表。1908年他和他的學(xué)生格瑞林把下面的悖論發(fā)表在弗瑞斯派的一個(gè)文集上，通常稱為格瑞林悖論。假如一個(gè)形容詞所表示的性質(zhì)適用于這個(gè)形容詞本身，比方“黑的兩字確實(shí)是黑的，那么這個(gè)形容詞稱為自適用的。反之，一個(gè)形容詞假如不具有自適用的性質(zhì)，就叫做非自適用的。在英語中：“Pol

10、ysyllabic多音節(jié)的，“English英語的這些詞都是自適用的形容詞，而“monosyllabic單音節(jié)的、“French法語的這些詞就是非自適用的。如今我們來考慮“非自適用的這個(gè)形容詞，它是自適用的還是非自適用的呢？假如“非自運(yùn)用的是非自適用的，那么它就是自適用的；假如“非自適用的是自適用的，那么按照這詞的意思，那么它是非自適用的，這就導(dǎo)出矛盾。2、悖論動(dòng)搖了整個(gè)數(shù)學(xué)的根底1900年左右，數(shù)學(xué)已經(jīng)開展成為一個(gè)龐大的領(lǐng)域了。當(dāng)時(shí)純數(shù)學(xué)大致分為算術(shù)代數(shù)、幾何和數(shù)學(xué)分析。隨著第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決，數(shù)學(xué)分析建立在極限理論根底上。而極限理論中，有些根本性質(zhì)要由“單調(diào)有界的數(shù)列必有極限這個(gè)定理來證

11、明。這個(gè)定理從直觀上看盡管很明顯，但是追求嚴(yán)密性的數(shù)學(xué)家很早就要求不靠直觀而靠邏輯來證明，要求一切定理都從比較簡單的公理推導(dǎo)出來。要推導(dǎo)極限的性質(zhì)，必須對數(shù)列有明確的概念。這里的數(shù)不只是有理數(shù)，還包括無理數(shù)，這兩種數(shù)構(gòu)成實(shí)數(shù)的集合。所以，當(dāng)務(wù)之急就是建立起嚴(yán)格的“實(shí)數(shù)理論。戴德金在1872年發(fā)表了?這續(xù)性與無理數(shù)?這本專著，同年康托爾也發(fā)表實(shí)數(shù)理論的文章?？低袪柾ㄟ^一定的有理數(shù)序列根本序列來定義實(shí)數(shù)。而戴德金那么利用有理數(shù)集合的分割來定義實(shí)數(shù)。他們的理論雖然邏輯上可靠，但是都不太自然，依賴于有理數(shù)的集合概念。這樣一來，實(shí)數(shù)理論的無矛盾性就歸結(jié)為有理數(shù)論，進(jìn)而歸結(jié)成自然數(shù)論的無矛盾性了。自古以來

12、，大家都認(rèn)為自然數(shù)的算術(shù)是天經(jīng)地義、不容疑心的。不過有些數(shù)學(xué)家如弗雷格和戴德金又進(jìn)一步把自然數(shù)歸結(jié)為邏輯與集合論。這樣一來，集合論與邏輯成為整個(gè)數(shù)學(xué)的根底。羅素悖論一出現(xiàn)，集合論靠不住了，自然數(shù)的算術(shù)也成問題，這樣一來，整個(gè)數(shù)學(xué)大廈都動(dòng)搖了。無怪乎弗雷格在收到羅素的信之后，在他剛要出版的?算術(shù)的根本法那么?第二卷末尾寫道：“一位科學(xué)家不會(huì)碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時(shí)，它的根底跨掉了。當(dāng)本書等待付印的時(shí)候，羅素先生的一封信把我置于這種境地。戴德金原來打算把?連續(xù)性及無理數(shù)?第三版付印，這時(shí)也把稿件抽了回來。他也覺得由于羅素悖論，整個(gè)數(shù)學(xué)的根底都靠不住了。悖論涉及的是集合、屬于、所有全

13、部性質(zhì)與集合的對應(yīng)關(guān)系、無窮這些最根本的概念。這些：概念在數(shù)學(xué)中是天天必須用到的。假如不加以澄清，在數(shù)學(xué)證明的過程中，不是這里就是那里就會(huì)出缺點(diǎn)。有了缺點(diǎn)，有的人就主張把集合論全盤推倒，只考慮有限的東西，這樣不僅把數(shù)學(xué)內(nèi)容砍掉了一大半，而且無窮的問題仍會(huì)出現(xiàn)。另一部分人那么主張限制這些概念的使用范圍，當(dāng)然限制太多了，就縮小了數(shù)學(xué)領(lǐng)域，而限制太少了又會(huì)出現(xiàn)矛盾，所以要在這兩者之間找到一種最好的解決方法。從二十世紀(jì)初，人們就一直在找，雖然并沒有得到最終滿意的解決，不過給數(shù)學(xué)提供一個(gè)可靠的根底還是可以辦得到的。、羅素的類型論1901年6月羅素發(fā)現(xiàn)了“悖論。他在1902年6月16日把這個(gè)悖論告訴了弗雷

14、格。他在1903年出版的?數(shù)學(xué)的原理?中，有一段可能是在1901年寫的，他寫道：“作為多的類與類的項(xiàng)具有不同的類型；“整個(gè)機(jī)密的關(guān)鍵是邏輯類型的不同。對這個(gè)問題的解決，他只寫了不到三十行。他還考察了其他的解決方法，覺得它們都不令人滿意，于是得出結(jié)論：“沒有適當(dāng)?shù)恼軐W(xué)涉及到上述的矛盾，這些矛盾直接從常識(shí)中得出，也只能通過拋棄掉某些常識(shí)的假定而解決。但是在這本書出版之前，羅素感覺到這個(gè)題目還應(yīng)該更加注意，于是他寫了大約六頁的一個(gè)附錄，“嘗試性地提出了類型論，他要求在答復(fù)所有問題之前變成為更加精致的形式。自然，當(dāng)時(shí)羅素已經(jīng)知道其他的悖論了，例如布拉里·福蒂悖論和最大基數(shù)悖論。大約1905年

15、12月，羅素拋棄了類型論。為了抑制由悖論引起的困難，他提出了三種理論：1、曲折理論，命題函數(shù)非常簡單時(shí)才決定類，而當(dāng)它們復(fù)雜時(shí)就不能決定類；2、限制大小的理論，不存在象所有實(shí)體的類的東西；3、非類理論，類和關(guān)系完全都禁用。這篇文章甚至投有提到類型論。1906年2月5日，羅素在這篇文章末尾加了一個(gè)注：“通過更進(jìn)一步的研究，我一點(diǎn)也不疑心非類理論可以解決本文第一節(jié)所陳述的所有困難。這就是說，可以解決悖論。非類理論的中心思想是它不講滿足某種結(jié)定語句的所有對象的類，而只講語句本身和其中的代換。于是關(guān)于指定類的討論都可以用語句和代換來表述。但是當(dāng)我們討論一般的類作為可量詞化變元的值時(shí)，這種討論德意義就不

16、明顯了。在這篇文章中，羅素已經(jīng)成認(rèn)對于大部分經(jīng)典數(shù)學(xué)來說，非類理論的可能證明是不適當(dāng)?shù)摹Ｋ?906年2月加的附注中表現(xiàn)出他對于剛剛拋棄的類型論又重新燃起希望。果然，他很快就回來進(jìn)一步細(xì)致地研究類型論，并于1906年7月發(fā)表論文了。羅素把悖論加以分析之后認(rèn)為：一切悖論的共同特征是“自我指謂或自指示、自反性，它們都來源于某種“惡性循環(huán)。這種惡性循環(huán)來源于某種不合法的集體或總體或全體。這類集體的不合法之處在于，定義它的成員時(shí)，要涉及到這個(gè)集體的整體。羅素悖論是最明顯的例子。定義不屬于自身的集合時(shí)，涉及到“自身這個(gè)整體，這是不合法的，這種涉及自身的定義稱為非直謂定義。所以要防止悖論，只需遵循“消除惡

17、性循環(huán)原理，“但凡涉及一個(gè)集體的整體的對象，它本身不能是該集體的成員。根據(jù)這個(gè)原那么，羅素提出他的分支類型論。羅素把論域分成為等級(jí)或者類型，只有當(dāng)滿足某一給定條件的所有對象都屬于同一類型時(shí)，我們才能談到他們的全體，于是一個(gè)類的所有成員必定全都具有同一類型。同樣，任何一個(gè)量詞化的變元也必定有同一類型。這樣羅素就引導(dǎo)議論“所有和“任何的區(qū)別?！八杏善毡榱吭~的束縛變元來表示，它們跑遍一個(gè)類型；而“任何那么由自由變元來表示，它們可以指任何不確定的事物，而不管其類型如何。因此自由變元是沒有任何阻礙的。但是，分支類型論禁例太嚴(yán)，以致無法推出全部數(shù)學(xué)。為此羅素引進(jìn)可化歸公理：“任何公式都可以和一個(gè)直謂公式

18、等價(jià)。也就是都可以化為含n級(jí)變元的n1級(jí)公式。這樣一來可以不必考慮約束變元的級(jí)了。這種類型論稱為簡單類型論。由于集合類和謂詞命題函數(shù)是平行的，因此我們可以用集合更簡單地解釋一下：簡單類型論是由一系列層構(gòu)成的系統(tǒng)，最底一層是第0級(jí)，上面各層、各級(jí)都是同一類的型構(gòu)成，最低一層的元素稱為個(gè)體，由這些個(gè)體所成的類就構(gòu)成第一級(jí)的類，由一級(jí)的類為元素所成的類就構(gòu)成第二級(jí)的類，依此類推。1926年，英國年輕數(shù)學(xué)家拉姆塞把悖論區(qū)別為邏輯悖論或謂詞悖論、集合論悖論及語義悖論或認(rèn)識(shí)論悖論。他證明對于集合論悖論，簡單類型論就足以消除。因?yàn)檫@種悖論只牽涉到謂詞和變元的關(guān)系，它們不同級(jí)便可以消除悖論了。但是語義悖論要涉

19、及到謂詞本身，非得分支類型論不可。雖然類型論可以消除悖論，但是缺點(diǎn)很多，非常煩瑣，特別是可化歸公理的引進(jìn)，具有很大的任意性，因此受到很多批評(píng)。不過它的歷史作用還是很大的，也借助它，羅素才實(shí)現(xiàn)他的邏輯主義綱領(lǐng)，完成前人沒有完成的方案。羅素和懷特海的?數(shù)學(xué)原理?出版之后，許多人對于其系統(tǒng)進(jìn)展簡化與改進(jìn)。特別是哥德爾及塔爾斯基。1940年，丘奇給簡單類型論一個(gè)新的表述。類型論至今仍是數(shù)理邏輯中主要的系統(tǒng)之一。4、策梅羅的公理集合論1908年，策梅羅采用把集合論公理化的方法來消除羅素悖論。他的著名論文?關(guān)于集合論根底的研究?是這樣開場的：“集合論是這樣一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它的任務(wù)就是從數(shù)學(xué)上以最為簡單的方式

20、來研究數(shù)、序和函數(shù)等根本概念，并借此建立整個(gè)算術(shù)和分析的邏輯根底；因此構(gòu)成了數(shù)學(xué)科學(xué)的必不可少的組成部分。但是在當(dāng)前，這門學(xué)科的存在本身似乎受到某種矛盾或者悖論的威脅，而這些矛盾和悖論似乎是從它的根本原理導(dǎo)出來的。而且一直到如今，還沒有找到適當(dāng)?shù)慕鉀Q方法。面對著羅素關(guān)于所有不包含以自己為元素的集合的集合的悖論，事實(shí)上，它今天似乎不能再容許任何邏輯上可以定義的概念集合或類為其外延。康托爾原來把集合定義為我們直覺或者我們考慮確實(shí)定的不同的對象做為一個(gè)總體?？隙ㄒ蠹由夏撤N限制，雖然到如今為止還沒有成功地用另外同樣簡單的定義代替它，而不引起任何疑慮。在這種情況下，我們沒有別的方法，而只能嘗試反其道而

21、行之。也就是從歷史上存在的集合論出發(fā)，來得出一些原理，而這些原理是作為這門數(shù)學(xué)學(xué)科的根底所要求的。這個(gè)問題必須這樣地解決，使得這些原理足夠地狹窄，足以排除掉所有的矛盾。同時(shí)，又要足夠地寬廣，可以保存這個(gè)理論所有有價(jià)值的東西。在這篇文章中，策梅羅實(shí)行的方案，是把集合論變成一個(gè)完全抽象的公理化理論。在這樣一個(gè)公理化理論中，集合這個(gè)概念一直不加定義，而它的性質(zhì)就由公理反映出來。他不說什么是集合，而只講從數(shù)學(xué)上怎樣來處理它們，他引進(jìn)七條公理：決定性公理外延公理、初等集合公理空集公理、單元素公理、對集公理、別離公理、冪集公理、并集公理、選擇公理、無窮公理稍稍改變一下原來形式。實(shí)際上策梅羅的公理系統(tǒng)Z公理

22、1至7把集合限制得使之不要太大，從而回避了比方說所有“對象，所有序數(shù)等等，從而消除羅素悖論產(chǎn)生的條件。策梅羅不把集合只簡單看成一些集團(tuán)或集體，它是滿足七條公理的條件的“對象，這樣排除了某些不適當(dāng)?shù)摹凹稀Ｌ貏e是產(chǎn)生悖論的原因是定義集合的所謂內(nèi)函公理組，如今已換成弱得多的別離公理組。策梅羅首次提出的集合論公理系統(tǒng)，意義是非常重大的。但是，其中有許多缺點(diǎn)相缺點(diǎn)。比方：公理3確實(shí)定性質(zhì)的含義并不清楚，他的公理沒有涉及邏輯根底，選擇公理有許多爭議等等。后來經(jīng)許多人加以嚴(yán)格處理及補(bǔ)充，才成為嚴(yán)格的公理系統(tǒng)，即ZF或ZFS系統(tǒng)。其中Z代表策梅羅，F(xiàn)代表弗蘭克爾，S代表斯科蘭姆。這里面特別是有斯科蘭姆和弗蘭

23、克爾進(jìn)展的改進(jìn)。但是一般的ZF中往往不包括選擇公理，假如加進(jìn)選擇公理那么寫為ZFCAC是AxiomofChoice的縮寫，有時(shí)簡寫為C策梅羅的公理系統(tǒng)發(fā)表之后，遭到各方面的批評(píng)。特別是斯科蘭姆1922年在8月份在赫爾辛基召開的第五屆斯堪的納維亞數(shù)學(xué)家大會(huì)上做了公理化集合論的報(bào)告，他對策梅羅公理系統(tǒng)提出了八點(diǎn)批評(píng)：1、為了討論集合，我們必須從對象“域開場，也就是用某種方法構(gòu)成的域；2、策梅羅關(guān)于確定的命題要有一個(gè)定義使得它準(zhǔn)確化；3、在所有完全的公理化中，集合論的概念不可防止地是相對的；4、策梅羅的公理系統(tǒng)缺乏以提供通常集合論的根底；5、當(dāng)人們打算證明公理的無矛盾時(shí)，謂語句所引起的困難；6、對象

24、域B的不唯一性；7、數(shù)學(xué)歸納法對于抽象給出的公理系統(tǒng)的必要性；8、選擇公理的問題。另一方面，許多人對策梅羅公理集合論提出許多改進(jìn)意見。首先Z太狹窄缺乏以滿足對集合論的合法需要，有許多集合不能由它產(chǎn)生出來，也不可以由此造出序數(shù)的一般理論和超窮歸納法。為了彌補(bǔ)這個(gè)缺陷，弗蘭克爾加進(jìn)一個(gè)公理組即代換公理。另外，弗蘭克爾還把公理以符號(hào)邏輯表示出來，形成了如今通用的ZF系統(tǒng)。一般認(rèn)為經(jīng)過弗蘭克爾改進(jìn)的策梅羅集合論公理系統(tǒng)，再加上選擇公理是足夠數(shù)學(xué)開展所需的，但是還需要加一條限制性的公理，即除了滿足這些公理的集合之外沒有其他的集合。采取這樣一個(gè)公理是出于一個(gè)悖論的啟發(fā)，這個(gè)悖論最初是法國數(shù)學(xué)家米里馬諾夫在

25、1917年提出的。這個(gè)悖論涉及所謂根底集合，為了排除這種集合，馮·諾依曼引進(jìn)公理9根底公理，從而消除了上述悖論。這樣定義的集合論ZF中，雖說與連續(xù)統(tǒng)假設(shè)有關(guān)的“冪集公理不留下疑點(diǎn)，但正因?yàn)椴话泻芏鄦栴}的“選擇公理AC，所以純粹性很高。雖然至今還不能給出ZF集合論的無矛盾性的證明,可是它已經(jīng)沒有必須大書特書的難點(diǎn)了。常用的集合論公理系統(tǒng)除了ZF之外，還有由馮·諾依曼創(chuàng)始并由貝耐斯、哥德爾加以改進(jìn)、簡化的集合論公理系統(tǒng)NBG系統(tǒng)有時(shí)簡稱為BG系統(tǒng)，N代表馮·諾依曼，B代表貝耐斯，G代表哥德爾。大數(shù)學(xué)家馮·諾依曼在他年青的時(shí)候，開拓了公理化集合論的第二個(gè)系

26、統(tǒng)。他第一個(gè)主要的數(shù)學(xué)研究就是重新考慮策梅羅弗蘭克爾對于集合論的公理化。在他的博士論文中闡述了一般集合論的公理構(gòu)造，這篇論文是他1925年用匈牙利文寫的。但是他后來在兩篇重要文章中用德文發(fā)表了其中主要的思想，一篇是?集合論的一種公理化?，另二篇是?集合論的公理化?。第一篇文章中他給出了自己的公理化體系，在第二篇文章中他詳細(xì)地證明了怎樣由他的公理系統(tǒng)導(dǎo)出集合論。馮·諾依曼的處理方法是策梅羅公理化的推廣。原來的理論根本上保持了下來，但是形式有所變化。外表看來新公理和舊公理非常不一樣，但是主要是使用的語言有所變化。通常表示集合論的語言有兩種，一種是集合和它的元素的語言，一種是函數(shù)及其變項(xiàng)的

27、語言，這兩種語言是等價(jià)的。策梅羅用的主要是集合的語言，不過他也隱含地用函數(shù)的語言。而在弗蘭克爾改進(jìn)的理論里，這點(diǎn)就更加明顯。馮·諾依曼選用的語言完全與策梅羅相反，他一開場就用變項(xiàng)和函數(shù)來表達(dá)他的公理。但是策梅羅弗蘭克爾和馮·諾依曼兩個(gè)公理系統(tǒng)主要差異還不是語言的問題，而是如何在樸素集合論中排除悖論的方式。在策梅羅弗蘭克爾系統(tǒng)中，是通過限制集合產(chǎn)生的方式來到達(dá)這個(gè)目的的，他們把集合只限制在對于數(shù)學(xué)必不可少的那些集合上。但是從馮·諾依曼看來，這樣施加限制有點(diǎn)不必要地過分嚴(yán)格，使得數(shù)學(xué)家在論證過程中失掉一些有時(shí)有用的論證方式，而這些論證方式似乎是沒有惡性循環(huán)的。于是馮&

28、#183;諾依曼采取一個(gè)比策梅羅弗蘭克爾更廣的概念，而同時(shí)卻消除任何產(chǎn)生悖論的危險(xiǎn)。按照馮·諾依曼的想法，悖論的產(chǎn)生也許是因?yàn)檫^大的總體所引起，更準(zhǔn)確來講，就相當(dāng)于所有集合的集合，所以馮·諾依曼就覺得只要讓這類總體成為元素，就可以防止悖論。要練說，先練膽。說話膽小是幼兒語言開展的障礙。不少幼兒當(dāng)眾說話時(shí)顯得害怕：有的結(jié)巴重復(fù)，面紅耳赤；有的聲音極低，自講自聽；有的低頭不語，扯衣服，扭身子?？傊f話時(shí)外部表現(xiàn)不自然。我抓住練膽這個(gè)關(guān)鍵，面向全體，偏向差生。一是和幼兒建立和諧的語言交流關(guān)系。每當(dāng)和幼兒講話時(shí)，我總是笑臉相迎，聲音親切，動(dòng)作親昵，消除幼兒畏懼心理，讓他能主動(dòng)的、無拘無束地和我交談。二是注重培養(yǎng)幼兒敢于當(dāng)眾說話的習(xí)慣?；蛟谡n堂教學(xué)中，改變過去老師講學(xué)生聽的傳統(tǒng)的教學(xué)形式，取消了先舉手后發(fā)言的約束，多采取自由討論和談話的形式，給每個(gè)幼兒較多的當(dāng)眾說話的時(shí)機(jī)，培養(yǎng)幼兒愛說話敢說話的興趣，對一些說話有困難的幼兒，我總是認(rèn)真地耐心地聽，熱情地幫助和鼓勵(lì)他把話說完、說好，增強(qiáng)其說話的勇氣和把話說好的信心。三是要提明確的說話要求，在說話訓(xùn)練中不斷進(jìn)步，我要求每個(gè)幼兒在說話時(shí)要儀