重點(diǎn)高中數(shù)學(xué)不等式歸納講解

1、重點(diǎn)高中數(shù)學(xué)不等式歸納講解作者:日期:第三章不等式定義：用不等號(hào)將兩個(gè)解析式連結(jié)起來所成的式子。3-1不等式的最基本性質(zhì)對稱性：如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y;傳遞性：如果x>y,y>z；那么x>z；加法性質(zhì)；如果x>y,而z為任意實(shí)數(shù)，那么x+z>y+z；乘法性質(zhì)：如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz<yz;(符號(hào)法則)3-2不等式的同解原理不等式F(x)<G(x)與不等式G(x)>F(x)同解。如果不等式F(x)<G(x)的定義域被解析式H

2、(x)的定義域所包含，那么不等式F(x)<G(x)與不等式F(x)+H(x)<G(x)+H(x)同解。如果不等式F(x)<G(x)的定義域被解析式H(x)的定義域所包含，并且H(x)>0,那么不等式F(x)<G(x)與不等式H(x)F(x)<H(x)G(x)同解；如果H(x)<0,那么不等式F(x)<G(x)與不等式H(x)F(x)>H(x)G(x)同解。不等式F(x)G(x)>0與不等式F(x)0或F(x)0同解G(x)0G(x)0不等式解集表示方式F(x)>0的解集為x大于大的或x小于小的F(x)<0的解集為x大于小的

3、或x小于大的3-3重要不等式103-3-1均值不等式1、調(diào)和平均數(shù):2、幾何平均數(shù):3、算術(shù)平均數(shù):4、平方平均數(shù):GnAnQna?1(ala2an ) n(a1 a2 an)n2_2_2、(a1a2. an )n這四種平均數(shù)滿足Hn <Gn <An <Qna1、a2、anR+,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an時(shí)取3-3-1-1均值不等式的變形(1)對正實(shí)數(shù)a,b,有a2b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“二”號(hào))（2）對非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,有ab2/ab2.2,ab、2.（6）對非負(fù)數(shù)a,b,有abL廠）ab（7）若a,b,cR,有abO3Vabc（等號(hào)僅當(dāng)abc時(shí)成立）2.22（8）對非

4、負(fù)數(shù)a,b,c,有abcabbcac2-aba2b2（9）對非負(fù)數(shù)a,b,丁77ab22-ab2123-3-1-1最值定理當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和一定時(shí)，其乘積有最大值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的乘積一定時(shí)，具和有最小值。均值不等式求最值主要方法：1.常見構(gòu)造條件的變換：加項(xiàng)變換，系數(shù)變換，平方變換，拆項(xiàng)變換，常量代換，三角代換等.2.當(dāng)使用均值定理時(shí)等號(hào)不能成立時(shí)，應(yīng)考慮函數(shù)的單調(diào)性（例如“對號(hào)”函數(shù)，導(dǎo)數(shù)法）3-3-2權(quán)方和不等式m 1a?m 1a3m 1 anbmbmbm(A a? a?an)m1(b b2 b3 bn)ma,b,n為正整數(shù)。為正數(shù)。3-4絕對值不等式a+b|<|a|+|b|ab|a|b|

5、3-5不等式例題解析3-5-1絕對值不等式1、求|x25x5|1的解2、右邊的常數(shù)變?yōu)榇鷶?shù)式|x+1|>2x;(2)|x2-2x-6|<3x形如|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x)型不等式這類不等式的簡捷解法是等價(jià)命題法，即：|f(x)|<g(x)g(x)<f(x)<g(x)|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<g(x)3、兩個(gè)絕對值不等式解不等式(1)|x1|<|x+a|;(2)Ix-2I+Ix+3|>5.形如|f(x)|<|g(x)|型不等式1)此類不等式的簡捷解法是利用平方法，即：|f(

6、x)|<|g(x)|f2(x)g2(x)f(x)g(x)f(x)g(x)<02)所謂零點(diǎn)分段法，是指：若數(shù)2,X2,，4分別使含有|xxi|,|xx2|,，|xxn|的代數(shù)式中相應(yīng)絕對值為零，稱xi,x2,，尤為相應(yīng)絕對值的零點(diǎn)，零點(diǎn)xi,x2,，4將數(shù)軸分為m+1段，利用絕對值的意義化去絕對值符號(hào)，得到代數(shù)式在各段上的簡化式，從而化為不含絕對值符號(hào)的一般不等式來解，即令每項(xiàng)等于零，得到的值作為討論的分區(qū)點(diǎn)，然后再分區(qū)間討論絕對值不等式，最后應(yīng)求出解集的并集。零點(diǎn)分段法是解含絕對值符號(hào)的不等式的常用解法，這種方法主要體現(xiàn)了化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，它可以把求解條理化、思路直觀化

7、。例題.不等式|x+3|-|2x-1|<|+1的解集為。解：4x(x-)21|x+3|-|2x-1|=4x2(3x-)x4(x3)4、含參數(shù)絕對值不等式解關(guān)于x的不等式Mx24mx4m2m3解題原不等式等價(jià)于|x2m|m3當(dāng)m30即m3時(shí)，x2mm3或x2m(m3)x3m3或xm3當(dāng)m30即m3時(shí)，|x610:認(rèn)6當(dāng)m30即m3時(shí)，xR方法歸納：形如|f(x)|<a,|f(x)|>a(aR)型不等式此類不等式的簡捷解法是等價(jià)命題法，即：當(dāng)a>0時(shí)，|f(x)|<aa<f(x)<a;|f(x)|>af(x)>a或f(x)<一a;當(dāng)a=0

8、時(shí)，|f(x)|<a無解，|f(x)|>af(x)#0當(dāng)a<0時(shí)，|f(x)|<a無解，|f(x)|>af(x)有意義。4、含參數(shù)絕對值不等式有解、解集為空和恒成立的問題若不等式|x4|+|3*|<2的解集為空集，求a的取值范圍。思路此不等式左邊含有兩個(gè)絕對值符號(hào)，可考慮采用零點(diǎn)分段法，即令每一項(xiàng)都等于0,得到的值作為討論的分區(qū)點(diǎn)，然后再分區(qū)間討論絕對值不等式，最后應(yīng)求出解集的并集，這是按常規(guī)去掉絕對值符號(hào)的方法求解，運(yùn)算量較大。若仔細(xì)觀察不等式左邊的結(jié)構(gòu)，利用絕對值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合方法或聯(lián)想到絕對值不等式|a+b|<|a|+|b|,便把問題簡化。

9、解題解法一(1)當(dāng)aq時(shí)，不等式的解集是空集。(2)當(dāng)a>0時(shí)，先求不等式|x4|+|3x|<a有解時(shí)a的取值范圍。令x4=0得x=4,令3x=0得x=3當(dāng)x>4時(shí)，原不等式化為x4+x-3<a,即2x-7<a解不等式組：t4x7-a,/.a>12x7a2當(dāng)3<x<4時(shí)，原不等式化為4x+x3<2得2>1當(dāng)x<3時(shí)，原不等式化為4-x+3-x<agp7-2x<a解不等式x3Zx33,總>172xa22綜合可知，當(dāng)a>1時(shí)，原不等式有解，從而當(dāng)0<aWl時(shí)，原不等式解集為空集。由(1)(2)知所求a取

10、值范圍是a<1解法二由|x4|+|3x|的最小值為1得當(dāng)a>1時(shí)，|x4|十|3x|<a有解從而當(dāng)a<1時(shí)，原不等式解集為空集。解法三：<a>|x4|+|3x|>|x4+3x|=1當(dāng)a>1時(shí)，|x4|+|3x|<a有解從而當(dāng)a<1時(shí)，原不等式解集為空集。方法總結(jié)：1) 一題有多法，解題時(shí)需學(xué)會(huì)尋找最優(yōu)解法。2) fxa有解afxmin；fxa解集為空集f x max。fxmin；這兩者互補(bǔ)。fxa恒成立afxa有解afxmin;fxa解集為空集f x max。afxmin;這兩者互補(bǔ)。fxa恒成立fxa有解afxmax;fxa解集為空

11、集afxmax;這兩者互補(bǔ)。fxa恒成立afxminofxa有解afxmax;fxa解集為空集afxmax;這兩者互補(bǔ)。fxa恒成立afxmino6、絕對值三參數(shù)不等式問題2已知函數(shù)f(x)axbxc(a,b,cR),當(dāng)x1,1時(shí)|f(x)|1,求證:(1)|b|1.若 g(x) bx2ax c(a,b,cR），則當(dāng)x 1,1時(shí),求證:|g(x)|2思路本題中所給條件并不足以確定參數(shù)a,b,c的值，但應(yīng)該注29意到：所要求的結(jié)論不是b或g（x）的確定值，而是與條件相對應(yīng)的“取值范圍”，因此，我們可以用f 1、f、f 1來表示a，b,c。因?yàn)橛梢阎獥l件得|f(1)|1,|f(0)|1,|f(1)

12、|1解題證明：（1）由fl,1,abc,f1abcbf12從而有1 1c|b|2f(1)f(1)2(1f(1)lIf(1)I),Q|f(1)l1,lf(1)11,1,|b|2(lf(1)lIf(1)l)1.由f1abc,f1abcb2f1f1,acgf1f1,cf(0),從而a1f1f1f(0)將以上三式代入g(x)bx2axc(a,b,cR),并整理得211|g(x)|f(0)(x21)-f(1)(x1)-f(1)(1x)|2 2211lf(0)(x21)|-|f(1)(x1)|-lf(1)(1x)|2221r1lf(0)lx21|-|f(1)|x1|-lf(1)|1x|222112112|

13、x1|lx1|1xl1x(x1)(1x)2x22222收獲1)二次函數(shù)的一般式y(tǒng)ax2bxc(c0)中有三個(gè)參數(shù)a,b,c.解2）本題變形技巧性強(qiáng),題的關(guān)鍵在于：通過三個(gè)獨(dú)立條件“確定”這三個(gè)參數(shù)同時(shí)運(yùn)用公式|ab|a|b|,|ab|a|b|及已知條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯?。要求同學(xué)們做題時(shí)要有敏銳的數(shù)學(xué)觀察能力例題2.已知函數(shù)f(x)=&x2,a,bR,且ab,求證|f(a)-f(b)|<|a-b|分析：要證|彳刀桿刀11ab|,考察左邊，是否能產(chǎn)生|a-b|證明：|f(a)-f(b)|= |、1 a2. 1 b2 |22|a2_b2|_,1 a2,1 b2|a b| |a b|a|

14、|b|a| |b|a| |b|1a bl 1a bl(其中1 a1_ Va2 |a|,同 理，1 b2 |b|,1-JaJb21|a| |b|回顧：1、證題時(shí)，應(yīng)注意式子兩邊代數(shù)式的聯(lián)系，找出它們的共同點(diǎn)是證題成功的第一步。止匕外，綜合運(yùn)用不等式的性質(zhì)是證題成功的關(guān)鍵。如在本例中，用到了不等式的傳遞性，倒數(shù)性質(zhì)，以及“三角形不等式”等等。2、本題的背景知識(shí)與解析幾何有關(guān)。函數(shù)yVlx2是雙曲線，y2x21的上支，而|32|(即1ff(b)|),則表示該圖象上任xiX2ab意兩點(diǎn)連線的斜率的絕對值。(學(xué)過有關(guān)知識(shí)后)，很顯然這一斜率的范圍是在(-1,1)之間。2.(1)已知不等式|x-3|+|x

15、+1|<a,的解集為空集，求a的取值范圍；(2)已知不等式|x-3|+|x+1|<a有解，求a的取值范圍。分析：“有解”即“解集非空”，可見(1)(2)兩小題的答案(集合)互為補(bǔ)集(全集為R)2x2(x3)當(dāng)然可以用|x-3|+|x+1|=4(1x3)這種“去絕對值”的方法22x(x1)來解，但我們考慮到“三角形不等式"：|a|-|b|<|ab|<|a|+|b|知|x-3|+|x+1|>|x-3-x-1|=4這樣|x-3|+|x+1|<a等價(jià)于|x3|x1|a(*)|x3|x1|4若(*)解集為，則aq,若(*)有解，貝Ua>4。解(略)回顧

16、：本題是“絕對值不等式性質(zhì)定理”(即“三角形不等式”)的一個(gè)應(yīng)用。發(fā)展題：(1)已知不等式|x-3|+|x+1|>a的解集非空，求a的取值范圍。(2)已知不等式|x-3|+|x+1|<a的解集非空，求a的取值范圍。3.已知f(x)的定義域?yàn)?,1,且f(0)=f，如果對于任意不同的xi,x260,1,都有|f(xi)-f(x2)|<|xi-x2|,求證：|f(xi)-f(x2)|<；分析：題設(shè)中沒有給出f(x)的解析式，這給我們分析f(x)的結(jié)構(gòu)帶來困難，事實(shí)上，可用的條件只有f(0)=f(1)，與|f(xi)-f(x2)|<|xi-x2|兩個(gè)。首先，若|X1-X

17、2|<2,那么必有|f(xi)-f(x2)|<|x1-X2|wg即|f(xi)-f(x2)|<1成立。但若|X1-X2|>1呢？考慮到0W|xi-x2|Wl,則1-|xi-x2|<；,看來要證明的是|f(X1)-f(x2)|<1-|x1-X2|<1成立！證明：不妨設(shè)X1<X2,貝U0<X1<X2<1一11(1)當(dāng)|X1-X2|W時(shí)，則有|f(X1)-f(X2)|<|X1-X2|Wg即1.、|f(X1)-f(X2)|<2成立。(2)當(dāng)|X1-X2|>；時(shí)，即X2-X1>2時(shí)，:0WX2-X1W1必有1-|X

18、1-X2|<1即1-X2+X1<-22也可寫成|1-X2|+|X1|<3(*)另一方面|f(X1)-f(X2)|=|f(1)-f(X2)+f(X1)-f(0)|<|f(1)-f(x2)|+|f(X1)-f(0)|<|1-X2|+|X1-0|則由(*)式知|f(X1)-f(X2)|<：成立綜上所述，當(dāng)xi,X260,1時(shí)都有|f(xi)-f(X2)|；成立。已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc,當(dāng)|1xF時(shí),有1f(x)1,求證：當(dāng)|2x2時(shí),有|7f(xL.分析：研究f(x)的性質(zhì)，最好能夠得出其解析式，從這個(gè)意義上說，應(yīng)該盡量用已知條件來表達(dá)參數(shù)a,b,c.確

19、定三個(gè)參數(shù)，只需三個(gè)獨(dú)立條件，本題可以考慮f(1),f(1),f(0),這樣做的好處有兩個(gè)：一是a,b,c的表達(dá)較為簡潔，二是由于1和0正好是所給條件的區(qū)間端點(diǎn)和中點(diǎn)，這樣做能夠較好地利用條件來達(dá)到控制二次函數(shù)范圍的目的.要考慮|fx|在區(qū)間7,7上函數(shù)值的取值范圍，只需考慮其最大值，也即考慮|fx|在區(qū)間端點(diǎn)和頂點(diǎn)處的函數(shù)值.證明：由題意知：f(1)abc,f(0)c,f(1)abc,.11.af(1)2f(0),b-(f(1)f(1),cf(0),22r2x2xx2xof(x)axbxcf(1)-f(1)f(0)1x.由I1x11時(shí)，有|1f(x),可得f(1)1,f11,f01.f(2)

20、3f1f13f03f1f(1)3f(0)7,f(2)f13f13f0f13f(1)3f(0)7.(1)若2,2,則fx在2,2上單調(diào)，故當(dāng)x2,2時(shí)，2af(x)maxmax(f(2),f(2)此時(shí)問題獲證.(2)若與2,2,則當(dāng)x2,2時(shí)，2af(x)maxmax(f(2),f(2),fb-)2a又ff 0b| f(1) f( 1)2a,c 1 11 24此時(shí)問題獲證.綜上可知：當(dāng)I2x2|時(shí).有|7f(x)U.評析：因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)ax2bxca0在區(qū)間(，上和區(qū)間2a,)上分別單調(diào)，所以函數(shù)fx在閉區(qū)間上的最大值、最小值2a必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得；函數(shù)|f(x)在閉區(qū)間上的最大值必

21、在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得.7、絕對值不等式與其它知識(shí)的橫向聯(lián)系已知c0.設(shè)P:函數(shù)ycx在R上單調(diào)遞減.Q:不等式x|x2c|1的解集為R.如果P和Q有且僅有一個(gè)正確，求c的取值范圍.思路此題雖是一道在老教材之下的高考試題，但揭示了“解不等式”一類高考試題的命題方向.在新教材中，絕對值不等式的解法和二次不等式的解法與集合運(yùn)算、命題判斷都有一定聯(lián)系，屬于對于學(xué)生提出的基本要求內(nèi)容的范疇，本題將這幾部分知識(shí)內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合在一起，在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法掌握的同時(shí)，考查了學(xué)生命題轉(zhuǎn)換，分類討論等能力，在不同的方法下有不同的運(yùn)算量，較好地體現(xiàn)出了“多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算”的命題原則.解題:函數(shù)ycx

22、在R上單調(diào)遞減0c1,不等式x|x2c|1的解集為R函數(shù)yx|x2c|在R上恒大于1,2x2c,x2c,.x|x2c|2c,x2c,函數(shù)yx|x2c|在R上的最小值為2c,不等式x|x2c|1的解集為R2c1,即c2,1右P正確，且Q不正確，則0c-；2若Q正確，且P不正確，則c1;所以c的取值范圍為（0,j1,）.收獲“解不等式”一類的命題可以有形式上的更新和內(nèi)容上的變化結(jié)合簡易邏輯的概念和集合的語言來命題，借助集合的運(yùn)算性質(zhì)和四個(gè)命題的關(guān)系來作答，是這個(gè)命題的基本特征，在求解時(shí)則主要以化歸思想為解題切入點(diǎn).復(fù)習(xí)中對于此類問題要引起足夠的重視3-5-2均值不等式2ab.一一1. yxv1x7

23、已知a,b,x,yR(a,b為常數(shù))，一一1,求xy的取xy小值2. 已知x0,y0,且xy1,求J2x112y1的最大值.2 3y sin xsin xx3x13. 求取小值1f(x)xx14. 1設(shè)x0,y0,且xy(xy)1,則.2一Axy2、22B.xy2.22C.xy,21D.xy、212已知x>0,y>0,且x2-y-1,求證：xJy2C4,C216一3若ab0,求a2一史一的最小值b(ab)3-5-3分式不等式解分式不等式的基本思路：等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)/八fX,(1) 0fXgX0gX(2)解題方法穿針引線法，又稱“數(shù)軸穿根法”或“數(shù)軸標(biāo)根法”第一步：通過不等式的諸多性質(zhì)對不等式進(jìn)行移項(xiàng)，使得右側(cè)為0。(注意：一定要保證X前的系數(shù)為正數(shù))例如：將xa3-2xa2-x+2>0化為(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：將不等號(hào)換成等號(hào)