物理競賽電磁學

1、電磁學1體的動力學等等。電磁學或稱電動力學或經典電動力學。之所以稱為經典，是因為它不 包括現(xiàn)代的量子電動力學的內容。電動力學這樣一個術語使用并不是 非常嚴格，有時它也用來指電磁學中去除了靜電學、靜磁學后剩下的 部分，是指電磁學與力學結合的部分。這個部分處理電磁場對帶電粒 子的力學影響。電磁場理論電磁學的基本理論由 19 世紀的許多物理學家發(fā)展起來，麥克斯韋方 程組通過一組方程統(tǒng)一了所有的這些工作，并且揭示出了光作為電磁 波的本質。電磁學與相對論電磁學的基本方程為麥克斯韋方程組，此方程組在經典力學的相對運 動轉換（伽利略變換）下形式會變，在伽里略變換下，光速在不同慣 性座標下會不同。保持麥克斯韋

2、方程組形式不變的變換為洛倫茲變換，在此變換下，不同慣性座標下光速恒定。交互關系的學科。 主要研究電磁波，電磁場以及有關電荷，帶電物電磁學可以說是包含電學和磁學，但狹義來說是一門探討電性與磁性電磁學是物理學的一個分支。電學與磁學領域有著緊密關系，廣義的2國際制電磁學名稱符號量綱物理量安培AA電流庫侖CA·s電荷量伏特VJ/C = kg·m2·s3·A1電壓廿世紀初邁克耳孫-莫雷實驗支持光速不變，光速不變亦成為愛因斯坦的狹義相對論的基石。取而代之，洛倫茲變換亦成為較伽利略變換更精密的慣性座標轉換方式。電磁學的發(fā)展靜磁現(xiàn)象和靜電現(xiàn)象很早就受到人類注意。中國遠古

3、黃帝時候就已經 發(fā)現(xiàn)了磁石吸鐵、磁石指南以及摩擦生電等現(xiàn)象。系統(tǒng)地對這些現(xiàn)象 進行研究則始于 16 世紀。1600 年英國醫(yī)生威廉·吉爾伯特(William Gilbert，15441603)了<論磁、磁飽和地球作為一個巨大的磁體>(Demagnete，magneticisque corporibus et de magnomagnete tellure)。他總結了前人對磁的研究，周密地討論了地磁的性質，記載了大量實驗，使磁學從經驗轉變?yōu)榭茖W。書中他也記載了電學方面 的研究。國際制電磁學3歐姆V/A = kg·m2·s3·A2電阻、阻抗、電抗

4、歐姆米·mkg·m3·s3·A2電阻率瓦特WV·A = kg·m2·s3功率法拉FC/V = kg1·m2·A2·s4電容法拉每米F/mkg1·m3·A2·s4電容率倒法拉F1kg1·m2·A2·s4倒電容西門子S1 = kg1·m2·s3·A2電導, 導納, 電納西門子每米S/mkg1·m3·s3·A2電導率WbV·s = kg·m2·s2

5、83;A1磁通量特斯拉TWb/m2 = kg·s2·A1磁通量密度、磁感應強度安培每米A/mm1·A磁場強度安培每A/Wbkg1·m2·s2·A2磁阻亨利HWb/A = V·s/A = kg·m2·s2·A2自感亨利每米H/mkg·m·s2·A2磁導率(無量綱)-磁化率4電磁學電 · 磁電荷庫侖定律電場電勢能 高斯定律電勢電勢差 電通量 靜電感 應電偶極矩 泊松方程法拉第籠磁場 磁通量磁矩磁矢勢畢奧-薩伐爾定律安培定律高斯磁定律電流洛倫茲力電動勢法拉第定律

6、位移電流麥克斯韋方程組電磁場電磁輻射 傅科電流 坡印亭定理坡印亭矢量電壓電路電動力學靜磁學靜電學靜電學靜電學是研究“靜止電荷”的特性及規(guī)律的一門學科，是電學的領域之一。靜電是指靜電荷，是稱呼電荷在靜止時的狀態(tài)，而靜止電荷所建立的電場稱為靜電場，是指不隨時間變化的電場。該靜電場對于場中的電荷有作用力。5電導 電導 率電阻電阻率電容 電感電抗感抗容抗阻抗電納導納共鳴管波導串聯(lián)電路并聯(lián)電路基爾霍夫電流定律RC 電路RLC 電路電壓源電流源戴維南定理諾頓定理 歐姆定律 密勒定理 重疊定理電磁張量電磁應力能源麥克斯韋應力張量張量相對論6靜電現(xiàn)象在公元前六世紀，人類就發(fā)現(xiàn)琥珀摩擦后，能夠吸引輕小物體的“靜

7、電現(xiàn)象”。這是自由電荷在物體之間轉移后，所呈現(xiàn)的電性。此外絲綢或毛料摩擦時，產生的小火花，是電荷中和的效果?！袄纂姟眲t是大自然中，因為云層累積的正負電荷劇烈中和，所產生的電光、雷聲、 熱量。靜電現(xiàn)象包括許多大自然例子，像塑膠袋與手之間的吸引、似乎是自 發(fā)性的谷倉 、在制造過程中電子元件的損毀、影印機的 原理等等。當一個物體的表面接觸到其它表面時，電荷集結于這物體表面 成為靜電。雖然電荷交換是因為兩個表面的接觸和 而產生的，只有當其中一個表面的電阻很高時，電流變的很小，電荷交換的效應才 會被注意到。因為，電荷會被入陷于那表面，在那里度過很長一段時 間，足夠讓這效應被觀察到的一段時間。靜電現(xiàn)象是由

8、點電荷彼此相互作用的靜電力產生的。庫侖定律專門描述靜電力的物理性質。在氫原子內，電子與質子彼此相互作用的靜電 力超大于萬有引力，靜電力的數(shù)量級大約是萬有引力的數(shù)量級的 40 倍。基本概念7疊加原理在靜電學里，疊加原理闡明，任何兩個點電荷的相互作用與其它點電 荷無關。因此，給予個點電荷，我們可以應用庫侖定律，單獨地。從這個定義和庫侖定律，一個源點電荷 產生的電場可以表達為。點電荷 指向檢驗電荷的矢量， 是其矢量。電場電場定義為作用于一個檢驗電荷的靜電力除以：其中，C2N1m2 是真空電容率， 是從源；庫侖定律靜電學最基本的定律是庫侖定律。一個點電荷 作用于另一個點電荷的靜電力，可以用庫侖定律計算

9、出來。點電荷是理想化的帶電粒子。在這里，稱點電荷 為源點電荷，稱點電荷為檢驗電荷。靜電力的大小跟兩個點電荷之間的距離的平方成反比，跟 、的乘積成正比，作用力的方向沿連線，同號電荷相斥，異號電荷相吸：8；其中，是源點電荷在檢驗電荷的位置所產生的電位。高斯定律高斯定律闡明，流出一個封閉表面的電通量與這封閉曲面內含的總電荷量成正比。比例常數(shù)是真空電容率的倒數(shù)。用方程形式表達，；其中，是源點電荷在檢驗電荷的位置所產生的電場。類似地，電位也遵守疊加原理：；我們可以得到這便利。是庫侖定律線性地相依于源點電荷。將作用力除以檢驗電荷，可以得到電場。所以，總電場為。計算每一個源點電荷作用于檢驗電荷的靜電力。這樣

10、，作用于檢驗電荷的總靜電力是9何位置的電位 。根據(jù)唯一定理，這也是唯一的解答。接觸起電給予充分的邊界條件，應用拉斯方程，我們可以計算在真空里任。計算在空間里任何位置的電位 。根據(jù)唯一定理，這也是唯一的解答。拉斯方程假若電荷密度是零，則泊松方程變?yōu)槔狗匠蹋航o予點電荷的分布資料和充分的邊界條件，應用泊松方程，我們可以。泊松方程綜合電位的定義和高斯定律的微分方程，可以給出電位 和電荷密度之間的關系方程，稱為泊松方程：。素。用微分方程形式表達，其中，是無窮小面積元素， 是電荷密度，是無窮小體積元是有以來，人類最早研究的起電現(xiàn)象。其它諸如絲綢與的摩擦、硬橡膠與毛料的摩擦，都會產生靜電。摩擦兩種不導電物

11、體會生成大量的靜電。但是，不只是摩擦才會造成這樣的結果。兩種不導電物體，經過接觸、，兩道程序后，也會產生靜電。由于大多數(shù)的表面都相當粗糙，經過接觸比經過摩擦需要的時間來完成充電。摩擦增加了兩塊表面的附著接觸。一般而言，絕緣體，不導電的物體，是起電（產生靜電）和保留電荷的優(yōu)良材料。例如，橡膠、塑膠、等等，都是很優(yōu)良的起電材料。導電物體也會生成靜電。由于導電物體很容易流失電荷，必須在外面特別包上一層絕緣體，才能保留住電荷。特別注意到電流的存在并起電、靜電力、火花、電暈放電 (corona discharge) 等等靜電現(xiàn)象的發(fā)生。電荷中和10電荷。這性質，最先由米利都學派的創(chuàng)始人泰勒斯于歷史文書1

12、，性質或參數(shù)而變化。舉例而言，將羊毛摩擦于琥珀，會使琥珀獲得負effect) 是一種接觸起電效應。在摩擦起電里，兩種不同的物質，經過接觸、摩擦、，這三道程序后，會從原本中性，變?yōu)閹щ婓w；其中一種物質會帶有正電，另外一種物質會帶有同樣大小的負電。電荷的正負極性和電量，依照材質、表面粗糙、溫度、應變等等，各種假若兩種不同的物質因互相接觸而產生靜電，則稱此為接觸起電(contact electrification) 摩擦起電效應 (triboelectric主條目：接觸起電11一個物體內部的電荷，因為受到物體以外的電荷的影響，而重新分布，稱此現(xiàn)象為電荷感應。將一個帶負電荷的物體 A 移至另一個物體

13、B附近時，物體 B 內部離物體 A 較近的區(qū)域會帶有較多的正電荷。由于正電荷與負電荷相吸引，兩個物體會感受到吸引力的作用。例如，用一塊羊毛布摩擦一個塑膠氣球，這會使氣球得到負電荷。將這氣球拿到一座墻壁附近。那么，氣球會被墻壁吸引而黏在墻壁上。這是因為靜電感應，墻壁的自由電子會被氣球的負電荷排斥，剩下正電荷。自然的電荷中和現(xiàn)象最常發(fā)生于低濕度的季節(jié)。這現(xiàn)象偶而會造成一 些困擾。但是，在某些特別狀況，會變得具有相當?shù)钠茐男院痛輾裕ɡ?，電子制造業(yè)）。假若因為工作原由，必須直接接觸到集成電 路電子元件（特別是易損壞的金屬氧半導體場效應晶體管(MOSFET)），或處于易燃氣體附近，應該非常地避免累積

14、靜電和突然放電。電子元件工廠常使用反靜電裝置 (antistatic device) 來保護電子元件。電荷感應因為電荷感應，紙屑被帶電的光碟吸引。主條目：靜電感應電荷12電荷是物質、原子或電子等所帶的電量單元 是庫侖（記號為 C）。我們常將“帶電粒子”稱為電荷，但電荷本身并非“粒子”，只是我們常將它想像成粒子以方便描述。因此帶電量多者我們稱之為具有較多電荷，而電量的多寡決定了力場（庫侖力）的大小。此外，根據(jù)電 場作用力的方向性，電荷可分為正電荷與負電荷，電子則帶有負電。根據(jù)庫侖定律，帶有同種電荷的物體之間會互相排斥，帶有異種電荷的物體之間會互相吸引。排斥或吸引的力與電荷的乘積成正比。點電荷點電

15、荷 是帶電粒子的理想模型。真正的點電荷并不存在，只有當帶電粒子之間的距離遠大于粒子的 ，或是帶電粒子的形狀與大小對于相互作用力的影響足以忽略時，此帶電體就能稱為“點電荷”。閱數(shù)據(jù)模擬網頁氣球與靜電。靜電感應的原理已經地應用于工業(yè)界很多年了，對于眾多工業(yè)有極大的貢獻。發(fā)展的靜電油漆系統(tǒng)可以地將瓷漆 (enamel paint) 和聚氨酯漆，均勻地油漆于消費品表面，包括汽車、腳踏車等等其它。由于塑膠氣球的負電荷不容易移動，與墻壁的正電荷中和。請參庫侖定律13年發(fā)現(xiàn)，因而命名的一條物理學定律。庫侖定律是電學發(fā)展史上的第庫侖定律（Coulomb's law），法國物理學家查爾斯·庫侖

16、于 1785一個實際帶電體能否看作點電荷，不僅與帶電體本身有關，還取決于 問題的性質和精度的要求。點電荷是建立基本規(guī)律時必要的抽象概念，也是把分析復雜問題時不可少的分析。例如，庫侖定律、洛倫茲定律的建立，帶電體的電場以及帶電體之間相互作用的定量研究，試驗電荷的引入等等，都應用了點電荷的觀念。粒子的電荷庫侖扭秤在粒子物理學中，許多粒子都帶有電荷。電荷在粒子物理學中是一個 相加性量子數(shù)，電荷守恒定律也適用于粒子，反應前粒子的電荷之和 等于反應后粒子的電荷之和，這對于強相互作用、弱相互作用、電磁 相互作用都是嚴格成立的。14形式庫侖扭秤 (torsion balance) 示意圖。庫侖使用扭秤來測量

17、兩個點電荷彼此互相作用的靜電力，從而創(chuàng)立了庫侖定律。在它們的連線上，同號電荷相斥，異號電荷相吸。編輯 純量的相互作用力與距離平方成反比，與電量乘積成正比，作用力的方向的一塊重要的里程碑。庫侖定律闡明，在真空中兩個靜止點電荷之間一個定量規(guī)律。因此，電學的研究從定性進入定量階段，是電學史中15正值的表示排斥力；而負值則表示牽引力1。其中， 是兩個點電荷之間的距離，是庫侖常數(shù)1。庫侖常數(shù)與真空電容率的關系方程為，該圖描述了庫侖定律的基本原理：同號電荷相互吸引，異號電荷相互 排斥。庫侖定律的標量形式只描述兩個點電荷彼此相互作用的靜電力的大小。一個電量為 的點電荷作用于另一個電量為 的點電荷，其靜電力的

18、大小，可以用方程表達為16。根據(jù)洛倫茲力定律，主條目：電場假若兩個點電荷同性（電荷的正負號相同），則其電量的乘積是正值，兩個點電荷互相排斥。反之，假若兩個點電荷異性（電荷的正負號相反），則其電量的乘積是負值，兩個點電荷互相吸引。電場。采用國際制，真空電容率的值是F m12。采用厘米-克-秒制，電荷 (esu) ，又稱為靜庫侖(statcoulomb) ，定義為使庫侖常數(shù)為 1 的數(shù)值。庫侖定律的標量公式表明，力量的大小直接地與兩個點電荷的電量成正比，又與兩個點電荷之間距離的平方成反比。根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，距離 的指數(shù)，與 的偏差，低于十億分之一3！矢量形式給予兩個電量分別為 、 ，位置分別為 、 的

19、點電荷。為了要得到點電荷 作用于點電荷 的力量 的大小與方向，必須使用庫侖定律的矢量形式：17其中，和分別是第 個點電荷的電量和位置。；值，則電場的方向是反方向。電場的是 V/m 或 N/C 。離散電荷系統(tǒng)由個點電荷所組成的一個系統(tǒng)，其作用于一個電量為 ，位置為的檢驗電荷的靜電力，可以用疊加原理來計算：假若電荷是正值，電場的方向是從點電荷以徑向朝外指出；假若是負。則。所以，一個電量為 ，位置為 的點電荷，所產生的電場在位置為，其中， 是洛倫茲力， 是電場， 是電荷的運動速度， 是磁場。假設，電荷靜止不動：18其中，是位于 的體電荷密度（每體積所帶的電量），是一個無窮小體積元素。；其中，是位于

20、的面電荷密度（每面積所帶的電量），是一個無窮小面積元素。體積電荷分布（例如，一個帶電的圓球）的電量為；其中，是位于 的線電荷密度（每長度所帶的電量），是一個無窮小線元素。表面電荷分布（例如，兩平行金屬板電容器的一片帶電的金屬板）的 電量為；連續(xù)電荷分布對于 續(xù)電荷分布，我們可以將將每一個無窮小的空間元素視為一個電量為 的點電荷，做無限求和。這程序等價于連續(xù)電荷分布的區(qū)域 。線電荷分布（例如，一根帶電的直線）的電量為19位于電荷作用于位于 電荷電荷性質關系場性質矢量作用力電場關系標量電勢能電勢其中， 是檢驗電荷的位置， 是位于 的無窮小電荷元素。靜電近似在上述兩種表述里，只有當點電荷是處于固定狀

21、態(tài)的時候，庫侖定律 才是完全正確的；假若點電荷處于緩慢的運動狀態(tài)，則只能說庫侖定 律是大概正確。這條件稱為靜電近似。當幾個點電荷處于相對運動狀態(tài)的時候，根據(jù)愛因斯坦的相對論，會有磁場產生，這連帶地改變了 作用于點電荷的力量。物理量表格。作用于一個電量為 的檢驗電荷的靜電力，可以表達為20電場電場是存在于電荷周圍能傳遞電荷與電荷之間相互作用的物理場。在電荷周圍總有電場存在；同時電場對場中其他電荷發(fā)生力的作用。觀察者相對于電荷靜止時所觀察到的場稱為靜電場。如果電荷相對于觀察者運動，則除靜電場外，還有磁場出現(xiàn)。除了電荷可以引起電場外， 變化的磁場也可以引起電場，前者為靜電場，后者叫做渦旋電場或感應電

22、場。變化的磁場引起電場。所以運動電荷或電流之間的作用要通過電磁場來傳遞。電場力電場力 是當電荷置于電場中所受到的作用力?；蚴窃陔妶鲋袨橐苿幼杂呻姾伤┘拥淖饔昧?。其大小可由庫侖定律得出。當有多個電荷同時作用時，其大小及方向遵循矢量運算規(guī)則。電場強度電場強度是用來表示電場的強弱和方向的物理量。實驗表明，在電場 中某一點，試探點電荷（正電荷）在該點所受電場力與其所帶電荷的 比值是一個與試探點電荷無關的量。于是以試探點電荷（正電荷）在21E(P) 的公式是：· 位于真空中一點 O 的點電荷在某一點 P 產生的電場強度該點所受電場力的電場方向為方向，以前述比值為大小的矢量定義為該點的電場強度

23、，常用 E 表示。按照定義，電場中某一點的電場強度的方向可用試探點電荷（正電荷）在該點所受電場力的電場方向來 確定；電場強弱可由試探電荷所受的力與試探點電荷帶電量的比值確 定。試探點電荷應該滿足兩個條件；（1）它的線度必須小到可以被看作點電荷，以便確定場中每點的性質；（2）它的電量要足夠小， 使得由于它的置入不引起原有電場的重新分布。電場強度的實用為伏特/米或牛頓/庫侖。常用的 還有伏特/厘米。要注意的是，只要有電荷存在就有靜電場存在，電場的存在與否是客 觀的，與是否引入試探點電荷無關。引入試探點電荷只是為了檢驗電場的存在和討論電場的性質而已。正像人們使用天平可以稱量出物體 的質量，如果不用天

24、平去稱量物體，物體的質量仍然是客觀存在的一樣。由于電場力滿足矢量疊加原理，電場強度也滿足疊加原理。點電荷產生的電場庫侖定律指出：點電荷產生的電場強度與與其所帶的電量成正比，并且與距離的平方成反比，離場電荷愈遠則電場強度愈弱。22球對稱的。電場線在任何電場中，每一點 P 的場強 E(P) 都有一定的方向。據(jù)此，我們可以在電場中畫出一系列曲線，使曲線上每一點的切線方向都和該點的場強方向一致，這些線稱為電場線。電場線上標有箭頭，表示線 上各點切線應取的正方向(即該點的場強方向)。利用電場線，可確定它所通過的每一點的場強的方向，因而也就可以表示出放在該點上的 正電荷所受電場力的方向。但要注意，一般情況

25、下，電場線并非是正 電荷受電場力作用而運動的軌道。因為電荷運動方向(即速度方向) 不一定沿力的方向。為了使電場線不僅能夠表示出場強的方向，同時還能夠表示出場強的 大小，我們在電場中任一點 P ，假想作一個面積元S ，與該點場在與 O 等距的球面上，電場強度的大小相等。點電荷產生的電場是其中Q: 場電荷量(建立電場的電荷)r: 離電荷的距離：OP:方向上的向量0: 真空電容率稱為電場線密度，在電場中任一點處的電場線密度在數(shù)值上等于該點處場強的大小。密度大的區(qū)域，電場線密集，表示該處的場強較強；密度小的區(qū)域，電場線較疏稀，表示該處的場強較弱。靜電場中的電場線按照上述規(guī)定畫出來的電場線，有兩種性質：

26、23渦旋電場實驗表明，磁場變化時線圈產生的感生電動勢與導體的種類、形狀、性質和均無關，是由磁場本身的變化引起的。因此麥克斯韋提出了“變化的磁場會在其周圍的空間激發(fā)一種電場，正式這種電場使得1. 因為靜電場的電場線表示場強的方向，所以靜電場中任何一條電場線，都是起自正電荷(或來自無窮遠處)，止于負電荷(或伸向無窮遠)，它們在沒有電荷的地方中斷，更回到電場線的起始點上的電荷處而形成閉合的回線。2. 因為在靜電場中任何一點(除點電荷所在處以外)，只有一個確定的場強方向，所以任何兩條電場線不可能相交。強的方向相垂直，使得通過這面積元所畫的電場線條數(shù)N 滿足以下的關系：電勢能24都是產生力的兩個物體所共

27、有的。電荷之間的相互作用力（庫侖力）大小與兩個電荷的相對位置有關， 所以引入了電勢能這個概念。在重力場中，重力勢能的數(shù)值上等于這個物體由所在點移動到重力勢能等于 0 的點的過程中重力對物體所做功。類比知，電場中，電荷具有的電勢能數(shù)值上等于這個電荷由所在點移動到電勢能等于 0 的電的過程中電場力所做功。規(guī)律電場力做負功，電勢能增加。反之電勢能減少。計算式上式中，W 即為電勢能， 為電勢，q 指電荷量。能、勢能和重力勢能。字面上“勢”指的是相對性，所有的勢能用力的大小與兩個物體的相對位置有關時，都可引入勢能，如彈性勢電勢能是指電荷在電場中具有的勢能。一般地，兩個物體間的相互作閉合回路中產生了感生電

28、動勢和感生電流”的理論，并將這種電場稱為渦旋電場。25其中； 為材料的電容率。高斯定律在靜電場情況下類比于應用在磁場學的安培定律，而二者都 被集中在麥克斯韋方程組中。此方程是卡爾·高斯在 1835 年提出的，但直到 1867 年才發(fā)布。；其中， 為電荷密度(C/m3)。性材料中，等式變?yōu)?；其方向，為封閉曲面內包含的電荷，為真空電容率。高斯定律的微分形式為:其中， 為電場，為封閉曲面 的微分面積，由曲面向外定義為；高斯定律在電磁學里，高斯定律闡明，流出封閉表面的電通量與封閉曲面內電 荷之間的關系，其形式為：26主條目：高斯曲面應用生的電荷）。· 是真空電容率。· 包

29、括自由電荷和電荷（在介電質內，因電極化強度而產。· 電通量是穿過曲面 的電場線數(shù)量：其方向，是在體積內的總電荷數(shù)量。其中， 為電場，為封閉曲面 的微分面積，由曲面向外定義為;因為數(shù)學上的相似性，高斯定律也可以應用于其它由反平方定律決定的物理量，例如引力或者輻射強度。參看散度定理。形式采用國際制，對于空間內的任意體積，其表面 ，高斯定律的形式可以用方程表達為給予空間的某個區(qū)域內，任意位置的電場。原則上，應用高斯定律，可以很容易地計算出電荷的分布。只要電場于任意區(qū)域的表面，再乘以真空電容率，就可以得到那區(qū)域內的電荷數(shù)量。但是，更常遇到的是逆反問題。給予電荷的分布，求算在某位置的電場。這問

30、題比較難。雖然知道穿過某一個封閉曲面的電通量，這資料仍舊不足以問題。在封閉曲面任意位置的電場可能會是非常的復雜。假若，問題本身顯示出某種對稱性，促使在封閉曲面位置的電場變得一致。那么，我們可以藉著這一致性來計算電場。像圓柱對稱、平面對稱、球對稱等等，這些空間的對稱性，都能幫助高斯定律來問題。若想知道怎樣利用這些對稱性來計算電場，請參閱高斯曲面(Gaussian surface) 。微分形式高斯定律的方程的微分形式為27用散度定理來證明。自由電荷的高斯定律在數(shù)學里，高斯定律的微分形式等價于其形式。這等價關系可以。28義為其方向，是在體積內的自由電荷數(shù)量。其中，為電位移，為封閉曲面 的微分面積，由

31、曲面向外定;自由電荷是自由移動，不被于原子內的電荷；而電荷則是束縛于原子內的電荷。大多數(shù)時候，當遇到涉及介電質（可電極化物質）的問題時，我們才會需要考慮到電荷產生的效應。當介電質被置入于外電場時，介電質內的原子的電子，雖然仍舊于原子，會被外電場影響，因而會做微小位移。所有這些微小位移的貢獻造成了宏觀的凈電荷分布，這了電荷的效應。雖然微觀而言，所有的電荷，不論是自由電荷，還是電荷，基本上都是一樣的。實際上，有時候，使用自由電荷會簡化問題的。但有時候，由于問題比較復雜，缺乏對稱性，必須使用電荷來解析問題。形式對于空間內的任意體積，其表面 ，這個高斯定律表述，可以用形式的方程表達為主條目：電極化自由

32、電荷與電荷對于總電荷的高斯定律等價于對于自由電荷的高斯定律的證明在這段落里，我們會證斯定律對于總電荷的方程，29所以，電位移很可能不等于 0 。最典型的例子是永電體。在數(shù)學里，高斯定律的微分形式等價于其形式。這等價關系可以用散度定理來證明。等價證明。其中，是電極化強度。取旋度于方程的兩邊，；其中，是自由電荷密度，完全不包括電荷。請注意，在某種狀況下，雖然區(qū)域內可能電荷，。但是，這并不表示電位移等于 0 。因為，微分形式只涉及自由電荷，這個高斯定律表述的微分形式可以表達為等價于高斯定律對于自由電荷的方程。請注意，我們只處理微分形式，不處理形式。但是，這已達成足夠條件，因為，依照散度定理，對于總電

33、荷案例和自由電荷案例，微分形式都等價于形式。我們先引入電極化強度，其與式：和的關系式為的定義。電荷的定義式為（參閱電極化）。注意到是總電荷：。現(xiàn)在，思考以下三個方程：、;所以，前兩個方程相加的代數(shù)和等于第三個方程。第一個方程是個定義方程，因定義而成立。那么，第二個方程成立若且惟若第三個方程成立。第二個方程等價于第三個方程。30線性介電質線性介電質有一個簡單良好的性質，其和的關系方程為31取這方程兩邊對于 的散度：。其中， 是點電荷， 是電場位置， 是點電荷位置。根據(jù)這方程，計算位于 的無窮小電荷元素所產生的位于 的電場， 體積曲域內所有的無窮小電荷元素，可以得到電荷分布所產生的電場：；高斯定律

34、與庫侖定律的關系從庫侖定律推引高斯定律庫侖定律闡明，一個固定的點電荷的電場是、。其中， 是物質的電容率。對于線性介電質，又有一對等價的高斯定律表述：；32由于庫侖定律只能應用于固定不動的電荷，對于移動電荷，我們不能從這推引也要求高斯定律成立。事實是，對于移動電荷，高斯定律也成立。所以，從這角度來看，高斯定律比庫侖定律更一般化。從高斯定律推引庫侖定律嚴格地說，我們無法單獨地從高斯定律推引庫侖定律，高斯定律并沒有給出任何關于電場的旋度的資料（參閱亥姆霍茲定理和法拉第定 律）。但是，假若我們能夠添加一個對稱性假設，電荷造成的電場是球對稱的（就像庫侖定律本身一樣，在固定不動電荷的狀況，這假設。利用狄拉

35、克函數(shù)的挑選性質，可以得到高斯定律的微分形式：。其中，是狄拉克函數(shù)。所以，的散度是；注意到。電位勢位置，其數(shù)值只具有相對的意義。通常，選取無窮遠位置為電勢等于零的參考位置。那么，在某一位置的電勢，等于電荷從無窮遠位置，經過任意路徑，等速率地移動到該位置，所做的機械功與電荷量的比33在靜電學里，電位勢（簡稱電位或電勢）定義為電荷在靜電場的某一位置所具有的電勢能。電勢為一個純量，大小取決于電勢為零的。所以，庫侖定律成立：。設定高斯定律的曲面 為一個半徑 圓球面，圓心位置在電荷的位置。那么，由于球對稱性，與無關，我們可以將從內提出：。是正確的；在移動電荷的狀況，這假設是近乎正確的），那么，我們 可以

36、從高斯定律推引出庫侖定律。高斯定律的方程為值。電勢常用的符號為或，在國際制中的度量是伏特34(volt) （為了紀念物理學家亞歷山卓·伏打而命名）。在電動力學里，當含時電磁場存在的時候，電勢可以延伸為廣義電勢。 特別注意，廣義電勢不能被視為電荷的電勢能。概念帶有電荷的物體稱為帶電體。一個外電場施加于帶電體的力量稱為電 場力，使帶電體朝著電場力的方向，呈 度運動。對于帶有正電荷的物體，電場力與電場的方向相同；對于帶有負電荷的物體，電場力 與電場的方向相反。電場力的大小與電荷量和電場成正比。力量與勢能成正比。隨著物體朝著力量的方向呈 度運動，物體的動能變大，勢能變小。例如，一個石頭在山頂

37、的勢能大于在山腳的勢 能。隨著物體滾落，勢能變小，動能變大。對于某種特別力量，科學家可以定義其物理場和其物理場的位勢，使 得物體因為這物理場而給定的勢能，只相依于物體在這物理場的位置。稱這種力量為保守力，這種物理場為保守場。例如，引力、靜電場的電場力，都屬保守力。靜電場的標量勢稱為電勢，或稱為靜電勢。電勢和磁矢量勢共同形成一個矢量。處于各種不同運動狀況的慣性參考系，可以用洛倫茲變換來計算出這兩種位勢。35若能夠假設無窮遠位置的電勢為 0 ，則可以設定無窮遠位置為參考位置 ：。其中， 是電場， 是從參考位置到位置 的一個任意路徑，是這路徑的微小位移。當時，上述路徑不相依于路徑，只相依于路徑的兩個

38、端點位置。標記這兩個端點位置為參考位置 和 ：；的位置。電勢能或電勢的數(shù)值都只定義至一個加法常數(shù)的差別。假若想要設定 其數(shù)值，則必須先設定在某一個位置（參考位置）的電勢能或電勢為0 。那么，在任意位置 的電勢可以用方程定義為其中，是處于一個電場的檢驗電荷 的電勢能， 是檢驗電荷；數(shù)學公式電勢 的概念與電勢能的概念密切相關：36。其中， 是電荷密度（包括電荷），是真空電容率。所以，電勢滿足泊松方程。；根據(jù)高斯定律，電場和電荷密度的關系式為。換句話說，將一個電荷，從無窮遠位置等速率地移動到任意位置所需要做的機械功，除以電荷量，求得的除商，等于在那位置的電勢。等價地，逆過來，通過梯度運算，電勢決定了

39、電場。所以，在位置 的電勢等于機械功除以電荷量的除商：。在電場的作用下，點電荷 所感受到的電場力為。將它從無窮遠位置等速率地移動到位置 所需要做的機械功為。37其中，是微小體積元素。推廣至電動力學；加法比較電場（矢量）的加法簡單很多。在一積區(qū)域內，位置 的電荷密度為的電荷分布， 所產生在檢驗位置 的電勢為電勢的疊加。這事實大大地簡化了需要的計算，因為電勢（標量）的對于一群點電荷，應用疊加原理，總電勢等于每一個點電荷所產生的。方程。電荷分布所產生的電勢采用國際制，一個位于 的點電荷 ，相對于在無窮遠的電勢， 所產生在任意位置 的電勢為間變化的磁場造成的效應；參閱麥克斯韋方程組），則不能使用這些請

40、注意，假若，也就是說，電場不是保守的（由于隨時38在這里，只作用于 。采用庫侖規(guī)范 (Coulomb gauge) ，則磁矢量勢滿足;其中，是個標量函數(shù)，是個矢量函數(shù)。再假設和，在無窮遠處都足夠快速地趨向 0 ，則可以用方程表達為、;其中，是磁感應強度，又稱為磁通量。根據(jù)亥姆霍茲定理1 (Helmholtz theorem) ，假設一個矢量函數(shù)滿足以下兩條件：；假設磁場相依于時間（每當電場相依于時間，則此假設成立。逆過來 亦成立），則不能簡單地以標量勢 描述電場。因為，電場不再具有保守性，相依于路徑。替代地，在定義標量勢時，必須引入磁矢量勢，定義為靜電勢只是這含時定義的一個特別案例，特別指定了

41、不相依于時間。從另外一方面來說，對于含時物理場，與靜電學的結果大不相同，。39。所以，必定可以找到標量勢 ，滿足。因此，下述方程成立：。根據(jù)法拉第定律，矢量場是一個保守場：。注意到，以上這些推導，并沒有涉及時間參數(shù)。加入時間參數(shù) ，結果也成立。所以，永遠可以找到磁矢量勢：。所以，、。電壓· 同時也可以利用電勢這樣定義：o電通量40oo 其中WAB 為電場力所做的功，q 為電荷量。差），用 UAB 表示，則有公式：荷量 q 的比值，叫做 AB 兩點間的電勢差（AB 兩點間的電勢之· 電荷 q 在電場中從 A 點移動到 B 點，電場力所做的功 WAB 與電和“電位差”則普遍應用

42、于一切電現(xiàn)象當中。電壓的國際是伏特（V）。1 伏特等于對每 1 庫侖的電荷做了 1焦耳的功，即 1 V = 1 J/C。電勢差的定義相似。需要指出的是，“電壓”一詞一般只用于電路當中，“電勢差”不同所產生的能量差的物理量。此概念與水位高低所造成的“水壓”電壓，也稱作電勢差或電位差，是衡量電荷在靜電場中由于電勢41個方程之一。靜電感應靜電感應是物體內的電荷因受外界電荷的影響而重新分布。1這個現(xiàn) 象由英國科學家約翰·坎頓和瑞典科學家約翰·卡爾·維爾克分別在1753 年和 1762 年發(fā)現(xiàn)。2靜電發(fā)電機，例如威姆斯赫斯特電機、范德格拉夫起電機和起電盤，都使用這個原理?？?/p>

43、電容率。這個關系稱為電場的高斯定律，也是麥克斯韋方程組的四其中QS 是曲面所包含的電荷（包括自由電荷和電荷），0 是真其中 E 是電場強度，dA 是閉曲面 S 上的微分面積，其法線指向外側。對于封閉的高斯曲面，電通量由以下公式給出：成正比。曲面 S 上的電通量由以下公式給出：在電磁學中，電通量是電場的通量，與穿過一個曲面的電場線的數(shù)目42靜電感應的演示。把靜電發(fā)電機的正極靠近一個銅管，使銅管的左端帶有正電荷，右端帶有負電荷。從銅管上懸掛著的驗電器可以看出， 電荷主要分布在銅管的兩端。解釋正常的物質都帶有等量的正電荷和負電荷，因此總的來說是不帶電的。如果把帶電的物體靠近不帶電的導體，例如一片金屬

44、，則導體上 的電荷將會重新分布。例如，如果把帶正電的物體靠近一塊金屬（參 見右面的圖），則金屬上的負電荷將會被吸引過去，而正電荷則會被 排斥。這樣便導致金屬的靠近外界電荷的部分帶有負電荷，而遠離外界電荷的部分則帶有正電荷。由于這只是電荷的重新分布，因此物體 仍然是不帶電的。靜電感應是可逆的，也就是說，如果外界的電荷被 移走了，那么由于物體上正電荷和負電荷之間的吸引，它們將重新攙和起來。用靜電感應來使物體帶電43用驗電器來演示靜電感應靜電感應也可以用來使物體帶電。例如，如果把物體靠近正電荷，并 同時把物體與大地用導線相連，則大地的一些負電荷會因正電荷的吸 引而流入物體中。如果在這時切斷物體與大地

45、之間的導線，則物體將會帶負電。這可以用驗電器（一種探測電荷的儀器）來演示。首先把帶電物體靠 近驗電器的頂端。這將會使驗電器內的電荷重新分布，使頂端帶有與 物體相反的電荷，而箔片則帶有與物體相同的電荷。由于兩個箔片所 帶的電荷是相同的，它們將會互相排斥而 。這時驗電器仍然不帶電，只是電荷重新分布了。但是，如果用手指接觸驗電器的頂端，則 電荷將因帶電物體的吸引而從大地流入驗電器的頂端。這時，驗電器 所帶的電荷是與帶電物體相反的。如果這時候把手指移開，則流入驗 電器內的電荷將不能逃脫，這樣驗電器便帶有電荷。因此，即使現(xiàn)在 把帶電物體移開，兩個箔片也 重新合攏。電偶極矩44從負電荷指向正電荷。注意到電

46、場線的方向是相反的，也就是說，從正電荷開始，在負電荷結束。這里并沒有，因為電偶極矩與電荷的位置有關，與電場線無關。其中 r 是從負電荷指向正電荷的位移向量。這意味著電偶極矩的向量電偶極矩是電荷系統(tǒng)的極性的一種衡量。在兩個點電荷的簡單情形中，一個帶有電荷 + q，另一個帶有電荷 q，則電偶極矩為：物體與大地相連后留下的電荷總是與外界的電荷相反的。絕緣體的靜電感應絕緣體也有靜電感應的現(xiàn)象，這就是帶電物體能吸引小紙片的。在絕緣體中，電子被原子著，不能在物體中自由移動；但是在原子內可以移動一點點。如果把帶正電的物體靠近絕緣體，則每一個原子中的電子都會被吸引而稍微移動一點，而原子核則會被排斥，而往相反的

47、方向移動一點。這種現(xiàn)象稱為極化。由于這時物體中的負電荷離外面的帶電物體較近，而正電荷則距離較遠，將導致吸引力比排斥力大一點點。這個現(xiàn)象是微觀的，但因為有那么多的原子，加起來效果就很明顯了，足以使較輕的物體（如小紙片）被吸引。其中每一個 是一個向量，從某一個參考點指向電荷 qi。 的值與參考點的選擇無關，只要整個系統(tǒng)的總電荷為零。這個公式在 N = 2 時，與前一個公式是等價的。電偶極矩向量從負電荷指向正電荷的事實，泊松方程45其中 是參考點。當整個系統(tǒng)是電中性時，電偶極矩最容易明白，例如一對相反的電荷， 或位于均勻電場內的導體。對于這類系統(tǒng)，電偶極矩的值與參考點的選擇無關。在討論非電中性的系統(tǒng)

48、，例如質子的電偶極矩時，則與參考點的選擇 有關。在這種情況下，通常把參考點規(guī)定為系統(tǒng)的質量中心，而不是 任意一個點。這個規(guī)定保證了電偶極矩是系統(tǒng)的一個固有的性質。與一個點的位置向量是從原點指向該點的事實有關。對于電荷的連續(xù)分布，對應的公式為：更一般地，對于任意數(shù)目的點電荷的系統(tǒng)，電偶極矩為：46relaxation method，不斷回圈的代數(shù)法，就是一個例子。靜電學以參考 screened Poisson equation?，F(xiàn)在有很多種數(shù)值解。像是泊松方程可以用格林函數(shù)來求解；如何利用格林函數(shù)來解泊松方程可如果沒有 f， 這個方程就會變成拉斯方程在三維直角坐標系，可以寫成通常表示為，因此泊松

49、方程通常寫成實數(shù)或復數(shù)值的方程。 當流形屬于歐幾里得空間，而拉斯算子在這里 代表的是拉斯算子，而 f 和 可以是在流形上的方程為方程。是從法國數(shù)學家、幾何學家及物理學家泊松而得名的。 泊松泊松方程是數(shù)學中一個常見于靜電學、機械工程和理論物理的偏微分此代表電勢(為伏特)，是電荷體密度(為庫侖/立方47此處，Q 代表總電荷此泊松方程 :的解 (r) 則為高斯電荷分布的電場如果有一個三維球對稱的 高斯分布 電荷密度 (r):此方程就變成 拉斯方程:米)，而 是真空電容率 (為 法拉/米)。如果空間中有某區(qū)域沒有帶電粒子，則在靜電學很容易遇到泊松方程。對于給定的 f 找出 是一個很實際的問題，因為我們

50、經常遇到給定電荷密度然后找出電場的問題。在國際制(SI)中:法拉第籠48法拉第籠是一個由金屬或者良導體形成的籠子。由于金屬的靜電等勢性，可以有效的 外電場的干擾。法拉第籠無論被加上多高的電壓內部也不存在電場。而且由于金屬的導電性，即使籠子通過很大的電流，內部的物體通過的電流也微乎其微。在面對電磁波時，可以有效的 電磁波的進入。 由于法拉第籠的電磁屏蔽原理 在汽車中的人是 被雷 的，而且在同軸電纜也可以不受干擾的 訊號，同樣。也是因為法拉第籠的原理。如果電梯內沒有中繼器的話。那么當電梯關上的時候，里面任何電子訊號也收不到。法拉第籠的原理erf(x) 代表的是 誤差函數(shù).注意，如果 r 遠大于 , erf(x) 趨近于 1