08年中考二次函數(shù)壓軸題16道教師

1、1、（本題滿分 10 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y = 2 x 2 + b x + c 經(jīng)3過 A（0，4）、B（ x 1 ，0）、 C（ x 2 ，0）三點，且 x 2 - x 1 =5（1）求b 、c 的值；（4 分）（2）在拋物線上求一點 D，使得四邊形 BDCE 是以 BC 為對角線的菱形；（3 分）x（3）在拋物線上是否存在一點 P，使得四邊形 BPOH 是以O(shè)B 為對角線的菱形？若存在，求出點 P 的坐標(biāo)，并這個菱形是否為正方形？若不存在，請說明理由（3 分）解：（第 25 題圖）解：（1）解法一：拋物線 y = 2 x3 c =4 1 分2 + b x + c 經(jīng)過點

2、 A（0，4），又由題意可知， x 、 x是方程 2 x 2 + b x + c =0 的兩個根，1233=2b ， xx= 3 c =6 ································ x + x·····&#

3、183;····················2 分121222由已知得（ x 2 - x 1 ） =259=4又（ x- x） 2 =（ x+ x ） 2 4 xxb 2 242121129b 2 24=254解得b =±·············

4、3;··················14·······························&#

5、183;····························3 分3當(dāng)b = 14 時，拋物線與 x 軸的交點在 x 軸的正半軸上，不合題意，舍去3 b = 14 ············

6、3;···················3······························

7、83;····························4 分解法二： x 、 x是方程 2x 2 + b x +c=0 的兩個根，123即方程 2 x 2 3 b x +12=0 的兩個根3b ±9b 2 - 96 x =， ······&#

8、183;·················································&#

9、183;········ 2 分41yBCOA9b2 - 96 x 2 x 1 =5，214解得 b =±································3（以下與解法一相同

10、）··················································

11、;3 分（2）四邊形 BDCE 是以 BC 為對角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點 D 必在拋物線的對稱軸上，又 y = 23········································

12、;························x 4= 2 （ x + 7 ） 2 + 25····················5 分2 143x

13、83;····························6 分326725拋物線的頂點（ ，）即為所求的點 D ·················

14、;················ 7 分26（3）四邊形 BPOH 是以 OB 為對角線的菱形，點 B 的坐標(biāo)為（6，0），根據(jù)菱形的性質(zhì)，點 P 必是直線 x =-3 與拋物線 y = 2 x2 - 14x -4 的交點， ·················

15、3;··································8 分33當(dāng) x =3 時， y = 2 ×（3） 2 14 ×（3）4=4，33在拋物線上存在一點 P（3，4），使得四邊形 BPOH 為菱形 ··

16、;·············9 分四邊形 BPOH 不能成為正方形，因為如果四邊形 BPOH 為正方形，點 P 的坐標(biāo)只能是（3，3），但這一點不在拋物線上 ··························

17、···················10 分2、（本小題滿分 10 分）已知點 A（a， y ）、B（2a，y ）、C（3a，y ）都在拋物線 y = 5x 2 + 12x 上.312（1） 求拋物線與 x 軸的交點坐標(biāo)；（2） 當(dāng) a=1 時，求ABC 的面積；（3） 是否存在含有 y1 、y 2 、y 3 ，且與 a 無關(guān)的等式？如果存在，試給出一個，并加以證明；如果不存在，說明理由.（08肇慶 25

18、 題）（本小題滿分 10 分）解：（1）由 5 x2 + 12x =0， ············································

19、;······················· （1 分）12得 x1 = 0 ， x2 = - ······················

20、83;················································（2 分）5拋物線

21、與 x 軸的交點坐標(biāo)為（0，0）、（ - 12 ，0） ································5（2）當(dāng) a=1 時，得 A（1，17）、B（2，44）、C（3，81）， ·······

22、;····················（3 分）（4 分）分別過點 A、B、C 作 x 軸的垂線，垂足分別為 D、E、F，則有SDABC =S 梯形ADFC - S梯形ADEB - S梯形BEFC················

23、3;····························（5 分）2= (17 + 81) ´ 2 - (17 + 44) ´1 - (44 + 81) ´1··········

24、3;····················（6 分）22面積） ····························

25、;····2=5（個······························（7 分）（3）如： y3 = 3( y2 - y1 ) ··········&

26、#183;·················································&

27、#183;··（8 分）事實上， y3 = 5 ´ (3a) + 12 ´ (3a)2=45a2+36a3（ y2 - y1 ）=35×（2a）2+12×2 a-（5a2+12a） =45a2+36a ···········（9 分） y3 = 3( y2 - y1 ) ·············&

28、#183;·················································&

29、#183;········（10 分），在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 ABOC 的邊 BO 在 x 軸的負(fù)半軸上，邊OC 在 y3、軸的正半軸上，且 AB = 1， OB =3 ，矩形 ABOC 繞點O 按順時針方向旋轉(zhuǎn)60后得到矩形 EFOD 點 A 的對應(yīng)點為點 E ，點 B 的對應(yīng)點為點 F ，點C 的對應(yīng)點為點 D ，拋物線 y = ax2 + bx + c 過點 A，E，D y（1）點 E 是否在 y 軸上，并說明理由；EFA（2）求拋物線的函數(shù)表達式；CD（3）在 x 軸的上方是否存在點 P ，點Q ，使以

30、點O，B，P，Q 為頂點的平行四邊形的面積是矩形 ABOC 面積的 2 倍，且點 P 在拋物線上， 若存在，請求出點 P ，點Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由xBO第26 題圖（08 遼寧沈陽 26 題）解：（1）點 E 在 y 軸上······························

31、83;·············1 分理由如下：，在RtABO 中， AB = 1， BO =3 ， AO = 2連接 AO ，sin ÐAOB = 1 ，ÐAOB = 302由題意可知： ÐAOE = 60ÐBOE = ÐAOB + ÐAOE = 30 + 60 = 90點 B 在 x 軸上，點 E 在 y 軸上 ·······

32、3;························（2）過點 D 作 DM x 軸于點 MOD = 1， ÐDOM = 30··················

33、3;············3 分在RtDOM 中， DM = 1 ， OM =2323點 D 在第一象限，點 D 的坐標(biāo)為æ1 ö3， ÷ ·························

34、3;·················································

35、3;·5 分ç22 øè由（1）知 EO = AO = 2 ，點 E 在 y 軸的正半軸上點 E 的坐標(biāo)為(0，2)點 A 的坐標(biāo)為(- 3，1) ··································&#

36、183;············································6 分拋物線 y = ax2 + bx + c 經(jīng)過點 E ，c

37、 = 2由題意，將 A(- 3，1) ， D æ1 ö代入 y = ax2 + bx + 2 中得3， ÷ç22 øèìa =- 8ì3a -3b + 2 = 1ïï9í 3解得í3212a +b + 2 =5 3ïïb =- î 4ïî9所求拋物線表達式為： y = - 8 x2 - 5 3 x + 2 ··········&

38、#183;·····································9 分99（3）存在符合條件的點 P ，點Q ········&#

39、183;·················································&#

40、183;···10 分理由如下： 矩形 ABOC 的面積= AB BO =3以O(shè)，B，P，Q 為頂點的平行四邊形面積為2 3 由題意可知OB 為此平行四邊形一邊，又 OB =3OB 邊上的高為 2 ·······························

41、·依題意設(shè)點 P 的坐標(biāo)為(m，2)··············································&

42、#183;·····11 分點 P 在拋物線 y = - 8 x2 - 5 3 x + 2 上99- 8 m2 - 5 3 m + 2 = 299解得， m = 0 ， m =- 531284 P (0，2) ， P æ - 5，÷ö232 ç18èø以O(shè)，B，P，Q 為頂點的四邊形是平行四邊形， PQ OB ， PQ = OB =3 ，y當(dāng)點 P1 的坐標(biāo)為(0，2) 時，EFAC點Q 的坐標(biāo)分別為Q1 (- 3，2) ， Q2 (3，2) ；DxBO Mæ - 5

43、6;3當(dāng)點 P 的坐標(biāo)為，2 ÷ 時，ç28èøæ - 13 3öæ 3ö3點Q 的坐標(biāo)分別為Q，2 ÷ ， Q4 ç，2 ÷ ······························&

44、#183;·········14 分3 ç88èøèø4、如圖 16，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y = - 3x - 3 與 x 軸交于點 A ，與y 軸交于點C ，拋物線 y = ax2 - 2 3 x + c(a ¹ 0) 經(jīng)過 A，B，C 三點3y（1）求過 A，B，C 三點拋物線的式并求出頂點 F 的坐標(biāo)；（2） 在拋物線上是否存在點 P ，使ABP 為直角三角形，若存在， 直接寫出 P 點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3） 試探究在直線

45、 AC 上是否存在一點 M ，使得MBF 的周長最小，若存在，求出 M 點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（08 遼寧 12 市 26 題）解：（1） 直線 y = - 3x - 3 與 x 軸交于點 A ，與 y 軸交于點C xOBACF圖 16 A(-1，0) ， C(0，- 3) ··························&#

46、183;·····點 A，C 都在拋物線上，··········································&

47、#183;··1 分ì2 30 = a + cìa =3ïïí3í3ï-ïc =- 33 = cîî3 x2 - 23 x - 3 ·····························

48、···拋物線的式為 y =·················3 分33æ3 ö4頂點 F ç1，-÷ ·····················

49、83;·················································

50、83;··········4 分3èø5（2）存在 ································P1(0，- 3) ··

51、······························P2 (2，- 3) ··················&

52、#183;·············（3）存在 ································理由： 解法一：··

53、;··················································

54、;············5 分·····································&#

55、183;························7 分·························

56、;····································9 分·············&#

57、183;················································10 分延長 B

58、C 到點 B¢ ，使 B¢C = BC ，連接 B¢F 交直線 AC 于點 M ，則點 M 就是所求的點································過點 B¢作 B¢H AB 于點 H ··

59、·······································11 分y3 x2 - 23 x -B 點在拋物線 y =3 上， B(3，0)33Hx3OBA在RtBOC 中， tan 

60、8;OBC =，3CM FBÐOBC = 30 ， BC = 2 3 ，在RtBB¢H 中， B¢H = 1 BB¢ = 2 3 ，2BH =3B¢H = 6 ，OH = 3 ， B¢(-3，- 2圖 93) ···························

61、83;············12 分設(shè)直線 B¢F 的式為 y = kx + bìk =36ì-2 3 = -3k + bïïí 4 3- = k + b解得í3 3ïïb =- î3ïî23 x - 3 3 y =············

62、;··················································

63、;····················13 分62ìx = 3ì y = - 3x - 3 M æ 3 ，- 10 3 öïï7í33 3y =x -解得íç 7÷710 3ïï y =- èøî62ïî7在直線 AC 上存在

64、點 M ，使得MBF 的周長最小，此時 M æ 3 ，- 103 ö ··14 分ç 7÷7èø5、如圖 14，已知半徑為 1 的 O1 與 x 軸交于 A，B 兩點，OM 為 O1 的切線，切點為 M ，圓心O 的坐標(biāo)為(2，0) ，二次函數(shù) y = -x2 + bx + c 的圖象經(jīng)過 A，B 兩點16（1）求二次函數(shù)的式；（2）求切線OM 的函數(shù)式；y（3）線段OM 上是否存在一點 P ，使得以 P，O，A 為頂點的三角形與OO1M 相似若存在，請求出所有符合條件的點 P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由MAO1

65、BOx）解：（1） 圓心O1 的坐標(biāo)為(2，0) ， O1（08 青海西寧 28 題圖 14半徑為 1， A(1，0) ， B(3，0) 1 分二次函數(shù) y = -x2 + bx + c 的圖象經(jīng)過點 A，B ，可得方程組ì-1+ b + c = 0í-9 + 3b + c = 0·························

66、;············································2 分îìb = 4解得：二次函數(shù)式為 y = -

67、x2 + 4x - 3 ································íc = -3·······3 分î（2）過點 M 作 MF x 軸，垂足為 F ·

68、3;·················································

69、3;··4 分OM 是 O1 的切線，M 為切點，O1M OM （圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑）= O1M = 1y在RtOO M 中， sin ÐO OM11OO21MP21PÐO OM 為銳角，ÐO OM = 30 ························5 分11xOHAFBO13 =OM =

70、OO cos 30 = 2 ´3 ，123 = 3 在RtMOF 中， OF = OM cos 30 =3 ´22MF = OM sin 30 =3 ´ 1 =322點 M 坐標(biāo)為æ 3 ， 3 ö ·····························&

71、#183;···············································6 分ç 2&#

72、247;2èø式為 y = kx(k ¹ 0) ，由題意可知 3 = 3 k ， k =33設(shè)切線OM 的函數(shù)·····7 分22式為 y =3 x ·······························

73、;·切線OM 的函數(shù)···························8 分37（3）存在 ··················

74、3;·················································

75、3;························9 分過點 A 作 AP1 x 軸，與OM 交于點 P1 可得RtAP1O RtMO1O （兩角對應(yīng)相等兩三角形相似）æ， 3 ö ·············

76、···················P A = OA tan ÐAOP = tan 30 =3 ， P ç11·····10 分÷1133èø過點 A 作 AP2 OM ，垂足為 P2 ，過 P2 點作 P2 H OA ，垂足為 H 可得RtAP2O RtO1MO （兩角對應(yīng)相等兩三角開相似）3，2在RtO

77、P A 中， OA = 1，OP = OA cos 30=223 ´3 = 3 ，在RtOP H 中， OH = OP cosÐAOP =222224， P æ ， ö ································333

78、3 ´ 1 =P H = OP sin ÐAOP =· 11 分2 ç 4÷2222244èø符合條件的 P 點坐標(biāo)有æ1， 3 ö ， æ 3 ， 3 ö ···························

79、3;··················12 分ç÷ç 4÷34èøèø6、（12 分）ABC 中，ÐC = 90，ÐA = 60，AC = 2 cm長為 1cm 的線段 MN 在ABC的邊 AB 上沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向點 B 運動（運動前點 M 與點 A 重合）過 M，N 分別作 AB 的垂線交直角

80、邊于 P，Q 兩點，線段 MN 運動的時間為t s（1） 若AMP 的面積為 y ，寫出 y 與t 的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量t 的取值范圍）；（2） 線段 MN 運動過程中，四邊形 MNQP 有可能成為矩形嗎？若有可能，求出此時t 的值；若不可能，說明理由；（3） t 為何值時，以C，P，Q 為頂點的三角形與ABC 相似？AM = t ，） 解 ：（ 1 ） 當(dāng) 點 P在 AC 上 時 ，（ 08 山 東 濟 寧 26 題 PM = AMtg 60 =3t y = 1 t3 t 2 (0 t 1) ········

81、························23t =·························&

82、#183;····2 分283 (4 - t) = BM tan 30 =當(dāng)點 P 在 BC 上時， PM3y = 1 t3 (4 - t) = -3 t 2 + 23 t(1 t 3) ·······························

83、············4 分2363AC = 2 ， AB = 4 BN = AB - AM - MN = 4 - t -1 = 3 - t （2）QN = BN tan 30 =3 (3 - t) ·······················&

84、#183;······································6 分33 (3 - t) ，由條件知，若四邊形 MNQP 為矩形，需 PM = QN ，即3t =33t =4當(dāng)t = 3 s 時，

85、四邊形 MNQP 為矩形················································

86、········8 分4（3）由（2）知，當(dāng)t = 3 s 時，四邊形 MNQP 為矩形，此時 PQ AB ，4PQC ABC ································

87、3;··············································9 分除此之外，當(dāng)ÐCPQ = &

88、#208;B = 30 時， QPC ABC ，此時 CQ = tan 3033=CPAM1= cos 60 =， AP = 2AM = 2t CP = 2 - 2t ························210 分APBN BQ= cos 30 =3 ， BQ = BN= 23 (3 - t) 23323 - 2 3 (3 - t) = 23t

89、································BC = 23 ，CQ = 2··11 分又332 3t31， t = 3=2 - 2t32當(dāng)t = 1 s3或 s 時，以C，P，Q 為頂點的三角形24與ABC 相似 ··&

90、#183;·················································&

91、#183;·7、（12 分）30已知：如圖 14，拋物線 y = - 3 x2 + 3 與4x 軸交于點 A ，點 B ，與直線 y = - 3 x + b 相交于點 B ，點C ，直線 y = - 3 x + b 與 y 軸44交于點 E （1） 寫出直線 BC 的（2） 求ABC 的面積式（3）若點 M段 AB 上以每秒 1 個長度的速度從 A 向 B 運動（不與 A，B 重合），同時，點 N 在射線 BC 上以每秒長度的速度從 B 向C 運動設(shè)運動時間為t 秒，2 個請寫出MNB 的面積 S 與t 的函數(shù)關(guān)系式，并求出點 M 運動多少時間時，MNB 的面積最大，最大面積是多少？

92、）解：（1）在 y = - 3 x2 + 3 中，令 y = 04（08巴中 30 題y- 3 x2 + 3 = 04CEN x = 2 ， x = -212 A(-2，0) ， B(2，0) ································又 點 B 在 y =

93、 - 3 x + b 上40 = - 3 + b2b = 3·········1 分MDAOPBx2 BC 的33式為 y = -x +·······························&

94、#183;42···································2 分ì y = - 3 x2 + 3ìx= -1= 94ìx2 = 2ïï14（2）由í，得í

95、 yí y·············································4 分= 033î 2

96、9; y = -x +ïî1ïî42æ9 öC -1， ÷ ， B(2，0)çè4 ø AB = 4 ， CD = 9 ·······························

97、3;4·················································5 分

98、199 S ABC=´ 4´=································242·············&#

99、183;······························6 分（3）過點 N 作 NP MB 于點 PEO MB NP EOBNP BEO············

100、83;·················································

101、83;···················7 分BNNP=·····························&

102、#183;·················································&

103、#183;···········8 分BEEO1033可得： E æ 03 ö由直線 y = -x +， ÷ç42è2 ø在BEO 中， BO = 2 ， EO = 3 ，則 BE = 522 2t = NP ， NP = 6 t ················

104、83;·················································

105、83;········9 分53522S = 1(4 - t)6 t2 5S = - 3 t 2 + 12 t(0 < t < 4) ·······························&

106、#183;55S = - 3 (t - 2)2 + 12 ·············································&

107、#183;··························10 分······················

108、83;·························11 分55= 12此拋物線開口向下，當(dāng)t = 2 時， S最大5當(dāng)點 M 運動 2 秒時， MNB 的面積達到最大，最大為12 ·············

109、3;·········12 分58、（10 分）某工廠要趕制一批抗震救災(zāi)用的大型活動板房如圖，板房一面的形狀是由矩形和拋物線的一部分組成，矩形長為 12m，拋物線拱高為 5.6m（1）在的平面直角坐標(biāo)系中，求拋物線的表達式（2）現(xiàn)需在拋物線 AOB 的區(qū)域內(nèi)安裝幾扇窗戶，窗戶的底邊在 AB 上，每扇窗戶寬 1.5m，高 1.6m，相鄰窗戶之間的間距均為 0.8m，左右兩邊窗戶的窗角所在的點到拋物線的水平距離至少為 0.8m請計算最多可安裝幾扇這樣的窗戶？）24（10 分）解：（1）設(shè)拋物線的表達式為 y

110、= ax2（0824 題1分點 B(6，- 5.6) 在拋物線的圖象上 -5.6 = 36aa =-································7·········

111、83;···········3 分4511拋物線的表達式為 y =- 7································x2··

112、83;······························· 4 分45（2）設(shè)窗戶上邊所在直線交拋物線于 C、D 兩點，D 點坐標(biāo)為（k，t）已知窗戶高 1.6m， t = -5.6 - ( -1.6) = -4 ·····

113、83;··························-4 = -7 k 245···················5 分k1 5.07，k2

114、-5.07 （舍去） ································ CD = 5.07´ 2 10.14 （m） ···········&#

115、183;····················又設(shè)最多可安裝 n 扇窗戶1.5n + 0.8(n +1) 10.14 ·······················&#

116、183;········n 4.06 ································· 6 分······

117、83;···························· 7 分·····················

118、;····················9 分答：最多可安裝 4 扇窗戶 ···························

119、·····（本題不要求學(xué)生畫出 4 個表示窗戶的小矩形）·······································10 分9、本題滿分 11

120、 分如圖 11 所示，在梯形 ABCD 中，已知 ABCD，ADDB，AD=DC=CB，AB=4以AB 所在直線為 x 軸，過 D 且垂直于 AB 的直線為 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系（1）求DAB 的度數(shù)及 A、D、C 三點的坐標(biāo)；（2）求過 A、D、C 三點的拋物線的式及其對稱軸 L（3）若 P 是拋物線的對稱軸 L 上的點，那么使D PDB 為等腰三角形的點 P 有幾個?（不必求點 P 的坐標(biāo)，只需說明理由）（08梅州 23 題解答）解：（1） QDCAB，AD=DC=CB， CDB=CBD=DBA，·······

121、83;························DAB=CBA， DAB=2DBA， ······················&#

122、183;······ ············1 分····· 0.5 分DAB+DBA=90 o ， DAB=60 o ，·········1.5 分DBA=30 o ，QAB=4，DC=AD=2，······

123、3;·2 分Rt D AOD，OA=1，OD=3 ， ·······················2.5 分A（-1，0），D（0，3 ），C（2，3 ）4 分（2）根據(jù)拋物線和等腰梯形的對稱性知，滿足條件的拋物線必過點 A（1，0），B（3，0），故可設(shè)所求為y = a （ x +1）（x -3） ····

124、3;················································6 分33將點 D（

125、0，3 ）的坐標(biāo)代入上式得， a = -式為y = -3 (x + 1)(x - 3).所求拋物線的····································7 分3其對稱軸 L 為直線 x =1 ·······················&