小學(xué)奧數(shù)第35講--邏輯思路(含解題思路)

1、35、邏輯思路邏輯思路，主要是指遵循邏輯的四大根本規(guī)律來分析推理的思路?！就宦伤悸贰客宦傻男问绞牵杭资羌?，或如果甲，那么甲。它的 根本內(nèi)容是，在同一思維過程中，同一個概念或同一個思想對象，必須保持前 后一致性，亦即保持確定性。這是邏輯推理的一條重要思維規(guī)律。運(yùn)用這一規(guī) 律來解題，我們把它叫同一律思路。例i某公安人員需查清甲、乙、丙三人誰先進(jìn)辦公室，三人口供如下：甲：丙第二個進(jìn)去，乙第三個進(jìn)去。乙：甲第三個進(jìn)去，丙第一個進(jìn)去。丙：甲第一個進(jìn)去，乙第三個進(jìn)去。三人口供每人僅對一半，究竟誰第一個進(jìn)辦公室？分析用同一律思路推理；這一類問題具有非此即彼的特點(diǎn)。比方甲是否是第一個進(jìn)辦公室只有兩種 可能

2、：是或非。我們用i表示是，0表示非，那么可把口供列表處理。1假設(shè)甲第一，那么依據(jù)丙的口供見左表，這個表與甲的口供僅對一半相 矛盾；2假設(shè)甲非第一，那么依據(jù)丙的口供，乙第三個進(jìn)去，進(jìn)行列表處理如右 表，與 三人口供僅對一半相符。-三-三甲100甲01C乙01C乙001丙.01丙100左表右表從而可以判定，丙最先進(jìn)入辦公室。這個問題也可以不列表而用同一律推理。甲的話第一句對，第二句錯，那么丙第二，乙不是第三，又不是第二，自然 乙第一，甲第二，這個結(jié)論與丙說的話 半對半錯不符。因此，有甲的第一句 錯，第二句對。即乙第三個進(jìn)去，丙不是第二個，自然是第一個。這個結(jié)論與乙的話“半對半錯 相符：甲不是第三，

3、丙是第一。并且這個結(jié)論與丙的話 “半對 半錯也相符：甲不是第一，乙是第三。在整個思維過程中，我們對三人的話 “半對半錯 進(jìn)行了一一驗(yàn)證，直到都 符合題目給定的條件為止。例 2 從前一個國家里住著兩種居民，一個叫寶寶族，他們永遠(yuǎn)說真話；另 一個叫毛毛族，他們永遠(yuǎn)說假話。一個外地人來到這個國家，碰見三位居民， 他問第一個人： “請問你是哪個民族的人？ “匹茲烏圖。 那個人答復(fù)。外地人聽不懂，就問其他兩個人： “他說的是什么意思？ 第二個人答復(fù)： “他說他是寶寶族的。 第三個人答復(fù)： “他說他是毛毛族的。 請問，第一個人說的話是什么意思？第二個人和第三個人各屬于哪個民族？分析用同一律思路思考：如果第

4、一個人是寶寶族的，他說真話，那么他說的是 “我是寶寶族的 。如 果這個人是毛毛族的，他說假話，他說的還是 “我是寶寶族的 。這就是說，第 一個人不管是什么民族的，那句話的意思都是： “我是寶寶族的 。根據(jù)這一推理，那么第二個人答復(fù) “他說他是寶寶族的 這句話是真的，而 從條件可知，說真話的是寶寶族人，因此可以判斷第二個人是寶寶族人。不管第一個人是什么民族的，根據(jù)前面推理他說的話是 “我是寶寶族 的，而第三個人答復(fù) “他說他是毛毛族的 顯然是錯的，而說假話的是毛毛族人， 因此可以斷定第三個人是毛毛族人。我們在分析此題時，始終保持了思維前后的一致性，這就是同一律思路的 具體運(yùn)用?！静幻苈伤悸贰?

5、不矛盾律的形式是 “甲不是非甲 。它的根本內(nèi)容是：同 一對象，在同一時間內(nèi)和同一關(guān)系下，不能具有兩種互相矛盾的性質(zhì)，它是邏 輯推理的又一重要規(guī)律，運(yùn)用不矛盾律來推理、思考某些問題的解答，這種思 路我們把它叫做不矛盾律思路。例 1 有三個和尚，一個講真話，一個講假話，另外一個有時講真話，有時講假話。一天，一位智者遇到這三個和尚，他先問左邊的那個和尚： “你旁邊的 是哪一位？ 和尚答復(fù)說 “講真話的。 他又問中間的和尚： “你是哪一位？ 和尚答：“我是半真半假的。 他最后問右邊的和尚： “你旁邊是哪一位？ 答： “講假話的。 根據(jù)他們的答復(fù)，智者馬上分清了他們，你能分清嗎？分析運(yùn)用不矛盾律思路探討

6、：兩件相互矛盾對立的事情，如果一件是不正確的，另一件就是正確的，這 就是不矛盾律的根本思路。我們先假設(shè)左邊和尚講的是真的，那么中間的和尚 是講真話的，但這與他的答復(fù)： “我是半真半假的 矛盾，所以左邊和尚講真話 這一假設(shè)不對。從而左邊和尚講的是假話，他一定不是講真話的和尚。中間那 個和尚也一定不是講真話的，所以右邊的和尚是講真話的和尚。根據(jù)他的話， 中間是講假話的和尚，剩下左邊的和尚自然就是半真半假的。例 2 一次學(xué)校舉行田徑運(yùn)動會， A、B、C、D、E 五個班取得了團(tuán)體前五名， 發(fā)獎后有人問他們的名次，答復(fù)是：A班代表說：“B是第三名，C是第五名。B班代表說：“D是第二名，E是第四名。C班代

7、表說：“A是第一名，E是第四名。D班代表說：“C是第一名，B是第二名。E班代表說：“D是第二名，A是第三名。最后，他們都補(bǔ)充說： “我的話是半真半假的。 請你判斷一下，他們各個 班的名次。分析用不矛盾律思路分析：先簡化一下記法，比方B班是第三名，那么寫成B-3，其它類似，這樣五個 班代表的講話可簡記為：1B-3， C-5。2D-2， E-4。3A-1， E-4。4B-2， C-1。5A-3， D-2。假設(shè)1的前半句是真的，即B-3，那么由4有C-1，由3知A-1 不對，有E-4;再由2知D-2不對，從5知A-3，這與假設(shè)矛盾，所以1中正確的應(yīng)是C-5，于是由4知C-1不對，應(yīng)該是B-2，進(jìn)而知

8、2 D-2不對，有E-4,并知5D-2不對，有A-3，最后只剩下D及第一名，所 以知道 D 應(yīng)為第一名。最后排知名次自然就非常簡單了上述表達(dá)雖然簡化了記號，但文字表述仍然覺得累贅，所以還可以借助圖 表表達(dá)上述推理過程。三三四五BCDEAECB(5)DA如圖，假設(shè)B-3，在B上畫一個圓圈左圖，表示推理的起點(diǎn)，找到另 一個B，那么應(yīng)是不對的，畫一個 “今再找與這個B同行的“C；它應(yīng)是對的， 畫一個找與C同列的“A它不對，畫一個“人等等。最后A-3被畫了 一個這與B-3相矛盾，故B-3是錯的。在這個“B上畫一個“人重新開始 推理右圖。E12.21從1的C開始，因B-3是錯的，貝U C-5記“彳那么4

9、中C-1畫“人 B-2記由此推出5D-2記“人2D-2記“X,從表中可以看出， B-2, A-3、E-4、C-5，那么誰是第一，表中雖然未表達(dá)，但明眼人一看就知道 了?！九胖新伤悸贰颗胖新傻男问绞?或者是甲，或者是非甲。它的根本內(nèi)容 是：同一對象在同一時間內(nèi)和同一關(guān)系下，或者是具有某種性質(zhì)?；蛘呤遣痪?有某種性質(zhì)，二者必居其一，不能有第三種情況。它是處理肯定判斷與否認(rèn)判 斷之間的關(guān)系的一個規(guī)律。運(yùn)用這一規(guī)律來推理的思路，我們把它叫排中律思 路。排中律和不矛盾律的根本作用是相同的，即都是排除思想中的矛盾。但也 有區(qū)別：一是適用范圍不同，不矛盾律的適用范圍寬，既適用于互相反對的判 斷，也適用于互相

10、矛盾的判斷，排中律的作用范圍窄些，只適用于互相矛盾的 判斷，不適用互相反對的判斷；二是要求不同，不矛盾律要求對互相反對的和 互相矛盾的判斷，不能同時斷定其中每一個都是真的，因?yàn)槠渲兄辽儆幸粋€是 假的。排中律那么要求：對于互相矛盾的判斷，必須肯定其中一個是真，因?yàn)槠?中必有一真，不能都假。如果我們確定了某一個是正確的，根據(jù)不矛盾律，就 可以得出另一個是錯誤的。反過來。如果我們確定了某一個是錯誤的，根據(jù)排 中律，就可以得出另一個是正確的。從這方面來看，如果說不矛盾律提供我們 邏輯否認(rèn)的根底，那么排中律那么主要提供我們邏輯肯定的根底；三是邏輯錯誤 性質(zhì)不同，不矛盾律要求的邏輯錯誤是 “自相矛盾 ，排

11、中律要求的邏輯錯誤是 “模棱兩不可 。例 1 老師有一黑兩白三頂帽子，給兩個學(xué)生看后，讓他們閉上眼睛，從中 取出兩頂給他們戴上，然后讓他們睜開眼睛，互相看清對方戴的帽子，并立即 說出自己頭上戴的帽子是什么顏色，兩位同學(xué)都不能立即說出，請問你知道這 兩位學(xué)生戴的各是什么顏色的帽子嗎？分析運(yùn)用排中律思路思索：假設(shè)你是這兩個學(xué)生中的一個，因?yàn)槟阒乐挥幸豁敽诿弊樱?dāng)你看到對 方戴的是黑帽子時，你能判斷自己戴的帽子顏色嗎？可以的，根據(jù)排中律： 此即彼 ，你一定會推斷出自己戴的是白帽子?，F(xiàn)在兩個學(xué)生都不能利用排中律很快地說出自己戴的是白帽子，說明他們 兩人都沒有看見黑帽子，由此斷定，老師給兩位學(xué)生戴的是

12、兩頂白帽子。例 2 曾實(shí)、張曉、毛梓青在一起，一位是工程師、一位是醫(yī)師、一位是教 師。現(xiàn)在只知道：1毛梓青比教師年齡大；2曾實(shí)和醫(yī)師不同歲；3醫(yī)師比張曉年齡小。你能確定誰是工程師？誰是醫(yī)師？誰是教師嗎？分析沿著排中律思路探索：根據(jù)排中律的要求，如果我們能確定某個是錯誤的，就可以得出另一個是 正確的。現(xiàn)在 1曾實(shí)和醫(yī)師不同歲， 2醫(yī)師比張曉年齡小，就可以 判定曾實(shí)和張曉都不是醫(yī)師，因此只有毛梓青是醫(yī)師；假設(shè)張曉是教師，那么根據(jù) 1毛梓青比教師年齡大，即毛梓青比張曉年齡 大，與 3醫(yī)師比張曉年齡小，即毛梓青比張曉年齡小，這兩個結(jié)論是互相矛 盾的，因此張曉不可能是教師。張曉既不是醫(yī)師因?yàn)槊髑嗍轻t(yī)師

13、，又不 是教師，所以張曉應(yīng)該是工程師了。因?yàn)槿齻€人、三個職業(yè)，已經(jīng)確定了毛梓 青是醫(yī)師，張曉是工程師，剩下的曾實(shí)只能是教師了。該題的思路還可以用下表表示：曾實(shí)張晚毛梓青工程師XVX醫(yī)師XX41»師XX毛梓音比教廂年齡犬一 醫(yī)師比張曉年齡出玉*(1)曾實(shí)和醫(yī)帥不同歲0)醫(yī)師比張晚年齡小【充足理由律思路】 充足理由律的形式是： 所以有甲，是因?yàn)橛幸?。?的意思是說，任何正確的思想，一定有它的充足理由；任何思想，只有當(dāng)它具 有充足的理由時，這種思想才能被認(rèn)為是正確的。在數(shù)學(xué)中，如果由條正確的，A就是B的正確性的充分理由。因此 B的正確性要以A的正確性 為根底，而要使A的正確性得到確認(rèn)，又得

14、為它提出充足的理由，照此類推。 這樣，當(dāng)我們要論證某一思想是正確的時候，常常要引證一系列的理由。以此 連鎖引證下去，直到最后的理由一一它的正確性已經(jīng)確定，并且得到普遍成認(rèn) 的。具體說來有以下三種：1明顯的事實(shí)，它可以為人們所直接感知的；2公理；3科學(xué)的規(guī)律。當(dāng)然在實(shí)際進(jìn)行論證時，并不是總要引證到最 后的理由，數(shù)學(xué)中已經(jīng)證明過的定理、定律、公式、法那么等，都可以作為論證 所根據(jù)的理由。充足理由律是進(jìn)行推理的根底。運(yùn)用充足理由律來思考數(shù)學(xué)問題，我們把 它叫做充足理由律思路。例1 200米賽跑，張強(qiáng)比李軍快秒，王明的成績是秒，趙剛的成績比王明 慢秒，但比張強(qiáng)快秒，林林比張強(qiáng)慢 3秒，請你給這五人排知

15、名次來。分析運(yùn)用充足理由律思路思索：題中有兩種概念。一是成績好壞，需要進(jìn)行量的計(jì)算；二是快慢關(guān)系推理, 先用計(jì)算量進(jìn)行比擬推理。抓住 各人跑200米需要的時間為比擬量。并設(shè)字母A、B、C、D、E來 分別表示張強(qiáng)、李軍、王明、趙剛、林林的時間。王明的成績是秒，趙剛的成績比王明慢秒即秒，D=C +秒又趙剛比張強(qiáng)快秒即D + = A+秒傳遞性又張強(qiáng)比李軍快秒即 A=B-0. 2 B=A + +秒又林林比張強(qiáng)慢3秒即 E=A + +秒由>>>即 E> B > A > D >C誰是第一、誰是第二、第三、第四、第五名，不就一目了然了嗎? 此題還可以單純用快慢關(guān)系來

16、進(jìn)行判斷。/ Av B, D >C, D v A , E> A ,可得 B、E均A >D>C,一、二、三名分別應(yīng)是 C、D、A。但第四、五名仍需計(jì)算。由 E=A + 3秒，B=A +秒，可知E>B,故B是第四，E是第五名。例2填數(shù)使以下豎式成立：()()3 3()1 (用()(X )() ()2()7(X 1( )( X )( X )()()()()(5T)()()()()0分析運(yùn)用充足理由律思路來探討這兩個式題：第1題。抓住乘、除法法那么和乘除的互逆關(guān)系去思考- ( )( ) 5丸3()只要求得33( ) 5=()()，就可以得出豎式被乘數(shù)了，現(xiàn)可知 33()子商的 十位得 6，故被乘數(shù)的十位應(yīng)是 6