微積分期末試卷無窮級數(shù)部分

1、對外經(jīng)濟貿(mào)易大學(xué)2007 2022學(xué)年第二學(xué)期?微積分二?期末考試試卷A得分、選擇題(每題 2分，共14分)：假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上可積，那么以下不等式中成立的是(A.C.B.D.2.設(shè)f (x)為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x)1 1 1A. f (ln x) 2 f ()xx xC. 1 f(ln x) -g f (-)xx x3.二元函數(shù) f x, y在點 x0, y0bf(x)dx 汀 f(x)|dxbba f (x) dx f (x) dxln x1 f(t)dt,那么F (x)二處的兩個偏導(dǎo)數(shù)B.1f(l nx) f()x1f(ln x) - f ()xf(x 0,y°),f

2、(>y0,y。)存在函數(shù)f(x,y)在點(x0,y 0)連續(xù)的()°A.必要而非充分條件;B.充分而非必要條件;C.充分必要條件;D.既非充分又非必要條件。4.設(shè)f (x, y)為連續(xù)函數(shù)，那么o4d；f(rcosdrsin 旳rdr 等于(A.f02 dx fxf(x,y)dy.B. 02dx. 住陽-1 -y2c. 02dyy f(x,y)dx.空“匚2D. 02dy.0 f(x, y)dx.)的5.函數(shù)y=Ge C2e2x(c1,C2為任意常數(shù))為以下二階常系數(shù)齊次線性微分方程 通解。A. yy -2y =0B. y -y 2y =0C. yy 2y =0D. y -y

3、-2y =016.設(shè) un= (-1 f ln(1 +)，那么以下結(jié)論中正確選項是 ()°QnQOCO， 2A.、Un 與 X U n都收斂.B.COv Un收斂，QOl2、U n發(fā)散n 4n 4n三n衛(wèi)cdoOQOcdC Un 與、U2n都發(fā)散D.v Un發(fā)散，"U2n收斂ngn 4n 4n 40cOV7.設(shè)級數(shù)an絕對收斂，那么v (1an()。n 4n 4nA.發(fā)散B.條件收斂C.絕對收斂D.斂散性不能判定A A D C D B C二、填空題(每題 3 分，共21分)得分1 ,丁1.設(shè)f (x) =2 + Ji - x2f (t)dt ,那么 f (x) =.1+x:

4、4 一兀2.曲線y=ex和y=e及直線x = 2所圍圖形的面積為 . e-23設(shè) f (x,y) =x3(y2 -1) (x-1)tan3,；，那么fy(1，°)=。24.設(shè) z = In Ji +x2 +y2,那么dz。-(dx dy)35.廣義積分：亠2 dx =e x(ln x)6.交換二重積分次序12今2Jdy 吐f(x, y)dx =01 x22 .口。dx 0 f(x,y)dy dx 0 f(x,y)dy 07.假設(shè)級數(shù)(x _a)在X = 2收斂，那么實數(shù)a的范圍是n壬n三、計算題(1-6題每題6分，第7題7分，共計43 分)得分xe 21.設(shè)z二yf(,x)，且函數(shù)f

5、具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求y-2:z。xy-x解： =y( fr 2xf2') =exfr 2xyf2' xy:ex f1112 '11-y 一2xf2 - 2x2 f21y；：2z xe:x :y2 設(shè)函數(shù)u二f(x, y, z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且z二z(x, y)由方程xex - yey二zez確定，求du.解1.由隱函數(shù)求導(dǎo)公式，令F (x, y, z)二xex 一 yey - zez，那么Fxxyyzzx =e xe , Fy = e -ye , Fz = e -ze ,：zFxx1:zFyy1ye ,e.xFzz1:yFzz1.:u:x.:zx _z.:u:yey

6、J所以duX 1 XN ez 1y 1z 1ey解 2.直接求微分，由 u = f (x, y, z)得 du = fxdx fydy fzdz1 分再對xex - yey = zez兩邊微分1 分exdx xddx -eydy - yeydy 二 ezdz ze dz,得 dzJLxQdx-d+ydy2 分(1+z)ez'將上式代入du = fxdx fydy fzdz并整理得dufxfz e2dx fy- fzeydy.2分Vz+1 丿 Iz+1 丿3 計算二重積分JJ(x+y)dxdy,其中D由直線y=x,y=2x,y = 1圍成。D解：i i(x y)dxdy = xdxdy

7、亠 11 ydxdy.2 分DDD= ydxdyD4 .計算二重積分j j Jxy2dxdy，其中D為由圓x2y2=4x,及直線 y = 0, y - . 3x = 0所圍成的平面區(qū)域。解：11 x2 y2 dxdy 二D3 dr02 J2 dr0313 cos3 jd r - 3.5將函數(shù) f(x)二21 +x-2x211(x 2)(x")2x 一丄2_1(x 2)(x-1)1 11 2x 3 1 x解：f(x)12展開成的幕級數(shù)。丄21(x 2)(x-1)A(1 2x (2x)2( 1)n(2x)n J (1 x xn )-3分36求微分方程xy" + y=xex滿足初

8、始條件yx=1的特解。1解：將方程變形為y 1 y = ex ,x1于是該方程為一階線性微分方程，p(x) = 1 ,q(x)二ex,x方程的通解為-p(x)dx .|P(x)dxy =eq(x)eexelnxdx C =丄 xexx代入初始條件y x# = 1可得C = 12 分故所求特解為 y = 1 xex _ ex 1x°° xn的收斂域，并求其收斂區(qū)間內(nèi)的函數(shù)。&求幕級數(shù)2心n 1U (x)n2 _i解：Tim= lim2=1，R=1,收斂區(qū)間為-1，12分FUn(x)F(n+1) -1°o xn°0 xns(x) 2， xs(x) =

9、xxln(1x)2 分n空 n-1y n1 212xs(x) x In(1 -x)x x -ln(1 -x)3 分2 2四、應(yīng)用題(10分)生產(chǎn)某產(chǎn)品使用兩種生產(chǎn)要素，其中甲要素投入量記為x，乙要素投入量記為 y。在現(xiàn)有生產(chǎn)工藝條件下，產(chǎn)量z與兩種生產(chǎn)要素的投入量x, y有如下關(guān)系：16z =65_2(x _5)2 _4(y _4)2目前市場上，甲生產(chǎn)要素單價為8萬元，乙生產(chǎn)要素單價為4萬元，而該產(chǎn)品單價為 32萬元。請你確定甲、乙兩種生產(chǎn)要素的投入量，使得該產(chǎn)品能獲得最大利潤。解： 目標函數(shù)：max 二(x, y) = 32z-8x-4y2 分 約束條件：16z =65 -2(x -5)2

10、-4(y -4)2拉格朗日函數(shù)：L(x, y, z, ) = 32z-8x-4y ：16z-65 2(x - 5)2 4(y - 4)22分聯(lián)立:Lx = -8+4(x- 5)人=0Ly = -4 +8(y -4)九=0I = 32+16=0Lz=16z_65 + 2(x_5)2 +4(y _4)2 =015解得唯一駐點：x = 4, y = 153 分4由問題背景知極大值存在，且只有此唯一駐點，所以當(dāng)兩種生產(chǎn)要素投入量分別為x=4,y=15/4時，可得利潤最大。2分五、證明題(每題 6分，共計12分)得分1.設(shè)f (x)是區(qū)間0,1】上任一非負連續(xù)函數(shù)，試證存在x 0,1 ,使得區(qū)間0，x0 I上以f(x0)為高的矩形面積等于區(qū)間Xo, 1上以y二f (x)為曲邊的曲邊梯形面積。證明：構(gòu)造輔助函數(shù)1F(x)=x f(t)dt，那么有 F(0) = F(1)對F(x)在區(qū)間0，1上用羅爾中值定理,即存在一點x0 -0,1,使得 F (xo) =01又因為 F (x)二f(t)dt -xf(x)1所以有 f (t)dt =x0 f (x0)，命題得證。xo2.設(shè) a1-1, a2OO A=2,當(dāng)n_3時，an二an anJ,判別級數(shù)一的斂散性。 n =1 an證明：ai= 1,a2 =2,當(dāng)n_3時，an