函數(shù)反函數(shù)對數(shù)及對數(shù)函數(shù)

1、函數(shù)一、函數(shù)：1函數(shù)的概念(1)函數(shù)的定義：設(shè)是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法那么，對于集合中的每一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做從到的一個函數(shù)，通常記為(2)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)中，叫做自變量，的取值范圍叫做的定義域；與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域。(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)法那么2映射的概念設(shè)是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法那么，對于集合中的任意元素，在集合中都有唯一確定的元素與之對應(yīng)，那么這樣的單值對應(yīng)叫做從到的映射，通常記為重、難點突破重點：掌握映射的概念、函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域、值域難點：求函數(shù)的值域和求抽象

2、函數(shù)的定義域重難點：1關(guān)于抽象函數(shù)的定義域求抽象函數(shù)的定義域，如果沒有弄清所給函數(shù)之間的關(guān)系，求解容易出錯誤問題1：函數(shù)的定義域為，求的定義域問題2：的定義域是，求函數(shù)的定義1 求值域的幾種常用方法1配方法：對于可化為“二次函數(shù)型的函數(shù)常用配方法，如求函數(shù)，可變?yōu)榻鉀Q2根本函數(shù)法：一些由根本函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)可以利用根本函數(shù)的值域來求，如函數(shù)就是利用函數(shù)和的值域來求。3判別式法：通過對二次方程的實根的判別求值域。如求函數(shù)的值域由得，假設(shè)，那么得，所以是函數(shù)值域中的一個值；假設(shè)，那么由得，故所求值域是4別離常數(shù)法：常用來求“分式型函數(shù)的值域。如求函數(shù)的值域，因為，而，所以，故5利用根本不等式求值

3、域：如求函數(shù)的值域當(dāng)時，；當(dāng)時，假設(shè)，那么假設(shè)，那么，從而得所求值域是6利用函數(shù)的單調(diào)性求求值域：如求函數(shù)的值域因，故函數(shù)在上遞減、在上遞增、在上遞減、在上遞增，從而可得所求值域為7圖象法：如果函數(shù)的圖象比擬容易作出，那么可根據(jù)圖象直觀地得出函數(shù)的值域求某些分段函數(shù)的值域常用此法一、選擇題1以下四種說法正確的一個是 A表示的是含有的代數(shù)式 B函數(shù)的值域也就是其定義中的數(shù)集BC函數(shù)是一種特殊的映射 D映射是一種特殊的函數(shù)2f滿足f(ab)=f(a)+ f(b)，且f(2)=，那么等于 ABCD3以下各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是 A BC D 4函數(shù)的定義域為 AB C D 5設(shè)，那么 A B0

4、C D6以下圖中，畫在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與函數(shù)的圖象只可能是 xyAxyBxyCxyD7設(shè)函數(shù)，那么的表達(dá)式為 AB C D8二次函數(shù)，假設(shè)，那么的值為 A正數(shù) B負(fù)數(shù) C0 D符號與a有關(guān) 9在克的鹽水中，參加克的鹽水，濃度變?yōu)?，將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式 A BCD10的定義域為，那么的定義域為 A B C D二、填空題：11，那么= .12假設(shè)記號“*表示的是，那么用兩邊含有“*和“+的運算對于任意三個實數(shù)“a，b，c成立一個恒等式 .13集合A 中含有2個元素，集合A到集合A可構(gòu)成 個不同的映射.14從盛滿20升純酒精的容器里倒出1升，然后用水加滿，再倒出1升混合溶液，再用水加滿. 這樣

5、繼續(xù)下去，建立所倒次數(shù)和酒精殘留量之間的函數(shù)關(guān)系式 .三、解答題：15、求函數(shù)的定義域；求函數(shù)的值域；求函數(shù)的值域.16、在同一坐標(biāo)系中繪制函數(shù)，得圖象.17函數(shù)，其中，求函數(shù)解析式.18設(shè)是拋物線，并且當(dāng)點在拋物線圖象上時，點在函數(shù)的圖象上，求的解析式.19動點P從邊長為1的正方形ABCD的頂點出發(fā)順次經(jīng)過B、C、D再回到A；設(shè)表示P點的行程，表示PA的長，求關(guān)于的函數(shù)解析式. 20函數(shù)，同時滿足：；，求的值.二、函數(shù)的根本性質(zhì)：1函數(shù)的單調(diào)性定義：設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間 如果對于區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，當(dāng)時，都有，那么就說在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，稱為的單調(diào)增區(qū)間如果對于區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，當(dāng)時，

6、都有，那么就說在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，稱為的單調(diào)減區(qū)間如果用導(dǎo)數(shù)的語言來，那就是：設(shè)函數(shù)，如果在某區(qū)間上，那么為區(qū)間上的增函數(shù)；如果在某區(qū)間上，那么為區(qū)間上的減函數(shù)；（2） 函數(shù)的最大小值設(shè)函數(shù)的定義域為如果存在定值，使得對于任意，有恒成立，那么稱為的最大值；如果存在定值，使得對于任意，有恒成立，那么稱為的最小值。重、難點突破重點：掌握求函數(shù)的單調(diào)性與最值的方法難點：函數(shù)單調(diào)性的理解，尤其用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性與最值重難點：1.對函數(shù)單調(diào)性的理解（1） 函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論,所以求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,必須先求函數(shù)的定義域；2函數(shù)單調(diào)性定義中的，有三個特征：一是任意性；二是大小，即

7、；三是同屬于一個單調(diào)區(qū)間，三者缺一不可；3假設(shè)用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性，那么在某區(qū)間上僅是為區(qū)間上的增函數(shù)減函數(shù)的充分不必要條件。4關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性的證明，如果用定義證明在某區(qū)間上的單調(diào)性，那么就要用嚴(yán)格的四個步驟，即取值；作差；判號；下結(jié)論。但是要注意，不能用區(qū)間上的兩個特殊值來代替。而要證明在某區(qū)間上不是單調(diào)遞增的，只要舉出反例就可以了，即只要找到區(qū)間上兩個特殊的，假設(shè)，有即可。如果用導(dǎo)數(shù)證明在某區(qū)間上遞增或遞減，那么就證明在某區(qū)間上或。5函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，所以受到區(qū)間的限制，如函數(shù)分別在和內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但是不能說它在整個定義域即內(nèi)是單調(diào)遞減的，只能說函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間

8、為和6一些單調(diào)性的判斷規(guī)那么：假設(shè)與在定義域內(nèi)都是增函數(shù)減函數(shù)，那么在其公共定義域內(nèi)是增函數(shù)減函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)那么是“異減同增2函數(shù)的最值的求法1假設(shè)函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)型的函數(shù)，常用配方法。2利用函數(shù)的單調(diào)性求最值：先判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求最值。3根本不等式法：當(dāng)函數(shù)是分式形式且分子分母不同次時常用此法但有注意等號是否取得。4導(dǎo)數(shù)法：當(dāng)函數(shù)比擬復(fù)雜時，一般采用此法5數(shù)形結(jié)合法：畫出函數(shù)圖象，找出坐標(biāo)的范圍或分析條件的幾何意義，在圖上找其變化范圍。3、函數(shù)的奇偶性1函數(shù)的奇偶性的定義：對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有或，那么稱為奇函數(shù). 奇函數(shù)的

9、圖象關(guān)于原點對稱。對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有或，那么稱為偶函數(shù). 偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱。通常采用圖像或定義判斷函數(shù)的奇偶性. 具有奇偶性的函數(shù)，其定義域原點關(guān)于對稱也就是說，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱4、 函數(shù)的周期性命定義：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得定義域內(nèi)的每一個值，都滿足，那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期。重、難點突破重點：函數(shù)的奇偶性和周期性，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合應(yīng)用難點：函數(shù)的奇偶性的判斷 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用重難點：1.函數(shù)的奇偶性的判斷：可以利用奇偶函數(shù)的定義判斷或者利用定

10、義的等價形式,也可以利用函數(shù)圖象的對稱性去判斷函數(shù)的奇偶性.注意假設(shè),那么既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),假設(shè),那么是偶函數(shù)；假設(shè)是奇函數(shù)且在處有定義，那么假設(shè)在函數(shù)的定義域內(nèi)有，那么可以斷定不是偶函數(shù)，同樣，假設(shè)在函數(shù)的定義域內(nèi)有，那么可以斷定不是奇函數(shù)。2奇偶函數(shù)圖象的對稱性（1） 假設(shè)是偶函數(shù)，那么的圖象關(guān)于直線對稱；（2） 假設(shè)是偶函數(shù)，那么的圖象關(guān)于點中心對稱；3函數(shù)的周期性 周期性不僅僅是三角函數(shù)的專利，抽象函數(shù)的周期性是高考熱點，主要難點是抽象函數(shù)周期的發(fā)現(xiàn)，主要有幾種情況：1函數(shù)值之和等于零型，即函數(shù)對于定義域中任意滿足，那么有，故函數(shù)的周期是2函數(shù)圖象有，兩條對稱軸型函數(shù)圖象有，兩條對

11、稱軸，即，從而得，故函數(shù)的周期是（3） 兩個函數(shù)值之積等于，即函數(shù)值互為倒數(shù)或負(fù)倒數(shù)型假設(shè)，那么得，所以函數(shù)的周期是；同理假設(shè)，那么的周期是（4） 分式遞推型，即函數(shù)滿足由得，進而得，由前面的結(jié)論得的周期是練習(xí)題組：一、選擇題：1下面說法正確的選項 A函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以是函數(shù)的定義域B函數(shù)的多個單調(diào)增區(qū)間的并集也是其單調(diào)增區(qū)間C具有奇偶性的函數(shù)的定義域定關(guān)于原點對稱D關(guān)于原點對稱的圖象一定是奇函數(shù)的圖象2在區(qū)間上為增函數(shù)的是 AB C D3函數(shù)是單調(diào)函數(shù)時，的取值范圍 A B C D 4如果偶函數(shù)在具有最大值，那么該函數(shù)在有 A最大值 B最小值 C 沒有最大值D 沒有最小值5函數(shù)，是 A偶函數(shù)

12、B奇函數(shù)C不具有奇偶函數(shù)D與有關(guān)6函數(shù)在和都是增函數(shù)，假設(shè)，且那么 A B C D無法確定 7函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，那么的遞增區(qū)間是 AB CD8函數(shù)在實數(shù)集上是增函數(shù)，那么 A B CD 9定義在R上的偶函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上為遞增，那么 A B C D10在實數(shù)集上是減函數(shù)，假設(shè)，那么以下正確的選項是 AB CD二、填空題：11函數(shù)在R上為奇函數(shù)，且，那么當(dāng)， .12函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間為 ，最大值和最小值的情況為 .13定義在R上的函數(shù)可用的=和來表示，且為奇函數(shù)， 為偶函數(shù)，那么= .14構(gòu)造一個滿足下面三個條件的函數(shù)實例，函數(shù)在上遞減；函數(shù)具有奇偶性；函數(shù)有最小值為； .三、解答題：15

13、，求函數(shù)得單調(diào)遞減區(qū)間.16判斷以下函數(shù)的奇偶性； ； 。17，求.18函數(shù)在區(qū)間上都有意義，且在此區(qū)間上為增函數(shù)，；為減函數(shù)，.判斷在的單調(diào)性，并給出證明.19在經(jīng)濟學(xué)中，函數(shù)的邊際函數(shù)為，定義為，某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置。生產(chǎn)臺的收入函數(shù)為單位元，其本錢函數(shù)為單位元，利潤的等于收入與本錢之差.求出利潤函數(shù)及其邊際利潤函數(shù)；求出的利潤函數(shù)及其邊際利潤函數(shù)是否具有相同的最大值；你認(rèn)為此題中邊際利潤函數(shù)最大值的實際意義.20函數(shù)，且，試問，是否存在實數(shù)，使得在上為減函數(shù)，并且在上為增函數(shù).三、對數(shù)、對數(shù)函數(shù)1對數(shù)的概念如果ab=Na0，a1，那么b叫做以a為底N的對數(shù)，記作loga

14、N=bab=NlogaN=ba0，a1，N0.2、對數(shù)的運算性質(zhì)logaMN=logaM+logaN. loga=logaMlogaN.logaMn=nlogaM.M0，N0，a0，a13、對數(shù)換底公式：logbN=a0，a1，b0，b1，N0.4、對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)函數(shù)y=logaxa0，a1叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，圖像如下對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：定義域：0，+； 值域：R； 過點1，0，即當(dāng)x=1時，y=0.當(dāng)a1時，在0，+上是增函數(shù)；當(dāng)0a1時，在0，+上是減函數(shù)。5、對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y=x對稱.。重、難點突破重點：掌握對數(shù)的運算

15、性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)。難點：綜合運用對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決問題。重難點：1對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的拓展同底數(shù)的兩個對數(shù)值與的大小比擬假設(shè)，那么假設(shè)，那么同真數(shù)的對數(shù)值大小關(guān)系如圖對應(yīng)關(guān)系為1，2，3，4那么作直線得即圖象在軸上方的局部自左向右底數(shù)逐漸增大2常見對數(shù)方程或?qū)?shù)不等式的解法1形如轉(zhuǎn)為，但要注意驗根對于，那么當(dāng)時，得；當(dāng)時，得2形如或的方程或不等式，一般用換元法求解。3形如的方程化為求解，對于的形式可以考慮利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來解決熱點考點題型探析考點1 對數(shù)式的運算例1 用表示 對數(shù)式的運算一般都是運用對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)換底公式，在未來的高考中，對數(shù)式的運算可能要綜合其他知識交匯命

16、題新題導(dǎo)練1的結(jié)果是 2假設(shè)，求的值 3如果，那么的最小值是 A4；B；C9；D18考點2對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)題型1：由函數(shù)圖象確定參數(shù)的值例2 函數(shù)ylog2ax1a0的圖象的對稱軸方程是x2，那么a等于( )A.;B.;C.2;D.2 題型2：求復(fù)合函數(shù)值域及單調(diào)區(qū)間例3 fx=log3(x1)2，求fx的值域及單調(diào)區(qū)間.解題思路通過研究函數(shù)fx的單調(diào)性對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的最值值域與單調(diào)性是?？贾R點，解決的方法就是充分利用組成復(fù)合函數(shù)的各個根本函數(shù)的單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法那么。新題導(dǎo)練4假設(shè)函數(shù)是定義域為R的增函數(shù)，那么函數(shù)的圖象大致是 5設(shè)，函數(shù)的圖象如圖2，那么有 A

17、；BC；D練習(xí)題組：一 選擇題：1對數(shù)式中，實數(shù)a的取值范圍是 AB(2,5)CD 2如果lgx=lga+3lgb5lgc，那么 Ax=a+3bcB C Dx=a+b3c33設(shè)函數(shù)y=lg(x25x)的定義域為M，函數(shù)y=lg(x5)+lgx的定義域為N，那么 AMN=RBM=N CMN DMN4假設(shè)a0，b0，ab1，=ln2，那么logab與的關(guān)系是 Alogab Blogab=C logabDlogab5假設(shè)函數(shù)log2(kx2+4kx+3)的定義域為R，那么k的取值范圍是 A BC D6以下函數(shù)圖象正確的選項是 A B C D7函數(shù)，其中l(wèi)og2f(x)=2x，xR，那么g(x) A是

18、奇函數(shù)又是減函數(shù) B是偶函數(shù)又是增函數(shù)C是奇函數(shù)又是增函數(shù) D是偶函數(shù)又是減函數(shù)8北京市為成功舉辦2021年奧運會，決定從2003年到2007年五年間更新市內(nèi)現(xiàn)有的全部出租車，假設(shè)每年更新的車輛數(shù)比前一年遞增10%，那么2003年底更新現(xiàn)有總車輛數(shù)的(參考數(shù)據(jù)：114=146，115=161)( )A10% B164% C168% D20%9如果y=log2a1x在(0，+)內(nèi)是減函數(shù)，那么a的取值范圍是 Aa1Ba2Ca D10以下關(guān)系式中，成立的是 AB C D二、填空題：11函數(shù)的定義域是 ，值域是 .12方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解為 .13將函數(shù)的圖象向左

19、平移一個單位，得到圖象C1，再將C1向上平移一個單位得到圖象C2，作出C2關(guān)于直線y=x對稱的圖象C3，那么C3的解析式為 .14函數(shù)y= 的單調(diào)遞增區(qū)間是 .三、解答題：15函數(shù).(1)求函數(shù)f (x)的定義域；(2)求函數(shù)f (x)的值域.16設(shè)x，y，zR+，且3x=4y=6z.(1)求證：; (2)比擬3x，4y，6z的大小.17設(shè)函數(shù).(1)確定函數(shù)f (x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f (x)的奇偶性；(3)證明函數(shù)f (x)在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)；(4)求函數(shù)f(x)的反函數(shù).18現(xiàn)有某種細(xì)胞100個，其中有占總數(shù)的細(xì)胞每小時分裂一次，即由1個細(xì)胞分裂成2個細(xì)胞，按這種規(guī)律開展下

20、去，經(jīng)過多少小時，細(xì)胞總數(shù)可以超過個？參考數(shù)據(jù)：.19如圖，A，B，C為函數(shù)的圖象上的三點，它們的橫坐標(biāo)分別是t, t+2, t+4(t1).(1)設(shè)ABC的面積為S 求S=f (t) ；(2)判斷函數(shù)S=f (t)的單調(diào)性；(3) 求S=f (t)的最大值.20已求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.四、反函數(shù)： 1.反函數(shù)定義：假設(shè)函數(shù)y=fxxA的值域為C，由這個函數(shù)中x、y的關(guān)系，用y把x表示出來，得到x=y.如果對于y在C中的任何一個值，通過x=y，x在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么，x=y就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù).這樣的函數(shù)x=yyC叫做函數(shù)y=fxxA的反函數(shù)，記作x=f1y.在函數(shù)x=

21、f1y中，y表示自變量，x表示函數(shù).習(xí)慣上，我們一般用x表示自變量，y表示函數(shù)，因此我們常常對調(diào)函數(shù)x=f1y中的字母x、y，把它改寫成y=f1x. 2.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)y=fx與y=f1x在同一直角坐標(biāo)系中的圖象關(guān)于直線y=x對稱. 3.求反函數(shù)的步驟： 1解關(guān)于x的方程y=fx，得到x=f1y. 2把第一步得到的式子中的x、y對換位置，得到y(tǒng)=f1x. 3求出并說明反函數(shù)的定義域即函數(shù)y=fx的值域.4互為反函數(shù)的性質(zhì)與結(jié)論： 1、 典型例題例1.函數(shù)y=log2x+1+1x0的反函數(shù)為A.y=2x11x1B.y=2x1+1x1C.y=2x+11x0D.y=2x+1+1x0例2.函數(shù)f

22、x=x的反函數(shù)A.在，+上為增函數(shù)B.在，+上為減函數(shù)C.在，0上為增函數(shù)D.在，0上為減函數(shù)例3設(shè)函數(shù)fx是函數(shù)gx=的反函數(shù)，那么f4x2的單調(diào)遞增區(qū)間為A.0，+ B.，0C.0，2D.2，01.假設(shè)y=fx是a，b上的單調(diào)函數(shù)，那么y=fx一定有反函數(shù)，且反函數(shù)的單調(diào)性與y=fx一致.2.假設(shè)y=fx，xa，bab是偶函數(shù)，那么y=fx有反函數(shù)嗎？答案：無例4求函數(shù)fx=的反函數(shù).例5 函數(shù)fx是函數(shù)y=1xR的反函數(shù)，函數(shù)gx的圖象與函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線y=x1成軸對稱圖形，記Fx=fx+gx.1求Fx的解析式及定義域.2試問在函數(shù)Fx的圖象上是否存在這樣兩個不同點A、B，使直線AB恰好與y軸垂直?假設(shè)存在，求出A、B兩點坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由.假設(shè)Fx當(dāng)xa，b時是單調(diào)函數(shù)，那么Fx圖象上任兩點A、B連線的斜率都不為零. 例6求以下函數(shù)的反函數(shù)1 2 3 例7函數(shù)的圖象經(jīng)過點A1，4它的反函數(shù)的圖 象經(jīng)過點10，2，求f(x)和f1(x)的表達(dá)式。 例8設(shè)。 例9假設(shè)點2，3既在的圖象上，又在它的反函數(shù)圖象上，求a、b的值。a0 例10函數(shù)1判斷它的奇偶性；2求反函數(shù)。 例11假設(shè)函數(shù)yx，xR的圖象關(guān)于直線yx對稱，求a的值. 例12 函數(shù)y=x1，+的圖象與其反函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為_. 【備用題】1函數(shù)f(x)=log