解三角形題型分類講解

1、解三角形知識點總結(jié)及題型分類講解一、 知識點復習1、正弦定理及其變形2、正弦定理適用情況：(1)已知兩角及任一邊(2)已知兩邊和一邊的對角(需要判斷三角形解的情況)已知a, b和A,求B時的解的情況：如果sin A之sin B,則B有唯一解；如果sin A < sin B <1 ,則B有兩解；如果sinB=1,則B有唯一解；如果sinB>1, WJ B無解.3、余弦定理及其推論4、余弦定理適用情況：(1)已知兩邊及夾角；(2)已知三邊.5、常用的三角形面積公式一1 一 N(D S&BC = - X 底父局；211 .一1(2) SBC = absinC = bcsin

2、 A = casin B (兩邊夾一角).2226、三角形中常用結(jié)論(1) a+b >c,b+c >a, a+c >b(即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊)(2)在AABC中，A a By a>bu sin A >sin B(即大邊對大角，大角對大邊).(3)在 ABC中,A + B+C=n ,所以 sin(A + B) =sinC ; cos(A + B) = cosC ; tan(A B) = -tan C .A B C A B . C(4) sin= cos ,cos= sin - .2 222二、典型例題題型1、計算問題(邊角互換)例1、在 MBC中

3、，若sinA:sinB:sinC=3:5:7,則角C的度數(shù)為2答案：C = 2二3例2、已知 AABC 中，/A=60，則a-b-csin A sin B sin C答案：2 例3、在銳角AABC中，內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,且2asinB=J5b.求角A的大小;答案 題型2、三角形解的個數(shù)例1.在9BC中，已知b=40,c=20,C=。，則此三角形的解的情況是（）A.有一解B.兩解C.無解D.有解但個數(shù)不確定例2.在MBC中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A a=7, b=14, A=30*;B、b = 25 , c = 30, C=150*;C、b=4,

4、c = 5, B =30°D a=、用，b = V3 , B =60%例3.在BC中，bsinA<a<b,則此三角形有A.一解B.兩解C.無解D.不確定例4,在 MBC中，a=x,b=2,B=,若三角形ABCT兩個解，則x的取值范圍例5.在ABC中a=九,b=V3以九>0）,/A=45o,則滿足此條件的三角形 有幾個？題型3、判斷三角形形狀例1在 MBC中，已知（a2+b2） sin（A-B）=（a2-b2） sin（A + B）,判斷該三角形的形狀。答案：等腰三角形或直角三角形例 2MBC 中，sin2A=sin2B+sin2C,則9BC 為A.直角三角形B.等腰

5、直角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形,則/MBC為例3. MBC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，若A.銳角三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.任意三角形例4.在AABC中，已知，角A是銳角，則AABC的形狀是例5.在AABC中，若且,則&ABC的形狀是【點撥】判斷三角形形狀問題，一是應用正弦定理、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊與邊之 間的關(guān)系，通過因式分解等方法化簡得到邊與邊關(guān)系式，從而判斷出三角形的形狀；（先化邊）二是應用正弦定理、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間三角函數(shù)的關(guān)系，通過三角包 等變形以及三角形內(nèi)角和定理得到內(nèi)角之間的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀。（邊化角）

6、題型4、求范圍或最值問題例1、在銳角AABC中，BC=1 B=2A則的值等于,AC的取值范圍為.例2、在 MBC中，/A=60©, BC=3, WJ AABC的兩邊AC+AB勺取值范圍是例 3、在 AABC 中，/ B = 601 AC=",則 AB+2BC -最大值.例4、在AABC中，/B = 60口，AC= 一,則AABC的周長的最大值為 .例5、AABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，且-(1).求角A的大小若a=1,求三角形ABC的周長l的取值范圍.題型5、面積問題例1、AABC的一個內(nèi)角為120°,并且三邊構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則AABC的面

7、積為答案： 一例2.設(shè)在AABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,且b=3 , c=1 ,MBC的面積為V2 ,求cosA與a的值；例3:在AABC中，角A, B,C的對邊分別為a,b,c,B=(, cosA =5,b = 73。(I)乘inC的值；(H)求AABC的面積.例4： &4BC的內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a , b , c .向量一與平行.(I)求 A；(II)若 a=77, b=2 求 AABC 的面積A 2.例5.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c且滿迎5亍'AC=3.求MBC的面積；(2)若c= 1 ,求a的化例6.在銳角叢BC

8、中，內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,且2asinB=Mb.(I )求角A的大小;(H)若a=6, b+c=8,求從BC勺面積.例 7: zXABC的內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,已知 2cosc(acosB+b cosA)=c.求c；(II)若c = ", zABC的面積為 苧，求AABC的周長.題型六、邊化角，角化邊注意點:換完第一步觀察是否可以約分，能約分先約分怎么區(qū)分邊化角還是角化邊呢？若兩邊都是正弦首先考慮角化邊，若sin,cos都存在時首先考慮邊化角例1:在BC中，角A,B,C所對的邊分別為 a,b,c,且滿足csinA=acosC .(

9、I )求角C的大小；例2在BC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b, c.若3a = 2b,則的值為例3已知從BC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c, asinA+csinCasinC= bsinB.求B;(2)若 A= 75°, b=2,求 a, c例4在BC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且cos£+cosB=snC. a b c(I)證明：sin Asin B =sinC ;2226.、(II)右 b +c -a =-bc,求 tanB. 5例5在AABC中，內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, c.已知b+c=2acosB.(I)證明：A=2B

10、;a2(II)若9BC的面積S= 一 ,求角A的大小. 4例6MBC的內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a,b, c.(I)若 a,b, c成等差數(shù)列，證明：sin A+sinC =2sin(A + C );(II)若a,b, c成等比數(shù)列，求cosB的最小值.題型七、三角變換與解三角形的綜合問題例 1.在9BC 中，AC=6,-，-(1) 求AB的長(2)求 -的值變式練習.在AABC中，角A, B, C所對的邊分別為a,b, c.且(1)，求角C(2) .若-，求 的值2.在MBC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c ,且，(1).求角A的大小(2)若c=3,求b的長.題型八、解

11、三角形與平面向量結(jié)合例1.在AABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c ,且 MBC的面積為S,.(1)求 的值(2)若C=求b的值變式練習1.在銳角&ABC中，向量-，-，且(1) .求A-B的值(2) .若-求的長2.在AABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c ,且，且(1)求 B(2)若-,求 a.題型九、以平面圖形為背景的解三角形問題例1.在MBC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c ,.(1) .求 ZABC(2)若/A=,D為三角形ABC外一點，DB=2,DC=1求四邊形ABCEH積的最大值。變式練習.如圖，在平面四邊形 ABCD中

12、，DA必B,DE=1,EC= -,EA=2, / 一,且/CBE, ZBEC , ZBCE成等差數(shù)列.(1)求 /(2)求BE的長4、如圖，在梯形 ABC時，已知 AD/ BC,AD=1,BD= 一，/_tan 卓DC=-2 求：(1)CD的長(2)三角形BCD的面積課時達標訓練1、在銳角AABC中，角A, B, C所對的邊分別為a,b, c(1) .設(shè)，求證三角形ABC是等腰三角形(2) .設(shè)向量S=一且-求- 的值.2、在&ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a,b, c.已知a>b,a=5,c=6,-.求b和 的值(2)求-的值3、在MBC中，角A, B, C所對的邊分

13、別為a,b, c.為常數(shù)(1)若m=2j1 求 的值；(2)若m=4,求()的最大值.4、如圖，在梯形 ABC時，已知 AD/ BC,AD=1,BD= 一，/=,tan 卓DC=-Z 求：(1)CD的長(2)三角形BCD的面積5、已知函數(shù)f(x)=-(1)求f (x)的最小值，并寫出取得最小值時自變量 x的取值集合；(2)設(shè)&AC中，角A, B,C所對的邊分別為a, b, c ,且c二 一，若， 求a,b的值6.在銳Ab AABC中，角A, B, C所對的邊分別為a,b, c,已知2cosB=2c-b.(1)若 cos(A+C)=,求 cosC 的值；(2)若b=5,求三角形ABC的面

14、積;(3)若。是三角形ABC接圓的圓心，且求的值.解三角形基礎(chǔ)練習1、滿足A=45，c = j6, a=2的ABC的個數(shù)為m,則am為.2、已知a=5,b=5、3, A =30二 解三角形。3、在AABC中，已知a=4cm, b = xcm, A=60。，如果利用正弦定理解三角形有兩解,則x的取值范圍是()A、x 4B、0 ： x _ 4C、4 _ x _ 83DX 4 ： x : 8-33314、在 AABC 中，若 S =(a2 +b2 -c2),則角 C =.45、設(shè)R是AABC外接圓的半徑，且2R(sin2 A-sin2C) =(J2a-b)sin B ,試求AABC面積的最大值。6、

15、在MBC中,D為邊BC上一點,53BD =33 , sin B = , cos/ADC = ,求 AD .1357、在MBC中,8、在MBC中,已知a,b,c分別為角A, B,C的對邊，若a=生窗，試確定AABC形狀。 b cos Aa,b,c分別為角A,B,C的對邊，已知cosA 2cosc =2cZacosB(1)求嗎sin A1(2)若 cosB= ,b=2，求 &ABC 的面積。41、在 AABC 中，若(a+b+c)(b+ca)=3bc,且 sin A = 2sinBcosC ,貝 UABC 是A、等邊三角形G直角三角形B、鈍角三角形D等腰直角三角形1 C C C 一2、MB

16、C 中若面積 S=-(a2 +b2 -c2)則角 C = 43、清源山是國家級風景名勝區(qū)，山頂有一鐵塔 AB,在塔頂A處測得山下水平面上一點C 的俯角為口，在塔底B處測得點C的俯角為P,若鐵塔的高為h m,則清源山的高度為mA、hsin : cos :sin(： - -)B、hcos： sin :sin(： - -)C、hsin 二 sin I；sin（:工 I'）D h cos 二 cos F； sin（:工 I'）4、AABC的三個內(nèi)角為A、B、C,求當A為何值時，cos A + 2cos B2c取得最大值，并求2出這個最大值。5、在AABC中，a,b,c分別為角 A B、

17、C的對邊，且滿足csinA = acosC(1)求角C的大小(2)求73sin A-cos(B +-)的最大值，并求取得最大值時角 A, B的大小。4正弦定理、余弦定理水平測試題一、選擇題1 .在9BC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若a2+c2b2 = ac,則角B的值 為A.B.C.或 D.或2 .已知銳角4ABC的面積為3, BC = 4, CA=3,則角C的大小為A. 75 B. 60 C. 45 D. 30°3 . (2010 上海高考)若BC的三個內(nèi)角滿足 sinA sinB sinC = 5 11 13,則9BCA. 一定是銳角三角形B. 一定是直角三角形C.

18、一定是鈍角三角形D,可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形4 .如果等腰三角形的周長是底邊長的 5倍，那么它的頂角的余弦值為A.B.C.D.5 . (2010湖南高考)在BC中，角A, B, C所對的邊長分別為a, b, c,若/C=120°, c= a,則()A. a>bB. a<bC. a=bD. a與b大小不能確定二、填空題6 . 3BC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊，已知a=, b=3, C=30°,則A7 . (2010山東高考)在2BC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c.若a=, b=2, sinB + cosB=,則角A的大小為.8 .已知9BC的三個內(nèi)角A, B, C成等差數(shù)列，且 AB=1, BC=4,則邊BC上的中 線AD的長為.三、解答題9 .MBC 中，內(nèi)角 A、B、C 的對邊長分別為 a、b、c.若 a2 c2=2b,且 sinB=4cos