2019年高考北京卷文科數(shù)學真題(含答案)

1、絕密本科目考試啟用前2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(文)(北京卷)本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合 題目要求的一項。1 .已知集合 A=x|-1<x<2 , B=x|x>1,則 AU B=A. (-1,1)B. (1,2)C. ( -1 , + 8)D. (1 , + 8)【答案】C【解析】【分析】根據并集的求法直接求出結果 .【詳解】. A x| 1 x 2, B x

2、| 1,.A B (1,),故選C.【點睛】考查并集的求法，屬于基礎題.2 .已知復數(shù)z=2+i ,則zZA. 3B. 5C. 3D. 5【答案】D【分析】題先求得z,然后根據復數(shù)的乘法運算法則即得.【詳解】z 2 i,z z (2 i)(2 i) 5 故選 d.【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算法則，共軻復數(shù)的定義等知識，屬于基礎題.3 .下列函數(shù)中，在區(qū)間(0, +)上單調遞增的是A. v x2B. y= 2 xC. y loglxD. y -y x2x【答案】A【解析】【分析】由題意結合函數(shù)的解析式考查函數(shù)的單調性即可.【詳解】函數(shù)V 2 x, y 10gL x,21y x在區(qū)間(0,)上單

3、調遞減，i函數(shù)v x2在區(qū)間(0,)上單調遞增，故選 A.y x【點睛】本題考查簡單的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、募函數(shù)的單調性，注重對重要知識、基礎知識的考查, 蘊含數(shù)形結合思想，屬于容易題.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為云A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】【分析】2 12根據程序框圖中的條件逐次運算即可【詳解】運行第一次,運行第二次，k2 22 s3 2 2運行第三次，k2 22 s3 2 2結束循環(huán)，輸出s=2 ,故選B.【點睛】本題考查程序框圖，屬于容易題，注重基礎知識、基本運算能力的考查5.已知雙曲線y2 1 (a>0)的離心率是石貝Ua=A. x 6B. 4C. 21

4、D. 一 2【解析】【分析】本題根據根據雙曲線的離心率的定義，列關于 a的方程求解 【詳解】雙曲線的離心率e ： 非，C Ja2 1 ,a1解得a萬,故選D.【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的定義，雙曲線中 a,b,c的關系，方程的數(shù)學思想等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.6.設函數(shù)f (x) =cos x+bsinx (b為常數(shù))，貝U " b=0 "是"f (x)為偶函數(shù)”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據定義域為R的函數(shù)f(x)為偶函數(shù)等價于f( x戶f(x)進行判斷

5、.【詳解】b 0時，f(x) cosx bsin x cosx, f(x)為偶函數(shù)；f(x)為偶函數(shù)時，f( x戶f(x)對任意的x恒成立， f( x) cos( x) bsin( x) cosx bsin xcosx bsinx cosx bsinx，得bsinx 0對任意的二恒成立，從而b 0.從而“b 0”是“ f(x)為偶函數(shù)”的充分必要條件，故選 C.【點睛】本題較易，注重重要知識、基礎知識、邏輯推理能力的考查7.在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足5rEi-lg-,其中星等為 mi的星的亮度為 E (k=1,2 )2E2.已知太陽的星等是26.7

6、 ,天狼星的星等是-1.45 ,則太陽與天狼星的亮度的比值為A. 10 10.1B. 10.1C. lg10.1D. 10 J0.1由題意得到關于目，己的等式，結合對數(shù)的運算法則可得亮度的比值【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足m2ml5 lg E，令 m22 E221.45m126.7,E1lg 一E2m2 mi2( 1.45 5E110.126.7) 10.1,一 10E2故選：A【點睛】本題以天文學問題為背景，考查考生的數(shù)學應用意識?信息處理能力對數(shù)運算.8 .如圖，A, B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，APB是銳角，大小為以圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為A. 4 B+4cos (

7、3B. 4 /4sin 3C. 2 B+2cos 3D. 2 B+2sin 3【答案】B【解析】【分析】陰影部分的面積S=S午AB+Si-S2AB.其中Si、S2AB的值為定值.當且僅當S中AB取最大值時陰影部分的面積S取最大值.【詳解】觀察圖象可知，當 P為弧AB的中點時，陰影部分的面積 S取最大值,此時/ BOP= ZAOP=兀-3,面積 S 的最大值為 32+ S/PQB+ S午OA=4 B+ |OP|OB|sin （兀-份 2+ |OP|OA|Sin （兀-份=4 /2 Sin 3+2 Sin p=4 3+4 Sin 3,故選 B.【點睛】本題主要考查閱讀理解能力、數(shù)學應用意識、數(shù)形結

8、合思想及數(shù)學式子變形和運算求解能力, 有一定的難度.關鍵觀察分析區(qū)域面積最大時的狀態(tài)，并將面積用邊角等表示第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。- rr一 r r 一9 .已知向重 a= (4, 3), b= (6, m),且 a b ,則 m=.【答案】8.【解析】一一 r r ,. r r一 M .利用a b轉化得到a?b 0加以計算，得到 m.rrrr【詳解】向量a( 4,3 ,b(6,m),ab,r r貝Ua?b 0, 4 6 3m 0, m 8.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算、平面向量的數(shù)量積、平面向量的垂直以及轉化與化歸思想的 應用.屬于容易題

9、.x 2,10 .若x, y滿足 y 1, 則y x的最小值為 最大值為 . 4x 3y 1 0,【答案】(1). 3.(2).1.【解析】【分析】作出可行域，移動目標函數(shù)表示的直線，利用圖解法求解【詳解】作出可行域如圖陰影部分所示.'*' 正前三設z=y-x4U y= x+z.當直線10 ： y=x+z經過點A (2,-1 )時,z取最小值-3,經過點B (2,3)時,z取最大值1.題目難度不大題,【點睛】本題是簡單線性規(guī)劃問題的基本題型，根據“畫、移、解”等步驟可得解 注重了基礎知識、基本技能的考查11 .設拋物線y2=4x焦點為F,準線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的

10、方程為 【答案】(x-1)2+y2=4.由拋物線方程可得焦點坐標，即圓心，焦,以F為圓心,【詳解】拋物線y2=4x中,焦點F (1,0),準線l的方程:=-1 ,)2+y【點睛】本題可采用數(shù)形結合法12.某幾何體是由一個正方體去寸個四棱柱所得,其三視圖如圖所示.且與l相切的圓的方程為(x-準線距離即半徑，y2=2 2,即為要回出圖形,很容易求出結果紙上小正方形的邊長為1,那么該幾何體的體積為 悼里:X【解而【答案】40.【解析】【分析】 本題首先根據三視圖，還原得到幾何體，根據題目給定的數(shù)據，計算幾何體的體積.屬于中等題.【詳解】如圖所示，在棱長為4的正方體中，三視圖對應的幾何體為正方體去掉棱

11、柱MPDA NQCB之后余下的幾何體，31幾何體的體積V 42 42 4 40 .2【點睛】（1）求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數(shù)量關系，利用相應體積公式求解；（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進行求解.13.已知l, m是平面 外 兩條不同直線.給出下列三個論斷：Um；m/:叱,以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題： 【答案】如果la , m / a ,則l,m.【解析】將所給論斷，分別作為條件、結論加以分析.【詳解】將所給論斷，分別作為條件、結論，

12、得到如下三個命題：(1)如果 l，a , m / “，則l，m.正確；(2)如果 U a , Um,則m /%不正確，有可能 m在平面a內；(3)如果Um, m / a ,則l，a .不正確，有可能l與a斜交、l / a【點睛】本題主要考查空間線面的位置關系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力14.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網上支付成功后，李明會得到支付款的80% .當x=10時，顧客一次購買草

13、莓和西瓜各1盒，需要支付 元；在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為【答案】(1).130.(2).15.【解析】【分析】由題意可得顧客需要支付的費用，然后分類討論，將原問題轉化為不等式恒成立的問題可得X的最大值.【詳解】(1) x 10 ,顧客一次購買草莓和西瓜各一盒 ，需要支付60 80 10 130元.(2)設顧客一次購買水果的促銷前總價為y元，y 120元時，李明得到的金額為y 80% ,符合要求.yyy 120元時，有 y x 80% y 70%恒成立，即 8 y x 7y,x ，即 x15元.88 min所以X勺最大值為15.【點睛】本題

14、主要考查不等式的概念與性質?數(shù)學的應用意識？數(shù)學式子變形與遺算尿解能力生活為背景，創(chuàng)設問題情境，考查學生身邊的數(shù)學，考查學生的數(shù)學建模素養(yǎng)三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。115 .在AABC 中，a=3 , b -c 2, cos B= 2.(I)求b, c的值;(n )求 sin(B+C)的值.（I ）由題意列出關于75；a,b,c的方程組，求解方程組即可確定b ,c的值;（n）由題意結合余弦定理、同角三角函數(shù)基本關系和誘導公式可得sinB C的值.2ac（n）由（I）知 a 3,b 7, c 5 ,所以 cosA,222b c a2bc13一;14因為

15、A為 ABC的內角，所以sin A &cos2 A3.314因為 sin(B C) sin( A) sin A3.314a2 c2 b2【詳解】（i）由余弦定理可得 cosB 2,所以解得因為a 3,所以c2 b2 3c 9 0；因為b c【點睛】本題主要考查余弦定理的應用，同角三角函數(shù)基本關系、誘導公式的應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力16 .設an是等差數(shù)列，ai= T0 ,且a2+10 , a3+8 , a4+6成等比數(shù)列.(I)求an的通項公式；(n)記an的前n項和為Sn,求Sn的最小值.【答案】(I)斗2n 12；(n)當n 5或者n 6時，Sn取到最小值

16、30.【解析】【分析】(I)由題意首先求得數(shù)列的公差，然后利用等差數(shù)列通項公式可得an的通項公式；(n)首先求得Sn的表達式，然后結合二次函數(shù)的性質可得其最小值【詳解】(I)設等差數(shù)列 an的公差為d ,因為+ 10%+8,4+6成等比數(shù)列，所以(氏+8)2 (a+ 10闡+6), 即(2d 2)2 d(3d 4),解得 d 2,所以410 2(n 1) 2n 12.(n)由(i)知斗 2n 12,10 2n 12211、2 121所以 Sn 2 n n 11n (n -)；當n 5或者n 6時，&取到最小值 30.【點睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的

17、關鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關公式并能靈活運用 .17.改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變.近年來，移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月 A, B兩種移動支付方式的使用，f#況，從全校所有的1000名學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中 A, B兩種支付方式都不使用的有 5人，樣本中僅使用 A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下:支付金額支付方式不大丁 2000兀大于2000元僅使）目A27人3人僅使）目B24人1人（I ）估計該校學生中上個月A , B兩種支付方式都使用的人數(shù)；（n）從樣本僅使用 B的學生中隨機抽取1人，求該學生上個月支付金額大于2000元的概率；（

18、出）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人,發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于 2000元.結合（n）的結果，能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.【答案】（I） 400人；,、1（n）一；25（出）見解析.【解析】【分析】（I ）由題意利用頻率近似概率可得滿足題意的人數(shù)；（n）利用古典概型計算公式可得上個月支付金額大于2000元的概率；（m ）結合概率統(tǒng)計相關定義給出結論即可.【詳解】（I）由圖表可知僅使用 A的人數(shù)有30人，僅使用B的人數(shù)有25由題意知A,B兩種支付方式都不使用的有 5人,所以樣本中兩種支付方式都使用的

19、有100 30 25 5 40, 40所以全校學生中兩種支付方式都使用的有前 1000 400 （人）.（n）因為樣本中僅使用 B的學生共有25人，只有1人支付金額大于2000元，所以該學生上個月支付金額大于2000元的概率為.251（出）由（n）知支付金額大于2000兀的概率為 ,25因為從僅使用 B的學生中隨機調查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元，依據小概率事件它在一次試驗中是幾乎不可能發(fā)生的，所以可以認為僅使用 B的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化，且比上個月多 .【點睛】本題主要考查古典概型概率公式及其應用，概率的定義與應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能

20、力.18.如圖，在四棱錐 P ABCD中，PA 平面ABCD,底部ABCD為菱形，E為CD的中點.BC(I)求證：BDL平面PAC;(n)若/ ABC=60 ° ,求證：平面PABL平面PAE;（出）棱PB上是否存在點F,使得CF/平面PAE?說明理由【答案】（I）見解析;（H）見解析;(m)見解析【解析】【分析】(I )由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結論;(n)由幾何體的空間結構特征首先證得線面垂直，然后利用面面垂直的判斷定理可得面面垂直;(m )由題意，利用平行四邊形的性質和線面平行的判定定理即可找到滿足題意的點【詳解】(I)證明：因為 PA 平面ABCD所以PA B

21、D;因為底面ABCD是菱形，所以AC BD;因為 PAI AC A,PA,AC 平面 PAC , 所以BD平面PAC .(n)證明：因為底面 ABCD是菱形且 ABC 60 ,所以 ACD為正三角形，所以 AE CD,因為AB/CD,所以 AE AB;因為PA平面ABCD , AE 平面ABCD,所以AEPA;因為PAIAB A所以AE平面PAB,AE平面PAE所以平面 PAB 平面PAE.(m)存在點 F為PB中點時，滿足 CF 平面PAE;理由如下分別取PB,PA的中點F , G ,連接CF ,FG , EG ,1在三角形PAB中，F(xiàn)G/AB且FG ab；2一 1 -一 一在菱形ABCD中

22、，E為CD中點，所以CE/AB且CEAB,所以CE/FG且CE FG ,即四邊形CEGF為平行四邊形，所以 CF/EG;又CF 平面PAE , EG 平面PAE ,所以CF 平面PAE.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探索問題等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2219.已知橢圓C ：9 b- 1的右焦點為(1,0),且經過點A(0,1).(I)求橢圓C的方程；(n)設O為原點，直線l ： y kx t(t 1)與橢圓C交于兩個不同點 P, Q,直線AP與x軸交于點M ,直線AQ與x軸交于點N ,若|OM | |ON |=2 ,求證：直線l經過

23、定點. 2【答案】(I) y2 1； 2(n)見解析.【解析】【分析】(I )由題意確定a,b的值即可確定橢圓方程；(n )設出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定OM ,ON的表達式，結合韋達定理確定t的值即可證明直線rf過定點.12【詳解】(I)因為橢圓的右焦點為 (1,0),所以一；252X 2因為橢圓經過點 A(0,1)，所以b 1,所以a2 b2 c2 2,故橢圓的方程為 y2 1.2(n)設 P(X,X),Q(X2,y2)2 x 2 i聯(lián)立 萬 y 得(i 2k2)x2 4ktx 2t2 2 0, y kx t(t i)0,% X24kt2,恪i 2k222t2 2-2 '

24、i 2k2yiV2 ”為X2) 2t2ti 2k2，yiy212k 為x2kt(Xx2)t2t2 2k2i 2k2直線AP: y 1yixixiyiixiyii同理可得ONx2y2 i因為t2【點口om|on2,所以xiX2X1X2yi1 y21yy2 (yi y?) 12;i2t ii,解之得t 0,所以直線方程為 y kx ,所以直線l恒過定點(0, 0).1解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意:注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件;(2)強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、角形的面積等問題.20.已知函數(shù)f (x)()(出)求曲線y f (x)的斜率為當 x 2,4時,設 F(x) | f(x)求證:i的切線方程;x 6 f (x) x；(x a