2019年高考北京卷文科數(shù)學(xué)真題(含答案)

1、絕密本科目考試啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(文)(北京卷)本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合 題目要求的一項(xiàng)。1 .已知集合 A=x|-1<x<2 , B=x|x>1,則 AU B=A. (-1,1)B. (1,2)C. ( -1 , + 8)D. (1 , + 8)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)并集的求法直接求出結(jié)果 .【詳解】. A x| 1 x 2, B x

2、| 1,.A B (1,),故選C.【點(diǎn)睛】考查并集的求法，屬于基礎(chǔ)題.2 .已知復(fù)數(shù)z=2+i ,則zZA. 3B. 5C. 3D. 5【答案】D【分析】題先求得z,然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則即得.【詳解】z 2 i,z z (2 i)(2 i) 5 故選 d.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，共軻復(fù)數(shù)的定義等知識，屬于基礎(chǔ)題.3 .下列函數(shù)中，在區(qū)間(0, +)上單調(diào)遞增的是A. v x2B. y= 2 xC. y loglxD. y -y x2x【答案】A【解析】【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式考查函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】函數(shù)V 2 x, y 10gL x,21y x在區(qū)間(0,)上單

3、調(diào)遞減，i函數(shù)v x2在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增，故選 A.y x【點(diǎn)睛】本題考查簡單的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、募函數(shù)的單調(diào)性，注重對重要知識、基礎(chǔ)知識的考查, 蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合思想，屬于容易題.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為云A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】【分析】2 12根據(jù)程序框圖中的條件逐次運(yùn)算即可【詳解】運(yùn)行第一次,運(yùn)行第二次，k2 22 s3 2 2運(yùn)行第三次，k2 22 s3 2 2結(jié)束循環(huán)，輸出s=2 ,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，屬于容易題，注重基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算能力的考查5.已知雙曲線y2 1 (a>0)的離心率是石貝Ua=A. x 6B. 4C. 21

4、D. 一 2【解析】【分析】本題根據(jù)根據(jù)雙曲線的離心率的定義，列關(guān)于 a的方程求解 【詳解】雙曲線的離心率e ： 非，C Ja2 1 ,a1解得a萬,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的定義，雙曲線中 a,b,c的關(guān)系，方程的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.6.設(shè)函數(shù)f (x) =cos x+bsinx (b為常數(shù))，貝U " b=0 "是"f (x)為偶函數(shù)”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)為偶函數(shù)等價于f( x戶f(x)進(jìn)行判斷

5、.【詳解】b 0時，f(x) cosx bsin x cosx, f(x)為偶函數(shù)；f(x)為偶函數(shù)時，f( x戶f(x)對任意的x恒成立， f( x) cos( x) bsin( x) cosx bsin xcosx bsinx cosx bsinx，得bsinx 0對任意的二恒成立，從而b 0.從而“b 0”是“ f(x)為偶函數(shù)”的充分必要條件，故選 C.【點(diǎn)睛】本題較易，注重重要知識、基礎(chǔ)知識、邏輯推理能力的考查7.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足5rEi-lg-,其中星等為 mi的星的亮度為 E (k=1,2 )2E2.已知太陽的星等是26.7

6、 ,天狼星的星等是-1.45 ,則太陽與天狼星的亮度的比值為A. 10 10.1B. 10.1C. lg10.1D. 10 J0.1由題意得到關(guān)于目，己的等式，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足m2ml5 lg E，令 m22 E221.45m126.7,E1lg 一E2m2 mi2( 1.45 5E110.126.7) 10.1,一 10E2故選：A【點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問題為背景，考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識?信息處理能力對數(shù)運(yùn)算.8 .如圖，A, B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動點(diǎn)，APB是銳角，大小為以圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為A. 4 B+4cos (

7、3B. 4 /4sin 3C. 2 B+2cos 3D. 2 B+2sin 3【答案】B【解析】【分析】陰影部分的面積S=S午AB+Si-S2AB.其中Si、S2AB的值為定值.當(dāng)且僅當(dāng)S中AB取最大值時陰影部分的面積S取最大值.【詳解】觀察圖象可知，當(dāng) P為弧AB的中點(diǎn)時，陰影部分的面積 S取最大值,此時/ BOP= ZAOP=兀-3,面積 S 的最大值為 32+ S/PQB+ S午OA=4 B+ |OP|OB|sin （兀-份 2+ |OP|OA|Sin （兀-份=4 /2 Sin 3+2 Sin p=4 3+4 Sin 3,故選 B.【點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀理解能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、數(shù)形結(jié)

8、合思想及數(shù)學(xué)式子變形和運(yùn)算求解能力, 有一定的難度.關(guān)鍵觀察分析區(qū)域面積最大時的狀態(tài)，并將面積用邊角等表示第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。- rr一 r r 一9 .已知向重 a= (4, 3), b= (6, m),且 a b ,則 m=.【答案】8.【解析】一一 r r ,. r r一 M .利用a b轉(zhuǎn)化得到a?b 0加以計算，得到 m.rrrr【詳解】向量a( 4,3 ,b(6,m),ab,r r貝Ua?b 0, 4 6 3m 0, m 8.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積、平面向量的垂直以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的 應(yīng)用.屬于容易題

9、.x 2,10 .若x, y滿足 y 1, 則y x的最小值為 最大值為 . 4x 3y 1 0,【答案】(1). 3.(2).1.【解析】【分析】作出可行域，移動目標(biāo)函數(shù)表示的直線，利用圖解法求解【詳解】作出可行域如圖陰影部分所示.'*' 正前三設(shè)z=y-x4U y= x+z.當(dāng)直線10 ： y=x+z經(jīng)過點(diǎn)A (2,-1 )時,z取最小值-3,經(jīng)過點(diǎn)B (2,3)時,z取最大值1.題目難度不大題,【點(diǎn)睛】本題是簡單線性規(guī)劃問題的基本題型，根據(jù)“畫、移、解”等步驟可得解 注重了基礎(chǔ)知識、基本技能的考查11 .設(shè)拋物線y2=4x焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的

10、方程為 【答案】(x-1)2+y2=4.由拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，即圓心，焦,以F為圓心,【詳解】拋物線y2=4x中,焦點(diǎn)F (1,0),準(zhǔn)線l的方程:=-1 ,)2+y【點(diǎn)睛】本題可采用數(shù)形結(jié)合法12.某幾何體是由一個正方體去寸個四棱柱所得,其三視圖如圖所示.且與l相切的圓的方程為(x-準(zhǔn)線距離即半徑，y2=2 2,即為要回出圖形,很容易求出結(jié)果紙上小正方形的邊長為1,那么該幾何體的體積為 悼里:X【解而【答案】40.【解析】【分析】 本題首先根據(jù)三視圖，還原得到幾何體，根據(jù)題目給定的數(shù)據(jù)，計算幾何體的體積.屬于中等題.【詳解】如圖所示，在棱長為4的正方體中，三視圖對應(yīng)的幾何體為正方體去掉棱

11、柱MPDA NQCB之后余下的幾何體，31幾何體的體積V 42 42 4 40 .2【點(diǎn)睛】（1）求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.13.已知l, m是平面 外 兩條不同直線.給出下列三個論斷：Um；m/:叱,以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題： 【答案】如果la , m / a ,則l,m.【解析】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論加以分析.【詳解】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，

12、得到如下三個命題：(1)如果 l，a , m / “，則l，m.正確；(2)如果 U a , Um,則m /%不正確，有可能 m在平面a內(nèi)；(3)如果Um, m / a ,則l，a .不正確，有可能l與a斜交、l / a【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面的位置關(guān)系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力14.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價達(dá)到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80% .當(dāng)x=10時，顧客一次購買草

13、莓和西瓜各1盒，需要支付 元；在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為【答案】(1).130.(2).15.【解析】【分析】由題意可得顧客需要支付的費(fèi)用，然后分類討論，將原問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題可得X的最大值.【詳解】(1) x 10 ,顧客一次購買草莓和西瓜各一盒 ，需要支付60 80 10 130元.(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價為y元，y 120元時，李明得到的金額為y 80% ,符合要求.yyy 120元時，有 y x 80% y 70%恒成立，即 8 y x 7y,x ，即 x15元.88 min所以X勺最大值為15.【點(diǎn)睛】本題

14、主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識？數(shù)學(xué)式子變形與遺算尿解能力生活為背景，創(chuàng)設(shè)問題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。115 .在AABC 中，a=3 , b -c 2, cos B= 2.(I)求b, c的值;(n )求 sin(B+C)的值.（I ）由題意列出關(guān)于75；a,b,c的方程組，求解方程組即可確定b ,c的值;（n）由題意結(jié)合余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式可得sinB C的值.2ac（n）由（I）知 a 3,b 7, c 5 ,所以 cosA,222b c a2bc13一;14因?yàn)?/p>

15、A為 ABC的內(nèi)角，所以sin A &cos2 A3.314因?yàn)?sin(B C) sin( A) sin A3.314a2 c2 b2【詳解】（i）由余弦定理可得 cosB 2,所以解得因?yàn)閍 3,所以c2 b2 3c 9 0；因?yàn)閎 c【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力16 .設(shè)an是等差數(shù)列，ai= T0 ,且a2+10 , a3+8 , a4+6成等比數(shù)列.(I)求an的通項(xiàng)公式；(n)記an的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn的最小值.【答案】(I)斗2n 12；(n)當(dāng)n 5或者n 6時，Sn取到最小值

16、30.【解析】【分析】(I)由題意首先求得數(shù)列的公差，然后利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得an的通項(xiàng)公式；(n)首先求得Sn的表達(dá)式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值【詳解】(I)設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d ,因?yàn)? 10%+8,4+6成等比數(shù)列，所以(氏+8)2 (a+ 10闡+6), 即(2d 2)2 d(3d 4),解得 d 2,所以410 2(n 1) 2n 12.(n)由(i)知斗 2n 12,10 2n 12211、2 121所以 Sn 2 n n 11n (n -)；當(dāng)n 5或者n 6時，&取到最小值 30.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的

17、關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用 .17.改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個月 A, B兩種移動支付方式的使用，f#況，從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中 A, B兩種支付方式都不使用的有 5人，樣本中僅使用 A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下:支付金額支付方式不大丁 2000兀大于2000元僅使）目A27人3人僅使）目B24人1人（I ）估計該校學(xué)生中上個月A , B兩種支付方式都使用的人數(shù)；（n）從樣本僅使用 B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個月支付金額大于2000元的概率；（

18、出）已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人,發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于 2000元.結(jié)合（n）的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.【答案】（I） 400人；,、1（n）一；25（出）見解析.【解析】【分析】（I ）由題意利用頻率近似概率可得滿足題意的人數(shù)；（n）利用古典概型計算公式可得上個月支付金額大于2000元的概率；（m ）結(jié)合概率統(tǒng)計相關(guān)定義給出結(jié)論即可.【詳解】（I）由圖表可知僅使用 A的人數(shù)有30人，僅使用B的人數(shù)有25由題意知A,B兩種支付方式都不使用的有 5人,所以樣本中兩種支付方式都使用的

19、有100 30 25 5 40, 40所以全校學(xué)生中兩種支付方式都使用的有前 1000 400 （人）.（n）因?yàn)闃颖局袃H使用 B的學(xué)生共有25人，只有1人支付金額大于2000元，所以該學(xué)生上個月支付金額大于2000元的概率為.251（出）由（n）知支付金額大于2000兀的概率為 ,25因?yàn)閺膬H使用 B的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元，依據(jù)小概率事件它在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的，所以可以認(rèn)為僅使用 B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化，且比上個月多 .【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式及其應(yīng)用，概率的定義與應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能

20、力.18.如圖，在四棱錐 P ABCD中，PA 平面ABCD,底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn).BC(I)求證：BDL平面PAC;(n)若/ ABC=60 ° ,求證：平面PABL平面PAE;（出）棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得CF/平面PAE?說明理由【答案】（I）見解析;（H）見解析;(m)見解析【解析】【分析】(I )由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論;(n)由幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征首先證得線面垂直，然后利用面面垂直的判斷定理可得面面垂直;(m )由題意，利用平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理即可找到滿足題意的點(diǎn)【詳解】(I)證明：因?yàn)?PA 平面ABCD所以PA B

21、D;因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以AC BD;因?yàn)?PAI AC A,PA,AC 平面 PAC , 所以BD平面PAC .(n)證明：因?yàn)榈酌?ABCD是菱形且 ABC 60 ,所以 ACD為正三角形，所以 AE CD,因?yàn)锳B/CD,所以 AE AB;因?yàn)镻A平面ABCD , AE 平面ABCD,所以AEPA;因?yàn)镻AIAB A所以AE平面PAB,AE平面PAE所以平面 PAB 平面PAE.(m)存在點(diǎn) F為PB中點(diǎn)時，滿足 CF 平面PAE;理由如下分別取PB,PA的中點(diǎn)F , G ,連接CF ,FG , EG ,1在三角形PAB中，F(xiàn)G/AB且FG ab；2一 1 -一 一在菱形ABCD中

22、，E為CD中點(diǎn)，所以CE/AB且CEAB,所以CE/FG且CE FG ,即四邊形CEGF為平行四邊形，所以 CF/EG;又CF 平面PAE , EG 平面PAE ,所以CF 平面PAE.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探索問題等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2219.已知橢圓C ：9 b- 1的右焦點(diǎn)為(1,0),且經(jīng)過點(diǎn)A(0,1).(I)求橢圓C的方程；(n)設(shè)O為原點(diǎn)，直線l ： y kx t(t 1)與橢圓C交于兩個不同點(diǎn) P, Q,直線AP與x軸交于點(diǎn)M ,直線AQ與x軸交于點(diǎn)N ,若|OM | |ON |=2 ,求證：直線l經(jīng)過

23、定點(diǎn). 2【答案】(I) y2 1； 2(n)見解析.【解析】【分析】(I )由題意確定a,b的值即可確定橢圓方程；(n )設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定OM ,ON的表達(dá)式，結(jié)合韋達(dá)定理確定t的值即可證明直線rf過定點(diǎn).12【詳解】(I)因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為 (1,0),所以一；252X 2因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn) A(0,1)，所以b 1,所以a2 b2 c2 2,故橢圓的方程為 y2 1.2(n)設(shè) P(X,X),Q(X2,y2)2 x 2 i聯(lián)立 萬 y 得(i 2k2)x2 4ktx 2t2 2 0, y kx t(t i)0,% X24kt2,恪i 2k222t2 2-2 '

24、i 2k2yiV2 ”為X2) 2t2ti 2k2，yiy212k 為x2kt(Xx2)t2t2 2k2i 2k2直線AP: y 1yixixiyiixiyii同理可得ONx2y2 i因?yàn)閠2【點(diǎn)口om|on2,所以xiX2X1X2yi1 y21yy2 (yi y?) 12;i2t ii,解之得t 0,所以直線方程為 y kx ,所以直線l恒過定點(diǎn)(0, 0).1解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意:注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件;(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、角形的面積等問題.20.已知函數(shù)f (x)()(出)求曲線y f (x)的斜率為當(dāng) x 2,4時,設(shè) F(x) | f(x)求證:i的切線方程;x 6 f (x) x；(x a