高中的各種函數(shù)圖像畫法與函數(shù)性質(zhì)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔一次函數(shù)(一)函數(shù)1、確定函數(shù)定義域的方法：(1)關(guān)系式為整式時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；(2)關(guān)系式含有分式時(shí)，分式的分母不等于零；(3)關(guān)系式含有二次根式時(shí)，被開放方數(shù)大于等于零；(4)關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí)，底數(shù)不等于零；(5)實(shí)際問題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合，使之有意義。(二)一次函數(shù)1、一次函數(shù)的定義一般地，形如y=kx+b (k, b是常數(shù)，且k#0)的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，其中 x是 自變量。當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)y=kx,又叫做正比例函數(shù)。一次函數(shù)的解析式的形式是 y=kx+b,要判斷一個(gè)函數(shù)是否是一次函數(shù)，就是判斷是否能化成以上形式.當(dāng)b=0,

2、k#0時(shí)，y = kx仍是一次函數(shù).當(dāng)b=0, k=0時(shí)，它不是一次函數(shù).正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)包括正比例函數(shù).一般地，形如y=kx(k是常數(shù), 注：正比例函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx (k當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過三、2、正比例函數(shù)及性質(zhì)kw0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).不為零)k不為零 x指數(shù)為1b取零一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當(dāng)k<0 時(shí)，？直線y=kx經(jīng)過二、四象限，從左向右下降，即隨 x增大y反而減小.(1)解析式：y=kx (k是常數(shù)，kw 0)(2)必過點(diǎn)：(0, 0)、(1, k)(3)走向：k>0時(shí)，圖像經(jīng)過一、三象

3、限；k<0時(shí)，？圖像經(jīng)過二、四象限(4)增減性：k>0, y隨x的增大而增大；k<0, y隨x增大而減小(5)傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸3、一次函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx+ b(k,b是常數(shù)，kw0),那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，y=kx + b即y=kx,所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)注：一次函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx+b （k 不為零）k不為零 x指數(shù)為1b取任意實(shí)數(shù)b一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過（0, b）和（-_, 0）兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直k線y=kx+b,它可以看作由直線 y=kx平移|b|個(gè)單位長度得到.（當(dāng)b&

4、gt;0時(shí)，向上平移；當(dāng)b<0 時(shí)，向下平移）（1）解析式：y=kx+b（k、b 是常數(shù)，k¥0）b（2）必過點(diǎn)：（0, b）和（-9 , 0）k（3）走向：k>0 ,圖象經(jīng)過第一、三象限；b>0,圖象經(jīng)過第一、二象限；k >0u直線經(jīng)過第一、二、三象限b >0k<0u直線經(jīng)過第一、二、四象限b>0（4）增減性：k>0 , y隨x的增大而增大;k<0,圖象經(jīng)過第二、四象限b<0,圖象經(jīng)過第三、四象限3k >0=直線經(jīng)過第一、三、四象限b <0ik<0u直線經(jīng)過第二、三、四象限b <0k<0, y

5、隨x增大而減小.（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近于 y軸；|k|越小，圖象越接近于 x軸.（6）圖像的平移：當(dāng)b>0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移 b個(gè)單位；當(dāng)b<0時(shí)，將直線y=kx的圖象向下平移 b個(gè)單位.4、一次函數(shù)y=kx + b的圖象的畫法根據(jù)幾何知識(shí)：經(jīng)過兩點(diǎn)能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直 線，所以畫一次函數(shù)的圖象時(shí)，只要先描出兩點(diǎn)，再連成直線即可.一般情況下：是先選取（b 匕與兩坐標(biāo)軸的父點(diǎn)：（0, b）, I出1 .即橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為 0的點(diǎn).圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大5、正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關(guān)系一次函數(shù)y=kx + b

6、的圖象是一條直線，它可以看作是由直線 y=kx平移|b|個(gè)單位長度而得到（當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng) b<0時(shí)，向下平移）6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)及性質(zhì)正比例函數(shù)一次函數(shù)概念一般地，形如 y=kx（k是常數(shù)，kW0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)一般地，形如y=kx+b（k,b是常數(shù)，kw0）,那 么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，是y=kx, 所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).自變量 范圍X為全體實(shí)數(shù)圖象一條直線必過點(diǎn)(0, 0)、(1, k)一b(0, b)和(-b, 0) k走向k>0時(shí)，直線經(jīng)過一、三象限； k<0時(shí)，直線經(jīng)過二、四象限k>0,

7、 b>0,直線經(jīng)過第一、二、二象限k>0, b<0直線經(jīng)過A、三、四象限k<0, b>0直線經(jīng)過A、二、四象限k<0, b<0直線經(jīng)過第二、三、四象限增減性k>0, y隨x的增大而增大；(從左1可右上升)k<0, y隨x的增大而減小。(從左1可右下降)傾斜度|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸圖像的 平移b>0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移 耳個(gè)單位；b<0時(shí)，將直線y=kx的圖象向卜平移 口個(gè)單位.6<0b>0b<06、直線 y=k1x+b1 (兄弟0)與丫 = k2x + b2 ( k2 # 0

8、 )的位置關(guān)系(1)兩直線平行 a k1 =k2且b1 #b2(2)兩直線相交二k1 # k2(3)兩直線重合 u k1 =k2且b1 =b2(4)兩直線垂直 u k1k2 = -17、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：(1)根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；(2)將x、y的幾對值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；(3)解方程得出未知系數(shù)的值；(4)將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式8、一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0 (a, b為常數(shù)，aw 0)的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：

9、當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為 0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值.從圖象上看，相當(dāng) 于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.9、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0 (a, b為常數(shù)，aw0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大(小)于。時(shí)，求自變量的取值范圍.10、一次函數(shù)與二元一次方程組(1)以二元一次方程 ax+by=c的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y=_ax + f的b b圖象相同.aix+biy Ciac(2)二元一次方程組 ,的解可以看作是兩個(gè)一次函數(shù)y= _里x + 2和a2 x + b2 y =

10、c2bibia2c2y= x +一的圖象交點(diǎn)b2b2二次函數(shù)一、二次函數(shù)概念：1 .二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c (a, b, c是常數(shù)，a#0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似， 二次項(xiàng)系數(shù)a / 0 ,而b, c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).2 .二次函數(shù)y =ax2 +bx +c的結(jié)構(gòu)特征：等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.a,b,c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).二、二次函數(shù)的基本形式 一般式：f (x)=ax2+bx+c(a#0)一，.2 頂點(diǎn)式：f(x)=a(x + m) +n(a#0

11、)fx=ax-% x-x2 a；02f x = ax bx c a = 0圖像定義域?qū)ΨQ軸x =2a頂點(diǎn)坐標(biāo)4ac-b2 ”值域24ac-b4a一二一，一2a單調(diào)區(qū)間2aI 2a遞減4aO0-二-,4ac-b4a )2a遞增當(dāng) =b2 4ac A0時(shí)，二次函數(shù)的圖像和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)Mi(xi.0),M2(X2.0),線段M1M2&/b2 -4ac=X|一 X2當(dāng) =b2 4ac = 0時(shí)，二次函數(shù)的圖像和x軸有兩個(gè)重合的交點(diǎn)M .-,0 特別地，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，二次函數(shù)f (x)=ax2+bx + c(a#0)為偶函數(shù).1.二次函數(shù)基本形式：y=ax2的性質(zhì):a的絕對值越大，拋物線的

12、開口越小。a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a >0向上(0, 0)y軸x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；x<0時(shí)，y隨 x的增大而減?。粁=0時(shí)，y有最小值0.a <0問卜(0, 0)y軸x>0時(shí)，y隨x的增大而減??；x<0時(shí)，y隨 x的增大而增大；x=0時(shí)，y有最大值0.2. y =ax2 +c 的性質(zhì):上加下減。a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a >0向上(0, c)y軸x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；x<0時(shí)，y隨 x的增大而減??；x =0時(shí)，y有最小值c .a <0問卜(0, c)y軸x>0時(shí)，y隨x的增大而減小；x<

13、;0時(shí)，y隨 x的增大而增大；x=0時(shí)，y有最大值c.3. y=a(xh2 的性質(zhì):左加右減。a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a >0向上(h, 0)X=hxh時(shí)，y隨x的增大而增大；x<h時(shí)，y 隨x的增大而減??；x = h時(shí)，y有最小值0 .a <0問卜(h, 0)X=hxh時(shí)，y隨x的增大而減小；x<h時(shí)，y 隨x的增大而增大；x = h時(shí)，y有最大值0.4. y=a(x-h)+k 的性 質(zhì):a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a >0向上(h, k )X=hxh時(shí)，y隨x的增大而增大；x<h時(shí)，y 隨x的增大而減??；x = h時(shí)，y有最小值k .a

14、<0問卜(h, k )X=hxh時(shí)，y隨x的增大而減??；x<h時(shí)，y 隨x的增大而增大；x = h時(shí)，y有最大值k .三、二次函數(shù)圖象的平移1 .平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-hf+k，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)(h , k)； 保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到 (h, k)處，具體平移方法如下:平移|k|個(gè)單位y= y=aX2+k向上(k>0)【或向飛k<0)】平移|k件單位y=a<向右(h>0)或左h<0)】向上(k>0)1或T(k<0)l平移|k|個(gè)單位y=a(x-hi2向右(h>0)【或右:h&l

15、t;0) 平移|k|個(gè)單位平移|k|個(gè)單位向上(k>0)【或下k<0)、向右(h>0)【或右:h<0)平移|k|個(gè)單位y= y=a(x-h2+k2 .平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“ h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減方法二：6y=ax2+bx+c沿y軸平移：向上(下)平移 m個(gè)單位，y=ax2+bx+c變成22y=ax +bx+c+m (或 y = ax +bx+c-m)y=ax2+bx+c沿軸平移：向左(右)平移m個(gè)單位，y = ax2+bx + c變成y =a(x+m)2 +b(x +m) +c (或 y =a(xm)2 +b(x

16、m) + c)四、二次函數(shù)y =a(xh j+k與y =ax2+bx+c的比較從解析式上看，y =a(x -h j +k與y =ax2 +bx +c是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配 方可以得到前者，即y=a''x+ +4aC-b2，其中h =-上，kjl2 .2a 4a2a 4a五、二次函數(shù)y =ax2 bx c圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y=ax2+bx+c化為頂點(diǎn)式y(tǒng) = a(xh)2+k,確定其開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與 y軸的交點(diǎn)（0,c）、以及（0, c ）關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)（2h,c

17、卜 與x軸的交點(diǎn) 恪，0）, （X2, 0 ）（若與x軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).六、二次函數(shù)y =ax2 bx-c的性質(zhì)f2、1 .當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，對稱軸為x = _,頂點(diǎn)坐標(biāo)為1, 4ac-b （.2a12a 4a y當(dāng)x<-b-時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)x>b時(shí) y隨x的增大而增大；當(dāng)x = b2a2a2a2時(shí)，y有最小值4acb .4a,22 .當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，對稱軸為x =b-,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,acb ;當(dāng)2a12a 4a yx<B時(shí)，y隨x的增

18、大而增大；當(dāng)2ax > 時(shí),2ay隨x的增大而減?。划?dāng)x =時(shí), 2ay有最大值看七、二次函數(shù)解析式的表示方法1 . 一般式：y=ax2+bx+c （a, b, c 為常數(shù)，a*0）;2 .頂點(diǎn)式：y=a（xh）2+k （a, h , k 為常數(shù)，a#0）;3 .兩根式：y =a（xx»（xx2）（a#0,為，x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與 x軸有交點(diǎn)，即b2-4ac20時(shí)，拋物線的解析式才可以用交 點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之

19、間的關(guān)系1 .二次項(xiàng)系數(shù)a二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 a#0 . 當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上， a的值越大，開口越小，反之 a的值越小，開口越 當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下， a的值越小，開口越小，反之 a的值越大，開口越 大.總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，|a 的大小決定開口的大小.2 . 一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸.在a >0的前提下，當(dāng)b>0時(shí)，_2<0,即拋物線的對稱軸在 y軸左側(cè)；2a當(dāng)b=0時(shí)，_旦=0,即拋物線的對稱軸就是 y軸；2a當(dāng)b <0時(shí)，_

20、旦>0 ,即拋物線對稱軸在 y軸的右側(cè).2a 在a <0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b>0時(shí)，-2>0,即拋物線的對稱軸在 y軸右側(cè)；2a當(dāng)b=0時(shí)，9=0,即拋物線的對稱軸就是 y軸；2a當(dāng)b <0時(shí)，旦<0 ,即拋物線對稱軸在 y軸的左側(cè).2aab的符號(hào)的判定：對稱軸x =-且在y軸左邊則ab>0,在y軸的右側(cè) 2a則ab<0,概括的說就是“左同右異”3.常數(shù)項(xiàng)c當(dāng)c=0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正;y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0; y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù). 當(dāng)CA0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與

21、當(dāng)c<0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.總之，只要a, b, c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式， 通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的 解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：1 .已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2 .已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；3 .已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4 .已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.九、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對

22、稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于x軸對稱22_y =ax +bx+c關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y=ax bxc；22y =a(xh j +k關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y =a(x-h)-k ；2.關(guān)于y軸對稱y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是-2y =ax bx +c ；2y =a(x-h ) +k關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是2y = a(x +h ) +k ；3 .關(guān)于原點(diǎn)對稱y =ax2 bx，c關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y = -ax2 bx -c；y =a(xh 2+k關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y=-a(x+hj-k；4 .關(guān)于頂點(diǎn)對

23、稱(即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。)2一 一. .一y =ax bx，c關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是2y =a(x -h ) +k關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y *2 _bx j；2a2y =-a( x -h ) +k .5.關(guān)于點(diǎn)(m, n閃稱22y =a(xh § +k關(guān)于點(diǎn)(m, n )對稱后，得至解析式是 y=-a(x+h-2m) +2n-k根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換， 拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化， 因此|a永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時(shí)， 可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則， 選擇合適 的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線(或表達(dá)式已知的拋物線) 的頂點(diǎn)坐標(biāo)及

24、開口方向， 再確 定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式.十、二次函數(shù)與一元二次方程：1 .二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況)一元二次方程ax2 +bx + c=0是二次函數(shù)y =ax2+bx+c當(dāng)函數(shù)值y = 0時(shí)的特殊 情況.圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)A=b2 4ac >0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn) A(x-0卜B(x2, 0 )(為,x2),其中的為，”是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a #0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB = x2 - x11 =、b2 -4ac 當(dāng)A=0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)A<0時(shí)，圖象與x軸沒有交

25、點(diǎn).1當(dāng)a>0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有 y>0 ；2當(dāng)a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有 y<0.2 .拋物線y =ax2 +bx+c的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0 , c);3 .二次函數(shù)常用解題方法總結(jié): 求二次函數(shù)的圖象與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大(小)值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y =ax2+bx+c中a , b , c的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a ,b, c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；(4)二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)

26、，求和已知一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)A>0拋物線與x軸有 兩個(gè)交點(diǎn)二次二項(xiàng)式的值可止、 可零、可負(fù)一兀二次方程有兩個(gè)/、相等實(shí)根0 =0拋物線與x軸只 有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一兀二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 <0拋物線與x軸無 交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值恒為正一兀二次方程無實(shí)數(shù)根.二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系從函數(shù)觀點(diǎn)來看，一元二次不等式ax2 +bx + CA0(a#0)的解集就是二次函數(shù)2f(x) = ax +bx + c(a#0)的圖像上，位于 x軸上萬的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合；一元二次不等式ax2 +bx + c<

27、;0(a=0)的解集就是二次函數(shù)一2f(x) = ax +bx + c(a=0)的圖像上，位于x軸下萬的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合；一元二次不等式ax2 +bx + c，0(a¥0)的解集就是二次函數(shù)f(x)= ax2 +bx + c(a#0)的圖像上，位于x軸上方的點(diǎn)和與 x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合；一元二次不等式ax2 +bx + cE0(a¥0)的解集就是二次函數(shù)2f(x) = ax +bx + c(a=0)的圖像上，位于x軸下萬的點(diǎn)和與 x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合.一元二次方程 ax2+bx + c = 0(a #0 )的解就是二次函數(shù) f (x)=ax2+bx + c(a#0)

28、的圖像上，與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).反比例函數(shù)1、反比例函數(shù)圖象：反比例函數(shù)的圖像屬于以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱的雙曲線反比例函數(shù)圖像中每一象限的每一支曲線會(huì)無限接近X軸Y軸但不會(huì)與坐標(biāo)軸相交（Kw 0）。2、性質(zhì):1 .當(dāng)k>0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限，同一個(gè)象限內(nèi)， y隨x的增大而 減??；當(dāng)k<0時(shí)，圖象分別位于二、四象限，同一個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增 大。2 .k>0時(shí)，函數(shù)在x<0上同為減函數(shù)、在x>0上同為減函數(shù)；k<0時(shí)，函數(shù) 在x<0上為增函數(shù)、在x>0上同為增函數(shù)。3 義域?yàn)閤w0；值域?yàn)閥w0。3 .因?yàn)樵趛=k/x（k w0

29、）中，x不能為0, y也不能為0,所以反比例函數(shù)的圖 象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交。4 .在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn) P, Q,過點(diǎn)P, Q分別作x軸，y軸的 平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為 S1, S2則S1 = S2=|K|5 .反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱 軸y=x y=-x （即第一三，二四象限角平分線）,對稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)。6 .若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點(diǎn)（m n同號(hào)）, 那么A B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱。7 .設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù) y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n要使它們有公共交實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案點(diǎn)，則nA2+

30、4k nrn （不小于）0。8 . 反比例函數(shù)y=k/x 的漸近線：x 軸與 y 軸。9 . 反比例函數(shù)關(guān)于正比例函數(shù)y=x,y=-x 軸對稱 , 并且關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.10 .反比例上一點(diǎn)m向x、y分別做垂線，交于q、w,則夕!形mwqo（o為原 點(diǎn)）的面積為|k|11 .k 值相等的反比例函數(shù)重合，k 值不相等的反比例函數(shù)永不相交。12 .|k| 越大，反比例函數(shù)的圖象離坐標(biāo)軸的距離越遠(yuǎn)。13 . 反比例函數(shù)圖象是中心對稱圖形，對稱中心是原點(diǎn)指數(shù)函數(shù)概念：一般地，函數(shù) y=aAx （a>0,且awl）叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x是自變量，函數(shù) 的定義域是R。注意：1.指數(shù)函數(shù)對外形要求嚴(yán)格

31、，前系數(shù)要為1,否則不能為指數(shù)函數(shù)。2.指數(shù)函數(shù)的定義僅是形式定義。指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)：規(guī)律：1.當(dāng)兩個(gè)指數(shù)函數(shù)中的 a互為倒數(shù)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于 y軸對稱,但這 兩個(gè)函數(shù)都不具有奇偶性。2. 當(dāng)a>1時(shí)，底數(shù)越大，圖像上升的越快，在 y軸的右側(cè)，圖像越靠近 y軸；當(dāng)0vav1時(shí)，底數(shù)越小，圖像下降的越快，在y軸的左側(cè)，圖像越靠近 y軸。在y軸右邊“底大圖高”；在y軸左邊“底大圖低”。四字口訣：“大增小減”。即：當(dāng)a>1時(shí)，圖像在R上是增函數(shù)；當(dāng)0vav1時(shí), 圖像在R上是減函數(shù)。3.4. 指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)比較募式大小的方法：1 .當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)

32、性進(jìn)行比較；2 .當(dāng)?shù)讛?shù)中含有字母時(shí)要注意 分類討論；3 .當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時(shí)，則需要引入中間量進(jìn)行比較；4 .對多個(gè)數(shù)進(jìn)行比較，可用 0或1作為中間量進(jìn)行比較底數(shù)的平移：在指數(shù)上加上一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向左平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向右平移。在f(X)后加上一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向上平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向下平移。對數(shù)函數(shù)1 .對數(shù)函數(shù)的概念由于指數(shù)函數(shù)y=ax在定義域（-8, +8）上是單調(diào)函數(shù)，所以它存在反函數(shù)，我們把指數(shù)函數(shù) y=ax（a >0, awl）的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，并記為 y=log ax（a >0, awl）.因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax的定義域?yàn)椋?00, +oo）,值域?yàn)?/p>

33、（0 , +oo）,所以對數(shù)函數(shù)y=log aX的 定義域?yàn)椋?, +8），值域?yàn)椋?OO, +oo）.2 .對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，因此它們的圖像對稱于直線y=x.據(jù)此即可以畫 出對數(shù)函數(shù)的圖像，并推知它的性質(zhì).為了研究對數(shù)函數(shù) y=log ax（a >0, aw 1）的性質(zhì)，我們在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=log 2X, y=log 10X, y=log i0x,y=log 1 x,y=log 1 x 的草圖210由草圖，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以歸納、分析出對數(shù)函數(shù) W 1）的圖像的特征和性質(zhì).見下表.y=log ax(a >0, aa>

34、; 1a< 1(2)當(dāng) x=1 時(shí)，y=0(3)當(dāng) x>1 時(shí)，y>00<x<1 時(shí)，y<0(3)當(dāng) x>1 時(shí)，y<00<x<1 時(shí)，y>0(4)在(0 , +8 )上是增函數(shù)(4)在(0 , +8)上是減函數(shù)設(shè) yi=log ax y 2=log bx 其中 a> 1, b> 1(或 0v av 1 0 < b< 1)當(dāng)x>1時(shí)“底大圖低”即若a>b則y1>y2當(dāng)0<x< 1時(shí)“底大圖高"即若a>b,則y1>y2(1)x >0補(bǔ)充性質(zhì)比較對數(shù)大

35、小的常用方法有:(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)彳T判斷.(2)若底數(shù)為同一字母，則按對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對底數(shù)進(jìn)行分類討論.若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用 換底公式化為同底再進(jìn)行比較. 若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助 1、0、-1等中間量進(jìn)行比較.3 .指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)對比名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一式y(tǒng)=ax(a >0, aw 1)y=log ax(a >0, aw 1)定義域(-oo, +OO)(0 , +00)值域(0 , +8)(-巴 +OO)當(dāng)a> 1時(shí)，當(dāng)a> 1時(shí)函卜 1(x>0)卜 0(x>1)以 值ax< =1(x = 0

36、)10g a x = 0(x=1)變產(chǎn) 1(x <0)< 0(x<1)化當(dāng)0v av 1時(shí)，當(dāng)0v av 1時(shí)，情f<1(x>0)<0(x>1)況xa = 1(x=0)10ga x=0(x=1)>1(x <0)>0(x<1)單調(diào)性當(dāng)a>1時(shí)，ax是增函數(shù)；當(dāng)a> 1時(shí)，log ax是增函數(shù)；當(dāng)0vav1時(shí)，ax是減函數(shù).當(dāng)0vav1時(shí)，log ax是減函數(shù).圖像y=ax的圖像與y=log ax的圖像關(guān)于直線y=x對稱.號(hào)函數(shù)幕函數(shù)的圖像與性質(zhì)哥函數(shù)y=xn隨著n的不同，定義域、值域都會(huì)發(fā)生變化，可以采取按性質(zhì)和圖像分1 1類記憶的萬法.熟練掌握 y=xn,當(dāng)n = ±2,±1,±, ,3的圖像和性質(zhì)，列表如下.2 3從中可以歸納出以下結(jié)論：它們都過點(diǎn)（1,15除原點(diǎn)外，任何幕函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸都不相交，任何幕函數(shù)圖像都不過第四象限.11a =§,5,1, 2,3時(shí)，哥函數(shù)圖像過原點(diǎn)且在 0,+的）上是增函數(shù).1a = -2, -1, -2時(shí)，哥函數(shù)圖像不過原點(diǎn)且在 （0,+2 ）上是減函數(shù).任何兩個(gè)幕函數(shù)最多有三個(gè)公共點(diǎn).y=xn奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)J1 /*人定義域RRRrm1. /* Lfc*