第2章 工業(yè)機器人運動學(xué)

1、精選文檔第2章 工業(yè)機器人運動學(xué)章節(jié)題目：第2章 工業(yè)機器人運動學(xué)教學(xué)內(nèi)容2-1 齊次坐標(biāo)及對象物的描述2-2 齊次變換及運算2-3 工業(yè)機器人連桿參數(shù)及其齊次變換矩陣2-4 工業(yè)機器人運動學(xué)方程教學(xué)支配第2章支配6學(xué)時，其中介紹點的位置描述10分鐘，齊次坐標(biāo)10分鐘，坐標(biāo)軸方向的描述10分鐘，動坐標(biāo)系位姿的描述20分鐘，目標(biāo)物齊次矩陣表示10分鐘，平移的齊次變換30分鐘，旋轉(zhuǎn)的齊次變換30分鐘，平移加旋轉(zhuǎn)的齊次變換15分鐘，連桿參數(shù)及連桿坐標(biāo)系的建立20分鐘，連桿坐標(biāo)系之間的變換矩陣15分鐘，機器人運動學(xué)方程10分鐘，正向運動學(xué)及實例45分鐘，反向運動學(xué)及實例30分鐘，X=X(Q)形式運動學(xué)

2、方程15分鐘。通過多媒體課件結(jié)合板書的方式，接受課堂講授和課堂爭辯相結(jié)合的方法，介紹齊次坐標(biāo)的概念及各種對象的齊次坐標(biāo)方法，進而向同學(xué)敘述齊次變換及運算方法，通過上述內(nèi)容的講解，進一步讓同學(xué)把握連桿參數(shù)及其齊次變換矩陣，最終引出工業(yè)機器人運動學(xué)方程。學(xué)問點及其基本要求1、點的位置描述（把握）2、齊次坐標(biāo)（把握）3、坐標(biāo)軸方向的描述（把握）4、動坐標(biāo)系的描述（把握）5、齊次變換（重點把握）6、連桿參數(shù)及其齊次變換矩陣（把握）7、運動學(xué)方程（把握）重點和難點重點：1、對象的齊次坐標(biāo)表示2、齊次變換3、機器人運動學(xué)方程難點：1、連桿參數(shù)2、機器人運動學(xué)方程教學(xué)法設(shè)計引入新課：機器人實際上可認(rèn)為是由一

3、系列關(guān)節(jié)連接起來的連桿所組成。我們把坐標(biāo)系固連在機器人的每一個連桿關(guān)節(jié)上，可以用齊次變換來描述這些坐標(biāo)系之間的相對位置和方向。齊次變換具有較直觀的幾何意義，而且可描述各連桿之間的關(guān)系，所以常用于解決運動學(xué)問題。新課講解：第一次課第2章 工業(yè)機器人運動學(xué)2-1 齊次坐標(biāo)及對象物的描述一、點的位置描述在選定的直角坐標(biāo)系A(chǔ)中，空間任一點P的位置可用3×1的位置矢量Ap表示，其左上標(biāo)代表選定的參考坐標(biāo)系：。二、齊次坐標(biāo)如用四個數(shù)組成的（4×1）列陣表示三維空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)中點P，則列陣px py pz 1T稱為三維空間點P的齊次坐標(biāo)。必需留意，齊次坐標(biāo)的表示不是唯一的，將其各元素同

4、乘一非零因子w后，仍舊代表同一點P，即。三、坐標(biāo)軸方向的描述i，j，k分別表示直角坐標(biāo)系中X、Y、Z坐標(biāo)軸的單位向量。若用齊次坐標(biāo)來描述X、Y、Z軸的方向，則。從上可知，規(guī)定：（4×1）列陣a b c 0T中第四個元素為零，且a2+b2+c2=1，則表示某軸（某矢量）的方向；（4×1）列陣a b c wT中第四個元素不為零，則表示空間某點的位置。四、動坐標(biāo)系位姿的描述動坐標(biāo)系位姿的描述就是對動坐標(biāo)系原點位置的描述以及對動坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸方向的描述。1、剛體位置和姿勢的描述機器人的一個連桿可以看做一個剛體。若給定了剛體上某一點的位置和該剛體在空間的姿勢，則這個剛體在空間上是完全

5、確定的。O為剛體上任一點，OXYZ為與剛體固連的一個坐標(biāo)系，稱為動坐標(biāo)系。剛體Q在固定坐標(biāo)系OXYZ中的位置可用齊次坐標(biāo)形式的一個（4×1）列陣表示：。剛體的姿勢可由動坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方始終表示。令n、o、a分別為X、Y、Z坐標(biāo)軸的單位方向矢量，每個單位方向矢量在固定坐標(biāo)系上的重量為動坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸的方向余弦，用齊次坐標(biāo)形式的（4×1）列陣分別表示為：n=nx ny nz 0T，o=ox oy oz 0T，a=ax ay az 0T。因此，剛體的位姿可用下面（4×4）矩陣來描述：。2、手部位置和姿勢的表示機器人手部的位置和姿勢也可以用固連于手部的坐標(biāo)系B的位姿來表示

6、。坐標(biāo)系B可以這樣來確定：取手部的中心點OB；關(guān)節(jié)周為ZB軸，ZB軸的單位方向矢量a稱為接近矢量，指向朝外；二手指的連線為YB軸，YB軸的單位方向矢量o稱為姿勢矢量，指向可任意選定；XB軸與YB軸及ZB軸垂直，XB軸的單位方向矢量n稱為法向矢量，且n=o×a，指向符合右手法則。手部的位置矢量為固定參考系原點指向手部坐標(biāo)系B原點的矢量p，手部的方向矢量為n、o、a。于是手部的位姿可用（4×4）矩陣表示為：。五、目標(biāo)物齊次矩陣表示2-2 齊次變換及運算剛體的運動是由轉(zhuǎn)動和平移組成的。為了能用同一矩陣表示轉(zhuǎn)動和平移，有必要引入（4×4）的齊次坐標(biāo)變換矩陣。一、平移的齊次

7、變換空間某一點A，坐標(biāo)為（x，y，z），當(dāng)它平移至A點后，坐標(biāo)為（x，y，z），以及，或?qū)懗扇缦滦问剑?，也可以簡寫為a=Trans(x，y，z)a，其中，Trans(x，y，z)表示齊次坐標(biāo)變換的平移算子。且，其中第四列元素分別表示沿坐標(biāo)軸X，Y，Z的移動量。若算子左乘，表示坐標(biāo)變換是相對固定坐標(biāo)系進行的；假如相對動坐標(biāo)系進行坐標(biāo)變換，則算子應(yīng)當(dāng)右乘。其次次課二、旋轉(zhuǎn)的齊次變換空間某一點A，坐標(biāo)為（x，y，z），當(dāng)它繞Z軸旋轉(zhuǎn)角后至A點，坐標(biāo)為（x,y,z），A點和A點的坐標(biāo)關(guān)系為：，或用矩陣表示為：。A點和A點的齊次坐標(biāo)分別為x y z 1T和x y z 1T，因此A點的旋轉(zhuǎn)齊次變換過程為：

8、，也可簡寫為：a=Rot(z,)a，其中，Rot(z,)表示齊次坐標(biāo)變換時繞Z軸的旋轉(zhuǎn)算子，算子左乘表示相對于固定坐標(biāo)系進行變換，算子的內(nèi)容為：。同理，可寫出繞X軸旋轉(zhuǎn)的算子和繞Y軸旋轉(zhuǎn)的算子分別為：，。點A繞任意過原點的單位矢量k旋轉(zhuǎn)角時，kx，ky，kz分別為k矢量在固定參考系坐標(biāo)軸X、Y、Z上的三個重量，且kx2+ky2+kz2=1。可以證明，繞任意過原點的單位矢量k轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)齊次變換公式為：式中，vers=(1-cos)。上式稱為一般旋轉(zhuǎn)齊次變換通式，它概括了繞X軸、Y軸、Z軸進行旋轉(zhuǎn)齊次變換的各種特殊狀況。反之，若給出某個旋轉(zhuǎn)齊次變換矩陣，則可依據(jù)變換通式求出其等效轉(zhuǎn)軸矢量k及等效轉(zhuǎn)

9、角：式中，當(dāng)取0°到180°之間的值時，式中的符號取號；當(dāng)轉(zhuǎn)角很小時，公式很難確定轉(zhuǎn)軸；當(dāng)接近0°或180°時，轉(zhuǎn)軸完全不確定。和平移變換一樣，旋轉(zhuǎn)變換算子公式以及一般旋轉(zhuǎn)變換算子公式，不僅僅適用于點的旋轉(zhuǎn)變換，而且也適用于矢量、坐標(biāo)系、物體等旋轉(zhuǎn)變換計算。若相對固定坐標(biāo)系進行變換，則算子左乘；若相對動坐標(biāo)系進行變換，則算子右乘。三、平移加旋轉(zhuǎn)的齊次變換平移變換和旋轉(zhuǎn)變換可以組合在一個齊次變換中。2-3 工業(yè)機器人連桿參數(shù)及其齊次變換矩陣一、連桿參數(shù)及連桿坐標(biāo)系的建立連桿兩端有關(guān)節(jié)n和n+1。該連桿尺寸可以用兩個量來描述：一個是兩個關(guān)節(jié)軸線沿公垂線的距離

10、an稱為連桿長度；另一個是垂直于an的平面內(nèi)兩個軸線的夾角n，稱為連桿扭角。這兩個參數(shù)為連桿的尺寸參數(shù)。再考慮連桿n與相鄰連桿n-1的關(guān)系，若它們通過關(guān)節(jié)相連，其相對位置可用兩個參數(shù)dn和n來確定，其中dn是沿關(guān)節(jié)n軸線兩個公垂線的距離，n是垂直于關(guān)節(jié)n軸線的平面內(nèi)兩個公垂線的夾角。這是表達相鄰桿件關(guān)系的兩個參數(shù)。這樣，每個連桿可以由四個參數(shù)所描述：其中兩個描述連桿尺寸，另外兩個描述連桿與相鄰桿件的連接關(guān)系。對于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，n是關(guān)節(jié)變量，其它三個參數(shù)固定不變；對于移動關(guān)節(jié)，dn是關(guān)節(jié)變量，其它三個參數(shù)固定不變。連桿坐標(biāo)系的建立按下面的規(guī)章進行：連桿n坐標(biāo)系（簡稱n系）的坐標(biāo)原點設(shè)在關(guān)節(jié)n的軸線和

11、關(guān)節(jié)n+1的軸線的公垂線與關(guān)節(jié)n+1的軸線相交之處，n系的Z軸與關(guān)節(jié)n+1的軸線重合，X軸與上述公垂線重合，且方向從關(guān)節(jié)n指向關(guān)節(jié)n+1，Y軸則按右手系確定。二、連桿坐標(biāo)系之間的變換矩陣建立了各連桿坐標(biāo)系后，n-1系與n系之間的變換關(guān)系可以用坐標(biāo)系的平移、旋轉(zhuǎn)來實現(xiàn)。從n-1系到n系的變換，可先令n-1系繞Zn-1軸旋轉(zhuǎn)n角，再沿Zn-1軸平移dn，然后沿Xn軸平移an，最終繞Xn軸旋轉(zhuǎn)n角，使得n-1系與n系重合。用一個變換矩陣An來綜合表示上述四次變換時應(yīng)留意到坐標(biāo)系在每次旋轉(zhuǎn)或平移后發(fā)生了變動，后一次變換都是相對動系進行的，因此在運算中變換算子應(yīng)當(dāng)右乘。于是連桿n的齊次變換矩陣為：2-4

12、 工業(yè)機器人運動學(xué)方程一、機器人運動學(xué)方程為機器人的每一個連桿建立一個坐標(biāo)系，并用齊次變換來描述這些坐標(biāo)系間的相對關(guān)系，也叫相對位姿。通常把描述一個連桿坐標(biāo)系與下一個連桿坐標(biāo)系間相對關(guān)系的齊次變換矩陣叫做A變換矩陣或A矩陣。假如A1矩陣表示第一個連桿坐標(biāo)系相對于固定坐標(biāo)系的位姿，A2矩陣表示其次個連桿坐標(biāo)系相對于第一個連桿坐標(biāo)系的位姿，那么其次個連桿坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)系中的位姿可用A1和A2的乘積來表示：T2=A1A2。同理，若A3矩陣表示第三個連桿坐標(biāo)系相對于其次個連桿坐標(biāo)系的位姿，則有T3=A1A2A3，如此類推，對于六連桿機器人，有下列T6矩陣：T6=A1A2A3A4A5A6。此式右邊表示

13、了從固定參考系到手部坐標(biāo)系的各連桿坐標(biāo)系之間的變換矩陣的連乘，左邊T6表示這些變換矩陣的乘積，也就是手部坐標(biāo)系相對于固定參考系的位姿，稱上式為機器人運動學(xué)方程，計算結(jié)果T6是一個如下的（4×4）矩陣：，式中，前三列表示手部的姿勢，第四列表示手部的位置。第三次課二、正向運動學(xué)及實例正向運動學(xué)主要解決機器人運動學(xué)方程的建立及手部位姿的求解問題。1、平面關(guān)節(jié)型機器人的運動學(xué)方程具有一個肩關(guān)節(jié)、一個肘關(guān)節(jié)和一個腕關(guān)節(jié)的SCARA機器人的機械結(jié)構(gòu)特點是三個關(guān)節(jié)軸線是平行的。固定坐標(biāo)系0和連桿1、連桿2、連桿3的坐標(biāo)系1、2、3坐落在關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3和手部中心。坐標(biāo)系3也就是手部坐標(biāo)系。連

14、桿參數(shù)中為變量，其余參數(shù)d、a、均為常量。考慮到關(guān)節(jié)軸線平行，并且連桿都在一個平面內(nèi)的特點，列出SCARA機器人連桿的參數(shù)如下表所示。連桿轉(zhuǎn)角（變量）兩連桿間距離d連桿長度a連桿扭角連桿11d1=0a1=l1=1001=0連桿22d2=0a2=l2=1002=0連桿33d3=0a3=l3=203=0該平面關(guān)節(jié)型機器人的運動學(xué)方程為T3=A1A2A3，式中A1表示連桿1的坐標(biāo)系1相對于固定坐標(biāo)系0的齊次變換矩陣；A2表示連桿2的坐標(biāo)系2相對于連桿1的坐標(biāo)系1的齊次變換矩陣；A3表示連桿3的坐標(biāo)系即手部坐標(biāo)系3相對于連桿2的坐標(biāo)系2的齊次變換矩陣。于是有：。即因此，可寫出：T3是A1、A2、A3連

15、乘的結(jié)果，表示手部坐標(biāo)系3（即手部）的位置和姿勢?？蓪懗鍪植课恢茫?×1）列陣為：。表示手部姿勢的方向矢量n、o、a分別為：2、斯坦福機器人的運動學(xué)方程桿號關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角扭角桿長a距離d123456120456-90°90°0°-90°90°0°0000000d2d300H上表給出了斯坦福機器人各連桿的參數(shù)?，F(xiàn)在依據(jù)各連桿坐標(biāo)系的關(guān)系寫出齊次變換矩陣Ai。1系與0系是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)連接。坐標(biāo)系1相對于固定坐標(biāo)系0的Z0軸的旋轉(zhuǎn)為變量1，然后繞自身坐標(biāo)系X1軸作1的旋轉(zhuǎn)變換，1=90°。所以2系與1系是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)連接，連桿距離為d

16、2。坐標(biāo)系2相對于坐標(biāo)系1的Z1軸的旋轉(zhuǎn)為變量2，然后繞自身坐標(biāo)系Z2軸正向作d2距離的平移變換及繞X2軸作2的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換，2=90°。所以3系與2系是移動關(guān)節(jié)連接。坐標(biāo)系3相對于坐標(biāo)系2的Z2軸德平移為變量d3。所以斯坦福機器人手腕三個關(guān)節(jié)都是轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)變量為4，5及6，并且三個關(guān)節(jié)的中心重合。系4對系3的旋轉(zhuǎn)變量為4，然后繞自身坐標(biāo)軸X4作4的旋轉(zhuǎn)變換，4=-90°。所以系5對系4的旋轉(zhuǎn)變量為5，然后繞自身坐標(biāo)軸X5作5的旋轉(zhuǎn)變換，5=90°。所以系6相對于系5的旋轉(zhuǎn)變量為6，并移動距離H。所以這樣，全部桿的A矩陣已建立。假如要知道非相鄰桿件間的關(guān)系，只

17、要用相應(yīng)的A矩陣連乘即可。如：則斯坦福機器人的運動學(xué)方程為。方程右邊的結(jié)果就是最終一個坐標(biāo)系6的位置和姿勢矩陣，各元素均為和d的函數(shù)，當(dāng)和d給出后，可以計算出斯坦福機器人手部坐標(biāo)系6的位置p和姿勢n、o、a。這就是斯坦福機器人手部位姿的解，這個求解過程叫做斯坦福機器人運動學(xué)正解。三、反向運動學(xué)實例在機器人把握中，往往在已知手部要到達的目標(biāo)位姿的狀況下如何求出關(guān)節(jié)變量，以驅(qū)動各關(guān)節(jié)的馬達，使手部的位姿得到滿足，這就是反向運動學(xué)問題，也稱求運動學(xué)逆解。以斯坦福機器人為例介紹反向求解的一種方法。假設(shè)H=0，即坐標(biāo)系6與坐標(biāo)系5原點重合。已知斯坦福機器人的運動學(xué)方程為：T6=A1A2A3A4A5A6，

18、給出T6矩陣及各桿的參數(shù)a、d，求關(guān)節(jié)變量16，其中3=d3。（1）求1：用A1-1左乘運動學(xué)方程，得：1T6=A1-1T6=A2A3A4A5A6，左右開放得：取上式左、右兩邊第三行第四列相等，即：-pxs1+pyc1=d2，引入中間變量r及，令px=rcos，py=rcos，r=(px2+py2)1/2，=arctg(py/px)，則該式化為：cos1sin-cossin1=d2/r。利用和差公式，上式又可化為：sin(-1)=d2/r。這里0<d2/r1，0<-1<，又cos(-1)= ±1-(d2/r)21/2，故有：，所以。這里，“+”號對應(yīng)右肩位姿，“-”

19、號對應(yīng)左肩位姿。（2）求2：取上面矩陣等式左、右兩邊第一行第四列相等和其次行第四列相等，即：故：（3）求3：在斯坦福機器人中，3=d3，有（2）中等式可解得：（4）求4：由于3T6=A4A5A6，所以A4-1 3T6=A5A6，左右兩邊開放后取其左、右兩邊第三行第三列相等，得：，所以及（5）求5：?。?）中矩陣等式開放左、右兩邊第一行第三列相等及其次行第三列相等，有：所以：（6）求6：接受方程A5-1 4T6=A6，開放并取其左、右兩邊第一行其次列相等及其次行其次列相等，有：所以：。至此，1、2、d3、4、5、6全部求出。從以上解的過程看出，這種方法就是將一個未知數(shù)由矩陣方程的右邊移向左邊，使

20、其與其它未知數(shù)分開，解出這個未知數(shù)，再把下一個未知數(shù)移到左邊，重復(fù)進行，直至解出全部未知數(shù)。所以這種方法也叫變量分別法。還應(yīng)留意到機器人運動學(xué)逆解問題的求解存在如下三個問題：（1）解可能不存在。機器人具有肯定的工作域，假如給定手部位置在工作域之外，則解不存在。（2）解的多重性。機器人的逆運動學(xué)問題可能消滅多解。在多解狀況下，肯定有一個最接近解，即最接近起始點的解。（3）求解方法的多樣性。機器人逆運動學(xué)求解有多種方法，一般分為兩類：封閉解和數(shù)值解。應(yīng)當(dāng)從計算方法的計算效率、計算精度等要求動身，選擇較好的解法。四、X=X(Q)形式運動學(xué)方程“角度設(shè)定法”是接受相對參考坐標(biāo)系或相對運動坐標(biāo)系作三次連

21、續(xù)轉(zhuǎn)動來規(guī)定姿勢的方法。機器人手部位姿可用一個6維列矢量來表示：X=px py pz x y zT，或?qū)懗蒟=x y z x y zT。式中，x、y、z表示手部位置，x、y、z分別是用角度設(shè)定法來規(guī)定手部姿勢時繞X軸、Y軸和Z軸的轉(zhuǎn)角。1、RPY角法和歐拉角法RPY角法和歐拉角法是角度設(shè)定法中常用的方法。RPY角法是手部相對參考坐標(biāo)系軸作三次連續(xù)轉(zhuǎn)動獲得規(guī)定的姿勢：先繞X軸轉(zhuǎn)動x角，稱為偏轉(zhuǎn)，再繞Y軸轉(zhuǎn)動y角，稱為俯仰，最終繞Z軸轉(zhuǎn)動z角，稱為翻滾，得到相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為：RPY(x，y，z)=Rot(Z，x)Rot(Y，y)Rot(X，x)，該式也稱為“xyz”RPY角設(shè)定法。歐拉角法是手部相

22、對運動坐標(biāo)系軸作三次連續(xù)轉(zhuǎn)動獲得規(guī)定的姿勢：假如轉(zhuǎn)動挨次為zyx，則相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為：Euler(z，y，x)= Rot(Z，x)Rot(Y，y)Rot(X，x)，該式也稱為“zyx”歐拉角設(shè)定法。以上兩式結(jié)果恰巧完全相同。假如用其它挨次進行歐拉角三次連續(xù)轉(zhuǎn)動，結(jié)果便不相同了。不論用什么角度設(shè)定法來規(guī)定手部姿勢，姿勢的實現(xiàn)，事實上是由關(guān)節(jié)變量作打算的。知道旋轉(zhuǎn)矩陣則可由以上兩式逆解出手部姿勢的規(guī)定角x、y、z，并且x=x(q)、y=y(q)、z=z(q)，q為廣義關(guān)節(jié)變量，q=q1 q2 qnT。2、運動學(xué)方程X=X(q)用A矩陣確定T6，可寫成T6=A1(q)A2(q)A3(q)A4(q)A

23、5(q)A6(q)，或?qū)懗蒚6=T(q)。該式表示機器人手部位姿（n，o，a，p）與關(guān)節(jié)變量q之間的關(guān)系。應(yīng)用第一次課其次次課1、點矢量v為10.00 20.00 30.00T，相對參考系作如下齊次變換，寫出變換后點矢量v的表達式。并說明是什么性質(zhì)的變換，寫出Rot(?，?)，Tran(?，?，?)。2、有一旋轉(zhuǎn)變換，先繞固定坐標(biāo)系Z0軸轉(zhuǎn)45°，再繞其X0軸轉(zhuǎn)30°，最終繞其Y0軸轉(zhuǎn)60°，試求該齊次變換矩陣。3、坐標(biāo)系B起初與固定坐標(biāo)系0相重合，現(xiàn)坐標(biāo)系B繞ZB軸旋轉(zhuǎn)30°，然后繞旋轉(zhuǎn)后的動坐標(biāo)系XB軸旋轉(zhuǎn)45°，試寫出該坐標(biāo)系B的起始矩陣表達式和最終矩陣表達式。4、坐標(biāo)系A(chǔ)及B在固定坐標(biāo)系0中的矩陣表達式如下，畫出它們在0坐標(biāo)系中的位置和姿勢。5、寫出齊次變換矩陣，它表示坐標(biāo)系B連續(xù)相對固定坐標(biāo)系A(chǔ)作以下變換：（1）繞ZA軸旋轉(zhuǎn)90°；（2）繞XA軸旋轉(zhuǎn)-90°；（3）移動3，7，9T。6、寫出齊次變換矩陣，它表示坐標(biāo)系B連續(xù)相對自身運動坐標(biāo)系B作以下變換：（1）移動3，7，9T；（2）繞XB軸旋轉(zhuǎn)-90°；（3）繞ZB軸旋轉(zhuǎn)90°。7、圖2-28（a）表示兩個楔形物體，試用兩個變換序列分別表示兩個楔形物體的變換過程，使最終的狀態(tài)如圖（b）所示。第三次課8、如圖2-29所