用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(作課).ppt

1、2021/3/9122.1.4 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式2021/3/92學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、通過對(duì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的探究，掌握求解析式的方法。2、能靈活地根據(jù)條件恰當(dāng)?shù)剡x取解析式，體會(huì)二次函數(shù)解析式之間的轉(zhuǎn)化。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：學(xué)習(xí)重點(diǎn)：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：學(xué)習(xí)難點(diǎn)：靈活地根據(jù)條件恰當(dāng)?shù)剡x取解析式。2021/3/93回顧：用待定系數(shù)法求解析式回顧：用待定系數(shù)法求解析式已知一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（已知一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（1，3）和（）和（-2，-12），求），求這個(gè)一次函數(shù)的解析式。這個(gè)一次函數(shù)的解析式。 解：設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的解析式為解：設(shè)這

2、個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b(k0), 因?yàn)橐淮魏瘮?shù)經(jīng)過點(diǎn)因?yàn)橐淮魏瘮?shù)經(jīng)過點(diǎn)（1，3）和（）和（-2，-12），）， 所以所以k+b=3-2k+b=-12解得解得 k=3，b=-6一次函數(shù)的解析式為一次函數(shù)的解析式為y=3x-6.設(shè)設(shè)出函數(shù)的解析式根據(jù)所給條件，將已知點(diǎn)坐標(biāo)代代入函數(shù)解析式中，得到關(guān)于解析式中待定系數(shù)的方程（組）解解此方程或方程組，求待定系數(shù)將求出的待定系數(shù)還還原原到解析式中2021/3/94二次函數(shù)解析式有哪幾種表達(dá)式？二次函數(shù)解析式有哪幾種表達(dá)式？ 一般式：一般式：y=ax2+bx+c 頂點(diǎn)式：頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k 交點(diǎn)式：交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2

3、)2021/3/95求二次函數(shù)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式，關(guān)鍵是求出待的解析式，關(guān)鍵是求出待定系數(shù)定系數(shù)a，b，c的值。的值。由已知條件（如二次函數(shù)圖像上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)）由已知條件（如二次函數(shù)圖像上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)）列出關(guān)于列出關(guān)于a，b，c的方程組，并求出的方程組，并求出a，b，c，就就可以寫出二次函數(shù)的解析式?？梢詫懗龆魏瘮?shù)的解析式。一般式一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，為常數(shù)，a0)思考：二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式中有幾個(gè)待定系數(shù)？的解析式中有幾個(gè)待定系數(shù)？需要圖象上的幾個(gè)點(diǎn)才能求出來？需要圖象上的幾個(gè)點(diǎn)才能求出來？2021/3/96例例1 已知一

4、個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1,10）、（）、（1,4）、）、（2,7）三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式）三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式解：設(shè)所求的二次函數(shù)為解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c（a0）由條件得：由條件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程組得：解方程組得：a=2, b=-3, c=5因此：所求二次函數(shù)是：因此：所求二次函數(shù)是： y=2x2-3x+5變式變式1:已知關(guān)于已知關(guān)于x的二次函數(shù)的二次函數(shù),當(dāng)當(dāng)x=1時(shí)時(shí),函數(shù)值為函數(shù)值為10,當(dāng)當(dāng)x=1時(shí)時(shí),函數(shù)值為函數(shù)值為4,當(dāng)當(dāng)x=2時(shí)時(shí),函數(shù)值為函數(shù)值為7,求這個(gè)二次函數(shù)的解析試求這個(gè)二次函數(shù)

5、的解析試.由題意得：為解：設(shè)所求的二次函數(shù),2cbxaxy724410cbacbacba5, 3, 2cba解得，5322xxy所求的二次函數(shù)是設(shè)設(shè)代代解解還原還原2021/3/97頂點(diǎn)式頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a、h、k為常數(shù)，為常數(shù)，a0).若已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線上的另一個(gè)點(diǎn)的坐若已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線上的另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，通過設(shè)函數(shù)的解析式為頂點(diǎn)式標(biāo)時(shí)，通過設(shè)函數(shù)的解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k. 特別地，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，特別地，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，h=0,k=0,可設(shè)可設(shè)函數(shù)的解析式為函數(shù)的解析式為 當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸為當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸為y軸時(shí)，軸時(shí)

6、，h=0,可設(shè)函數(shù)的解析可設(shè)函數(shù)的解析式為式為 當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，軸上時(shí)，k=0，可設(shè)函數(shù)的解析，可設(shè)函數(shù)的解析式為式為思考：二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的解析式中有幾個(gè)待定系數(shù)？需要知的解析式中有幾個(gè)待定系數(shù)？需要知道圖象上的幾個(gè)點(diǎn)才能求出來？如果知道圖象上的頂點(diǎn)坐道圖象上的幾個(gè)點(diǎn)才能求出來？如果知道圖象上的頂點(diǎn)坐標(biāo)為標(biāo)為A(1,-1)和點(diǎn)和點(diǎn)B（2，1），兩個(gè)點(diǎn)能求出它的解析式嗎？），兩個(gè)點(diǎn)能求出它的解析式嗎？y=ax2.y=ax2+k.y=a(x-h)2.2021/3/98例例2：已知拋物線的頂點(diǎn)是（1，2）且過點(diǎn)（2，3)，求出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式變式變式2：

7、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，3），并且當(dāng)x=3時(shí)有最大值4，求出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式；又過點(diǎn)（2，3）a(2-1)2+2=3，a=1解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x-h)2+k（a0）頂點(diǎn)是（1，2）y=a(x-1)2+2， y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3已知拋物線的頂點(diǎn)與已知拋物線的頂點(diǎn)與拋物線上另一點(diǎn)時(shí)，拋物線上另一點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)為頂點(diǎn)式通常設(shè)為頂點(diǎn)式已知條件中的當(dāng)已知條件中的當(dāng)x=3x=3時(shí)有最大值時(shí)有最大值4 4也就是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（也就是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,43,4），），所以設(shè)為頂點(diǎn)式較方便所以設(shè)為頂點(diǎn)式較方便y=-7(x-3)2+4即y=-7x2+42x-59

8、2021/3/99解：解：設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0,-30,-3） （4,54,5） 對(duì)稱軸為直線對(duì)稱軸為直線x=1=1，求這個(gè)函數(shù)的解析式？，求這個(gè)函數(shù)的解析式？y=a(x-1)2+k 思考：怎樣設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式思考：怎樣設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式22(1)423yxyxx即2021/3/910交點(diǎn)式交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2為常數(shù)為常數(shù)a0）當(dāng)拋物線與當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為（軸有兩個(gè)交點(diǎn)為（x1,0）,(x2,0)時(shí)，時(shí)，二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c可以轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)式可以轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x

9、-x1)(x-x2).因此當(dāng)拋物線與因此當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為軸有兩個(gè)交點(diǎn)為（x1,0）,(x2,0)時(shí)，可設(shè)函數(shù)的解析式為時(shí)，可設(shè)函數(shù)的解析式為y=a(x-x1)(x-x2)，再把另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入其中，即，再把另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入其中，即可解得可解得a，求出拋物線的解析式。，求出拋物線的解析式。2021/3/911例例3 3：已知拋物線與已知拋物線與x x軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1 1，3 3且圖像過（且圖像過（0 0，-3-3），求出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式。），求出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式。解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x-x1)(x-x2)已知已知拋物線與拋物線與x x軸的交點(diǎn)軸的

10、交點(diǎn)或交點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)，通?；蚪稽c(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)為交點(diǎn)式（兩根式）設(shè)為交點(diǎn)式（兩根式）由拋物線與x軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，3，y=a(x-1)(x-3),又過（0，-3）， a(0-1)(0-3)=-3,a=-1a=-1 y=-(x-1)(x-3), y=-(x-1)(x-3),即即y=-xy=-x2 2+4x-3+4x-3練習(xí)：已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象過A(0，5)，B(5，0)兩點(diǎn)，它的對(duì)稱軸為直線x2，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式是_ _。 分析：因?yàn)閽佄锞€與分析：因?yàn)閽佄锞€與x x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，又又B(5B(5，0)0)關(guān)于直線關(guān)

11、于直線x x2 2的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0-1,0），所以可以設(shè)為交），所以可以設(shè)為交點(diǎn)式，類似例點(diǎn)式，類似例3 3求解，當(dāng)然也可以按一般式求解。求解，當(dāng)然也可以按一般式求解。y=(x-5)(x+1),y=(x-5)(x+1),即即y=xy=x2 2-4x-5-4x-52021/3/912課堂小結(jié)課堂小結(jié)求二次函數(shù)解析式的一般方法：求二次函數(shù)解析式的一般方法：已知圖象上三點(diǎn)或三組對(duì)應(yīng)值，已知圖象上三點(diǎn)或三組對(duì)應(yīng)值， 通常選擇通常選擇已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值 通常選擇通常選擇已知圖象與已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1

12、、x2，或與或與X軸的一交點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸軸的一交點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸 通常選擇通常選擇yxo確定二次函數(shù)的解析式時(shí)，應(yīng)該根據(jù)條件的特點(diǎn)，確定二次函數(shù)的解析式時(shí)，應(yīng)該根據(jù)條件的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)剡x用一種函數(shù)表達(dá)式，恰當(dāng)?shù)剡x用一種函數(shù)表達(dá)式， 一般式一般式y(tǒng)=ax2+bx+c;頂點(diǎn)式頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，交點(diǎn)式（兩根式）交點(diǎn)式（兩根式）y=a(x-x1)(x-x2) 。2021/3/9131 1、求經(jīng)過有三點(diǎn)、求經(jīng)過有三點(diǎn)A A（-2-2，-3-3），），B B（1 1，0 0），），C C（2 2，5 5）的二次）的二次函數(shù)的解析式函數(shù)的解析式. .2 2、已知拋物線的頂點(diǎn)為、已知拋物線的頂點(diǎn)為D(

13、-1D(-1，-4)-4)，又經(jīng)過點(diǎn)，又經(jīng)過點(diǎn)C(2C(2，5)5)，求其，求其解析式。解析式。頂點(diǎn)式：頂點(diǎn)式：khxay2)(交點(diǎn)式：交點(diǎn)式：)(21xxxxay3 3、已知拋物線與、已知拋物線與x x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(-3A(-3，0)0)、B(1B(1，0)0)，又經(jīng)，又經(jīng)過點(diǎn)過點(diǎn)C(2C(2，5)5)，求其解析式。，求其解析式。一般式：一般式：2y=ax +bx+c 反饋練習(xí)反饋練習(xí)2yx2x322y(x1)4yx2x3即2y(x3)(x1) yx2x3即2021/3/914二次函數(shù)圖象如圖所示，二次函數(shù)圖象如圖所示，(1)(1)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2

14、 2）求這個(gè)二次函數(shù)）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式的解析式2224644824CAB23339(3)(1)4424yxxxx即y=2021/3/915 反饋練習(xí)反饋練習(xí)4 4、已知拋物線對(duì)稱軸為、已知拋物線對(duì)稱軸為x=2x=2，且經(jīng)過點(diǎn)（，且經(jīng)過點(diǎn)（1,41,4） 和（和（5,05,0），求該二次函數(shù)解析式。），求該二次函數(shù)解析式。2021/3/9165 5、已知拋物線的頂點(diǎn)為、已知拋物線的頂點(diǎn)為A(-1A(-1，-4)-4)，又知它與，又知它與x x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)軸的兩個(gè)交點(diǎn)B B、C C間的距離為間的距離為4 4，求其解析式。，求其解析式。充分利用條件充分利用條件 合理選用以上三式合理選用以上三

15、式2021/3/9176、拋物線與、拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是 （-1，0），且當(dāng)），且當(dāng)x= 1時(shí)，函數(shù)有最大值為時(shí)，函數(shù)有最大值為 4，求，求此函數(shù)解析式。此函數(shù)解析式。7、拋物線與、拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是 （-1，0），對(duì)稱軸為直線），對(duì)稱軸為直線x=1，拋物線頂點(diǎn)到，拋物線頂點(diǎn)到x軸的軸的距離為距離為4，求此函數(shù)解析式。，求此函數(shù)解析式。*2021/3/918一、一、 一般式一般式 1.已知一個(gè)二次函數(shù)圖象經(jīng)過（已知一個(gè)二次函數(shù)圖象經(jīng)過（-1，10）、）、（2，7）和（）和（1，4）三點(diǎn)，那么這個(gè)函）三點(diǎn)，那么這個(gè)函數(shù)的解析式是數(shù)的解析式是_

16、。2021/3/9192.已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（1，8），（），（1，2），（），（2，5）三點(diǎn)。求這個(gè)函數(shù)的解析式三點(diǎn)。求這個(gè)函數(shù)的解析式2021/3/920二、頂點(diǎn)式二、頂點(diǎn)式 1. 已知拋物線已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)是是A(-1,4)且經(jīng)過點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)(1,2)求其解析求其解析式。式。2021/3/9212、已知拋物線的頂點(diǎn)為（、已知拋物線的頂點(diǎn)為（ 2，3），）， 且過點(diǎn)（且過點(diǎn)（1，4），求），求這個(gè)函數(shù)的解析式。這個(gè)函數(shù)的解析式。2021/3/922應(yīng)應(yīng) 用用例例4 4 有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大有一個(gè)拋物線形的立交橋拱

17、，這個(gè)橋拱的最大高度為高度為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系里里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式，求拋物線的解析式 解：設(shè)拋物線的解析式為解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2bxc，根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知拋物線經(jīng)過拋物線經(jīng)過(0，0)，(20，16)和和(40，0)三點(diǎn)三點(diǎn) 可得方程組可得方程組 通過利用給定的條件通過利用給定的條件列出列出a、b、c的三元的三元一次方程組，求出一次方程組，求出a、b、c的值，從而確定的值，從而確定函數(shù)的解析式函數(shù)的解析式過程較繁雜，過程較繁雜， 評(píng)價(jià)評(píng)價(jià)2021/3/923設(shè)拋物線為設(shè)拋物線為y=

18、a(x-20)216 解：解：根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知 點(diǎn)點(diǎn)(0，0)在拋物線上，在拋物線上， 通過利用條件中的頂通過利用條件中的頂點(diǎn)和過原點(diǎn)選用頂點(diǎn)點(diǎn)和過原點(diǎn)選用頂點(diǎn)式求解，式求解，方法比較靈活方法比較靈活 評(píng)價(jià)評(píng)價(jià) 所求拋物線解析式為所求拋物線解析式為 例例4 4 有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大高度為高度為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系里里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式，求拋物線的解析式 應(yīng)應(yīng) 用用2021/3/924設(shè)拋物線為設(shè)拋物線為y=ax(x-40 ）解：解：根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知 點(diǎn)點(diǎn)(20，16)在拋物線上，在拋物線上， 選用兩根式求解，選用兩根式求解，方法靈活巧妙，過方法靈活巧妙，過程也較簡(jiǎn)捷程也較簡(jiǎn)捷 評(píng)價(jià)評(píng)價(jià)例例4 4 有一個(gè)拋物線形的