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文檔簡介
1、1高等數(shù)學高等數(shù)學-第二章導數(shù)與微分第二章導數(shù)與微分-第一節(jié)第一節(jié)-導數(shù)的概念導數(shù)的概念2此式既是它的定義式此式既是它的定義式,又指明了它的計算又指明了它的計算定義為定義為 )(0tv,)()(lim000ttsttst 并稱之為并稱之為t0時的時的瞬時速度瞬時速度v(t0).瞬時速度是路程對時間的變化率瞬時速度是路程對時間的變化率.若運動是若運動是非勻速非勻速的的,)( tv 平均速度平均速度是這段是這段時間內運動快慢的平均值時間內運動快慢的平均值,t 若若很很小小,因此因此, 人們把人們把 t0時的速度時的速度注注方法方法,ts 0limt 0()( ),vtv tt 越越小小, ,近近似
2、似程程度度越越高高, ,32.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置播放播放4 T0 xxoxy)(xfy CNM如圖如圖, 如果割線如果割線MN繞點繞點M旋轉而趨向極限位置旋轉而趨向極限位置MT,直線直線MT就稱為曲線就稱為曲線C在點在點M處的處的切線切線.極限位置即極限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM設設的的斜斜率率為為割割線線MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲線線的斜率為的斜率為切線切線MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 5,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000
3、 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 記為記為處的導數(shù)處的導數(shù)在點在點數(shù)數(shù)并稱這個極限為函并稱這個極限為函處可導處可導在點在點則稱函數(shù)則稱函數(shù)時的極限存在時的極限存在之比當之比當與與如果如果得增量得增量取取相應地函數(shù)相應地函數(shù)時時仍在該鄰域內仍在該鄰域內點點處取得增量處取得增量在在當自變量當自變量有定義有定義的某個鄰域內的某個鄰域內在點在點設函數(shù)設函數(shù)二、導數(shù)的定義二、導數(shù)的定義1.函數(shù)在一點處的導數(shù)函數(shù)在一點處的導數(shù)定義定義6.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx
4、 )()(limlim00000,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即即7處不可導或導數(shù)不存在處不可導或導數(shù)不存在.特別當特別當(1)式的極限為式的極限為有時也說在有時也說在x0處導數(shù)是正處導數(shù)是正(負負)無無當極限當極限(1)式不存在時式不存在時, 就說函數(shù)就說函數(shù) f (x)在在x0正正(負負)無窮時無窮時,窮大窮大,但這時但這時導數(shù)不存在導數(shù)不存在.0000()()limlim(1)xxf xxf xyxx 8.,0慢程度慢程度而變化的快而變化的快因變量隨自變量的變化因變量隨自變量的變化反映了反映了它它處的變化率處的變化率點導數(shù)是因變量在點點導數(shù)是因變量在點 x.)(,)(內內可
5、可導導在在開開區(qū)區(qū)間間就就稱稱函函數(shù)數(shù)處處都都可可導導內內的的每每點點在在開開區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)IxfIxfy 關于導數(shù)的說明:關于導數(shù)的說明:9,( ),( )( ),( ),.xIf xdydf xf xyfxdxdx 對對于于任任一一都都對對應應著著的的一一個個確確定定的的導導數(shù)數(shù)值值 這這樣樣就就構構成成了了一一個個新新函函數(shù)數(shù),稱稱之之為為原原來來函函數(shù)數(shù)的的導導函函數(shù)數(shù),記記作作或或xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :00()( ).xxfxfx 導函數(shù)導函數(shù)102.求導舉例求導舉例步驟步驟:(1)()( );yf
6、 xxf x 求求增增量量()( )(2);yf xxf xxx 算算比比值值0(3)lim.xyyx 求求極極限限例例1 1.)()(的導數(shù)的導數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即11例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設設函函數(shù)數(shù)解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 12例例3 3(R).yx 求求函函數(shù)數(shù)的的導導數(shù)數(shù)解解0()()lim
7、hxhxxh 1x )(.)(1Rxx )( x如:如:12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 0()1limhxhxxh ln(1+ / )0(e1)limh xhxh 0ln(1/ )limhh xxh 0/limhh xxh 13例例4 4.)1, 0()(的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 14例例5 5.)1, 0(log的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(ln
8、xx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 15例例6 6.0)(處的可導性處的可導性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 0(0)(0)lim,hfhfh 故故不不存存在在.0)(點點不不可可導導在在函函數(shù)數(shù) xxfy162.右導數(shù)右導數(shù):1.左導數(shù)左導數(shù):0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 0000000( )()()()()limli
9、m;xxxf xf xf xxf xfxxxx 函函數(shù)數(shù))(xf在在點點0 x處處可可導導左左導導數(shù)數(shù))(0 xf 和和右右導導數(shù)數(shù))(0 xf 都都存存在在且且相相等等.3.單側導數(shù)單側導數(shù)如如果果)(xf在在開開區(qū)區(qū)間間 ba,內內可可導導,且且)(af 及及)(bf 都都存存在在,就就說說)(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ba,上上可可導導.1711,0,( )0.0,0 xxf xxxx 研研究究函函數(shù)數(shù)在在處處的的可可導導性性例(習題例(習題2-1 第第6題)題)18三、導數(shù)的幾何意義與物理意義三、導數(shù)的幾何意義與物理意義oxy)(xfy T0 xM1.幾何意義幾何意義)(,tan)(,)(
10、,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點表示曲線表示曲線 xfxfxMxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 19例例7 7.,)2 ,21(1方方程程和和法法線線方方程程并并寫寫出出在在該該點點處處的的切切線線斜斜率率處處的的切切線線的的在在點點求求等等邊邊雙雙曲曲線線xy 解解由導數(shù)的幾何意義由導數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044
11、yx即即. 01582 yx即即20例例8 832(0,-4).yx 求求曲曲線線的的通通過過點點的的切切線線方方程程解解00033().22xxkfxxx 故所求切線方程為故所求切線方程為0003().2yyxxx00(,)xy設設切切點點坐坐標標為為,則則切切線線斜斜率率為為3200(,)(0,-4),xyyx 由由切切點點在在曲曲線線上上,切切線線過過點點故故3200yx 00034(0)2yxx 004,8,xy故所求切線方程為故所求切線方程為83(4),yx 340.xy 即即212.物理意義物理意義非均勻變化量的瞬時變化率非均勻變化量的瞬時變化率.變速直線運動變速直線運動: :路程
12、對時間的導數(shù)為物體的路程對時間的導數(shù)為物體的瞬時速度瞬時速度.lim)(0dtdststvt 交流電路交流電路: :電量對時間的導數(shù)為電流強度電量對時間的導數(shù)為電流強度.lim)(0dtdqtqtit 非均勻的物體非均勻的物體: :質量對長度質量對長度(面積面積,體積體積)的導的導數(shù)為物體的線數(shù)為物體的線(面面,體體)密度密度.22四、可導與連續(xù)的關系四、可導與連續(xù)的關系定理定理 凡可導函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)凡可導函數(shù)都是連續(xù)函數(shù). .證證,)(0可可導導在在點點設設函函數(shù)數(shù)xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0連連續(xù)
13、續(xù)在在點點函函數(shù)數(shù)xxf)0(0 x 23連續(xù)函數(shù)不存在導數(shù)舉例連續(xù)函數(shù)不存在導數(shù)舉例000( ),()()( ),.f xfxfxxf x 一一般般地地, 函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù) 若若則則稱稱點點為為函函數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)在在角角點點點點不不可可導導角角xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf0.x 在在處處不不可可導導24x3yx y0再如再如,3( ),f xx .1處不可導處不可導在在 x2/300(0)(0)1limlim,hhfhfhh 25又如又如,2( )0.f xxxx在在處處不不可可導導xy xyo小結小結: : 連續(xù)必可導,反之未必;連續(xù)是可導連續(xù)必可導,反之
14、未必;連續(xù)是可導 的必要非充分條件的必要非充分條件.26例例9 9.0,0, 00,1sin)(處的連續(xù)性與可導性處的連續(xù)性與可導性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解,1sin是是有有界界函函數(shù)數(shù)x01sinlim0 xxx.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf處處有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之間振蕩而極限不存在之間振蕩而極限不存在和和在在時時當當 xyx.0)(處不可導處不可導在在 xxf0)(lim)0(0 xffx271sin,0,( )0.0,0 xxf xxxx 研研究究函函數(shù)數(shù)在在處處的的連連續(xù)續(xù)性性和和可可導導性性練習:練習:28五、經濟
15、學中的變化率問題五、經濟學中的變化率問題自己看書!( )fx 邊邊際際:( )( )xfxf x 彈彈性性: = =29六、小結六、小結1. 導數(shù)的實質導數(shù)的實質: 增量比的極限增量比的極限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義: 切線的斜率切線的斜率;4. 函數(shù)可導一定連續(xù),但連續(xù)不一定可導函數(shù)可導一定連續(xù),但連續(xù)不一定可導;5. 求導數(shù)最基本的方法求導數(shù)最基本的方法: 由定義求導數(shù)由定義求導數(shù);6. 判斷可導性判斷可導性不連續(xù)不連續(xù),一定不可導一定不可導.連續(xù)連續(xù)直接用定義直接用定義;看左右導數(shù)是否存在且相等看左右導數(shù)是否存在且相等.30 函
16、數(shù)函數(shù))(xf在某點在某點0 x處的導數(shù)處的導數(shù))(0 xf 與導函數(shù)與導函數(shù))(xf 有什么區(qū)別與聯(lián)系?有什么區(qū)別與聯(lián)系?思考題思考題31思考題解答思考題解答 由導數(shù)的定義知,由導數(shù)的定義知,)(0 xf 是一個具體的是一個具體的數(shù)值,數(shù)值,)(xf 是由于是由于)(xf在某區(qū)間在某區(qū)間I上每一上每一點都可導而定義在點都可導而定義在I上的一個新函數(shù),即上的一個新函數(shù),即Ix ,有唯一值,有唯一值)(xf 與之對應,所以兩與之對應,所以兩者的者的區(qū)別區(qū)別是:一個是數(shù)值,另一個是函數(shù)兩是:一個是數(shù)值,另一個是函數(shù)兩者的者的聯(lián)系聯(lián)系是:在某點是:在某點0 x處的導數(shù)處的導數(shù))(0 xf 即是導即是
17、導函數(shù)函數(shù))(xf 在在0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值32一一、 填填空空題題:1 1、 設設)(xf在在0 xx 處處可可導導,即即)(0 xf 存存在在,則則 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . .2 2、 已已知知物物體體的的運運動動規(guī)規(guī)律律為為2ts ( (米米) ),則則該該物物體體在在 2 t秒秒時時的的速速度度為為_ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 設設321)(xxy , ,221)(xxy , ,53223)(xxxxy , , 則則它它們們的的導導數(shù)數(shù)分分別別為為dxdy1= =_ _ _ _ _ _ _ _
18、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,dxdy2= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,dxdy3= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .練練習習題題334 4、 設設2)(xxf , ,則則 )(xff_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ; )(xff_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .5 5、 曲曲 線線xey 在在 點點)1,0(處處 的的 切切 線線 方方 程程 為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、
19、 在在下下列列各各題題中中均均假假定定)(0 xf 存存在在,按按照照導導數(shù)數(shù)的的定定義義觀觀察察下下列列極極限限,分分析析并并指指出出A表表示示什什么么? 1 1、Axxxfxfxx 00)()(lim0; 2 2、Ahhfh )(lim0,其其中中)0(0)0(ff 且且存存在在; 3 3、Ahhxfhxfh )()(lim000. .三三、證證明明:若若)(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù)且且)0(f 存存在在,則則0)0( f. .34四、四、 設函數(shù)設函數(shù) 0,00,1sin)(xxxxxfk問問k滿足什么條滿足什么條件,件,)(xf在在0 x處處 (1)(1)連續(xù);連續(xù); (2 2)可導;)可
20、導;(3 3)導數(shù)連續(xù))導數(shù)連續(xù). .五、五、 設函數(shù)設函數(shù) 1,1,)(2xbaxxxxf, ,為了使函數(shù)為了使函數(shù))(xf在在1 x處連續(xù)且可導,處連續(xù)且可導,ba ,應取什么值應取什么值. .六、六、 已知已知 0,0,sin)(xxxxxf, ,求求)(xf. .七、七、 證明:雙曲線證明:雙曲線2axy 上任一點處的切線與兩上任一點處的切線與兩 坐標軸構成的三角形的面積都等于坐標軸構成的三角形的面積都等于22a. .35八、八、 設有一根細棒,取棒的一端作為原點,棒上任意點設有一根細棒,取棒的一端作為原點,棒上任意點的坐標為的坐標為x,于是分布在區(qū)間,于是分布在區(qū)間1,0上細棒的質上細棒的質量量m是是x的函數(shù)的函數(shù))(xmm 應怎樣確定細棒在點應怎樣確定細棒在點0 x處的線密度處的線密度(對于均勻細棒來說,單位長度細棒(對于均勻細棒來說,單位長度細棒的質量叫作這細棒的線密度)?的質量叫作這細棒的線密度)?36一、一、1 1、)(0 xf ; 2 2、)(0 xf ; 3 3、6533161,2,32 xxx; 3 3、24x, ,22x; 5 5、01 yx. .二、二、1 1、)(0 xf ; 2 2、)0(f ; 3 3、)(20 xf . .
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