【課件】6.2平面向量的運算課件-高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

1、6.2平面向量的運算高一數(shù)學必修二第六章 平面向量及其應用0101020203030404加法運算加法運算減法運算減法運算數(shù)乘運算數(shù)乘運算數(shù)量積數(shù)量積C O N T E N T S目錄0101加法運算加法運算溫故知新溫故知新我們知道,數(shù)能進行運算,因為有了運算而使數(shù)的威力無窮.那么,向量是否也能像數(shù)一樣進行運算呢?我們知道,位移、力是向量,它們可以合成能否從位移、力的合成中得到啟發(fā),引進向量的加法呢?思考思考如左圖,某質(zhì)點從點A經(jīng)過點B到點C,這個質(zhì)點的位移如何表示?背景背景ABC加法運算加法運算物理知識告訴我們,這個質(zhì)點兩次位移AB,BC的結(jié)果,與從點A直接到點C的位移AC結(jié)果相同.因此,位

2、移AC可以看成是位移AB與BC合成的.數(shù)的加法啟發(fā)我們,從運算的角度看,AC可以看作是AB與BC的和,即位移的合成可以看作向量的加法ABC三角形法則cbaa + b = c首尾相接,首尾連加法運算加法運算平行四邊形法則a+bba如左圖,以同一點O為起點的兩個已知向量a、b,以OA,OB為鄰邊作OACB,則以O為起點的向量OC(OC是OACB的對角線)就是向量a與b的和.我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.對于零向量與任意向量a,我們規(guī)定：a + 0 = 0 + a = a數(shù)的加法結(jié)合律與交換律同樣適用于向量的加法注意C A B O 小試身手小試身手加法運算加法運算0202

3、減法運算減法運算減法運算減法運算與數(shù)x的相反數(shù)是-x類似,我們規(guī)定,與向量a長度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,記作-a.由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向,因此a和-a互為相反向量,于是- ( - a ) = a我們規(guī)定,零向量的相反向量仍是零向量由兩個向量和的定義易知a + ( - a ) = ( - a ) + a = 0即任意向量與其相反向量的和是零向量.這樣,如果a,b互為相反向量,那么a = - b , b = - a , a + b = 0減法運算減法運算向量a加上b的相反向量,叫做a與b的差,即a b = a + ( - b )求兩個向量差的運算叫做向量的減法我們看到,向

4、量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進行:減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量-babaa+（-b）-ba-bDCBOA如左圖,設OA=a,OB=b,OD=-b,連接AB,由向量減法的定義知a-b=a+(-b)=OA+OD=OC在四邊形OCAB中,OB平行且等于CA,所以OCAB是平行四邊形.所以BA=OC=a-b由此,我們得到a-b的作圖方法減法運算減法運算a b = a + ( - b )向量a加上b的相反向量,叫做a與b的差,即aa-bbabOAB如圖,已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點O,作OA=a,OB=b,則BA=a-b.即a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量,這是向量

5、減法的幾何意義同始連終,指向被減小試身手小試身手ADCB0303數(shù)乘運算數(shù)乘運算數(shù)乘運算數(shù)乘運算O-aaaaa-a-aABC如圖,OC=OA+AB+BC=a+a+a.類比數(shù)的乘法,我們把a+a+a記作3a,即OC=3a.顯然3a的方向與a的方向相同,3a的長度是a的長度的3倍,即|a|=3|a|.同理：-3a的方向與a的方向相反,-3a的長度是a的長度的3倍,即|-3a|=|3a|.定義一般地,我們規(guī)定實數(shù)與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作a,它的長度與方向規(guī)定如下(1) |a|=| | |a|;(2)當 0時, a的方向與a的方向相同;當0時, a的方向與a的方向相反由(1

6、)可知,當=0時, a=0；由(1)(2)可知,(-1)a=-a數(shù)乘運算數(shù)乘運算特殊的還有特殊的還有(- )a=-( a)= (-a) (a-b)= a- b可以發(fā)現(xiàn),實數(shù)與向量的積與原向量共線，事實上,對于向量a(a0),b,如果有一個實數(shù),使b= a,那么由向量數(shù)乘的定義可知a與b共線反過來,已知向量a與b共線,且向量b的長度是向量a的長度的倍,即|b|= |a|,那么當a與b同方向時,有b= a;當a與b反方向時,有b=- a向量共線向量a(a0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個實數(shù),使b= a數(shù)乘運算數(shù)乘運算證明共線例題題目可以當做結(jié)論記住，方便做題小試身手小試身手ADCEB0404

7、數(shù)量積數(shù)量積數(shù)量積數(shù)量積類比物理力學做功計算公式W=Fs cos，我們有向量之間的積計算公式a b = |a | | b|cos ab已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為,我們把數(shù)量| a| | b | cos 叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab,即顯然,當=0時,a與b同向;當=時,a與b反向，如果a與b的夾角是/2,我們說a與b垂直,記作ab數(shù)量積ab等于a的長度|a |與b在a方向上的投影| b|cos的乘積數(shù)量積數(shù)量積規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0.對比向量的線性運算,我們發(fā)現(xiàn),向量線性運算的結(jié)果是一個向量,而兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量,這個數(shù)量的大小與兩個向量的長度及其夾角有關(guān)(1) a b = b a;(2) a b = ( a b ) = a ( b )(3) ( a + b ) c= a c + b c.注意數(shù)量積的運算不滿足結(jié)合律,即( a b ) c = a ( b c)不成立.這是由于( a b ) c表示一個與c共線的向量,而a ( b c )表示一個