高量7-密度矩陣

1、114 密度矩陣密度矩陣14.1 純態(tài)和混合態(tài)純態(tài)和混合態(tài) 一、定義一、定義 1. 純態(tài)：純態(tài)： 如果量子系統(tǒng)的態(tài)可以用如果量子系統(tǒng)的態(tài)可以用Hilbert空間的一個矢空間的一個矢量來描寫，這種態(tài)稱為純態(tài)。量來描寫，這種態(tài)稱為純態(tài)。 兩個純態(tài)兩個純態(tài) 通過疊加可以得到另一個狀通過疊加可以得到另一個狀態(tài)態(tài)21| ,|2211|cc 顯然顯然 也是也是Hilbert空間中的一個矢量，故也是空間中的一個矢量，故也是純態(tài)。純態(tài)。|2注意：我們過去所討論的是某一物理量的取值概率。注意：我們過去所討論的是某一物理量的取值概率。2. 混合態(tài)：混合態(tài)： 如果量子系統(tǒng)所處的狀態(tài)，由于統(tǒng)計物理的原因如果量子系統(tǒng)所

2、處的狀態(tài)，由于統(tǒng)計物理的原因或量子力學(xué)本身的原因無法用一個態(tài)矢量來描寫，或量子力學(xué)本身的原因無法用一個態(tài)矢量來描寫，系統(tǒng)并不處在一個確定的態(tài)中，而是有可能處在系統(tǒng)并不處在一個確定的態(tài)中，而是有可能處在1|1p2p這種狀態(tài)沒法用態(tài)矢量來表示，稱為混合態(tài)。這種狀態(tài)沒法用態(tài)矢量來表示，稱為混合態(tài)。2|2211|cc)2, 1(,|naAnnn:1a21| c:2a22| c3 比如，一個系統(tǒng)處在 態(tài)的概率為 ，處于 態(tài)的概率為 。系統(tǒng)的這個態(tài)目前還無法作簡單的描寫，只能用下面的寫法來描述這個態(tài)1|2|1p) 1(212 ppp:|11p2p:|2二、物理量二、物理量A在純態(tài)和混合態(tài)中的平均值在純態(tài)和

3、混合態(tài)中的平均值 通過研究這個問題看純態(tài)與混合態(tài)的區(qū)別。通過研究這個問題看純態(tài)與混合態(tài)的區(qū)別。2211|cc對于純態(tài)對于純態(tài)42211|cc)2, 1(,|naaaAnnn假設(shè)假設(shè)則在上述純態(tài)中，物理量則在上述純態(tài)中，物理量A取取 值的概率是值的概率是ia222112|cacaaiii而在混合態(tài)中，若系統(tǒng)處在而在混合態(tài)中，若系統(tǒng)處在 態(tài)，則態(tài)，則A取取 的概率的概率幅是幅是 。若系統(tǒng)處在。若系統(tǒng)處在 態(tài)，則為態(tài)，則為 。1|ia1|ia2|2|ia系統(tǒng)既然以概率系統(tǒng)既然以概率 處于處于 態(tài)，以概率態(tài)，以概率 處在處在 態(tài)，態(tài)，那么那么A取取 的概率為的概率為 1p1|2p2|ia222121|

4、papaii這與上式顯然不同。這與上式顯然不同。5具體到具體到X表象，若純態(tài)的態(tài)函數(shù)為表象，若純態(tài)的態(tài)函數(shù)為2211)()()(cxcxx則混合態(tài)的態(tài)函數(shù)可寫成則混合態(tài)的態(tài)函數(shù)可寫成2211:)(:)(pxpx粒子處于粒子處于 點的概率在純態(tài)中為點的概率在純態(tài)中為0 x220210120|)()(| )(|cxcxx而在混合態(tài)中為而在混合態(tài)中為22021201| )(| )(|pxpx6 前者是概率幅的相加而后者則是概率本身的相加。前者是概率幅的相加而后者則是概率本身的相加。我們說微觀粒子表現(xiàn)波動性，正是指相干疊加而言。我們說微觀粒子表現(xiàn)波動性，正是指相干疊加而言。 由此可以看出，在純態(tài)中兩個

5、態(tài)由此可以看出，在純態(tài)中兩個態(tài) 和和 發(fā)生發(fā)生干涉現(xiàn)象，而混合態(tài)則不發(fā)生干涉，各自表現(xiàn)出自干涉現(xiàn)象，而混合態(tài)則不發(fā)生干涉，各自表現(xiàn)出自己的位置概率。所以兩個態(tài)形成純態(tài)是相干疊加，己的位置概率。所以兩個態(tài)形成純態(tài)是相干疊加，而形成混合態(tài)是不相干疊加。而形成混合態(tài)是不相干疊加。1|2| 而在純態(tài)中，而在純態(tài)中， 兩態(tài)疊加已形成一個新態(tài)，兩態(tài)疊加已形成一個新態(tài)，它原則上已不再原封不動具有原來兩個態(tài)的性質(zhì)了。它原則上已不再原封不動具有原來兩個態(tài)的性質(zhì)了。21| ,| 在混合態(tài)中，系統(tǒng)有一定的概率處于在混合態(tài)中，系統(tǒng)有一定的概率處于 態(tài)。當(dāng)態(tài)。當(dāng)它處于此態(tài)時它處于此態(tài)時, ,它具有它具有 態(tài)所有的全部性

6、質(zhì)態(tài)所有的全部性質(zhì). .對于對于態(tài)也是一樣。態(tài)也是一樣。1|1|2|7三、兩點說明三、兩點說明 有時會看到一種解釋，說在 所表現(xiàn)的純態(tài)中，“ 是系統(tǒng)處于 態(tài)的概 率， 是處于 態(tài)的概率”，這種說法是不 對的。2211|cc21|c1|22|c2| 若把 分別換成 ，這倒是對混合態(tài) 的正確理解。2221| ,|cc21, pp 純態(tài)是一個全新的態(tài)，處于純態(tài)的系統(tǒng)，不再 有可能處于 態(tài)或 態(tài)。2|1|82. 如果在 中， 都是某 算符A 的本征態(tài)，本征值分別為 ，則在純態(tài) 中物理量 A 取值 的概率確是 。2221| ,|cc2211|cc21| ,|21,aa21,aa 但物理量取 或 的概率并

7、不等于系統(tǒng)處于 態(tài)和 態(tài)的概率。系統(tǒng)處于 態(tài)中， 不見 得取 值。2a1|2|1|1a1a比如算符B仍有取值 的概率。對于純態(tài)來講，系統(tǒng)就是處于 態(tài)，不存在“系統(tǒng)處在某態(tài)的概率”這一概念。1b|就看測哪一個力學(xué)量。9 從統(tǒng)計規(guī)律性的角度看，由純態(tài)描寫的統(tǒng)計系綜稱為純粹系綜，而由混合態(tài)描寫的統(tǒng)計系綜稱為混合系綜。 下面看如何用一個單一的數(shù)學(xué)量來描述混合態(tài)。14.2 密度算符與密度矩陣密度算符與密度矩陣一. 密度算符1. 定義定義純態(tài)中的純態(tài)中的定義定義 設(shè)設(shè) 是是Hilbert空間中的一個歸一化的矢量，空間中的一個歸一化的矢量，用其來描寫狀態(tài)用其來描寫狀態(tài) ，則，則A在在 態(tài)中平均值可寫為態(tài)中平

8、均值可寫為| AA系綜系綜（ensembleensemble）：在一定的宏觀條件下，大量性質(zhì)和結(jié)構(gòu)）：在一定的宏觀條件下，大量性質(zhì)和結(jié)構(gòu)完全相同的、處于各種運動狀態(tài)的、各自獨立的系統(tǒng)的集合。完全相同的、處于各種運動狀態(tài)的、各自獨立的系統(tǒng)的集合。10密度算符與概率的關(guān)系密度算符與概率的關(guān)系 取一組基矢 ，利用其完全性關(guān)系 有|n1|nnnnnAn|nAnnA|這是一個新算符 ， 稱為密度算符。它由態(tài)矢量完全確定。|注意構(gòu)造密度算符時必須注意使用歸一化的態(tài)矢量。我們再來看物理量A在 態(tài)中取值 的概率|ia2|iiawiiaa|iiaa|這個概率是密度算符 在本征態(tài) 中的平均值。ia|定義|)tr(

9、AA此時11)7 .14(|)5 .14()tr(|2iiiiaaaWAAA 由以上兩式可知，對于純態(tài)由以上兩式可知，對于純態(tài) ，凡是能用態(tài)矢，凡是能用態(tài)矢給出的信息，都可以同樣用密度算符給出的信息，都可以同樣用密度算符 給出。因此給出。因此是可以完全代替態(tài)矢量來描寫純態(tài)的另一種數(shù)學(xué)量。是可以完全代替態(tài)矢量來描寫純態(tài)的另一種數(shù)學(xué)量。|混合態(tài)中的混合態(tài)中的定義定義取如下一般的混合態(tài)取如下一般的混合態(tài)1:)(:)(2211iippxpx先求物理量先求物理量A在此混合態(tài)中的平均值。在此混合態(tài)中的平均值。12 在混合態(tài)中，一個物理量求平均值要通過兩次平均手續(xù)： （2）統(tǒng)計物理平均 求出各量子平均以不同

10、的概率 出現(xiàn)時的平均，即ip （1）量子力學(xué)平均 求出A在每一個 中的平均值 ；iiA|i|iiiiApA| 同樣利用一組基的完全性關(guān)系，有13niiiiAnnpA|如果令) 1(|iiiiiipp稱為混合態(tài)的密度算符或統(tǒng)計算符。niiiinpAn|niiiinpAn| 同樣，在混合態(tài)中物理量A取值 的概率應(yīng)為量子力學(xué)的概率與統(tǒng)計物理的概率乘積之和，即ja)tr(AA則14iiijjpaW2|iijiijpaa|jjaa|在混合態(tài)中測在混合態(tài)中測A的平均值的平均值在混合態(tài)中測在混合態(tài)中測A得得 概率概率ja上式連同式上式連同式)tr(AA 與純態(tài)情況下的形式一樣，只不過混合態(tài)的密度算與純態(tài)情況

11、下的形式一樣，只不過混合態(tài)的密度算符是符是參與混合的那些純態(tài)的密度算符的加權(quán)平均參與混合的那些純態(tài)的密度算符的加權(quán)平均。iiiiiipp) 1(|15來表示混合態(tài)方便多了。同時可以看到，純態(tài)是混來表示混合態(tài)方便多了。同時可以看到，純態(tài)是混合態(tài)的一個特殊情況。合態(tài)的一個特殊情況。 至此，我們找到了密度算符至此，我們找到了密度算符 這個量取描述混合這個量取描述混合態(tài)，態(tài)， 是是Hilbert空間中的一個算符，這比用下式空間中的一個算符，這比用下式1:|:|2211iippp16方程的推導(dǎo)方程的推導(dǎo)2. Liouville方程方程 在在HP空間中，態(tài)矢量空間中，態(tài)矢量 不含時，因此密度算符不含時，因

12、此密度算符是一個不隨時間而變的算符是一個不隨時間而變的算符H|iiHiHiHp|在在SP空間中，密度算符則是一個含時算符空間中，密度算符則是一個含時算符iiSiSiSp|利用薛定諤方程利用薛定諤方程SStHtti)(|)(|對上式進行求導(dǎo)，可得密度算符隨時間變化的規(guī)律對上式進行求導(dǎo)，可得密度算符隨時間變化的規(guī)律17這就是密度算符的運動方程，稱為這就是密度算符的運動方程，稱為Liouville方程。方程。注意此式的形式與注意此式的形式與HP中描述物理量算符的運動方程中描述物理量算符的運動方程)(,)(tAHtAtiHHH有所不同。有所不同。iiSiSiiSiSiSttpttpttitti| )(

13、)(| )()(|)(iiiSiSiiSiSiHtpttptH| )()(| )()(|iiSiSiiSiSiHtpttptH| )()(| )()(|)(,tHS18注意到跡的運算：注意到跡的運算：方程的應(yīng)用舉例方程的應(yīng)用舉例 可以利用可以利用Liouville方程計算一個不顯含時間的物理方程計算一個不顯含時間的物理量量 在混合態(tài)中的平均值在混合態(tài)中的平均值 隨時間的變化隨時間的變化SASAtrA,BC=tr(ABC-BAC)=tr(BCA-BAC) =trB(CA-AC)=trBC,A這正是初量中所學(xué)的公式這正是初量中所學(xué)的公式力學(xué)量的平均值隨時間力學(xué)量的平均值隨時間的變化的變化。SSAt

14、Hii)(,1tr則有則有)(trSSSAttiAtiSSAtti)(trHAtSS,)(trHAS,193. 密度算符的性質(zhì)密度算符的性質(zhì)對一個一般的混合態(tài)對一個一般的混合態(tài)1, |iiiiiipp 其中其中 是參與構(gòu)成混合態(tài)的那些態(tài)，是參與構(gòu)成混合態(tài)的那些態(tài)， 是相應(yīng)的權(quán)重。是相應(yīng)的權(quán)重。), 2 , 1(| iiip 通常通常 是系統(tǒng)哈密頓的各個本征態(tài)，因此是系統(tǒng)哈密頓的各個本征態(tài)，因此 構(gòu)成一組基矢。構(gòu)成一組基矢。i|i 但當(dāng)哈密頓有簡并本征值時但當(dāng)哈密頓有簡并本征值時, , 未必是互相正交的未必是互相正交的, ,所以在下面混合態(tài)性質(zhì)的討論和證明中，盡可能不用所以在下面混合態(tài)性質(zhì)的討論

15、和證明中，盡可能不用互相正交的條件，也不要求它們一定線性相關(guān)，只要互相正交的條件，也不要求它們一定線性相關(guān)，只要求它們是歸一化的。求它們是歸一化的。i|對于純態(tài)對于純態(tài)iip |,|20密度算符的跡密度算符的跡有有1tr證明證明取一組基取一組基 ,利用完全性關(guān)系利用完全性關(guān)系|n1|nnn有有niiiinpn|triiiip|niiiipnn|1iipnijjjjiiinppn|tr2nijjjiiijppnn|ijjijiijpp|state)mixed(for1state)pure(for1tr221ijjjiipp2|不重疊 因為當(dāng)因為當(dāng) 時時ji 1|2jjjjjipp又又1ip所以所

16、以)(1tr2混合態(tài)iip)0(如果二者正交，則為對于對于ijjijiijpp|tr222而當(dāng)而當(dāng) 時，這是個純態(tài)，顯然時，這是個純態(tài)，顯然ji 1從另一方面講，若是個純態(tài)，并用從另一方面講，若是個純態(tài)，并用 表示，則表示，則|,|2那么那么nnn|tr22顯然上述證明不論顯然上述證明不論 是否兩兩正交都是成立的。是否兩兩正交都是成立的。|iijjjiipp22|trnnn|1| iiiipp2trnnn|23密度算符的密度算符的厄米性厄米性 若若K表象的基矢為表象的基矢為 ，則密度算符的矩陣，則密度算符的矩陣元（后面還要介紹）可寫為元（后面還要介紹）可寫為| mnnmmn|所以密度算符是厄米

17、算符。所以密度算符是厄米算符。由此引出第三個性質(zhì)：由此引出第三個性質(zhì)：iiiinpm|iiiimpn*|iiiinpm*|*|mnmn24厄米算符本征矢量的混合態(tài)的性質(zhì)厄米算符本征矢量的混合態(tài)的性質(zhì)1)若混合態(tài)是由一系列相互正交態(tài)構(gòu)成，即若混合態(tài)是由一系列相互正交態(tài)構(gòu)成，即 對一切對一切i, j 成立，則密度算符成立，則密度算符 的本征矢量就是參與的本征矢量就是參與 構(gòu)成此混合態(tài)的那些態(tài)構(gòu)成此混合態(tài)的那些態(tài) ，而相應(yīng)的本征值就是，而相應(yīng)的本征值就是 權(quán)重權(quán)重 ，即，即ijji|i|ip)22.14(|iiip證明證明jijjjip|iijijjjpp|對于對于 不是兩兩正交的情況，這一性質(zhì)不成

18、立。但不是兩兩正交的情況，這一性質(zhì)不成立。但在這種情況下，密度算符仍是厄米算符，因而肯定有在這種情況下，密度算符仍是厄米算符，因而肯定有一系列本征矢一系列本征矢, 并設(shè)為并設(shè)為 ,相應(yīng)的本征值為相應(yīng)的本征值為 ，即，即|ip|25p|則密度算符則密度算符 肯定可以寫成肯定可以寫成|p而作為厄米算符的本征矢，而作為厄米算符的本征矢， 肯定彼此正交?？隙ū舜苏?。|2)由前面的討論可知，當(dāng)參與構(gòu)成混合態(tài)的各態(tài)由前面的討論可知，當(dāng)參與構(gòu)成混合態(tài)的各態(tài) （參與態(tài)）不全正交時，我們還可以用另外一套正交（參與態(tài)）不全正交時，我們還可以用另外一套正交 的參與態(tài)的參與態(tài) 構(gòu)成一個相同的密度算符。構(gòu)成一個相同的

19、密度算符。|i|問題：這兩組混合態(tài)是否相同的態(tài)？問題：這兩組混合態(tài)是否相同的態(tài)？兩種看法：兩種看法： 1從實驗角度看，從實驗角度看， 與與 兩式所表示的是分別由兩套不同的參與態(tài)構(gòu)成的兩式所表示的是分別由兩套不同的參與態(tài)構(gòu)成的 混合態(tài)，當(dāng)然是不同的態(tài)；混合態(tài)，當(dāng)然是不同的態(tài)；iiiip|p26 從理論角度看，對于這兩個混合態(tài)，量子力學(xué)所從理論角度看，對于這兩個混合態(tài)，量子力學(xué)所 能得到的信息又是完全一樣的。從密度算符上完能得到的信息又是完全一樣的。從密度算符上完 全無法判別它們的不同，因此又可以認(rèn)為是同一全無法判別它們的不同，因此又可以認(rèn)為是同一 個混合態(tài)。我們采用后一種看法。個混合態(tài)。我們采用

20、后一種看法。2 3一個密度算符為一個密度算符為 的混合態(tài)，可以用不同參與態(tài)的混合態(tài)，可以用不同參與態(tài) 以不同權(quán)重構(gòu)成以不同權(quán)重構(gòu)成, 但若要求參與態(tài)彼此正交但若要求參與態(tài)彼此正交, 則只則只 有一種構(gòu)成方式，這時參與態(tài)就是有一種構(gòu)成方式，這時參與態(tài)就是 本征態(tài)。本征態(tài)。 這樣很自然地產(chǎn)生一個問題：能否只用一組基矢這樣很自然地產(chǎn)生一個問題：能否只用一組基矢 作為參與態(tài)，把系統(tǒng)所有的混合態(tài)表現(xiàn)出來？作為參與態(tài)，把系統(tǒng)所有的混合態(tài)表現(xiàn)出來？|m從混合態(tài)中能得到什么量子力學(xué)信息？從混合態(tài)中能得到什么量子力學(xué)信息？如如 某一力學(xué)量在其中取某個本征值的概率。某一力學(xué)量在其中取某個本征值的概率。27 用完全

21、性關(guān)系用完全性關(guān)系 作用于作用于 的左右兩邊，有的左右兩邊，有1|mmmiiiip|我們試一下：我們試一下：即即 必須滿足兩個必要條件，即必須滿足兩個必要條件，即mmpmmiiiimmmmmpmp| | 令令這樣這樣mmmmmpm|1)tr(,*mmmmmmpppmmiiiimmpmm| |mmmmmm|則則28mmmmmpm| 由以上三式可見，用一組正交基表現(xiàn)一個系統(tǒng)的全由以上三式可見，用一組正交基表現(xiàn)一個系統(tǒng)的全部混合態(tài)是可能的。部混合態(tài)是可能的。 一個系統(tǒng)的任何混合態(tài)都可以用任何一組正交基表一個系統(tǒng)的任何混合態(tài)都可以用任何一組正交基表示成如下形式示成如下形式iiimiiimmmpCpCp

22、; 1,*mmmmmpm|1)tr(,*mmmmmmpppmmiimiCmC1|,|229這個形式的密度算符可以認(rèn)為是形式這個形式的密度算符可以認(rèn)為是形式的推廣。這時的推廣。這時 不一定是混合態(tài)的參與態(tài)。不一定是混合態(tài)的參與態(tài)。iiiip|m當(dāng)當(dāng) 是參與態(tài)時是參與態(tài)時, ,(14.27), ,(14.27)恢復(fù)為上式?；謴?fù)為上式。|mmmmmmpp)27.14(|mmmmmpm) 1(|iiiiiipp 當(dāng)系統(tǒng)的混合態(tài)的參與態(tài)不是當(dāng)系統(tǒng)的混合態(tài)的參與態(tài)不是 , 而是其它正交而是其它正交基或是不完全正交的一組態(tài)時，系統(tǒng)的混合態(tài)就要用基或是不完全正交的一組態(tài)時，系統(tǒng)的混合態(tài)就要用(14.27)表示

23、。式中的表示。式中的 可以看成是可以看成是 的推廣。的推廣。|mmmpip其實其實 就是以就是以 為基的密度矩陣。為基的密度矩陣。mmp|m30二. 約化密度矩陣1. 定義定義 密度算符在一個具體表象中的矩陣表示稱為密度密度算符在一個具體表象中的矩陣表示稱為密度矩陣。在矩陣。在SP表象中，密度矩陣是含時的，而在表象中，密度矩陣是含時的，而在 HP表象中則是不含時的。表象中則是不含時的。 設(shè)設(shè)K表象的基矢為表象的基矢為 ，則，則K表象中的密度表象中的密度矩陣為矩陣為| mnnmmn|)16.14(|iiiinpm31 常常用到常常用到位置表象位置表象中的密度矩陣。這時密度矩陣中的密度矩陣。這時密

24、度矩陣是以是以 連續(xù)編號的連續(xù)矩陣：連續(xù)編號的連續(xù)矩陣：xx , xxxx| 其跡為其跡為iiiixpx| )17.14()() (*iiiixpx)18.14(dtrxxx 如果參與構(gòu)成混合態(tài)的都是物理量如果參與構(gòu)成混合態(tài)的都是物理量K的本征態(tài)，的本征態(tài)，則這個混合態(tài)在則這個混合態(tài)在K表象中的密度矩陣是對角矩陣，表象中的密度矩陣是對角矩陣，其對角元是相應(yīng)的本征值其對角元是相應(yīng)的本征值 。ip32 2. 2.約化密度矩陣約化密度矩陣 常常有這樣的情況，有一個大系統(tǒng)，而希望求平均常常有這樣的情況，有一個大系統(tǒng)，而希望求平均值的那個物理量只與系統(tǒng)的一部分有關(guān)。例如在粒子值的那個物理量只與系統(tǒng)的一部

25、分有關(guān)。例如在粒子1, 2構(gòu)成的系統(tǒng)中，希望求粒子構(gòu)成的系統(tǒng)中，希望求粒子1的某一物理量的某一物理量 F(1)的的平均值。這時上述所有的內(nèi)容仍舊適用。不過可以做平均值。這時上述所有的內(nèi)容仍舊適用。不過可以做一些簡化。一些簡化。 對上述提到的雙粒子系統(tǒng)，設(shè)粒子對上述提到的雙粒子系統(tǒng)，設(shè)粒子1和和2各有一組基各有一組基矢矢 。則在。則在1, 2兩粒子空間的直積空間中，兩粒子空間的直積空間中，系統(tǒng)態(tài)矢的一般形式為系統(tǒng)態(tài)矢的一般形式為|,|miimimmic|為使為使 歸一化，系數(shù)歸一化，系數(shù) 應(yīng)滿足應(yīng)滿足|imc1|2imimC33iimmmiimmimiCC*|處于純態(tài)處于純態(tài) 時，系統(tǒng)的密度算符

26、是時，系統(tǒng)的密度算符是|則密度矩陣元則密度矩陣元 是是immi, )31.14(*, immiimmiCC現(xiàn)在求粒子現(xiàn)在求粒子1的某物理量的某物理量F(1)的平均值：的平均值：) 1 (tr) 1 (FF|) 1 (|njnjnjF| ) 1 (|njjnnjnjnjnjF比較式比較式mmmmmm|34即即njnnjjjjjFF| ) 1 (|) 1 (令令2tr|) 1 (nnn 的意思是只對粒子的意思是只對粒子2取跡，取跡后的取跡，取跡后的 仍是粒子仍是粒子1空間的算符，稱為描寫粒子空間的算符，稱為描寫粒子1的約化密度算符；的約化密度算符；2tr) 1 (它在粒子它在粒子 1的某一表象（例

27、如以的某一表象（例如以 為基矢的表象）為基矢的表象）中的矩陣，稱為粒子中的矩陣，稱為粒子1的約化密度矩陣。的約化密度矩陣。|ijjnnnjnjnnjjF| ) 1 (|jjnjnnjjjF| ) 1 (| ) 1 (|njjnnjnjnjnjF35這一表示完全與粒子這一表示完全與粒子2無關(guān)，是一個只在粒子無關(guān)，是一個只在粒子1空間中空間中的關(guān)系。的關(guān)系。)1 () 1 (tr) 1 (1FF即即 由上式可知，在一個雙粒子系統(tǒng)中，只討論一個粒由上式可知，在一個雙粒子系統(tǒng)中，只討論一個粒子的物理量的平均值，其關(guān)系與粒子子的物理量的平均值，其關(guān)系與粒子 1 處于一個單粒處于一個單粒子狀態(tài)子狀態(tài) 時的

28、一樣。時的一樣。) 1 (jjjjjjFF| ) 1 (| ) 1 (|) 1 (| ) 1 () 1 (|jjjF這樣這樣F(1)的平均值成為的平均值成為36nnn|) 1 (mmniinmiimmimmiCC*|*|iiininniiCC這是一與式這是一與式 相同類型的密度算符。相同類型的密度算符。mmmmmpm|nnmiimmiiimmminCC|*可知可知由式由式,tr|) 1 (2nnniimmmiimmimiCC*|37 14.3 例題例題關(guān)于自旋態(tài)的例子關(guān)于自旋態(tài)的例子例例1 設(shè)設(shè) 是自旋是自旋 的本征態(tài)，分別對應(yīng)于本征的本征態(tài)，分別對應(yīng)于本征 值值 ，比較下列的純態(tài)和混合態(tài)，比

29、較下列的純態(tài)和混合態(tài)| ,|2,2zS純態(tài)純態(tài):23,21,23|21|11CC混合態(tài)混合態(tài):43,|41,|pp解解: 我們?nèi)∥覀內(nèi)?表象，設(shè)表象，設(shè)zS10|01|38（1）純態(tài)）純態(tài):2321|4343434123212321|利用利用10012,002,01102zyxSiiSS可以算出可以算出xxSStr4343434101102tr43414343tr24339注意：與通常方法所算出的平均值一樣。注意：與通常方法所算出的平均值一樣。同理可得同理可得41tr, 0trzzyySSSS（2）混合態(tài)）混合態(tài):iiiip|431010410101430041由此算出由此算出41tr, 0t

30、rzzyySSSStrxxSS 043004101102tr041430tr243xS40（3）討論）討論 由所得結(jié)果可明顯看出，混合態(tài)確是兩個態(tài)的由所得結(jié)果可明顯看出，混合態(tài)確是兩個態(tài)的不相干疊加：在混合態(tài)中保存了原有兩態(tài)的特點，不相干疊加：在混合態(tài)中保存了原有兩態(tài)的特點，如在如在 態(tài)中，態(tài)中， 的平均值均為零，即的平均值均為零，即| ,|yxSS ,001102010110201|xxSS在這兩個態(tài)的混合態(tài)中，在這兩個態(tài)的混合態(tài)中， 平均值仍保持為零，平均值仍保持為零，而而 的平均值為原兩態(tài)的加權(quán)平均，即的平均值為原兩態(tài)的加權(quán)平均，即yxSS ,zS001020100201|iiiSSyy

31、41所以可以說，處于混合態(tài)中的粒子，以權(quán)重所以可以說，處于混合態(tài)中的粒子，以權(quán)重 處于處于 態(tài)中，以權(quán)重態(tài)中，以權(quán)重 處于處于 態(tài)中。態(tài)中。pp|zzzSpSpS483810108301018101001210430110012014142因此不能說，處于純態(tài)中的粒子因此不能說，處于純態(tài)中的粒子“部分地處于部分地處于 態(tài)，態(tài)，部分地處于部分地處于 態(tài)態(tài)”。| 可見當(dāng)討論兩個態(tài)疊加成一個純態(tài)時，僅僅用一個可見當(dāng)討論兩個態(tài)疊加成一個純態(tài)時，僅僅用一個算符（如算符（如 ）的本征態(tài)為例來說明是不夠的。只有用）的本征態(tài)為例來說明是不夠的。只有用一個算符（如一個算符（如 ）的兩個非本征態(tài)才能明顯看出純態(tài)）

32、的兩個非本征態(tài)才能明顯看出純態(tài)與同權(quán)重的混合態(tài)的不同。與同權(quán)重的混合態(tài)的不同。zSxS而純態(tài)則不相同而純態(tài)則不相同. 本例的純態(tài)有意選擇本例的純態(tài)有意選擇 ， 的平均值與混合態(tài)相同。但兩個態(tài)疊加后出現(xiàn)了原的平均值與混合態(tài)相同。但兩個態(tài)疊加后出現(xiàn)了原態(tài)中都沒有的性質(zhì)態(tài)中都沒有的性質(zhì): 疊加態(tài)中疊加態(tài)中 平均值不再為零。平均值不再為零。pcpc2221,zSxS43i0|,01|把表象基矢稍微改變一下，給把表象基矢稍微改變一下，給 換一相因子，取換一相因子，取|在則純態(tài)的密度矩陣發(fā)生很大變化：在則純態(tài)的密度矩陣發(fā)生很大變化：i232123|21|4343434123212321iiii由此得出由此

33、得出41,43, 0zyxSSS44平均值也發(fā)生了很大變化，顯然已經(jīng)不是原來那個純平均值也發(fā)生了很大變化，顯然已經(jīng)不是原來那個純態(tài)了。此時混合態(tài)的密度矩陣為態(tài)了。此時混合態(tài)的密度矩陣為iiiip|4300410101ii430041100043000141可見并沒有發(fā)生變化。這就是說，在相干疊加構(gòu)成純可見并沒有發(fā)生變化。這就是說，在相干疊加構(gòu)成純態(tài)時，兩個態(tài)的相因子非常重要。態(tài)時，兩個態(tài)的相因子非常重要。 嚴(yán)格來說，本例開頭問題的提法是不完全的，因為嚴(yán)格來說，本例開頭問題的提法是不完全的，因為只給出了只給出了 ，而沒有給出其相對相位。選擇基，而沒有給出其相對相位。選擇基矢時必須連同相位一起選定

34、。矢時必須連同相位一起選定。| ,|45是密度算符，其本征矢量與本征值很容易算出為是密度算符，其本征矢量與本征值很容易算出為解：這個態(tài)的密度矩陣是解：這個態(tài)的密度矩陣是0101211121112121可以算出可以算出. 143tr, 1tr2)37.14(111341例例2 研究下列混合態(tài)研究下列混合態(tài))36.14(21,01|21,1121|1211pp46例例3 討論一個約化密度矩陣。設(shè)有一個雙粒子系統(tǒng)，討論一個約化密度矩陣。設(shè)有一個雙粒子系統(tǒng)，第一個是第一個是電子電子，第二個是，第二個是質(zhì)子質(zhì)子。設(shè)在二粒子自旋空間。設(shè)在二粒子自旋空間的直積空間中，的直積空間中，4個基矢的次序及定義如下：個基矢的次序及定義如下：(14.38)式所表示的混合態(tài)，其密度矩陣是式所表示的混合態(tài)