《復數(shù)的運算復數(shù)的加法與減法》教案新人教選修

1、數(shù)學： 3.2.1 復數(shù)的運算-復數(shù)的加法與減法教案（1）（新人教選修2-2 ）§ 3.2 復數(shù)代數(shù)形式的四則運算§ 3.2.1 復數(shù)代數(shù)形式的加減運算及幾何意義教學目標：知識與技能：掌握復數(shù)的加法運算及意義過程與方法：理解并掌握實數(shù)進行四則運算的規(guī)律，了解復數(shù)加減法運算的幾何意義情感、態(tài)度與價值觀：理解并掌握復數(shù)的有關概念（ 復數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實部、虛部） 理解并掌握復數(shù)相等的有關概念；畫圖得到的結論，不能代替論證，然而通過對圖形的觀察，往往能起到啟迪解題思路的作用教學重點：復數(shù)加法運算，復數(shù)與從原點出發(fā)的向量的對應關系教學難點：復數(shù)加法運算的運算率，復數(shù)加

2、減法運算的幾何意義。教具準備：多媒體、實物投影儀。教學設想：復數(shù)有復平面內(nèi)惟一的一個點和它對應；反過來，復平面內(nèi)的每一個點，有惟一的一個復數(shù)和它對應。復數(shù)z=a+bi（a、bG R）與有序實數(shù)對（a, b）是一一對應關系這是因 為對于任何一個復數(shù) z=a+bi（a、b R）,由復數(shù)相等的定義 可知，可以由一個有序實數(shù)對(a, b)惟一確定.教學過程：學生探究過程：1. 虛數(shù)單位:(1) 它的平方等于-1 ，即 ; (2) 實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立2. 與 1 的關系 : 就是 1 的一個平方根，即方程x2= 1 的一個根，方程x2= 1 的另一個根是3

3、. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=14. 復數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復數(shù)，叫復數(shù)的實部，叫復數(shù)的虛部全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集，用字母C表示*3. 復數(shù)的代數(shù)形式: 復數(shù)通常用字母z 表示， 即， 把復數(shù)表示成 a+bi 的形式，叫做復數(shù)的代數(shù)形式4. 復數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0 的關系：對于復數(shù)，當且僅當b=0時，復數(shù)a+bi(a、b R)是實數(shù)a；當b中0時，復 數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當a=0且b中0時，z=bi叫做純虛數(shù)； 當且僅當a=b=0 時， z 就是實數(shù)0.5. 復數(shù)集與其它數(shù)集之間的關系：NZQRC.6. 兩個復數(shù)相等的定義：如果兩個復數(shù)

4、的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數(shù)相等即：如果 a, b, c, dGR那么 a+bi=c+dia=c ， b=d一般地，兩個復數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如果兩個復數(shù)都是實數(shù)，就可以比較大小只有當兩個復數(shù)不全是實數(shù)時才不能比較大小7. 復平面、實軸、虛軸：點Z的橫坐標是a,縱坐標是b,復數(shù)z=a+bi（a、bG R）可用點Z（a, b）表示，這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，也叫高斯平面，x 軸叫做實軸，y 軸叫做虛軸實軸上的點都表示實數(shù)對于虛軸上的點要除原點外，因為原點對應的有序實數(shù)對為（0 ， 0） ， 它所確定的復數(shù)是z=0+0i=0 表示是實數(shù). 故

5、除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)復數(shù)集C和復平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應關系，即復數(shù)復平面內(nèi)的點這是因為，每一個復數(shù)有復平面內(nèi)惟一的一個點和它對應；反過來， 復平面內(nèi)的每一個點，有惟一的一個復數(shù)和它對應.這就是復數(shù)的一種幾何意義. 也就是復數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法8. 若，則9. 若，則，兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差10. 若，則一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去 始點的坐標即 =?=( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1)講解新課：一.復數(shù)代數(shù)形式的加減運算1 .復數(shù)z1與z2的和的定義：z1+z

6、2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2 , 復數(shù)z1與z2的差的定義：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.3,復數(shù)的加法運算滿足交換律：z1+z2=z2+z1.證明：設 z1=a1+b1i , z2=a2+b2i(a1 , b1, a2, b2GR).: z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.又 = a1+a2=a2+a1, b1+b2=b2+b1.z1+z2=z2+z1,即復數(shù)的加法運算滿足交換律.4,復數(shù)的加法運算

7、滿足結合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 證明：設 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i , z3=a3+b3i(a1 , a2, a3, b1, b2, b3G R)./(z1+z2)+z3= ： (a1+b1i)+(a2+b2i) +(a3+b3i)=：(a1+a2)+(b1+b2)i +(a3+b3)i=(a1+a2)+a3 + ：(b1+b2)+b3 i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+：(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)+ ： (a2+a3)+(b2+b3)i =：a1+(a2+a3) + ：b1

8、+(b2+b3) i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)iV(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3) , (b1+b2)+b3=b1+(b2+b3). (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即復數(shù)的加法運算滿足結合律講解范例：例 1 計算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)= (5-2-3)+(-6-1-4) i= -11 i例 2 計算：(1 -2i)+( -2+3i)+(3 -4i)+( -4+5i)+.+(2002+2003i)+(2003 2004i)解法一：原式=(1 -2+3-4+. -2002+2003)+( -2

9、+34+5+.+2003 - 2004i)=(2003 -1001)+(1001 -2004)i=1002 1003i.解法二：(1 2i)+( -2+3i)= 1+i ,(3 -4i)+( -4+5i)= -1+i ,(2001 -2002i)+( -2002+2003)i= -1+i.相加得(共有1001個式子)：原式=1001( 1+i)+(2003 -2004i)=(2003 -1001)+(1001 -2004)i=1002 -1003i二.復數(shù)代數(shù)形式的加減運算的幾何意義復數(shù)的加( 減 ) 法 (a+bi) ± (c+di)=(a ± c)+(b ±

10、d)i.與多項式加( 減 ) 法是類似的. 就是把復數(shù)的實部與實部，虛部與虛部分別相加( 減 ).1. 復平面內(nèi)的點平面向量2. 復數(shù)平面向量3. 復數(shù)加法的幾何意義：設復數(shù) z1=a+bi ， z2=c+di ，在復平面上所對應的向量為、，即、的坐標形式為二(a, b), =(c, d)以、為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2則對角線OZ對應的向量是，. . = +=(a , b)+(c , d)=(a+c , b+d) = (a+c)+(b+d)i4. 復數(shù)減法的幾何意義：復數(shù)減法是加法的逆運算，設 z=(a-c)+(b d)i ,所以zz1=z2, z2+z1=z,由復數(shù)加法幾何意義，以為一條

11、對角線，為一條邊畫平行四邊形，那么這個平行四邊形的另一邊 OZ2所表示的向量就與復數(shù)z-z1的差(a c)+(b d)i 對應由于，所以，兩個復數(shù)的差z z1 與連接這兩個向量終點并指向被減數(shù)的向量對應.例 3 已知復數(shù)z1=2+i ， z2=1+2i 在復平面內(nèi)對應的點分別為A、B,求對應的復數(shù)z, z在平面內(nèi)所對應的點在第幾象限？解：z=z2 z1=(1+2i) (2+i)= 1+i ，.z 的實部 a=- 1V0,虛部 b=1>0,復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第二象限內(nèi).點評：任何向量所對應的復數(shù)，總是這個向量的終點所對應的復數(shù)減去始點所對應的復數(shù)所得的差. 即所表示的復數(shù)是zB z

12、A.,而所表示的復數(shù)是zA zB,故切不可把被減數(shù)與減數(shù)搞錯盡管向量的位置可以不同，只要它們的終點與始點所對應的復數(shù)的差相同，那么向量所對應的復數(shù)是惟一的，因此我們將復平面上的向量稱之自由向量，即它只與其方向和長度有關，而與位置無關例 4 復數(shù) z1=1+2i， z2= 2+i ， z3= 1 2i ，它們在復平面上的對應點是一個正方形的三個頂點，求這個正方形的第四個頂點對應的復數(shù).分析一：利用，求點D的對應復數(shù).解法一：設復數(shù)z1、包、z3所對應的點為 A B、C,正方形 的第四個頂點D對應的復數(shù)為x+yi（x , yGR）,是： =（x+yi） （1+2i）=（x 1）+（y 2）i;=（

13、 1 2i） （ 2+i）=1 3i.,即（x 1）+（y 2）i=1 3i ,解得故點D對應的復數(shù)為2-i.分析二：利用原點 O正好是正方形ABCD勺中心來解.解法二：因為點A與點C關于原點對稱，所以原點O為正方形的中心，于是（ 2+i）+（x+yi）=0 , .x=2, y= 1.故點D對應的復數(shù)為2-i.點評：根據(jù)題意畫圖得到的結論，不能代替論證，然而通過對圖形的觀察，往往能起到啟迪解題思路的作用鞏固練習：1. 已知復數(shù)z1=2+i,z2=1+2i, 則復數(shù)z=z2 z1 在復平面內(nèi)所表示的點位于A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限 D.第四象限2. 在復平面上復數(shù)3 2i, 4+5

14、i,2+i 所對應的點分別是A、B、C,則平行四邊形ABCD勺對角線BD所對應的復數(shù)是A.5 9iB. 5 3iC.7 11iD. 7+11i3. 已知復平面上 AOB的頂點A所對應的復數(shù)為1+2i,其重心G所對應的復數(shù)為1+i,則以OA OB為鄰邊的平行四邊形的對角線長為A.3B.2C.2D.4. 復平面上三點 A B、C分別對應復數(shù)1, 2i,5+2i,則由A、B、C所構成的三角形是A. 直角三角形B. 等腰三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形5. 一個實數(shù)與一個虛數(shù)的差（）A. 不可能是純虛數(shù)B. 可能是實數(shù)C. 不可能是實數(shù)D. 無法確定是實數(shù)還是虛數(shù)6. 計算 （ =.7. 計算：（2

15、x+3yi） （3x 2yi）+（y 2xi） 3xi=（x、yGR）.8. 計算（1 2i） （2 3i）+（3 4i） . （20022003i）.9. 已知復數(shù) z1=a2 3+（a+5）i,z2=a 1+（a2+2a 1）i（a R） 分別對應向量、（O為原點），若向量對應的復數(shù)為純虛數(shù)， 求 a 的值 .解：對應的復數(shù)為z2 z1 ，則z2 z1=a 1+（a2+2a 1）i a2 3+（a+5）i =（aa2+2）+（a2+a 6）i. z2- z1是純虛數(shù)解得 a= 1.10已知復平面上正方形的三個頂點是A（ 1， 2） 、 B（2，1）、C（1，2），求它的第四個頂點D 對應的

16、復數(shù).解：設D（ x,y）, 則對應的復數(shù)為（x+yi） （1+2i）=（x 1）+（y 2）i對應的復數(shù)為：（ 1 2i） （ 2+i）=1 3i.（x 1）+（y -2）i=1 -3i.,解得.D點對應的復數(shù)為2-i o答案： 1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6. 2i 7.（y x）+5（y 8. 解：原式=(1 2+3 4+.+2001 2002) +( 2+3 4+. 2002+2003)i= 1001+1001i課后作業(yè)：課本第112頁 習題 3.2 1 , 2 , 3教學反思：如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數(shù)相等即：如果 a, b, c, dG R 那么a+bi=c+dia=c , b=d一般地，兩個復數(shù)只能說相等或不相等，而不