《探索勾股定理》教學(xué)案例分析與反思

1、探索勾股定理教學(xué)案例分析與反思在教學(xué)中，設(shè)法使學(xué)生在接受數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中， 融入主動(dòng)的探究、發(fā)現(xiàn)等 活動(dòng)，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)通過(guò)自己的歸納概括獲取知識(shí)， 讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)自生活， 數(shù)學(xué)就在身邊，數(shù)學(xué)就在自已的手中。以下教學(xué)案例就是我在新課程標(biāo)準(zhǔn)下的一 個(gè)嘗試。教材分析：勾股定理是幾何學(xué)中幾個(gè)重要定理之一， 它揭示的是直角三角形中三邊的數(shù) 量關(guān)系。它在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起到重要的作用，在現(xiàn)時(shí)世界中也有著廣泛的作用。 學(xué)生通過(guò)對(duì)勾股定理的學(xué)習(xí)，可以在原有的基礎(chǔ)上對(duì)直角三角形有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí) 和理解。教學(xué)目標(biāo)：1 .學(xué)習(xí)掌握勾股定理及內(nèi)容，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單證明。2 .培養(yǎng)動(dòng)口、動(dòng)手、動(dòng)腦的綜合能力，并感受從具體到抽

2、象的認(rèn)識(shí)規(guī)律。教學(xué)重點(diǎn)：勾股定理的證明和應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：拼圖、用計(jì)算面積的方法證明勾股定理。教學(xué)方法：1 .教師教法：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、嘗試指導(dǎo)、實(shí)驗(yàn)探究相結(jié)合。2 .學(xué)生學(xué)法：積極參與、動(dòng)手動(dòng)腦與主動(dòng)發(fā)現(xiàn)相結(jié)合。師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)：教學(xué)過(guò)程：1 .創(chuàng)設(shè)情景，引入新課師：（結(jié)合動(dòng)畫講故事）西周開國(guó)時(shí)期，周公非常愛(ài)才，他和喜歡鉆研數(shù) 學(xué)的商高是好朋友。有一天，商高對(duì)周公說(shuō)，最近我又有一個(gè)新的發(fā)現(xiàn)，把一根 長(zhǎng)為7的直尺折成直角，使一邊長(zhǎng)（勾）為 3,另一邊長(zhǎng)（股）為4,連接兩端 （弦）得一個(gè)直角三角形，周公您猜一猜第三邊的長(zhǎng)等于多少？周公搖頭不知道。 同學(xué)們，你們猜猜是多少？生：5!生：不知道！師：不知道也

3、沒(méi)關(guān)系，我們來(lái)量一量斜邊的長(zhǎng)就知道了。（動(dòng)畫演示）師：后來(lái)又發(fā)現(xiàn)，直角邊為6、8的直角三角形的斜邊的長(zhǎng)是10。這兩組 數(shù)據(jù)是否具有某種共同點(diǎn)呢？帶著這個(gè)問(wèn)題人們對(duì)直角三角形做了進(jìn)一步的研 究，通過(guò)計(jì)算三條邊長(zhǎng)的平方發(fā)現(xiàn)，直角三角形中的三條邊長(zhǎng)之間還真有一種特 殊的關(guān)系。同學(xué)們也來(lái)算一算、猜一猜看，它們之間到底有什么樣的關(guān)系呢？生：32+42=52;6 2+82=102師：這是兩組特殊數(shù)字，但由此引發(fā)一個(gè)有待我們深入思考的問(wèn)題， 看哪 位同學(xué)有新問(wèn)題要提？生：一個(gè)任意的直角三角形的三邊是否也有這種相等關(guān)系呢？師:這個(gè)問(wèn)題提得好！我們用幾何畫板再做一個(gè)直角三角形來(lái)多實(shí)驗(yàn)幾次， 請(qǐng)注意觀察。（任意改

4、變?nèi)叺拈L(zhǎng)，度量、計(jì)算顯示相等關(guān)系依然不變。）師：通過(guò)實(shí)驗(yàn)，可以得到什么結(jié)論？（或問(wèn)同學(xué)們發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊有 什么樣的關(guān)系？）請(qǐng)同桌商量討論后把你們的結(jié)論用文字語(yǔ)言或數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來(lái)。生：直角三角形的三邊滿足：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。即：a2+b2=c2師：同學(xué)們概括得非常好！這個(gè)結(jié)論盡管是通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)得到的， 但要說(shuō) 明它對(duì)任意的直角三角形都成立， 還有待進(jìn)行證明。首先我們要明確，在什么圖 形中要證明什么結(jié)論？生：在直角三角形中證明a2+b2=c2師：怎樣證明呢？（學(xué)生茫然）這個(gè)問(wèn)題是有點(diǎn)難度，讓我們先來(lái)觀察這 個(gè)要證明的等式，看等式中的a、b、c表示什么？生：表小直角三角形的三

5、條邊長(zhǎng)。師：a2、b2、c2是邊長(zhǎng)的平方，由邊長(zhǎng)的平方可聯(lián)想到什么圖形？生：正方形。正方形的面積。師：對(duì)整個(gè)等式你們?cè)鯓永斫?？生：等式可以理解為兩個(gè)正方形的面積和等于一個(gè)正方形的面積。師：那好，下面我們就來(lái)做一個(gè)拼正方形的游戲， 看能不能對(duì)我們證明結(jié) 論有些幫助。（這一環(huán)節(jié)利用故事情節(jié)引入，是為了引起學(xué)生的注意，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí) 興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生滿腔熱情地投入學(xué)習(xí)過(guò)程。 在問(wèn)題情景中引導(dǎo)學(xué)生提問(wèn)，是為了 培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)問(wèn)題的意識(shí)，讓學(xué)生主動(dòng)地帶著問(wèn)題在實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中去感受數(shù)學(xué)的再 發(fā)現(xiàn)。）2 .動(dòng)手拼圖，合作探索定理證明方法。師：現(xiàn)在，前后4人為一個(gè)小組，老師給每小組提供了拼圖模型兩套，要求 每一套模型

6、拼成一個(gè)沒(méi)有空隙且不重疊的正方形。拼好后請(qǐng)上臺(tái)展示你們的成 果，比一比，看哪一組完成任務(wù)最快。（這里充分利用了初中學(xué)生的好奇心和好勝心，給靜態(tài)知識(shí)注入了活力，同 時(shí)在課堂上增添了觀察、探究等可形成能力的新因素。這樣不僅可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的 已有經(jīng)驗(yàn)，溝通相關(guān)知識(shí)，而且還能培養(yǎng)學(xué)生觀察、動(dòng)手實(shí)踐的能力。另外，在 整個(gè)拼圖過(guò)程中，學(xué)生自始至終處于主體位置上，老師只是他們的學(xué)習(xí)合作伙伴， 在巡視的同時(shí)，給個(gè)別小組以適當(dāng)指導(dǎo)。這樣的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動(dòng)的教育思想， 有利于學(xué)生在建構(gòu)的環(huán)境中，真正主動(dòng)的建構(gòu)自己的理解。）待各組同學(xué)基本完成后，挑選出一組拼圖和同學(xué)們共同分析：師：同學(xué)們對(duì)比自己拼成的兩個(gè)圖形，看看

7、它們有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)?生：都是邊長(zhǎng)相等的正方形，但拼圖的模型不同 生：這兩個(gè)正方形的面積相等。師：這兩個(gè)正方形的面積怎樣計(jì)算呢？通過(guò)你的計(jì)算能否證明a2 +b2=c2 ?請(qǐng)?jiān)囈辉?。師：看哪兩位同學(xué)愿意上來(lái)寫出證明過(guò)程。生甲：證明：二.兩個(gè)正方形的面積相等， . 4X (ab + 2)+a 2+b2=4X (ab + 2)+c2a2+b2=c2生乙：證明：.(a+b) 2=4X (ab + 2)+c2 a2+2ab+ b2=2ab+ c2. a2+ b2= c2(證明逐步深入，是為了啟發(fā)學(xué)生把形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問(wèn)題，聯(lián)想到用計(jì)算面積的方法證明a2+ b2= c2,從而突破教學(xué)難點(diǎn)。)師：兩位

8、同學(xué)剛才用兩種不同的方法證明了實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)論，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的勾股定理。請(qǐng)兩位同學(xué)再談?wù)勀銈兊淖C明思路好嗎？生甲：圖(A)的面積用四個(gè)全等的直角三角形的面積加兩個(gè)正方形的面 積，圖(B)的面積用四個(gè)全等的直角三角形的面積加一個(gè)正方形的面積，利用 面積相等就證得結(jié)論。生乙：我把圖(B)用兩種不同方法計(jì)算它的面積也能證得結(jié)論。師：說(shuō)得非常好！甲同學(xué)的證明思路正好符合我們前面對(duì)等式的理解；乙同學(xué)的證明思路啟發(fā)我們還可以通過(guò)拼各種不同的圖形來(lái)證明勾股定理。師：美國(guó)第十二任總統(tǒng)伽菲爾德有一天外出散步，遇到兩個(gè)伏在石板上冥思 苦想的男孩，總統(tǒng)上前問(wèn)他們遇到了什么麻煩？ 一男孩說(shuō)：“先生，您知道怎樣證

9、明勾股定理嗎？ "總統(tǒng)一時(shí)語(yǔ)塞， 無(wú)法解釋，于是匆忙回家研究，得出了拼直 角梯形證明勾股定理的方法。(多媒體展示拼圖)按這個(gè)拼圖也能證明勾股定理 嗎？請(qǐng)?jiān)囋嚳?。生：根?jù)拼圖，用兩種方法計(jì)算梯形的面積就能證明勾股定理。師：對(duì)！這種思路很好。證明勾股定理的方法很多，有興趣的同學(xué)課后可 以上網(wǎng)查詢相關(guān)資料，也可以嘗試拼出不同的圖形對(duì)勾股定理給予證明。(多媒體展示拼圖。啟發(fā)學(xué)生一題多證，多題歸一是為了培養(yǎng)學(xué)生思維的 靈活性和創(chuàng)新性。)下面我們來(lái)看看勾股定理能幫助我們解決什么問(wèn)題？3.課堂練習(xí)(1)在 Rt中，/ C=90 , BC=a ,AC=b,AB=c(a)已知 a=1, b =2,則

10、c=(b) 已知 a=15, c=17,則 b=(c)已知 c=25, b=5,貝 a=(2) 一個(gè)底邊長(zhǎng)為6,腰長(zhǎng)為5的等腰三角形，求底邊上的高和面積。(3)李明上學(xué)經(jīng)過(guò)的路旁有一小湖，隔湖相對(duì)有兩棵樹A、B, 但無(wú)法直接測(cè)量出A、B之間的距離。請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)一個(gè)解決問(wèn)題的方案好嗎？(這是一道與生活實(shí)際貼近的開放題，鼓勵(lì)學(xué)生用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題， 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。)4.小結(jié)師：通過(guò)以上練習(xí)，同學(xué)們可以感受到勾股定理有什么作用？生：用勾股定理可以解決在直角三角形中已知兩條邊求第三邊的問(wèn)題。師：說(shuō)得非常好！在這一節(jié)課中，你們還學(xué)會(huì)了什么？生：通過(guò)拼圖學(xué)會(huì)了用計(jì)算面積的方法證明勾股定理。師

11、：同學(xué)們總結(jié)得非常好！勾股定理的應(yīng)用非常廣泛，它是聯(lián)系數(shù)學(xué)中數(shù) 與形的第一個(gè)定理，是數(shù)形結(jié)合思想的最初體現(xiàn)，自從我國(guó)古代數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)勾股 定理后，它對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的作用和影響， 我們不僅要為之自豪，更要切實(shí)學(xué) 好它?！窘虒W(xué)反思】學(xué)校課堂教學(xué)中學(xué)生的創(chuàng)新活動(dòng)，絕大多數(shù)不是一種發(fā)明創(chuàng)造，而是創(chuàng)新 素質(zhì)的表現(xiàn)和培養(yǎng)過(guò)程.學(xué)生的創(chuàng)新活動(dòng)得到什么結(jié)論是次要的，重要的是使 學(xué)生的創(chuàng)新素質(zhì)得到培養(yǎng)，這是中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)創(chuàng)新教育的價(jià)值取向。本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程由激趣、質(zhì)疑、實(shí)驗(yàn)、活動(dòng)、探法、交流、延伸七個(gè)步驟 構(gòu)成.本節(jié)課的成功之處：1 .故事激趣收到了良好效果，學(xué)生產(chǎn)生了質(zhì)疑意識(shí)，教師順勢(shì)利導(dǎo)，提出 問(wèn)題，緊扣

12、了中心。2 .由于實(shí)現(xiàn)了教師角色的轉(zhuǎn)變，教法的創(chuàng)新，師生平等，關(guān)系融洽，氣氛 活躍，課堂民主，學(xué)生積極參與，在他們心底涌現(xiàn)了一股濃濃的學(xué)習(xí)欲望.3 .面向全體學(xué)生，以人為本的教育理念落實(shí)到位，主體性得到充分體現(xiàn).由于實(shí)現(xiàn)了學(xué)生角色的轉(zhuǎn)變，學(xué)法的創(chuàng)新，整節(jié)課幾乎都是學(xué)生自主實(shí)驗(yàn)、自主 探索、自主完成由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，學(xué)生的主動(dòng)性及合作精神都體現(xiàn)出來(lái)了。 教師 只是作為他們的一分子參與研究，起組織、引導(dǎo)的作用 .4 .通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，并經(jīng)推理論證，學(xué)生取得了勾股定理的新證法研究成果， 一些新思路延伸到課外研究。5 .研究成果不僅極大地豐富了學(xué)生對(duì)勾股定理的證明的認(rèn)識(shí)，而且學(xué)生從中獲得了利 用已知探求未

13、知數(shù)學(xué)知識(shí)的能力和方法，創(chuàng)新素質(zhì)得到了培養(yǎng)和提高， 這對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和將來(lái)的發(fā)展是大有裨益的?！窘虒W(xué)評(píng)析】這節(jié)課主要采用講、看、思、問(wèn)、做等多種教學(xué)手段，通過(guò)激趣、質(zhì)疑、 實(shí)驗(yàn)、活動(dòng)、 交流等環(huán)節(jié)，圍繞如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能 力，進(jìn)行了很有價(jià)值的探索。本節(jié)課的教學(xué)活動(dòng)分以下幾個(gè)階段進(jìn)行：第一階段是教師講述“折尺的學(xué)問(wèn)”的故事引入新課，以激發(fā)興趣，鼓勵(lì)質(zhì)疑，意在培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)。交流收獲；第二階段是通過(guò)計(jì)算猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)探究直角三角形三邊之間的關(guān)系，學(xué)生總結(jié) 勾股定理的證明方法和步驟；第三階段是拼圖驗(yàn)證再發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。 此時(shí)，學(xué)生的興趣大增，利用學(xué)具獨(dú)立 或分組進(jìn)行拼圖實(shí)驗(yàn)。更加

14、強(qiáng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維、創(chuàng)新技能、創(chuàng)新情感和創(chuàng)新人 格的培養(yǎng)；第四階段是隨堂訓(xùn)練掌握定理的基本應(yīng)用；第五階段是歸納小結(jié)，教師在充分肯定學(xué)生取得成績(jī)的同時(shí)， 再次引導(dǎo)學(xué)生 將研究延伸到課外?？傊?，本節(jié)課之所以取得令人滿意的教學(xué)效果，是因?yàn)榻處煒淞⒘诵碌慕?育觀念，轉(zhuǎn)變了教師角色，將以育人為本的理念落到實(shí)處；師生平等，課堂民主; 教法創(chuàng)新，精心設(shè)計(jì)和準(zhǔn)備，科學(xué)的組織和安排，合理使用了多媒體教具和學(xué)具。那是心與心的交匯， 是相視的莞爾一笑，是一杯飲了半盞的酒，沉香在喉，甜潤(rùn)在心。紅塵中，我們會(huì)相遇一些人，一些事，跌跌撞撞里，逐漸懂得了這世界，懂得如何經(jīng)營(yíng)自己的內(nèi)心，使它柔韌，更適應(yīng)這風(fēng)雨征途，而不會(huì)在過(guò)往的錯(cuò)失里糾結(jié)懊悔一生。時(shí)光若水，趟過(guò)歲月的河，那些舊日情懷，或溫暖或痛楚，總會(huì)在心中烙下深深淺淺的痕。生命是一座時(shí)光驛站，人們?cè)谀抢飦?lái)來(lái)去去。一些人若長(zhǎng)亭古道邊的萋萋芳草，淪為泛泛之交; 一些人卻像深山斷崖