全等三角形全章復(fù)習(xí)和鞏固(提高)知識講解

1、12 / 12全等三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 . 了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對應(yīng)元素；2 .探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；3 .會作角的平分線，了解角的平分線的性質(zhì)，能利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì), 會利用角的平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】【高清課堂：388614 全等三角形單元復(fù)習(xí)，知識要點(diǎn)】 要點(diǎn)一、全等三角形的判定與性質(zhì)一般二角形直角三角形判定邊角邊（SAS 角邊角（ASA 角角邊（AAS 邊邊邊（SSS兩直角邊對應(yīng)相等 一邊一銳角對應(yīng)相等 斜邊、直角邊定理（HL）性質(zhì)對應(yīng)邊相

2、等，對應(yīng)角相等（其他對應(yīng)元素也相等，如對應(yīng)邊上的高相等）備注判定三角形全等必須有一組對應(yīng)邊相等要點(diǎn)二、全等三角形的證明思路找夾角t SAS 已知兩邊找直角t HL、找另一邊t SSS'邊為角的對邊已知一邊一角 邊為角的鄰邊t找任一角t AAS找夾角的另一邊t SAS找夾邊的另一角 T ASA 找邊的對角t AAS口斤門由療械夾邊t ASA 已知兩角匕，一,四任一邊t AAS要點(diǎn)三、角平分線的性質(zhì)1 .角的平分線的性質(zhì)定理角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等2 .角的平分線的判定定理角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上3 .三角形的角平分線三角形角平分線交于一點(diǎn)，且到三邊的距

3、離相等4 .與角平分線有關(guān)的輔助線在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.要點(diǎn)四、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切?、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問題的一個出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1 .證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個三角形全等.(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等(3)等式性質(zhì).2 .證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明

4、.(2)證明兩個角所在的兩個三角形全等.(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明.(4)同角(等角)的余角(補(bǔ)角)相等 .(5)對頂角相等.3 .證明兩條線段的位置關(guān)系(平行、垂直)的方法：可通過證明兩個三角形全等，得到對應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4 .輔助線的添加：(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長中線法；(3)作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(或補(bǔ)短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5 .證明三角形全等的思維方法 ：(1)直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā) 現(xiàn)兩條線段和兩個角所在的兩個三角形及它們?nèi)鹊臈l件(2)如果

5、要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時，則應(yīng)根據(jù) 圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個三角形全等以補(bǔ)足條件(3)如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關(guān)系，此時應(yīng)添置輔助線，使之 出現(xiàn)全等三角形，通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì)【典型例題】類型一、巧引輔助線構(gòu)造全等三角形(1) .倍長中線法用曰1、已知，如圖， ABC中，D是BC中點(diǎn)，D吐DF,試判斷 BE+ CF與EF的大小關(guān)系， 并證明你的結(jié)論.【思路點(diǎn)撥】 因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，按倍長中線法，倍長過中點(diǎn)的線段DF,使口合DF,證明 EDe AEDF AFD(C4GDB這樣就把 BE CF與EF線段轉(zhuǎn)化到了 B

6、EG中，利用兩邊之 和大于第三邊可證.【答案與解析】BE+ CF> EF；BG EG證明：延長FD到G使D。DD是BC中點(diǎn) .BD= CD 又 DEL DF 在 EDG EDF 中ED =ED I ：/EDG =/EDF DG =DF . ED® EDF (SAS) .Ea EF 在"DC與AGDB中CD =BD 1 "2 DF = DG. .FD隼GDB(SAS) .CF= BG BJ BE> EG BE+ CF> EF【總結(jié)升華】 有中點(diǎn)的時候作輔助線可考慮倍長中線法(或倍長過中點(diǎn)的線段)舉一反三：【變式】已知：如圖所示，CE CB分別是 A

7、BC與4ADC的中線，且/ ACB= /ABC求證：CD= 2CE【答案】證明： 延長CE至F使EF= CE連接BF. EC為中線，AE = BEAE = BE, |在AEC與BEF中，/AEC =/BEF ,CE =EF,AAE(C BEF (SAS.AC = BF, / A= / FBE.(全等三角形對應(yīng)邊、角相等)又,: /ACB= /ABC / DBC= / AC拼 /A, / FBC= Z ABO /A. AC = AB, / DBC= / FBC.AB = BF.又 BC為 ADC的中線, AB = BD 即 BF=BD.BF =BD, _ , ! 在 FCB與 DCB中，N FB

8、C = / DBC ,BC = BC,AFCE DCB (SAS).CF = CD 即 CD= 2CE.(2) .作以角平分線為對稱軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形命 2、已知：如圖所示，在 ABC中，Z C= 2/B, /1 = /2.求證：AB= AO CD【答案與解析】證明：在 AB上截取AE= AC.AE=AC（已作），在人£口與4 ACD中，.1=/ 2（已知），、AD = AD（公用邊）， AAEtD MCD （SAS）.ED = CD/AED= / C（全等三角形對應(yīng)邊、角相等 ）. 又 Z C= 2/B .-/ AED= 2/B.由圖可知：/ AED= / B+ / EDB

9、2 / B=/ B+ / EDB /B= /EDBBE = ED 即 BE= CD.AB = AE+ BE= AJ CD（等量代換）.【總結(jié)升華】 本題圖形簡單，結(jié)論復(fù)雜，看似無從下手，結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)AB>AC故用截長補(bǔ)短法.在AB上截取AE= AC.這樣AB就變成了 AE+ BE,而AE= AC.只需證BE= CD即可.從而把AB= AO CD轉(zhuǎn)化為證兩線段相等的問題.舉一反三:【變式】如圖，AD是AABC的角平分線，H, G分別在AC, AB上，且HD= BD.(1)求證：/ B與/ AHD5補(bǔ)；(2)若/ B+ 2/DGA= 180° ,請?zhí)骄烤€段 AG與線段AH HD之間

10、滿足的等量關(guān)系，并加 以證明.證明：（1）在AB上取一點(diǎn) M,使得A隹AH,連接DM. /CAD= Z BAD, AD= AD, MH國 AAMD.HD= MD, /AHD= Z AMD. HD= DB, DB= MD.ZDMB= Z B. ZAMD- / DMB = 180 , ZAHDF / B= 180 .即 ZBAHDS補(bǔ).（2）由（1） /AHD= ZAMD, HD= MD, ZAHDF / B= 180* ZB+ 2/DGA = 180?ZAHD= 2/DGA./AMD= 2/DGM. ZAMD= Z DGM- / GDM.2/DG璃 Z DGM- Z GDM.ZDGM= Z GD

11、M.MD= MG.HD= MG. AG= AM+ MG,AG= AH+ HD.(3).利用截長(或補(bǔ)短)法作構(gòu)造全等三角形6 120 如圖，加中，AB=AC，點(diǎn)P是三角形右外一點(diǎn)，且/ APB= / ABC .(1)如圖1,若/ BAC=60。，點(diǎn)P恰巧在/ ABC的平分線上，PA=2,求PB的長;(2)如圖2,若/ BAC=60 °,探究PA, PB, PC的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3,若/ BAC=120 °,請直接寫出PA, PB, PC的數(shù)量關(guān)系.APBC圖3 ABC是等邊三角形，/ APB=/ABC,得圖1【思路點(diǎn)撥】(1) AB=AC , / BAC=60

12、°,證得至|J/APB=60°,又點(diǎn)P恰巧在/ ABC的平分線上，得到/ ABP=30 °,得到直角三角形，禾U 用直角三角形的性質(zhì)解出結(jié)果.(2)在BP上截取PD,使PD=PA,連結(jié)AD ,得到4ADP是等邊三角形，再通過三角形全 等證得結(jié)論.(3)以A為圓心，以 AP的長為半徑畫弧交 BP于D,連接AD ,過點(diǎn)A作AF LBP交BP 于F,得到等腰三角形，然后通過三角形全等證得結(jié)論.【答案與解析】解：(1) AB=AC , / BAC=60 °, .ABC是等邊三角形，/ APB=/ABC, ./ APB=60 °,又.點(diǎn)P恰巧在/ ABC

13、的平分線上， ./ ABP=30 °, ./ PAB=90 °,BP=2AP , .AP=2,BP=4;(2)結(jié)論：PA+PC=PB.B證明：如圖1,在BP上截取PD,使PD=PA,連結(jié)AD , . / APB=60 °, . ADP是等邊三角形, ./ DAP=60 °, / 1 = /2, PA=PD, 在4ABD與4ACP中，Ta二 pd-Z1=Z2,i AB 二 ACABDA ACP, PC=BD , PA+PC=PB;(3)結(jié)論： V3PA+PC=PB .證明：如圖2,以A為圓心，以AP的長為半徑畫弧交 BP于D,連接AD ,過點(diǎn)A作AFLBP

14、 交 BP 于 F,AP=AD , . / BAC=120 °, ./ ABC=30 °, ./ APB=30 °, ./ DAP=120 °,1 = Z2,在ABD與AACP中，'AB = AC，Z2=Z1,lAD=APABDA ACP,BD=PC , AFXPD,VsPF=XAP ,2pd=Tsap,.*PA+PC=PB .【總結(jié)升華】 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，截長補(bǔ)短作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.【變式】如圖， AD是4ABC的角平分線，AB> AC,求

15、證：AB- AC> BD- DC【答案】證明：在 AB上截取AE= AC,連ZDEAD是 ABC的角平分線，/BAD= Z CAD在AED與AACD中AE =ACBAD =/CAD、AD = AD.AE呼AAD（C（ SAS.DE= DC在 ABED 中，BE> BD- DC即 AB- AE> BD- DC.AB- AO BD- DC（4）.在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段上上-口,/ 4、如圖所不，已知 E為正萬形ABC曲邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且/ DAE= / FAE.求證：AF=AD+ CF.【思路點(diǎn)撥】 四邊形ABC陰正方形，則/ D= 90°

16、.而/ DAE= / FAE說明AE為/ FAD的平分線，按常規(guī)過角平分線上的點(diǎn)作出到角兩邊的距離，而E到AD的距離已有，只需作 E到AF的距離 EM即可，由角平分線性質(zhì)可知ME= DE, AE= AE. RtAME與RtADE全等有 AD=AM而題中要證 AF= AD+ CF.根據(jù)圖知 AF= A- MF.故只需證 MF= FC即可.從而把證 AF= AD+ CF轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等的問題.【答案與解析】證明：作MEL AF于M連接EF.四邊形ABCM正方形，/ C= / D= / EMA= 90° .又 / DAE= / FAEAE為/ FAD的平分線，ME = DE在RfAME

17、與RfADE中，IAE = AE(公用邊 DE = ME(已證)，Rt AME2 RtAADE(HL).AD = AM隹等三角形對應(yīng)邊相等 ).又 E為CD中點(diǎn)，DE=EC.ME = EC在 Rt EM* Rt ECF中,ME =CE（已證），EF =EF（公用邊），Rt EMF RtAECF（HL）.MF = FC（全等三角形對應(yīng)邊相等 ）.由圖可知：AF= A- MFAF =AA FC（等量代換）.【總結(jié)升華】 與角平分線有關(guān)的輔助線：在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.、如圖所示，在 ABC中，AC=BC /ACB=90 , D是AC上一點(diǎn)，且

18、 AE垂直BD的延1 _長線于E, AE = BD ,求證：BD是/ ABC的平分線.2【答案與解析】 證明：延長AE和BC交于點(diǎn)F,. ACL BC, BE! AE, / ADE4 BDC(對頂角相等)， / EAD吆 ADEh CBD廿 BDC 即/ EADh CBD 在 RtMCF 和 Rt BCD43.ZC尸= NBC。=90*（己知），金C =（己知），=（己證），L所以 RtAACF RtBCD （ASA.則AF=BD（全等三角形對應(yīng)邊相等）.11 AE= BD AE= AF,22即 AE=EF在 RtBEA和 RtBEF 中，/£ =跖（已證）,< ZAEB =

19、ZFEB = 9Q“（己知），9二3外公共邊）.貝U Rt BEA Rt BEF （ SAS .所以/ ABE=/ FBE （全等三角形對應(yīng)角相等） 即BD是/ ABC的平分線.【總結(jié)升華】如果由題目已知無法直接得到三角形全等，不妨試著添加輔助線構(gòu)造出三角形全等的條件，使問題得以解決.平時練習(xí)中多積累一些輔助線的添加方法 類型二、全等三角形動態(tài)型問題【高清課堂：379111直角三角形全等的判定，鞏固練習(xí)5】 6、在 ABC中，Z ACB= 90° , AC= BC直線l經(jīng)過頂點(diǎn)C,過A, B兩點(diǎn)分別作l的垂 線AE, BF,垂足分別為E, F.(1)如圖1當(dāng)直線l不與底邊 AB相交時

20、，求證：EF=AE+ BF.(2)將直線l繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB相交于點(diǎn)D,請你探究直線l在如下位 置時,EF、AE、BF之間的關(guān)系， AD> BD;AD= BD;AD< BD.【答案與解析】證明：(1)A已 l , BF± l ,AEG= / CFB= 90° , Z 1 + Z 2=90° . /ACB= 90° , .2+/3=90°Z 1 = / 3。 在 ACE 和 CBF 中，AEC = CFB I ；Z1 u/3AC =BC. AC珞 CBF (AAS) .AE= CF, CE= BF EF= CE+ CF,

21、EF= AE+ BF。(2)EF= AE- BF,理由如下：AE± l , BF± l ,，/AEC= Z CFB= 90° , /1 + /2 = 90° . /ACB= 90° ,2+/3=90° ,1 = /3。 在 ACE 和 CBF 中AEC »CFB 1= 3AC =BC AC珞 CBF (AAS)AE= CF, CE= BF EF= CF- CE,EF= AE- BF。 EF= AE- BF EF= BF AE 證明同.【總結(jié)升華】解決動態(tài)幾何問題時要善于抓住以下幾點(diǎn)：(1)變化前的結(jié)論及說理過程對變化后的結(jié)論

22、及說理過程起著至關(guān)重要的作用；(2)圖形在變化過程中，哪些關(guān)系發(fā)生了變化，哪些關(guān)系沒有發(fā)生變化；原來的線段 之間、角之間的位置與數(shù)量關(guān)系是否還存在是解題的關(guān)鍵；(3)幾種變化圖形之間，證明思路存在內(nèi)在聯(lián)系，都可模仿與借鑒原有的結(jié)論與過程, 其結(jié)論有時變化，有時不發(fā)生變化.舉一反三：【變式】(2015?臨沂模擬)【問題情境】如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn)E是線段BG上的動點(diǎn)，AEXEF, EF交正方形外角/ DCG 的平分線CF于點(diǎn)F.【探究展示】(1)如圖1,若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，證明：/ BAE+ / EFC= / DCF .(2)如圖2,若點(diǎn)E是BC的上的任意一點(diǎn)(B、C除外)，/ BAE+ ZEFC=Z DCF是否仍 然成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由.【拓展延伸】(3)如圖3,若點(diǎn)E是BC延長線(