圓的解題套路(word修訂版)

1、圓 的 解 題 套證明連接IBJR一隹一易證HK _KE1,.MEL,H臼克其喇*又舄卻EJHB四點(diǎn)為摩，E.B'HJ五點(diǎn)熱臉*_EB=INB=TOXuAPfr=9Q A,B,Y如&接圖，.上NPH=BAN,又由弓I捱可注LG# AB. jGLH=_BA，. U聞喟=GLR, 03戶工四點(diǎn)拉圄*BY加1升調(diào)中國門派 姓名 編號1t娥身不AJriEii-iSiLi'hrM例題1:如圖，AB為。的直徑，點(diǎn)E在OO ±,C為EE的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作直線CDAE模型一：伴隨型相似(聽說它比較容易？)識別模型：AB為圓O直徑，AC為/ BAD角 平分線。CDXADo則可以證

2、 4ADC與4ACB 相似。AD _ AC _ CDAC - AB - CB于D,連接AC、BC.(1)試判斷直線 CD與。O的位置關(guān)系，并說明理由;(2)若 AD=2, AC= V6,求 AB 的長.變式連接(1)1:如圖，在 ABC中，/ C=90，點(diǎn)E在AB上，以AE為直徑的。切BC于點(diǎn)D,AD .求證：AD平分/ BAC ;(2)若。O的半徑為5, sin/DAC=YG,求BD的長.5第二天例題2:如圖，已知。是 ABC的外接圓，AD是。O的直徑，且BD=BC ,延長AD到E, 且有/ EBD= / CAB .(1)求證：BE是。的切線；(2)若BC=V3，AC=5,求圓的直徑 AD及

3、切線BE的長.變式1:如圖1, AB為半圓的直徑，。為圓心，C為圓弧上一點(diǎn)，AD垂直于過C點(diǎn)的切線, 垂足為D, AB的延長線交直線 CD于點(diǎn)E.(1)求證：AC平分/ DAB ;(2)如圖2,連接OD交AC于點(diǎn)G,第三天變式2: AB為。O的直徑，C為。O上一點(diǎn)，AD與過C點(diǎn)的切線垂直， 垂足為D,連AC .(1)求證：AC平分/ DAB ;(2)如圖2,延長AB ,交直線DC于E,若里L(fēng)=J_,求tan/E.變式3:如圖所示， ABC內(nèi)接于。O, AB是。的直徑，點(diǎn) D在OO上，過點(diǎn)C的切線 交AD的延長線于點(diǎn) E,且AELCE,連接CD.(1)求證：DC=BC ;(2)若 AB=10 ,

4、 AC=8 ,求 tan/ DCE 的值.E第四天變式4:如圖，已知以 RtAABC的斜邊AB為直徑作 ABC的外接圓。O, / ABC的平分 線BE交AC于D ,交。于E,過E作EF / AC交BA的延長線于 F.(1)求證：EF是。切線；(2)若 EF=8, tan/AEF=_L,求 CD 的長.2模型識別：如左圖：PB為圓O切線，PA為圓。割線?？勺C： PCBspba。從而：更二如二理（這個比例式經(jīng)常將犬進(jìn)行轉(zhuǎn)化。）PA PB BABA第四天（先讓我們來體會一個幾何的連鎖反應(yīng)）如圖：AB為圓O的直徑，過點(diǎn) D的切線交AB的延長線于點(diǎn) C,DH，AB于H。若AB=10 ,求CB的值。分析：

5、這里有射影定理模型和切割線模型（能找到嗎？），兩個模型的線段之比可以不斷轉(zhuǎn)HB _ 1DH 一 2HB化：可以證明 DHBsahd, HDDHAHBDHB BDADHD AD CBD scda,BD CB CD 1AD CD CA 2（這里就有一個連鎖反應(yīng):HB BD CBCDDH DA CD CA，將射影定理和切割線結(jié)合到了一起!解答:第五天例1:如圖，D為。上一點(diǎn)，點(diǎn) C在直徑BA的延長線上，且/ CDA= /CBD . (1)求證：CD是。的切線；(2)過點(diǎn)B作。O的切線交CD的延長線于點(diǎn)E, BC=6,延金.求BE的長.變式1:如圖，在。中，AB為直徑，OCLAB，弦CD與OB交于點(diǎn)F

6、,在AB的延長線 上有點(diǎn)巳且EF=ED .(1)求證：DE是。的切線；(2)若OF: OB=1 : 3, OO的半徑R=3,求至»的值.AB變式2:如圖，AB為。直徑，C是。上一點(diǎn)，COLAB于點(diǎn)。，弦CD與AB交于點(diǎn)F, 過點(diǎn)D作/ CDE ,使/ CDE= / DFE ,交AB的延長線于點(diǎn) E.過點(diǎn)A作。O的切線交 ED 的延長線于點(diǎn)G.(1)求證：GE是。的切線；(2)若 OF: OB=1 : 3,求 AG 的長.第六天例題2:如圖，在 ABC中，AB=AC .以AC為直徑的。交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.過 E點(diǎn)作。O的切線，交AB于點(diǎn)F.(1)求證：EFXAB ;(2)若 B

7、D=2, BE=3,求 AC 的長.變式1:如圖，以 AB為直徑的。O交AABC的邊AC于D、BC于E,過D作。的切線 交BC于F,交BA延長線于 G,且DF，BC .(1)求證：BA=BC ;(2)若 AG=2, cosB=2,求 DE 的長.5第七天變式：如圖，在 ABC中，CA=CB ,以BC為直徑的圓。交AC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)D, 過點(diǎn)D作。O的切線，交CB的延長線于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.(1)求證：DFLAC.(2)如果。O的半徑為5, AB=12 ,求cos/E.第八天(真正的子母型)例題4:已知：在 RtAABD中，/ ABD=90 ,以直角邊 AB為直徑作圓。交AD于C,取 線段

8、BD的中點(diǎn)E,連接CE交AB的延長線于P.(1)求證：CP是。的切線；(2)點(diǎn)M是弧靛的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N,若AB=4,求MN?MC的值.變式：如圖，已知 ABC ,以AC為直徑的。交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連結(jié) CE交AB于點(diǎn)F,且BF=BC .(1)判斷直線BC與。的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若。O的半徑為2, sinB=A,求CE的長.第九天變式：如圖，D為。上一點(diǎn)，點(diǎn) C在直徑BA的延長線上，且/ CDA=/CBD.(1)求證：CD是。的切線；(2)若 BC=6, tan/CDA= Z,求 CD 的長.3變式：如圖，AB為。O的直徑，COXAB于O, D在。O上，連接 BD

9、 , CD,延長 CD與AB的延長線交于 E, F在BE上，且FD=FE.(1)求證：FD是。的切線；(2)若 AF=8, tanZBDF=X,求 EF 的長.4類型三：等腰三角形與圓的交點(diǎn)( key-point)如左圖： ABC為等腰三角形，AB為圓O 的直徑，則BC與圓O的交點(diǎn)D為BC的中 點(diǎn)°第十天例題1:如圖，在 ABC中，AB=AC ,以AB為直徑作。O,交BC邊于邊D,交AC邊于 點(diǎn)G,過D作。O的切線EF,交AB的延長線于點(diǎn) F,交AC于點(diǎn)E.(1)求證：BD=CD ;(2)若 AE=6, BF=4,求。的半徑.變式：在 ABC中，/ ACB=90 , D是AB邊上一點(diǎn)

10、，以 BD為直徑的。與邊AC有公共 點(diǎn) 巳 連結(jié)DE并延長，與 BC的延長線交于點(diǎn) F, BD=BF .(1)求證：AC是。的切線；(2)若 BF=8, AD=4 ,求 CF 的長.變式：如圖，以 ABC的邊AB為直徑的。與邊BC交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DELAC ,垂 足為E,延長AB、ED交于點(diǎn)F, AD平分/ BAC .(1)求證：EF是。的切線；(2)若 CE=1 , sinF=,求。O 的半徑.5第十一天例題2:如圖，已知等腰三角形 ABC的底角為30°,以BC為直徑的。O與底邊AB交于點(diǎn)D, 過D作DELAC ,垂足為E.(1)證明：DE為。O的切線；(2)若BC=4,求AD的

11、長.圖1圖2變式：已知如圖， AB是。O的直徑，。過BC的中點(diǎn)D,且DEL AC于點(diǎn)E.求證：DE是。的切線；求。O的直徑.(1)變式：如圖，在 ABC中，以AB為直徑的。交AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE，BC于點(diǎn)E, 且/ BDE= / A .(1)判斷DE與。的位置關(guān)系并說明理由；,_只_(2)若 AC=16, tanA=,求。O 的半徑.4第十二天例題3:如圖，在 ABC中，AB=AC ,以AB為直徑的。O分別交AC, BC于點(diǎn)D, E,過 點(diǎn)B作。O的切線，交AC的延長線于點(diǎn)F.(1)求證：/ CBF=Xz CAB ；2(2)連接 BD, AE 交于點(diǎn) H,若 AB=5 , tanZCBF=

12、X,求 BH 的值.變式：如圖，以 ABC的邊BC為直徑的。交AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作。的切線交 AB 于點(diǎn)E.(1)如圖 1,若/ ABC=90 ,求證：OE/ AC;(2)如圖 2,已知 AB=AC ,若 sinZ ADE= ,求 tanA 的值.3類型四：射影定理(唐教授(長沙中考命題人)的最愛)第十三天例題1:如圖，以 ABC的一邊AB為直徑作。O, OO與BC邊的交點(diǎn)恰好為 BC的中點(diǎn) D,過點(diǎn)D作。O的切線交AC于點(diǎn)E.(1)求證：DELAC;(2)若 AB=3DE ,求 tan/ACB 的值.變式：如圖，AB是O O的直徑，AC是。O的切線，BC交。O于點(diǎn)E,連接 AE .(1)若D

13、為AC的中點(diǎn)，連接 DE,證明：DE是。的切線；(2)若 BE=3EC ,求 tanZ ABC .C第十四天例題2:如圖，已知CD是 ABC中AB邊上的高，以 CD為直徑的。O分別交CA、CB于 點(diǎn) E、F,點(diǎn) G 是 AD 的中點(diǎn).GE=BD=2 , EC=2.變式：如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于OO,對角線AC為。O的直徑，過點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長線于點(diǎn)E,點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接 DB, DC, DF .(1)求證：DF是。的切線；(2)若 AC=2 在DE,求 tan/ABD 的值.變式：如圖， ABC內(nèi)接于。O, AC為。的直徑，PB是。的切線，B為切點(diǎn)，OPLBC,垂足為E,交。

14、于D ,連接BD .尸(1)求證：BD 平分/PBC;y7(2)若。O的半徑為1 , PD=3DE ,求OE及AB的長./雜題(方法或輔助線稍特殊的題)第十五天1:如圖，AB是。的直徑，AC、BC是。的弦，AD / BC,且/ DCA= /B,連接 OD.(1)求證：DC與。相切；(2)若sinB=£, OD=3配,求。的半徑長.3第十六天1:如圖，點(diǎn) O在4ABC的邊AB上，O O過點(diǎn)B且分別與邊 AB、BC相交于點(diǎn) D、E, EF XAC于F,直線EF是。O的切線.(1)求證： ABC為等腰三角形；(2)若 BD=2DA , cosB=_L, CF=2,求線段 AF 的長.第十七天1:在Rt ABC中，/ ACB=90° , O在AB上，。經(jīng)過點(diǎn) A,與CB切于D,分別交 AB、AC 于 E、F.(1)求證：sin/ B=&1;BD(2)連CE, AD相交于P, sin