數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)特征值與特

1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)特征值與特征向量數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告學(xué)院：班級(jí)：學(xué)號(hào)：姓名：完成日期：實(shí)驗(yàn)六矩陣的特征值與特征向量問題一1 .實(shí)驗(yàn)?zāi)康? .掌握特征值、特征向量、特征方程、矩陣的對(duì)角化等概念和理論；2 .掌握將矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法；3 .理解由差分方程Xk+i=Axk所描述的動(dòng)力系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為或演化；4 .提升對(duì)離散動(dòng)力系統(tǒng)的理解與分析水平.2 .問題描述當(dāng)捕食者-被捕食者問題中的捕食參數(shù)p是0.125時(shí),是確定該動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的演化給出Xk的計(jì)算公式.貓頭鷹和森林樹的數(shù)量隨著時(shí)間如何變化？該系統(tǒng)去向一種被稱為不穩(wěn)定平衡的狀態(tài).如果該系統(tǒng)的某個(gè)方面例如出生率或者捕食率有稍微變動(dòng),系統(tǒng)會(huì)如何變化？3 .問題分析

2、將線性變換*AXk的作用分解為易于理解的成分,其中特征值與特征向量是分析離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的關(guān)鍵.根據(jù)信息,找到系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的差分方程Xk+i=Axk,求出A的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量,再根據(jù)不同特征值的個(gè)數(shù)、絕對(duì)值大于1還是小于1、是實(shí)特征值還是復(fù)數(shù)特征值等情形,分析出系統(tǒng)的演化過程.四.實(shí)驗(yàn)過程問題對(duì)應(yīng)的差分方程為Xk+i=Axk,其中A=0.5020.1251.1<J演化過程求解如下：第一步：求A的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量.利用如下的代碼即可獲得：A=0.50.4;-0.1251.1;pc,lambda=eig(A);Y,I=sort(diag(abs(lambda),'descend&

3、#39;);temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)運(yùn)行程序可得A的特征值為lambda=1.00000.6000A的特征向量pc=-0.6247-0.9701-0.7809-0.2425顯然,這兩個(gè)特征向量(即pc的第一列和第二列)是線性無關(guān)的,它們構(gòu)成R2的一組基,為消除小數(shù),選取V2='4、1、P="44、<51>P-1AP=11.000、<00.60第二步：Vi用和V2表示X0和XK,k=i,2由于Vi,V2是R2的一組基,所以存在系數(shù)C1和C2,使得X0=ciVi+C2V2.由于Vi,V2為矩陣A對(duì)應(yīng)于入

4、=1.0u=0.6的特征向量,所以AVi=?Vi,AV2=?V2,于是Xi=Ax0=A(ciVi+C2V2)=Ci入Vi+C2UV2.X2=AXi=A(Ci入Vl+C2入V2)=Ci%Vi+C2U2V2.般地,Xk=Ci犬Vi+C2UkV2.k=0,i,2,3.Ci(i.0)kf4+C2(0.6)嚇4-5J當(dāng)k趨近于無窮大時(shí),0.6趨近于0,假定Ci>0,那么對(duì)于所有足夠大的k,xk近似地等于Ci(i.0)kVi,寫為XkCi(i.0)f45JK越大,近似程度越高,所以對(duì)于足夠大的k,Xk+i=Ci(i.0)hi14、15J可知貓頭鷹和老鼠的數(shù)量幾乎每月都相當(dāng),而且Xk約為4倍數(shù),所以每

5、4只貓頭鷹對(duì)應(yīng)著5000只老鼠.第三步：解的圖像表示,見圖8-1,其中綠色圓圈代表初始點(diǎn)X0,紅色圓點(diǎn)代表迭代序列,箭頭代表迭代方向,藍(lán)色直線代表特征向量Vi,V2所在的直線.在圖8-1中,圓點(diǎn)為鞍點(diǎn),排斥最快的方向?yàn)檫^圓點(diǎn)和特征向量Vi的直線方向.其中Vi對(duì)應(yīng)的特征值得絕對(duì)值為1.如果X0在這條直線上,那么表水C2等于0,且Xk始終在原點(diǎn).吸引最快的方向由特征向量V2決定,其對(duì)應(yīng)的特征值的絕對(duì)值大于1.2»0二,二10K阪相應(yīng)的代碼如下：%P8_1.m%捕食者-被捕食者解的圖像表示clear,clca=-20*100;b=-a;c=a;d=b;p=0.1;n=100;xlabel(

6、'|lambda|=1,|u|<1')axis(abcd),gridon,holdonx=linspace(a,b,30);A=0.50.4;-0.1251.1;pc,lambda=eig(A);Y,I=sort(diag(abs(lambda),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)pc=-pc;z1=pc(2,1)/pc(1,1)*x;z2=pc(2,2)/pc(1,2)*x;h=plot(x,z1),set(h,'linewidth',2),text(x(7),z1(

7、7)-100,'v1')h=plot(x,z2),set(h,'linewidth',2),text(x(20),z2(20)-100,'v2')button=1;whilebutton=1xi,yi,button=ginput(1);plot(xi,yi,'go'),holdonX0=xi;yi;X=X0;fori=1:nX=A*X,X0;h=plot(X(1,1),X(2,1),'R',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-');text(X0(1,1),X0(2,1),'X0

8、9;)quiver(X(1,2),1,X(2,2),1,X(1,1)-X(1,2),0,X(2,1)-X(2,2),0,p)set(h,'MarkerSize',6),grid,endend五.結(jié)論與分析由于當(dāng)k趨近于無窮大時(shí),0.6趨近于0,所以取1.可知貓頭鷹和老鼠的數(shù)量幾乎每月都相當(dāng).系統(tǒng)趨向于不穩(wěn)定平衡的狀態(tài).當(dāng)出生率下降或者捕食率增大,或者相反的情況,該平衡狀態(tài)就會(huì)被打破.直到重新平衡或者系統(tǒng)完全崩潰.問題二一.實(shí)驗(yàn)?zāi)康? .掌握特征值、特征向量、特征方程、矩陣的對(duì)角化等概念和理論；2 .掌握將矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法；3 .理解由差分方程Xk+i=Axk所描述的動(dòng)

9、力系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為或演化；4 .提升對(duì)離散動(dòng)力系統(tǒng)的理解與分析水平.二.問題描述在美國(guó)的黃杉森林中,班頭貓頭鷹主要以豚鼠為食.假設(shè)這兩個(gè)種群的捕食率-被捕食率矩陣為A=0.40.3;-p1.2(1)證實(shí)：如果捕食參數(shù)p=0.325,那么兩個(gè)種群都會(huì)增長(zhǎng).估計(jì)長(zhǎng)期的增長(zhǎng)率及貓頭鷹與豚鼠的最終比值.(2)證實(shí)：如果捕食率p=0.5,那么貓頭鷹和豚鼠都將滅絕.(3)試求一個(gè)P值,使得貓頭鷹和豚鼠的數(shù)量趨于穩(wěn)定.此時(shí),對(duì)應(yīng)的種群數(shù)量是多少？三.問題分析將線性變換關(guān)Axk的作用分解為易于理解的成分,其中特征值與特征向量是分析離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的關(guān)鍵.根據(jù)信息,找到系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的差分方程Xk+i=Axk,求出A的特征

10、值和對(duì)應(yīng)的特征向量,再根據(jù)不同特征值的個(gè)數(shù)、絕對(duì)值大于1還是小于1、是實(shí)特征值還是復(fù)數(shù)特征值等情形,分析出系統(tǒng)的演化過程.四.實(shí)驗(yàn)過程問題對(duì)應(yīng)的差分方程為Xk+1=AXk,其中A=0.40.3、-P1.21J,演化過程求解如下：(1)當(dāng)P=0.325時(shí),類似問題一的結(jié)決方案,可求出A的特征向量與特征值,代碼如下：A=0.40.3;-0.3251.2;pc,lambda=eig(A);Y,I=sort(diag(abs(lambda),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)運(yùn)行程序可得A的特征值為lambda=1

11、.05000.5500A的特征向量pc=-0.4191-0.8944-0.9080-0.4472將小數(shù)乘以相應(yīng)倍數(shù)變成整數(shù)V1=5V2=2/P=52fP31AP=1.050、111I111tC0.55J<J由此可知,當(dāng)k趨近于無窮大時(shí),0.55趨近于0.所以A的特征值取1.05.即貓頭鷹和老鼠的數(shù)量幾乎每個(gè)月都近似增加到原來的1.05倍,即有5%勺增長(zhǎng)率.所以天約為511,即每5只貓頭鷹對(duì)應(yīng)著6500只老鼠.最終比值為1300.(2)當(dāng)P=0.5時(shí),類似問題一的解決方案,可求出A的特征向量與特征值,代碼如下：A=0.40.3;-0.51.2;pc,lambda=eig(A);Y,I=so

12、rt(diag(abs(lambda),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)運(yùn)行程序可得A的特征值為lambda=0.90000.7000A的特征向量pc=-0.5145-0.7071-0.8575-0.7071將小數(shù)乘以相應(yīng)倍數(shù)變成整數(shù)V1=5V2=1P=53CP11AP=0.90、0J0.7由于所有的特征值得絕對(duì)值都小于1,所以當(dāng)k趨近于無窮大時(shí),xk趨近于零.所以這個(gè)模型預(yù)示著斑點(diǎn)貓頭鷹最終將會(huì)滅絕.(3)采用試值法取p=0.4.可求出A的特征向量與特征值如下：A=0.40.3;-0.41.2;pc,l

13、ambda=eig(A);Y,I=sort(diag(abs(lambda),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)運(yùn)行程序可得A的特征值為lambda=1.00000.6000A的特征向量pc=-0.4472-0.8321-0.8944-0.5547由于當(dāng)k趨近于無窮大時(shí),0.6趨近于0.所以取1.可知貓頭鷹和老鼠的數(shù)量幾乎每月都相當(dāng).系統(tǒng)趨向于不穩(wěn)定平衡的狀態(tài).五.實(shí)驗(yàn)結(jié)論捕食者-被捕食者問題說明了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)Xk+1=AXk的幾個(gè)根本領(lǐng)實(shí):1 .假設(shè)它的特征值|入|A1,|入j|W1,對(duì)于j=1,2,3,并且Vi為入i的特征向量.如果初始向量X0=C