數(shù)陣圖(一).教師版

1、5-1-3-1.數(shù)陣圖目隔1 .了解數(shù)陣圖的種類2 .學(xué)會一些解決數(shù)陣圖的解題方法3 .能夠解決和數(shù)論相關(guān)的數(shù)陣圖問題一、數(shù)陣圖定義及分類:L定義：把一些數(shù)字根據(jù)一定的要求,排成各種各樣的圖形,這類問題叫數(shù)陣圖.2 .數(shù)陣是一種由幻方演變而來的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多,這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖：即封閉型數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復(fù)合型數(shù)陣圖.3 .二、解題方法：解決數(shù)陣類問題可以采取從局部到整體再到局部的方法入手：第一步：區(qū)分?jǐn)?shù)陣圖中的普通點或方格和關(guān)鍵點或方格;第二步：在數(shù)陣圖的少數(shù)關(guān)鍵點一般是交叉點上設(shè)置未知數(shù),計算這些關(guān)鍵點與相關(guān)點的數(shù)量關(guān)系,得到關(guān)鍵點上所填數(shù)的范圍；第三步：運用已經(jīng)得到

2、的信息進行嘗試.這個步驟并不思寸所有數(shù)陣題都適用,很多數(shù)陣題更需要對數(shù)學(xué)方法的綜合運用.模塊一、封閉型數(shù)陣圖【例1】把18的數(shù)填到下列圖中,使每個四邊形中頂點的數(shù)字和相等.【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯,3年級,第6題【解析】例2將18這八個自然數(shù)分別填入下列圖中的八個.內(nèi),使四邊形每條邊上的三個數(shù)之和都等于14,且數(shù)字1出現(xiàn)在四邊形的一個頂點上.應(yīng)如何填【考點】封閉型數(shù)陣圖【難度】2星【題型】填空【解析】為了表達(dá)方便,先在各圓圈內(nèi)填上字母,如下列圖21由條件得出以下四個算式：a+b+c=14(1)c+d+e=14(2)e+f+g=14(3)a+h+g=14(4)由(1)+

3、(3),得：a+b+c+e+f+g=28f(a+b+c+d+e+f+g+h)-(d+h)=28,d+h=(1+2+3+44-5+6+7+8)-28=8,由(2)+(4),同樣可得b+f=8,又1,2,3,4,5,6,7,8中有l(wèi)+7=2+6=3+5=8.又1要出現(xiàn)在頂點上,d+h與b+f只能有2+6和3+5兩種填法.又由對稱性,不妨設(shè)b=2,f=6,d=3,h=5.a,c,e,g可取到1,4,7r8假設(shè)a=lr那么c=14-(1+2)=11,不在1f4,7,8中,不行.假設(shè)c=l,那么a=14-(1+2)=11,不行.假設(shè)e=l,那么c=14-(1+3)=10,不行.假設(shè)g=l,那么a=8,c

4、=4,e=7.說明：例題為封閉型數(shù)陣,由它的分析思考過程可以看出,確定各邊頂點所應(yīng)填的數(shù)為封閉型數(shù)陣的解題突破口.【答案】【例3】在如圖6所示的.內(nèi)填入不同的數(shù),使得三條邊上的三個數(shù)的和都是12,假設(shè)從、B、C的和為18,那么三個頂點上的三個數(shù)的和是0【考點】封閉型數(shù)陣圖【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,五年級,復(fù)霆,第U題,5分【解析】設(shè)三個頂點為DEF,求D.E,F.觀察容易發(fā)現(xiàn),三條邊的和為36,即D+A+E+E+C+F+F+B+D=3618+2(D+E+F)=36,所以D+E+F=9【答案】9例4將1至6這六個數(shù)字填入圖中的六個圓圈中每個數(shù)字只能使用一次,使每條邊上的數(shù)字和相等

5、.那么,每條邊上的數(shù)字和尾【考點】封閉型數(shù)陣圖【難度】2星【題型】填空【解析】如圖,用字母表示各個圓圈中的數(shù),那么每條邊上的數(shù)字和為1+2+9+“+十+3=15+"：+,由于"+c最小為1+2+3=6,最大為4+5+6=15,所以每條邊上的數(shù)字和最小為17,最大為20,如下兩圖為每條邊上的數(shù)字和分別為17和20時的填法.而每條邊上的數(shù)字和能否為18或19呢答案是否認(rèn)的,現(xiàn)說明如下.如果每條邊上的數(shù)字和為18,那么a+c=18-15x3=9,而+d+9=18,即+"=9,得到c=d,與題意不符,所以每條邊上的數(shù)字和不能為18.如果每條邊上的數(shù)字和為19,類似分析可得

6、到,也與題意不符,所以每條邊上的數(shù)字和不能為19.所以每條邊上的數(shù)字和為17或20.【答案】17或20【例5】將1到8這8個自然數(shù)分別填入如圖數(shù)陣中的8個圓圈,使得數(shù)陣中各條直線上的三個數(shù)之和都相等,那么A和3兩個圓圈中所填的數(shù)之差大數(shù)減小數(shù)是.【考點】封閉型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2021年,學(xué)而思杯,五年級,4年級,第4題【解析】方法一：如圖用字母來表示各個圓圉中的數(shù)字,設(shè)各條直線上的三個數(shù)之和都為s,那么“+c+d+e+/=2s,a+A+e+b+A+d+c+B+f=3s,所以2A+B=s,a+b+c+d+e+f+A+B=2s+A+B=5A+3Bt而1012,11【考點】封

7、閉型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空【解析】設(shè)每個正方形四角上圓圈中的數(shù)字之和為X,那么由5個正方形四角的數(shù)字之和,相當(dāng)于將112相力口,再將中間四個圓圉中的數(shù)加兩遍,可得：(1+2+12)+2x=5x,解得x=26,即這個和為26具體填法如右上圖.【答案】26【例9】如圖,大、中、小三個正方形組成了8個三角形,現(xiàn)在把2、4、6、8四個數(shù)分別填在大正方形的四個頂點；再把2、4、6、8分別填在中正方形的四個頂點上；最后把2、4、6、8分別填在小正方形的四個頂點上.能不能使8個三角形頂點上數(shù)字之和都相等能不能使8個三角形頂點上數(shù)字之和各不相同如果能,請畫圖填上滿足要求的數(shù)；如果不能,請說明理由.【考

8、點】封閉型數(shù)陣圖【難度】4星【題型】填空【解析】不能.如果這8個三角形頂點上數(shù)字之和都相等,設(shè)它們都等于S.考察外面的4個三角形,每個三角形頂點上的數(shù)的和是S,在它們的和4s中,大正方形的2、4、6、8各出現(xiàn)一次,中正方形的2、4、6、8各出現(xiàn)二次,即45=(2+4+6+8)乂3=60彳導(dǎo)至=60+4=15,但是三角形每個頂點上的數(shù)都是偶數(shù),和不可能是奇數(shù)15,因此這8個三角形頂點上的數(shù)字之和不可能都相等.由于三角形3個頂點上的數(shù)字之和最小為2+2+2=6,最大為8+8+8=24,可能為6、8、10、22、24,共有10個可能的值,而三角形只有8個,所以是有可能做到8個三角形的頂點上數(shù)字之和互

9、不相同的.根據(jù)對稱性,不妨舍去這10個可能值的首尾兩個,把剩下8個值(8、10、12、14、16、18、20、22)作為8個三角形的頂點上數(shù)字之和進行嘗試,可以得到滿足條件的填法,右上圖就是一種填法.【例10】將116分別填入下列圖(1)中圓圈內(nèi),要求每個扇形上四個數(shù)之和及中間正方形的四個數(shù)之和都為34,圖中已填好八個數(shù),請將其余的數(shù)填完.CD【考點】封閉型數(shù)陣圖【難度】4星【題型】填空【解析】為了表達(dá)方便,將圓圉內(nèi)先填上字母,如圖2所示：9+15+a+c=34/5+10+e+g=34,7+14+b+d=34,ll+8+f+h=34/c+d+e+f=34,化簡得：a+c=104+6=10.e+

10、g=193+16=19,6+13=19b+d=131+12=13,f+h=152+13=15,3+12=15.a,b,cfd,e,f,g,h應(yīng)分別從1,2,3,4,6,12,13,16中選取.由于a+c=10,所以只能選a+c=4+6；b+d=13,只能選b+d=13；e+g=19,只能選e+g=3+16；f+h=15,只能選f+h=2+13假設(shè)d=lrc=4,那么e+f=34-1-4=29f有e=16,f=13.假設(shè)d=l,c=6,那么e+f=34-1-6=27,那么e、f無值可取,使其和為27.假設(shè)d=12,c=4t那么e+f=34-12-4=18,有e=16,f=2.假設(shè)d=12,c=6

11、,那么e+f=34-12-6=16,有e=3,f=13.解：共有三個解見圖.【答案】【例11】一個3x3的方格表中,除中間一格無棋子外,其余梅格都有4枚一樣的棋子,這樣每邊三個格子中都有12枚棋子,去掉4枚棋子,請你適當(dāng)調(diào)整一下,使每邊三格中任有12枚棋子,并且4個角上的棋子數(shù)仍然相等畫圖表示OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO.OOOQOO【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,3年級,初寒【解析】由于每個角上的棋子分別被兩條邊共用,根據(jù)這一特點可以將邊上的棋子減少,同時增加角上的棋子數(shù).具體操作如圖：【例12如果將右圖分成四塊,每塊上的數(shù)的和都相等,那么每

12、塊的和是【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,3年級,初寒【解析】根據(jù)題目給的數(shù)字計算所有的數(shù)字和為：9+4+12+5+6+11+9+14+9+10+8+3=100,分成四塊的,每塊的數(shù)字和為：100+4=25-所以9+4+12=25,5+11+9=25,6+9+10=25,8+3+14=25,具體分法如上圖.【答案】模塊二、輻射型數(shù)陣圖【例13】把1991,1992,1993,1994,1995分別填入圖2的5個方格中,使得橫排的三個方格中的數(shù)的和等于豎列的三個方格中的數(shù)的和.那么中間方格中能填的數(shù)是.【考點】輻射型數(shù)陣圖【難度】1星【關(guān)鍵詞】希望杯,四年級,復(fù)寒,第

13、10題【解析】由題意,橫行兩端兩個數(shù)的和應(yīng)該等于豎列兩端兩個數(shù)的和,也就是除去中間方格中的數(shù),其余的四個數(shù)可以分為和相等的兩組.所以中間方格中能填的數(shù)為：1991,1993,1995o【答案】中間方格能填的數(shù)可以為：1991,1993,1995,答案不唯一【例14】請你把17這七個自然數(shù),分別填在下列圖1的圓圈內(nèi),使每條直線上的三個數(shù)的和都相等.應(yīng)怎樣填【考點】輻射型數(shù)陣圖【難度】2星【題型】填空【解析】為表達(dá)方便,先在圓圉中標(biāo)上字母,如下列圖2,設(shè)a+b+e=a+c+f=a+d+g=k,貝！(a+b+e)+(a+c+f)+(a+d+g)=3k3a+b+c+d+e+f+g=3k2a+(a+b+

14、c+d+e+f+g)=3k2a+(1+2+3+4+5+6+7)=3k2a+28=3ka為1、4或7,假設(shè)a=l,那么k=10,直線上另外兩個數(shù)的和為9.在2、3、4、5、6、7中,2+7=3+6=4+5=9,因此得到一個解為:a=l,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=5.假設(shè)a=4,那么k=12,直線上另外兩個數(shù)的和為8.在1、2、3、5、6、7中,1+7=2+6=34-5=8,因此得到第二個解為:a=4,b=l,c=2,d=3,e=7,f=6,g=5.假設(shè)a=7,那么k=14,直線上另外兩個數(shù)的和為7.在1、2、3、4、5、6中,1+6=2+5=3+4=7,因此得到第三個解為:a=

15、7,b=l,c=2,d=3,e=6,f=5,g=4.解：共得到三個解：如下列圖.例2為輻射型數(shù)陣圖,填輻射型數(shù)陣圖的關(guān)鍵在于確定中央嗷a和每條直線上幾個圓圉內(nèi)數(shù)的和k.【答案】【例15】右邊的一排方格中,除9、8外,每個方格中的字都表示一個數(shù)不同的字可以表示相同的數(shù),已知其中任何3個連續(xù)方格中的數(shù)相加起來都州22,那么“走+“進+“數(shù)+“學(xué)+“花+園=|走|進|g|數(shù)|學(xué)|花|&|園【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,3年級,初賽【解析】"走"+"進"+9=229+"數(shù)"+"學(xué)"=

16、22花“+8+"園"=22所以"走"+"進"+"數(shù)"+"學(xué)"+"花"+"園"=22-9+22-9+22-8=40【答案】40【例16】請在下列圖中每個方格中填一個數(shù),使橫行任意三個相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是15,豎列任意三個相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是18.5528528528538737388【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空【解析】豎列任意三個相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是18,從上至下第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是18-3=15,第二個數(shù)+第三個數(shù)+第四個數(shù)

17、=18,第四個數(shù)等于3,以此類推,從上至下第一個數(shù)等于第四個數(shù)等于第七個數(shù),第二個數(shù)等于第五個數(shù)等于第八個數(shù),所以豎行從上至下依次為3、8、7、3、8、7、3、8；同理,橫行任意三個相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是15,由左至右第六個數(shù)是8,所以橫行由左至右依次為5、2、8、5、2、8、5、2、8、5,如右上圖所示.38735285285285738,【答案】例172000個數(shù)寫成一行,任意三個相鄰的數(shù)的和均相等,總和53324.去掉左起第1、第1949、第1975及最后一個數(shù),和成為53236,問剩下的數(shù)中左起第50個數(shù)是o【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,3年級,決褰,

18、第12題,12分【解析】第一個數(shù)+第二個數(shù)+第三個數(shù)=第二個數(shù)+第三個數(shù)+第四個數(shù),所以第一個數(shù)=第四個數(shù),同理第二個數(shù)=第五個數(shù),第三個數(shù)=第六個數(shù),也就是這個數(shù)列是以3為周期的一個周期數(shù)列.1949+3=6492,1975+3=6581,2000+3=6662,也就是第一個數(shù)x2+第二個數(shù)x2=53324-53236=88,所以第一個數(shù)+第二個數(shù)=44,又由于2000個數(shù)的和為53324,53324=第一個數(shù)+第二個數(shù)+第三個數(shù)x666+第一個數(shù)+第二個數(shù),從而求出第一個數(shù)+第二個數(shù)+第三個數(shù)=80,所以第三個數(shù)=80-44=36,而50+3=162,所以剩下的數(shù)中左起第50個數(shù)就是原數(shù)列

19、中的第51個數(shù),即原數(shù)列中的第3個數(shù),等于36.【答案】36【例18如圖,在2006年的3月的日歷上,A+B+C+D=529那么,3月份的第一個星期日是一號.【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,3年級,決寒,第6題,10分【解析】3比A大8,C比4大8,那么.比A大16,.比C大8,那么.比A大24,那么有A=5281624+4=1,A是星期三,貝U第一個星期日是1+4=5號.【答案】5號例19右圖中,從第二層從下往上數(shù)起,每個方框中的數(shù)都等于它下方兩個方框中所填數(shù)的和.最上面的方框中填的數(shù)是8851262283躥I9|670|262|128313871【考點】復(fù)合型

20、數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,3年級,決客,第6題,10分,4年級,決賽,第3題,8分【解析】如右圖所示,885=+,=262+,=+283,那么885=262+283,那么=170,=170+283=453,=262+170=432,貝口=+670=453+670=1123,=885+=885+1123=2021.【答案】2021【穩(wěn)固】將0,1,2,3,4,5任意填入最下一行每個數(shù)出現(xiàn)一次的6個方格中.其它每個方格中的數(shù)等于下一行與它相鄰的兩個數(shù)的和.最上面的一個數(shù)的最大值是【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【關(guān)鍵詞】走美杯,3年級,決寒,第11題,12分【解析】要使最上面的一個數(shù)最大,那么必使0、1、2、3、4、5數(shù)字中最大數(shù)盡可能多地相加,即將大數(shù)