離散型隨機(jī)變量的方差

1、離散型隨機(jī)變量的方差1 .方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義及方差的性質(zhì)(1)方差及標(biāo)準(zhǔn)差的定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為XX1X2XiXnPP1P2PiPnn方差D(X)=_(Xi-E(Xl)2P.標(biāo)準(zhǔn)差為,D(X).(2)方差的性質(zhì)：D(aX+b)=a2D(X).隨機(jī)變量與樣本方差的關(guān)系(1)隨機(jī)變量的方差是常數(shù),而樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的,因此樣本的方差是隨機(jī)變量.(2)對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,隨著樣本容量的增加,樣本的方差越來(lái)越接近于總體的方差.因此,我們常用樣本的方差來(lái)估計(jì)總體的方差.2 .兩個(gè)常見(jiàn)分布的方差(1)假設(shè)X服從兩點(diǎn)分布,那么以為=P(i-P).(2)假設(shè)XRn,P),那么D(X

2、)=np(1-p).O 判斷正誤(正確的打“,錯(cuò)誤的打“X)(1)離散型隨機(jī)變量的方差越大,隨機(jī)變量越穩(wěn)定.()(2)假設(shè)a是常數(shù),那么D(a)=0.()(3)離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度.()答案：(1)X(2)V(3)VX的分布列為X1234P11114364那么口X)的值為()A.29B.詈 C.窈 D.葛1214414412答案：CX的分布列為X012111P333設(shè) Y=2X+3,那么D(Y)=3 隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布 B(n,p).假設(shè) E(X)=30,D(X)=20,那么 p=-,l、,c、,一np=30,解析：由E(X)=30,RX)=20,可得

3、np(吁 20,一 1解得 p=%3答案：金3探究點(diǎn) 1 求離散型隨機(jī)變量的方差例國(guó)袋中有 20 個(gè)大小相同的球,其中記上 0 號(hào)的有 10 個(gè),記上n號(hào)的有n個(gè)(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,士表示所取球的標(biāo)號(hào).求 E 的分布列、均值和方差.【解】由題意得,己的所有可能取值為 0,1,2,3,4,1011RE=0)=25=2,P(=1)=20,21-3RE=2)=-=,RE=3)=,20102041R 己=4)=20=5.故E的分布列為01234P113122010205所以 E(E)=0X1+1X2+2E(Y,說(shuō)明在一次射擊中,甲的平均得分比乙高,但D(X)D(Y,說(shuō)明甲得分的穩(wěn)

4、定性不如乙,因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面,各有優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì).利用均值和方差的意義解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)比擬均值：離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平,因此,在實(shí)際決策問(wèn)題中,需先計(jì)算均值,看一下誰(shuí)的平均水平高.(2)在均值相等的情況下計(jì)算方差：方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度.通過(guò)計(jì)算方差,分析一下誰(shuí)的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定.(3)下結(jié)論：依據(jù)均值和方差的幾何意義做出結(jié)論.跟蹤避愫最近,李師傅一家三口就如何將手中的 10 萬(wàn)元錢(qián)進(jìn)行投資理財(cái),提出了三種方案.第一種方案：李師傅的兒子認(rèn)為：根據(jù)股市收益大的特點(diǎn),應(yīng)該將 10 萬(wàn)元全部用來(lái)買(mǎi)股票.據(jù)分析預(yù)測(cè)

5、：投資股市一年后可以獲利 40%也可能虧損 20%(只有這兩種可能),且獲利的概一,1率為 2；第二種方案：李師傅認(rèn)為：現(xiàn)在股市風(fēng)險(xiǎn)大,基金風(fēng)險(xiǎn)較小,應(yīng)將 10 萬(wàn)元全部用來(lái)買(mǎi)基金.據(jù)分析預(yù)測(cè)：投資基金一年后可能獲利 20%可能損失 10%也可能不賠不賺,且這三種情況311發(fā)生的概率分別為 5,定于第三種方案：李師傅的妻子認(rèn)為：投資股市、基金均有風(fēng)險(xiǎn),應(yīng)該將一年,現(xiàn)在存款年利率為 3%.針對(duì)以上三種投資方案,請(qǐng)你為李師傅家選擇一種合理的理財(cái)方案,并說(shuō)明理由.解：假設(shè)按方案一執(zhí)行,設(shè)收益為己萬(wàn)元,那么其分布列為4-211P2211E 的數(shù)學(xué)期望日 E)=4X+(2)X,=1.假設(shè)按方案二執(zhí)行,設(shè)

6、收益為刀萬(wàn)元,那么其分布列為:假設(shè)按方案三執(zhí)行,收益y=10X3 險(xiǎn) 0.3,因此E(H=E(Y)y.O1o1又DE)=(41)2X+(21)20(7).這說(shuō)明雖然方案一、二收益均相等,但方案二更穩(wěn)妥.所以建議李師傅家選擇方案二投資較為合理.1.某離散型隨機(jī)變量X服從的分布列如下表所示,那么隨機(jī)變量X的方差QX)等于()X01Pm2m210 萬(wàn)元全部存入銀行201P311555刀的數(shù)學(xué)期望E(T)=2X5+0 x5+(-1)X5=1.1A.91311-、,1222解析：選 B.由題意可知：奸 2F1,所以亦可,所以日 X)=0XK+1XG=K,所以D(X)=0-33333E=12 表布取出的

7、3 張卡片上兩張標(biāo)有 5,一張標(biāo)有 2,NTTC8C21那么P(己=12)=C=15.所以己的分布列為x3+1-32,23=29.2.A,A為兩所高校舉行的自主招生測(cè)試,某同學(xué)參加每所高校的測(cè)試獲得通過(guò)的概1、.,一、,、,一率均為2,該同學(xué)一旦通過(guò)某所高校的測(cè)試,就不再參加其他高校的測(cè)試,設(shè)該同學(xué)通過(guò)高校的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X,那么D(X)=(3A.165B.-425C.6419D.64解析：選 A.由于X的取值為 0,1,一、,111RX=0)=2-x 廠 4,1113RX=1)=-+-X-=-,2224133所以 0XfJ+WlMZ,91133X)=16*4+而 X4=記.應(yīng)選A.3.有 1

8、0 張卡片,其中 8 張標(biāo)有數(shù)字2,2 張標(biāo)有數(shù)字 5,從中隨機(jī)地抽取 3 張卡片,設(shè) 3張卡片數(shù)字之和為己,求日己)和D(解：己的可能取值為 6,9,12.七=6 表示取出的 3 張卡片上都標(biāo)有 2,C87那么 R6)=了=而己=9 表不取出的 3 張卡片上兩張標(biāo)有 2,一張標(biāo)有 5,C8dC3o=715.6912P7711515T57_7_1_所以 EH)=6Xm+9X 行+12EH)=1,那么口 E)=.5解析：設(shè)RE=1)=a,RE=2)=b,1312所以 Dnxg+gxo+D.-2答案：558 .隨機(jī)變量己的分布列如下,其中a,b,c成等差數(shù)列.假設(shè)E()=-,那么D(己)的值為31

9、23Pabc所以a+c=2b.又由于a+b+c=1,所以b=q.又由于E()35 一 111=a+2b+3c所以 a=2,b-,c/,所以 E 的分布列為123111解得a+2b=1,3a=,5解析：由于a,b,c成等差數(shù)列,P一2365215215215所以口 6)=(13)X/+化-3)x+(3-3)XQ=9-5答案：599 .T的分布列為01020506012121P35157575(1)求刀的方差及標(biāo)準(zhǔn)差；(2)設(shè)丫=2 刀一E(刀),求口用.解：(1)E(刀)=0X1+10 x|+20X 工+50E(刀),說(shuō)明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高；又口 E)D(刀),說(shuō)明甲射中的環(huán)數(shù)比乙集中,比擬

10、穩(wěn)定,所以甲的技術(shù)比乙好.12.為預(yù)防風(fēng)沙危害,某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶,種植楊樹(shù)、沙柳等植物.某人一次種植了n株沙柳,各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的,成活率為p,設(shè)己為成活沙柳的株數(shù),數(shù)學(xué)期望 E(E)=3,標(biāo)準(zhǔn)差 VD(O=坐2049(2)結(jié)合第一問(wèn)中W,T的分布列可得(1)求 n,p的值并寫(xiě)出 E 的分布列；(2)假設(shè)有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,那么需要補(bǔ)種,求需要補(bǔ)種沙柳的概率.解：由于每一株沙柳成活率均為p,種植了n株沙柳,相當(dāng)于做n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),因此 I服從二項(xiàng)分布 ERn,p).3由E(E)=np=3,D(己)=np(1p)=2,11得 1p=2,從而 n=6,P=/.E

11、 的分布列為：0123456P161520156164646464646464(2)記“需要補(bǔ)種沙柳為事件 A,那么P(A)=RW3),1+6+15+206413.(選做題)根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),某工程施工期間的降水量X(單位：mm 對(duì)工期的影響如下表:降水量XX300300WX700700WX900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料說(shuō)明,該工程施工期間降水量X小于 300,700,900 的概率分別為 0.3,0.7,0.9,求：(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差；(2)在降水量至少是 300 的條件下,工期延誤不超過(guò) 6 天的概率.解：(1)由條件有RX300)=0.3,P(300X700)=R

12、K700)RX300)=0.7-0.3=0.4,R7000X900)=P(X900)RX900)=1-P(X300)=1RX300)=0.7,又 R300WX900)=P(X900)-P(X300)=RK900|X300)=P(300wX300)0.767.故在降水量X至少是 300 的條件下,工期延誤不超過(guò)口 66 天的概率是-.離散型隨機(jī)變量的均值與方差(強(qiáng)化練)所以 E 的分布列是卜 60X+240X-=20.15120A4XA21RX=4)=A6=15.隨機(jī)變量X的分布列為03060240P11247151112011一,7所以曰 E)=30X15(2)由(1)可得,乙一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概

13、率是11131萬(wàn)=24,四次抽獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的,13所以中獎(jiǎng)次數(shù)刀B4,24,1311143所以口 P)=4*24*27=144.3.為了豐富學(xué)生的課余生活,促進(jìn)校園文化建設(shè),我校高二年級(jí)通過(guò)預(yù)賽選出了6 個(gè)班(含甲、乙)進(jìn)行經(jīng)典美文誦讀比賽決賽.決賽通過(guò)隨機(jī)抽簽方式?jīng)Q定出場(chǎng)順序.求:(1)甲、乙兩班恰好在前兩位出場(chǎng)的概率;(2)決賽中甲、乙兩班之間的班級(jí)數(shù)記為X,求X的均值和方差.解：(1)設(shè)“甲、乙兩班恰好在前兩位出場(chǎng)24XXA41那么口內(nèi)=2=行.為事件 A,所以甲、乙兩班恰好在前兩位出場(chǎng)的概率為(2)隨機(jī)變量X的可能取值為 0,1,2,3,4.25A2XA51RX=0)=6-=3,RX=

14、1)=r4XA2XA：415A4XA2XA31RX=2)=A6=5,RX=3)=FA4XA2*A2215X01234此,E(X)=0X77+1x；jT-+2X-+3X+4X=-.315515153一一 1424421420-3+記1-3+52-3+2421421434153 十 1539.4.一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.(1)求在未來(lái)連續(xù) 3 天里,有連續(xù) 2 天的日銷售量都不低于 100 個(gè)且另 1 天的銷售量低于 50 個(gè)的概率；(2)用X表示在未來(lái)3

15、天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).A 表示事件“日銷售量低于 50 個(gè),B表示事件“在未來(lái)連續(xù) 3 天里有連續(xù) 2 天日銷售量都不低于 100 個(gè)且另 1 天銷售量低于 50個(gè).因此RA)=(0.006+0.004+0.002)X50=0.6,RAz)=0.003X50=0.15,RB)=0.6X0.6X0.15X2=0.108.(2)X可能取的值為 0,1,2,3,相應(yīng)的概率為RX=0)=C3-(1-0.6)3=0.064,RX=1)=C30.6X(10.6)2=0.288,RX=2)=40.62X(10.6)=0.432,RX=3)=C3,

16、0.63=0.216.所以X的分布列為P0.0640.2880.4320.216由于XR3,0.6),所以期望E(X)=3X0.6=1.8,方差D(X)=3X0.6X(10.6)=0.72.5.現(xiàn)有如下投資方案,一年后投資盈虧的情況如下；投資股市投資結(jié)果獲利 40%不賠不賺虧損 20%概率121838購(gòu)置基金投資結(jié)果獲利 20%不賠不賺虧損 10%概率p13q甲、乙兩人分別選擇了“投資股市和“購(gòu)置基金進(jìn)行投資,如果一年后他們中4至少有一人獲利的概率大于求p的取值范圍；5(2)丙要將家中閑置的 20 萬(wàn)元錢(qián)進(jìn)行投資,決定在“投資股市“購(gòu)置基金這兩種方案中一,1選擇一種,p=2,那么丙選擇哪種投資

17、方案,才能使一年后投資收益的均值較大？給出結(jié)果并說(shuō)明理由.解：(1)記事件A為“甲投資股市且獲利,事件B為“乙購(gòu)置基金且獲利,事彳C為“一年后甲、乙兩人中至少有一人投資獲利,那么C=ABUABJAB且A,B獨(dú)立.1由題表可知,P(A)=2,P(B)=p.111114-3所以RC)=P(AB)+P(AB)+RAB)=2X(1p)+2P+5P=2+p5,解得p、又由于 p+；+q=1,q0,所以 pw.33所以p的取值范圍是I,2.53(2)假設(shè)丙選擇“投資股票方案進(jìn)行投資,且記X為丙投資股票的獲利金額(單位：萬(wàn)元),所以隨機(jī)變量X的分布列為X80一 4P113288那么 E(X)=8x+0 x+

18、(-4)x=.2882假設(shè)丙選擇“購(gòu)置基金方案進(jìn)行投資,且記Y為丙購(gòu)置基金的獲利金額(單位：萬(wàn)元),所以隨機(jī)變量Y的分布列為Y402P121316那么 E(Y)=4義+0X+(2)X=.2363由于E(X)E(Y),所以丙選擇“投資股市,才能使得一年后的投資收益的均值較大.6.某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電,實(shí)行“階梯式電價(jià),將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔,月用電量不超過(guò) 200 度的局部按 0.5元/度收費(fèi),超過(guò) 200度但不超過(guò) 400 度的局部按 0.8元/度收費(fèi),超過(guò) 400 度的局部按 1.0 元/度收費(fèi).(1)求某戶居民用電費(fèi)用y(單位：元)關(guān)于月用電量x(單位：度)的函數(shù)解析式；(2)為了了解居民的用電情況,通過(guò)抽樣,獲得了今年 1 月份 100 戶居民每戶的用電量,統(tǒng)計(jì)分析后得到如下圖的頻率分布直方圖,假設(shè)這 100 戶居民中,今年 1 月份用電費(fèi)用不超過(guò)260 元的占 80%求 a,b的值；(3)在滿足(2)的條件下,假設(shè)以這 100 戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率,且同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,記Y為該居民用戶 1 月份的用電費(fèi)用,求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：(1)當(dāng) 0WXW200 時(shí),y=0.5x；當(dāng) 200400 時(shí),