第十章10.3第一課時(shí)復(fù)數(shù)的三角形式2019(秋)數(shù)學(xué)必修第四冊(cè)人教B版(新教材)改題型

1、10.3復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算第一課時(shí)復(fù)數(shù)的三角形式課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1 .了解復(fù)數(shù)的三角形式,了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及三角形式之間的關(guān)系.2 .會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式匕二角形式的轉(zhuǎn)化,了解輻角.通過(guò)復(fù)數(shù)的幾何意義,了解復(fù)數(shù)的三角形式,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng),提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；通過(guò)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式匕二角形式的互化,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究教材知識(shí)探究,情度引入通過(guò)前面的學(xué)習(xí),我們已經(jīng)知道在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z有兩種表示：一是代數(shù)表示,即z=a+bi(a,bCR)；二是幾何表示,復(fù)數(shù)z既可用點(diǎn)Z(a,b)表示,也可用向量OZ表示,但代數(shù)形式在解決復(fù)數(shù)乘、除、乘方等問(wèn)題中還是較為繁瑣.問(wèn)題能否找

2、到復(fù)數(shù)z的另一種表示,徹底解決復(fù)數(shù)的乘、除、乘方、開(kāi)方等問(wèn)題？提示復(fù)數(shù)的三角形式z=r(cos0+isin9(.)是解決問(wèn)題的橋梁.上新知梳理1 .復(fù)數(shù)的三角形式.復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征是：模非負(fù)、角相同、余弦前、加號(hào)連,否那么不是三角形式一般地,如果非零復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bCR)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(a,b),且r為向量OZ的模,8是以x軸正半軸為始邊、射線OZ為終邊的一個(gè)角,那么r=|z|=/a2b2,arcos0,brsin0,lfijza+bir(cos0lisin9,卜.工l的右稱為非零復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bCR)的三角形式(對(duì)應(yīng)地,a+bi稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式),其中的8稱為z的

3、輻角.2 .輻角與輻角主值(1)任何一個(gè)非零復(fù)數(shù)z的輻角都有無(wú)窮多個(gè),而且任意兩個(gè)輻角都相差久的整數(shù)倍,即輻角為葉2k：tKZ).(2)在0,2冗內(nèi)的輻角稱為z的輻角主值,記作arg_z.教材拓展補(bǔ)遺微判斷1 .z=V2cosjisin：是復(fù)數(shù)z=1-i的三角形式.(x)提示不符合復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征.2 .復(fù)數(shù)0沒(méi)有三角形式.(X)提示任意復(fù)數(shù)都有三角形式,復(fù)數(shù)0的三角形式可寫(xiě)成0(cos葉isin機(jī)其中8可以為任意值.3 .復(fù)數(shù)z=2cos-+isin-6的輻角主值為一康(X),一.,一、,.,.TT.一提小輻角王值在0,2冗內(nèi),一6只是一個(gè)輻角.微練習(xí)1 .說(shuō)出以下復(fù)數(shù)的輻角主值.(1

4、)2i;(2)5;(3)-3i.一冗3斛(1)arg(2i)=.(2)arg(5)=兀.(3)arg(3i)=兀.2 .將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式.(1)z1=V3+i；(2比=1i._m31一九一九解(1)zi=2-+2i=2cos6+isin6.一22(2)z2=-1-i=V2子乎i5-5=72cos4+isin4.微思考1 .復(fù)數(shù)三角形式z=r(cos9+isin.中8一定是輻角主值嗎？一個(gè)復(fù)數(shù)的三角形式唯一嗎？提示復(fù)數(shù)三角形式中的8不一定是輻角主值,三角形式不唯一.2 .兩個(gè)復(fù)數(shù)的模和輻角主值相等是兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件嗎？提示是.由于一個(gè)非零復(fù)數(shù)的模和輻角主值是唯一確定的,所以兩個(gè)

5、非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)他們的模和輻角主值相等.課堂互動(dòng)；題會(huì)剖析III郵跚!IHHHMI口I川|題型一復(fù)數(shù)的輻角主值在0,2力內(nèi)的角,與射線OZ終邊相同【例11求以下復(fù)數(shù)的模和輻角主值.(1)-1+i;(2)3-i.解|T+i|=&,又tan卜一1,點(diǎn)(一1,1)在第二象限,所以arg(1+i)=4(2)|*i|=2,又tan4殺點(diǎn)(由,1)在第四象限,所以arg(V3-i)=16p規(guī)律方法適合于0,2冗的輻角的值叫做輻角主值,除0外每個(gè)復(fù)數(shù)有且僅有一個(gè)輻角主值,一般先用復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)確定角所在的象限,再由tan9b.=:確止在0,2冗肉的角9,即為argz.a3【練習(xí)11假

6、設(shè)復(fù)數(shù)z=(a+i)2的輻角是,那么實(shí)數(shù)a的值是()A.1B.-1C.-亞D.-V3一.3解析復(fù)數(shù)z=(a+i)2=a21+2ai的輻角為5,那么z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(a21,2a)在ya10,軸負(fù)半軸上,.；a=-1.2a<0,答案B題型二復(fù)數(shù)的三角形式的判斷【例2】判斷以下復(fù)數(shù)是否為三角形式.(1)zi=2(cos0+isin肌(2)z2=cos0isin0；(3)z3=sin0+icos0;(4)天=cos60+isin30.0解(1)由r?0知,zi不是三角形式.z2中cos8與isin8之間為減號(hào),不是三角形式.(3)z3中正、余弦位置不對(duì),不是三角形式.(4)不中角不同,不是三角形式.

7、規(guī)律方法三角形式z=r(cos葉isin機(jī)需要的條件：r?0.8前后一致,可取任意值.cos8在前,sin8在后.加號(hào)連接,可簡(jiǎn)記為：模非負(fù)、角相同、余弦前、加號(hào)連,此四個(gè)條件缺一不可【練習(xí)2】判斷以下復(fù)數(shù)是否為三角形式.1111(1)3cosy冗+isin-6"九；(2)28%+1$口3；(3)sin-icos3;(4)cos-3+isin3；(5)3cos2isin?；(6)5cos7r+isin?.3333答案不是(2)不是不是(4)是(5)不是(6)是題型三復(fù)數(shù)代數(shù)形式與三角形式的互化【例3】把復(fù)數(shù)Z1=i,z2=1+43i分別表示為三角形式一冗冗冗斛|Z1|=1,argz1

8、=argi=2,.Z1=cos2+isin|z2|=q(-1)2+(V3)2=2,tan卜：=一十,一L,2兀又Z2(1,43)在第二象限,.argz2=行,Z2=2coS3t+isin?.規(guī)律方法代數(shù)形式化為三角形式的步驟為:求復(fù)數(shù)的模r=|z|；確定Z(a,b)所在的象限；根據(jù)象限求出輻角；寫(xiě)出復(fù)數(shù)三角形式.三角形式中的輻角,不一定是輻角主值,但為使表達(dá)式簡(jiǎn)單,常取輻角主值【練習(xí)3】將以下復(fù)數(shù)化為三角形式(要求輻角為輻角主值).九一九(1)2cosyisiny=-1冗,一一九(2)2cos3+isin3=(3)2sin34t+icosr=口冗(4)2cosy+isiny=答案(1)2cos

9、5T+isin?(2)|cos7j-+isin7九.7k(3)2cos4+isin-(4)2cosy+isin-至更提升核心素養(yǎng)、素養(yǎng)落地1 .通過(guò)復(fù)數(shù)的三角形式的理解及與代數(shù)形式的互化,培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng),提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2 .任一非零復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bCR)都可化為三角形式z=r(cos0+isin機(jī)其中|r|=、a2+b2,復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征是：模非負(fù)、角相同、余弦前、加號(hào)連,有一條不滿足就不是三角形式.3 .輻角主值在0,2幾內(nèi),非零復(fù)數(shù)的模和輻角主值都是唯一的,但輻角有無(wú)數(shù)個(gè),復(fù)數(shù)0的模為0,輻角主值不確定.、素養(yǎng)練習(xí)1 .復(fù)數(shù)一sin50+icos50的輻角主值

10、為(A.50°B.3200C.400D.1400解析sin50+icos502cos(90°+50°)+isin(90+50),.argz=140°.答案D2 .將復(fù)數(shù)化為三角形式：2+2i=.解析|2+2i|=22,點(diǎn)(一2,2)在第二象限,又tan4一1,arg(2+2i)3兀二1,2+2i=2遮cos1+isin亭.答案22cos3j+isin?冗3 .argico=.解析z=icos5,co$5>0,點(diǎn)0,co*在y軸正半軸,故argi.用=答案2兀一一5兀一4 .將復(fù)數(shù)z=5cosg+isin化為代數(shù)形式為.315.35解析z=52+2i

11、=2+5、答案z二課后作業(yè)以后提升根底達(dá)標(biāo)一、選擇題1 .復(fù)數(shù)1<3i化成三角形式,正確的選項(xiàng)是A.2co3t+isin年B.2cos5isin5?C.2coS3t+isin苧11九.11九D.2cos-6-+iSin解析|1i|=2,又1,#在第四象限且tan仁一木,故arg1+,3i=竽所以化成三角形式為28曾+isin55.答案C2 .復(fù)數(shù)z=sin100平icos100的輻角主值是A.800B.1000C.1900D.2600解析z=sin1004icos100=cos90+100°+isin90書(shū)100°,故argz=190°.答案C3 .兩個(gè)復(fù)數(shù)

12、z1,z2的模與輻角分別相等是z1=z2成立的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件解析假設(shè)Zi=Z2,那么兩復(fù)數(shù)的模相等,但輻角不一定相等.答案A4 .設(shè)3+4i的輻角主值為9,那么(3+4i)i-的輻角主值是()九八r九八A.+0B0C. 9-2D.358解析(3+4i)i=4+3i=5.4+3i.又3+4i=5-3+4i,cos43sin44,5555'555一加9,5=cose,.,九一一九一一,一八、一、,冗.5一sin時(shí)icos0=5cos2+9+isin2+9.3+411的輻角王值為萬(wàn)+9.答案A5.將復(fù)數(shù)1+i對(duì)應(yīng)的向量OM繞原點(diǎn)按逆時(shí)

13、針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的向量為oMi,那么OMi對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是A.2iB.2iD. .2+2i解析|1+六恒arg1+i=4,.oMi對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的輻角主值為熱又模為陋,對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為也i.答案B二、填空題6.二1+3i的三角形式為要求輻角為輻角主值.解析1-1-/3i1也i-1+V3i-4-4411318河+isin_3".-一2一22一2答案+興得2=1+多三、解做題9.寫(xiě)出以下復(fù)數(shù)的三角形式coS4+isin42t2337 .將復(fù)數(shù)1+,3i所表示的向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)8角0<0<2冗所得的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為一2,那么仁.解析arg1+爪i=g,arg-2=兀,|1+43i|=2

14、.所以將1+43i所表示的向量逆3時(shí)針旋轉(zhuǎn)8=2f,所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2.8 .假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足號(hào)=2,argzf1=3那么z=Z2Z3z1解析令一丁=z0,那么zO|=2,argz0=九1冗冗1q3rz13.2=2cos3+ising=4+4i,由-z-=(1)tan9+i聲(K兀；(2)<3(sin9-icos0).sin01斛(1)tan時(shí)i=cOSl+i=COSl(sin"icos0)13九3九=-cosi8s萬(wàn)T+isin萬(wàn)一0.(2)y3(sin0icos0)冗,九,人cos2+8+isin2+810.復(fù)數(shù)z=2+3i,z是z的共腕復(fù)數(shù),求復(fù)數(shù)u=ziz的輻角主值與

15、模.解z=2+3i,.z=23i,.u=2+3ii(23i)=2+3i2i3=1+i,u對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(一1,1)在第二象限,又tan8=1,.argu=3%|u|=|1+i|=,2.水平提升11復(fù)數(shù)z=1ai(a>0)的輻角主值為()A.arctanaB.什arctanaC.-arccos.2D.2arctana解析a>0時(shí),z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(一1,a)在第三象限,tan仁a,卜arctana0,2,-arg(1ai)=Tt+arctana.答案B12.求復(fù)數(shù)z=1+cos時(shí)isin0(武9<2冗的模與輻角主值.解z=1+cos0+isin41+2cos21+2i889Jsin2cos2=2cos2cos?+isin2.九8-tKK2陽(yáng)2<2(冗,cos2<0.999式右防=-2cos2cos2isin29=2cos2cos.r=-2cos2),0.J九+2+isin升2,9argz=兀+,+2kttKCZ).3,d-.J-2<2<乃2后冗+2<2%一argz=升?創(chuàng)新猜測(cè)A